10. Representación gráfica de funciones
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Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas técnicas
Tema 10
Representación gráfica de funciones reales de una variable real
Elaborado por la Profesora Doctora Marı́a Teresa González Montesinos
Índice
1. Introducción
1
2. Pasos a seguir para la representación gráfica de una función
2.1. Cálculo del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mı́nimos . . . . . . . .
2.6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión . . . . . . . . . .
3. Ejemplos
3.1. Representación de la función f (x) = x4 − 5x2 + 4
3.1.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . .
3.1.4. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . .
3.1.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . .
x
. . . . .
3.2. Representación de la función f (x) =
x−4
3.2.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . .
3.2.4. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . .
3.2.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . .
3
3.3. Representación de la función f (x) = 2
. . .
x − 3x
3.3.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . .
3.3.4. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . .
3.3.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . .
x3 + 1
. . . .
3.4. Representación de la función f (x) =
x2
3.4.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . .
3.4.4. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . .
3.4.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . .
3.5. Representación de la función f (x) = xex . . . . . .
3.5.1. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Corte con los ejes coordenados . . . . . . .
3.5.3. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . .
3.5.5. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . .
3.6. Representación de la función f (x) = ln(4 − x2 ) . .
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1
1
1
2
2
2
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2
2
2
2
3
3
3
4
5
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5
5
5
5
6
6
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7
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7
7
7
8
8
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9
9
10
10
10
11
12
12
12
12
13
13
14
14
4
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3.6.1.
3.6.2.
3.6.3.
3.6.4.
3.6.5.
Simetrı́as . . . . . . . . . . . .
Corte con los ejes coordenados
Ası́ntotas . . . . . . . . . . . .
Crecimiento y decrecimiento de
Concavidad y convexidad . . .
4. Ejercicios propuestos
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f
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16
1
Tema 10
1. Introducción
Hasta ahora, para representar gráficamente una función y = f (x) calculábamos el dominio de ésta
y confeccionábamos una tabla de valores o de puntos de la forma (x, f (x)), siendo x ∈ dom(f ); dichos
puntos se dibujaban en el plano y se iban uniendo mediante lı́neas, formándose ası́ una curva que se
aproximaba a la gráfica de la función f .
En este tema aprovecharemos el estudio que hemos realizado de las funciones en el tema anterior
para elaborar una representación gráfica más detallada; además, podremos representar funciones que,
con el método de las tablas de valores, nos hubiera resultado imposible.
2. Pasos a seguir para la representación gráfica de una función
Sea y = f (x) una función. Para reprensentarla gráficamente hay que seguir los pasos siguientes:
2.1. Cálculo del dominio
Ya se estudió en el tema 7 que
dom(f ) = {x ∈ R : ∃f (x)}
2.2. Simetrı́as
Recordemos que
f (−x) = f (x), ∀x ∈ dom(f )
f (−x) = −f (x), ∀x ∈ dom(f )
⇐⇒
⇐⇒
f es par
f es impar
2.3. Corte con los ejes coordenados
La gráfica de la función y = f (x) cortará al eje de abcisas o eje OX en un punto x0 ∈ dom(f ) si
f (x0 ) = 0, y cortará al eje de ordenadas o eje OY si 0 ∈ dom(f ).
Y
Corte con el eje OY
Corte con el eje OX
b (0, f (0))
b
(x0 , 0)
Figura 1: Corte de la curva y = f (x) con los ejes coordenados.
X
2
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
2.4. Ası́ntotas
Las ası́ntotas pueden ser de tres tipos:
Verticales.- La recta x = a es una ası́ntota vertical de f si
lı́m f (x) = ±∞,
x→a−
lı́m f (x) = ±∞
x→a+
siendo a ∈
/ dom(f ), por lo que la curva jamás cortará a dicha ası́ntota.
Horizontales.- La recta y = b es una ası́ntota horizontal de f si
lı́m f (x) = b
x→±∞
Oblicuas.- La recta y = mx + n es una ası́ntota oblicua de f si
f (x)
= m,
x→±∞ x
lı́m
lı́m [f (x) − mx] = n
x→±∞
Es fundamental tener en cuenta que si f posee ası́ntotas horizontales entonces no tendrá ası́ntota
oblı́cua alguna.
2.5. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mı́nimos
En este paso se trata de averiguar en qué puntos del dominio la función es creciente o decreciente
y de calcular los máximos y mı́nimos de la función. Para ello nos serán de gran utilidad los conceptos
estudiados en el tema 9.
2.6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Aquı́ hay que hallar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f haciendo uso de lo
estudiado en el tema anterior.
3. Ejemplos
3.1. Representación de la función
f (x) = x4 − 5x2 + 4
3.1.1. Dominio de f
Como f es un polinomio tendremos que dom(f ) = R .
3.1.2. Simetrı́as
Al ser
f (−x) = (−x)4 − 5(−x)2 + 4 = x4 − 5x2 + 4 = f (x), ∀ x ∈ R,
podemos afirmar que f es una función par o simétrica respecto del eje de ordenadas.
Tema 10
3
3.1.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f (x) = 0 ⇐⇒ x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇐⇒ x = ±1, x = ±2,
de modo que los puntos de corte serán
(−2, 0), (−1, 0), (1, 0), (2, 0)
Eje OY : Al ser f (0) = 4, el punto buscado es (0, 4) .
3.1.4. Ası́ntotas
Verticales.- La función f no posee ası́ntotas verticales pues no tiene puntos de discontinuidad.
Horizontales.- Puede probarse fácilmente que
lı́m f (x) = +∞,
x→±∞
por lo que f tampoco posee ası́ntotas horizontales.
Oblicuas.- Al igual que en el caso anterior, se demuestra de forma sencilla que
x4 − 5x2 + 4
= ±∞,
x→±∞
x
lı́m
de modo que no existen ası́ntotas oblicuas.
3.1.5. Crecimiento y decrecimiento de f
Calculemos en primer lugar los puntos crı́ticos de f . Para ello,
√
√
10
10
′
3
f (x) = 4x − 10x = 0 ⇐⇒ x = 0, x = −
, x=
.
2
2
Para averiguar si estos puntos son máximos o mı́nimos, procedamos por el criterio de la segunda
derivada. Ası́, al ser f ′′ (x) = 12x2 − 10, se obtiene:
√ !
√
− 10
′′
− 10
f
= 20 > 0
x=
es un mı́nimo relativo
2
2
′′
f (0) = −10 < 0
es un máximo relativo
=⇒ x = 0√
√ !
10
10
x=
es un mı́nimo relativo
f ′′
= 20 > 0
2
2
√ !
− 10
f es decreciente en
−∞,
2
!
√
− 10
f es creciente en
,0
2
√ !
=⇒
10
f es decreciente en
0,
2
!
√
10
f es creciente en
, +∞
2
4
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Para representar los máximos y mı́nimos en el plano hay que calcular sus imágenes:
√ !
10
9
=− .
f (0) = 4, f ±
2
4
3.1.6. Concavidad y convexidad
Sabemos que los puntos de inflexión de f son las soluciones de la ecuación f ′′ (x) = 0, ası́ que
√
30
′′
2
f (x) = 12x − 10 = 0 ⇐⇒ x = ±
.
6
Ahora debemos estudiar el signo de f ′′ a la izquierda y a la derecha de estos puntos para ver dónde
es convexa o cóncava la función:
√ !
30
−
√
f ′′ (x) > 0, ∀ x ∈ −∞,
− 30
′′
6
−1 <
;
f (−1) = 2 > 0
!
√
√
6 √
√
− 30
30
− 30
30
′′
,
<0<
; f ′′ (0) = −10 < 0 =⇒ f (x) < 0, ∀ x ∈
6
6
6
6
√
!
√
30
30
1>
;
f ′′ (1) = 2 > 0
′′
f (x) > 0, ∀ x ∈
, +∞
6
6
√
!
30
f es convexa en −∞, −
6
√ !
√
30
30
,
f es cóncava en −
6
6
!
√
30
f es convexa en
, +∞
6
=⇒
Sólo falta hallar las imágenes por f de los puntos de inflexión para representarlos en la gráfica:
√ !
30
700
f ±
=
.
6
729
De este modo, la representación gráfica de la función queda como
10
8
6
Y
•
4
2
-4
••
•-2
•
0
-2
-4
••
•2
•
X
4
5
Tema 10
3.2. Representación de la función
f (x) =
3.2.1. Dominio de f
x
x−4
f es una función racional, de modo que el denominador no debe anularse. Por lo tanto
x ∈ dom(f ) ⇐⇒ x − 4 6= 0 ⇐⇒ x 6= 4
=⇒ dom(f ) = R − {4}
3.2.2. Simetrı́as
Como
f (−x) =
f no es par ni impar.
−x
−x
6= f (x) y f (−x) =
6= −f (x), ∀ x ∈ R,
−x − 4
−x − 4
3.2.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
con lo que el único punto de corte será (0, 0) .
Eje OY : Al ser f (0) = 0, volvemos a obtener el mismo punto anterior.
3.2.4. Ası́ntotas
Verticales.- La recta x = 4 va a ser una ası́ntota vertical, pero debemos hallar los lı́mites laterales
para ver si la función se dirige hacia +∞ o −∞. Para ello, elaboramos las correspondientes
tablas de valores:
x → 4−
3.9
3.99
3.999
3.9999
..
.
x → 4+
4.1
4.01
4.001
4.0001
..
.
f (x)
-39
-399
-3999
-39999
..
.
f (x)
41
401
4001
40001
..
.
De las tablas anteriores se deduce que
lı́m f (x) = −∞,
x→4−
lı́m f (x) = +∞.
x→4+
Horizontales.- Tenemos que
lı́m f (x) = 1,
x→∞
lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las correspondientes tablas de valores:
6
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
x → −∞
-10
-100
-1000
-10000
..
.
f (x)
0.714
0.96154
0.99602
0.9996001
..
.
x → +∞
10
100
1000
10000
..
.
f (x)
1.66667
1.04167
1.00402
1.0004002
..
.
De este modo, la recta y = 1 es la ası́ntota horizontal de f .
Oblicuas.- f no posee una ası́ntotas oblicuas por tener una ası́ntota horizontal.
3.2.5. Crecimiento y decrecimiento de f
4
. Nótese que f ′ (x) < 0 para cualquier x ∈
(x − 4)2
dom(f ), por lo que podemos afirmar que f es decreciente en todo su dominio.
La derivada de f viene dada por f ′ (x) = −
3.2.6. Concavidad y convexidad
8
. Tenemos que f ′′ no se anula nunca, de
(x − 4)3
modo que no existen puntos de inflexión; no obstante, sı́ que cambia de signo:
La derivada segunda de f es la función f ′′ (x) =
x < 4 =⇒ f ′′ (x) < 0
x > 4 =⇒ f ′′ (x) > 0
f es cóncava en (−∞, 4)
f es convexa en (4, +∞)
=⇒
Consecuentemente, la representación gráfica de la función será
12
10
8
Y
6
4
2
-10
-5
•
0
-2
-4
-6
-8
•
5
X
10
15
7
Tema 10
3.3. Representación de la función
f (x) =
3.3.1. Dominio de f
x2
3
− 3x
Ésta es una función racional cuyo denominador debe ser no nulo, ası́ que
x ∈ dom(f ) ⇐⇒ x2 − 3x = x(x − 3) 6= 0 ⇐⇒ x 6= 0, x 6= 3
=⇒ dom(f ) = R − {0, 3}
3.3.2. Simetrı́as
Tenemos que
3
3
f (−x) =
= 2
6=
(−x)2 − 3(−x)
x + 3x
(
f (x),
−f (x),
por lo que f no es par ni impar.
3.3.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Al ser f (x) 6= 0, para cualquier punto x ∈ dom(f ), la curva no cortará al eje de abcisas.
Eje OY : Como 0 ∈
/ dom(f ), la gráfica de f tampoco cortará al eje de ordenadas.
3.3.4. Ası́ntotas
Verticales.- Las rectas x = 0 y x = 3 son las ası́ntotas verticales de esta función. Hallemos los
lı́mites laterales de f en los puntos x = 0 y x = 3 para estudiar el comportamiento de la función.
Para ello, confeccionemos las tablas de valores para cada uno de los puntos:
x → 0−
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
..
.
f (x)
9.677419
99.66778
999.66678
9999.666678
..
.
x → 3−
2.9
2.99
2.999
2.9999
..
.
f (x)
-10.344828
-100.33445
-1000.33344
-10000.33334
..
.
x → 0+
0.1
0.01
0.001
0.0001
..
.
f (x)
-10.34483
-100.334448
-1000.33344
-10000.33334
..
.
x → 3+
3.1
3.01
3.001
3.0001
..
.
A partir de estas tablas se llega a que
lı́m f (x) = +∞, lı́m f (x) = −∞,
x→0−
x→0+
lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = +∞.
x→3−
x→3+
f (x)
9.677419
99.667774
999.666778
9999.6667
..
.
8
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Horizontales.- Comprobemos que lı́mx→∞ f (x) = 0. Efectivamente, las siguientes tablas de valores
nos lo confirman:
x → −∞
-10
-100
-1000
..
.
f (x)
0.023077
2,91262 · 10−4
2,99103 · 10−6
..
.
x → +∞
10
100
1000
..
.
f (x)
0.042857
3,09278 · 10−4
3,00903 · 10−6
..
.
En consecuencia, la recta y = 0 es una ası́ntota horizontal de f .
Oblicuas.- Esta función, al poseer una ası́ntota horizontal, no tendrá ası́ntotas oblicuas.
3.3.5. Crecimiento y decrecimiento de f
−3(2x − 3)
. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento
x2 (x − 3)2
de esta función debemos resolver la ecuación f ′ (x) = 0; de este modo,
La derivada de la función f es f ′ (x) =
−3(2x − 3)
3
= 0 ⇐⇒ 2x − 3 = 0 ⇐⇒ x = .
x2 (x − 3)2
2
Ahora debemos comprobar si el punto estacionario obtenido como solución de la ecuación anterior
es un máximo o un mı́nimo de f . Para ello, haremos uso del criterio de la derivada primera de f .
Tenemos que el denominador de f ′ es siempre positivo en el dominio de f , con lo que
f ′ (x) < 0
⇐⇒
−3(2x − 3) < 0
⇐⇒
2x − 3 > 0
⇐⇒
f ′ (x) > 0
⇐⇒
−3(2x − 3) > 0
⇐⇒
2x − 3 < 0
⇐⇒
3
x> ,
2
3
x< .
2
Ahora bien, como los puntos x = 0 y x = 3 no pertenecen a dom(f ), tendremos que
3
′
f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ −∞,
− {0}
2
3
f ′ (x) < 0 ⇐⇒ x ∈
, +∞ − {3}
2
3
f es creciente en −∞,
− {0}
3
2 =⇒
=⇒
es un máximo local de f
3
2
f es decreciente en
, +∞ − {3}
2
3
4
Además es f
=− .
2
3
3.3.6. Concavidad y convexidad
18(x2 − 3x + 3)
. Será f ′′ (x) = 0 siempre y
x3 (x − 3)3
cuando el numerador de f ′′ se anule. Tenemos sin embargo que la ecuación x2 − 3x + 3 = 0 no posee
La derivada segunda de f viene dada por f ′′ (x) =
9
Tema 10
raı́ces reales, por lo que x2 − 3x + 3 será siempre positivo o siempre negativo. Para comprobar esto sólo
tenemos que sustituir un punto cualquiera en la expresión; por ejemplo, si tomamos x = 0 se obtiene
02 − 3 · 0 + 3 = 3 > 0 =⇒ x2 − 3x + 3, ∀ x ∈ R.
No obstante, debido a la forma que tiene el denominador de f ′′ , ésta sı́ cambiará de signo, y éste será el
mismo que el del denominador.
Tenemos en primer lugar que
x3 (x − 3)3 < 0 ⇐⇒ [x(x − 3)]3 < 0 ⇐⇒ x(x − 3) < 0
x < 0, x > 3 (imposible)
x < 0, x − 3 > 0
⇐⇒ o bien
⇐⇒ o bien
⇐⇒ x ∈ (0, 3);
x > 0, x − 3 < 0
x > 0, x < 3
por lo tanto,
x3 (x − 3)3 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, +∞).
Podemos afirmar pues que
f ′′ (x) < 0, ∀ x ∈ (0, 3)
=⇒
f es cóncava en (0, 3)
′′
f (x) > 0, ∀ x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, +∞) =⇒ f es convexa en (−∞, 0) ∪ (3, +∞)
La representación gráfica de esta función será pues de la forma
6
4
Y
2
-3
-2
-1
•
0
-2
1
2
•
•3
X
4
5
-4
-6
3.4. Representación de la función
f (x) =
x3 + 1
x2
3.4.1. Dominio de f
Nos encontramos de nuevo ante una función racional, cuyo denominador sólo se anula para x = 0,
con lo que
dom(f ) = R − {0}
10
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3.4.2. Simetrı́as
Al ser
−x3 + 1
(−x)3 + 1
f (−x) =
=
6=
(−x)2
x2
(
f no es ni par ni impar.
f (x),
−f (x),
3.4.3. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Tenemos que
f (x) =
x3 + 1
= 0 ⇐⇒ x3 + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1,
x2
esto es, el punto de corte con el eje de abcisas es el (−1, 0)
Eje OY : Como 0 ∈
/ dom(f ), la gráfica de f no cortará al eje de ordenadas.
3.4.4. Ası́ntotas
Verticales.- Veamos que la recta x = 0 es la única ası́ntota vertical que posee esta función elaborando la tabla de valores correspondiente para hallar los lı́mites de f en el punto x = 0:
x → 0−
-0.1
-0.01
..
.
x → 0+
0.1
0.01
..
.
f (x)
99.9
9999.99
..
.
f (x)
100.1
10000.0
..
.
En efecto, en virtud de los valores obtenidos en las tablas anteriores podemos afirmar que
lı́m f (x) = +∞, lı́m f (x) = +∞ =⇒ lı́m f (x) = +∞.
x→0
x→0+
x→0−
Horizontales.- Esta función no posee ası́ntotas horizontales pues
lı́m f (x) = ±∞
x→±∞
Ası́ es; si observamos las tablas de valores que se exponen a continuación podemos ver que dicha
afirmación es cierta:
x → −∞
-10
-100
-1000
..
.
f (x)
-9.999
-99.9999
-999.9999
..
.
x → +∞
10
100
1000
..
.
f (x)
10.01
100.0001
1000.000001
..
.
Al ser infinitos ambos lı́mites infinitos, f no posee ası́ntota horizontal alguna.
Oblicuas.- Tenemos en primer lugar que
f (x)
x3 + 1
= lı́m
= 1,
x→∞ x
x→∞
x3
m = lı́m
lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las tablas de valores correspondientes:
11
Tema 10
f (x)
x
0.999
0.999999
..
.
x → −∞
-10
-100
..
.
x → +∞
10
100
..
.
f (x)
x
1.001
1.000001
..
.
En segundo lugar, puede comprobarse fácilmente que
3
x +1
1
n = lı́m [f (x) − mx] = lı́m
− x = lı́m 2 = 0.
2
x→∞
x→∞
x→∞ x
x
De este modo, la recta y = x , es decir, la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, es la
ası́ntota oblicua que posee esta función.
3.4.5. Crecimiento y decrecimiento de f
La derivada de la función f es f ′ (x) =
x3 − 2
. Resolvamos la ecuación f ′ (x) = 0:
x3
√
x3 − 2
3
= 0 ⇐⇒ x3 − 2 = 0 ⇐⇒ x3 = 2 ⇐⇒ x = 2.
3
x
Comprobemos ahora si la solución de la ecuación anterior es un máximo o un mı́nimo de f utilizando
del criterio de la derivada segunda de f . Como
f ′′ (x) =
en particular,
f ′′
6
> 0, ∀ x ∈ dom(f ),
x4
√ √
3
3
2 > 0 =⇒ x = 2 es un mı́nimo relativo de f
De este modo podemos afirmar que
f es decreciente en
f es creciente en
√
3
0,
2
√
3
2, +∞
Pero, ¿qué comportamiento tiene la función f en el intervalo (−∞, 0)? Para conocerlo, debemos saber
qué signo posee f ′ en los puntos de dicho intervalo:
3 − 2 > 0, x3 > 0
3
x
x > 2, x > 0
x3 − 2
′
f (x) =
> 0 ⇐⇒ o bien
⇐⇒ o bien
x3
3
3
3
x − 2 < 0, x < 0
x < 2, x < 0
√
√
3
3
x > 2, x > 0
x > 2
⇐⇒ o bien
⇐⇒ o bien
√
3
x < 2, x < 0
x<0
En consecuencia,
f ′ (x) > 0, ∀ x ∈ (−∞, 0) =⇒ f es creciente en (−∞, 0)
Finalmente, se tiene que f
√
3
3
2 = √
≃ 1,89.
3 2
2
12
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3.4.6. Concavidad y convexidad
En virtud de lo visto en el apartado anterior,
f ′′ (x) > 0, ∀ x ∈ dom(f ) =⇒ f es convexa
Esta función tendrá entonces como gráfica la que se expone a continuación:
10
Y
5
-3
•
•-1
-2
0
1
X
2
3
-5
3.5. Representación de la función
f (x) = xex
Esta función es el producto de un polinomio de primer grado por la función exponencial de base
e, por lo que
dom(f ) = R .
3.5.1. Simetrı́as
Esta función no es par ni impar ya que
−x
f (−x) = −xe
−x
= x 6=
e
(
f (x),
−f (x).
3.5.2. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
f (x) = xex = 0 ⇐⇒ x = 0,
de modo que el punto de corte con el eje de abcisas es el (0, 0)
Eje OY : Como f (0) = 0e0 = 0, volvemos a obtener el origen de coordenadas como punto de intersección con el eje OY .
13
Tema 10
3.5.3. Ası́ntotas
Verticales.- Como el dominio de f es todo R, la función no tendrá ası́ntotas verticales.
Horizontales.- Para hallar las ası́ntotas horizontales de f , calculemos los lı́mites infinitos de la función. Para ello, confeccionemos las tablas de valores pertinentes:
x → −∞
-10
-100
..
.
f (x)
-0.000454
−3,72 · 10−42
..
.
x → +∞
10
100
..
.
f (x)
220264.66
2,69 · 1045
..
.
A partir de los valores obtenidos se tiene que
lı́m f (x) = 0,
x→−∞
lı́m f (x) = +∞,
x→+∞
con lo que la recta y = 0 es la ası́ntota horizontal de la función.
Oblicuas.- Como f tiene una ası́ntota horizontal, no puede poseer ası́ntotas oblicuas.
3.5.4. Crecimiento y decrecimiento de f
La función f tiene como derivada la función
f ′ (x) = ex + xex = ex (x + 1)
Resolvamos la ecuación f ′ (x) = 0, teniendo en cuenta que ex > 0, ∀ x ∈ R:
ex (x + 1) = 0 ⇐⇒ x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1.
Veamos si el punto x = −1 es un máximo o un mı́nimo de f utilizando del criterio de la derivada
primera de f :
f ′ (x) = ex (x + 1) > 0 ⇐⇒ x + 1 > 0 ⇐⇒ x > −1,
f ′ (x) = ex (x + 1) < 0 ⇐⇒ x + 1 < 0 ⇐⇒ x < −1.
Entonces
f ′ (x) < 0 en (−∞, −1)
f ′ (x) > 0 en (−1, +∞)
=⇒
f es decreciente en (−∞, −1)
f es creciente en (−1, +∞)
Consecuentemente,
x = −1 es un mı́nimo relativo
Más aún, como podremos comprobar a la hora de representar la función, veremos dicho punto es un
1
mı́nimo absoluto , con f (−1) = − ≃ −0,3679.
e
14
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3.5.5. Concavidad y convexidad
En este caso tenemos que f ′′ (x) = 2ex + xex = ex (x + 2). Resolvamos la ecuación f ′′ (x) = 0 para
hallar los posibles puntos de inflexión:
f ′′ (x) = 0 ⇐⇒ ex (x + 2) = 0 ⇐⇒ x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −2
Estudiemos ahora el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha del punto de inflexión.
Para ello tomamos puntos arbitrarios:
f ′′ (−3) = e−3 (−3 + 2) = −e−3 < 0,
f ′′ (x) < 0 en (−∞, −2)
=⇒
f ′′ (x) > 0 en (−2, +∞)
f ′′ (0) = e0 (0 + 2) = 2 > 0 =⇒
f es cóncava en (−∞, −2)
f es convexa en (−2, +∞)
Teniendo en cuenta que f (−2) = −2/e2 ≃ 0,271, la representación gráfica de esta función es pues
5
4
3
Y
2
1
-4
•-2
•
•
0
2
X
4
-1
3.6. Representación de la función
f (x) = ln(4 − x2 )
Esta función es el logaritmo neperiano de un polinomio de segundo grado, de modo que debe ser
4 − x2 > 0 ⇐⇒ x2 < 4 ⇐⇒ −2 < x < 2,
de donde dom(f ) = (−2, 2) , es decir, el dominio de f es un intervalo abierto y finito.
3.6.1. Simetrı́as
Esta función es par pues
f (−x) = ln(4 − (−x)2 ) = ln(4 − x2 ) = f (x), ∀ x ∈ (−2, 2).
15
Tema 10
3.6.2. Corte con los ejes coordenados
Eje OX: Se tiene que
√
f (x) = ln(4 − x2 ) = 0 ⇐⇒ 4 − x2 = 1 ⇐⇒ x2 = 3 ⇐⇒ x = ± 3,
√
√
ası́ que los puntos de corte con el eje de abcisas es el (− 3, 0), ( 3, 0) .
Eje OY : Como f (0) = ln(4 − 02 ) = ln 4 ≃ 1,386, el punto de corte con el eje de ordenadas viene dado
por (0, ln 4) .
3.6.3. Ası́ntotas
Verticales.- Veamos que las rectas x = −2 y x = 2 son las ası́ntotas verticales de esta función.
Nótese que, al ser dom(f ) = (−2, 2), sólo podemos calcular lı́mx→−2+ f (x) y lı́mx→2− f (x), pues
es imposible hallar las imágenes de puntos que se encuentren a la izquierda de x = −2 y a la
derecha de x = 2. Elaboremos pues las tablas de valores correspondientes a ambos lı́mites:
x → −2+
-1.9
-1.99
-1.999
-1.9999
-1.99999
..
.
x → 2−
1.9
1.99
1.999
1.9999
1.99999
..
.
f (x)
-0.9416
-3.2214
-5.5217
-7.8241
-10.1266
..
.
f (x)
-0.9416
-3.2214
-5.5217
-7.8241
-10.1266
..
.
Deducimos de lo anterior que
lı́m f (x) = lı́m f (x) = −∞.
x→−2+
x→2−
Horizontales.- Es fundamental observar que no existen ası́ntotas horizontales, ya que el dominio de
f es el intervalo (−2, 2) y, por lo tanto, no existen los lı́mites infinitos de esta función.
Oblicuas.- Por la misma razón anterior, f no posee ası́ntotas oblicuas.
3.6.4. Crecimiento y decrecimiento de f
2x
. La ecuación f ′ (x) = 0 tiene como única
−4
solución el punto x = 0. Veamos ahora si dicho punto es un máximo o un mı́nimo de f utilizando del
criterio de la derivada segunda de f .
−2(x2 + 4)
Como f ′′ (x) =
< 0, para cualquier x 6= 2, tendremos en particular que
(x2 − 4)2
La derivada de la función f viene dada por f ′ (x) =
x2
f ′′ (0) < 0 =⇒ x = 0 es un máximo relativo de f
Además, como se verá a la hora de representar la curva, dicho punto es en realidad un máximo absoluto
de la función. Más aún, este punto es el de intersección con el eje de ordenadas.
16
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3.6.5. Concavidad y convexidad
Ya vimos en el apartado anterior que f ′′ (x) < 0 para todo punto x 6= 2, de modo que f es cóncava
en todo su dominio.
Tenemos entonces que la gráfica de f es de la forma
4
Y
2
•
-2
•
-1
0
1
X
•
2
-2
-4
4. Ejercicios propuestos
(1) Hállense las ası́ntotas de las siguientes funciones:
1
3x2 + 1
, g(x) = e x−3 ;
x
2x + 2
b) f (x) =
− 1, g(x) = ln(x2 − 2x + 1).
x
a) f (x) =
(2) Representa gráficamente las siguientes funciones, previa determinación del dominio de definición,
continuidad, intervalos de crecimiento y concavidad, puntos singulares, ası́ntotas y simetrı́as:
a) f (x) = −x2 + 3, g(x) = x3 − 2;
x+2
b) f (x) = x4 − 10x2 + 9, g(x) =
;
x−3
x
x
c) f (x) = 2
, g(x) = 2
;
x −1
x +1
√
√
d) f (x) = 1 − x2 , g(x) = x2 − 1;
e) f (x) = ln(x − 3), g(x) =
e2x
.
ex2
(3) Dada la función y = ax3 + bx2 + cx + d que admite un máximo y = 1 para x = −1 y un mı́nimo
y = −2 para x = 2, se pide:
a) Calcular los coeficientes a, b, c, d.
b) Coordenadas del punto de inflexión de la curva representada por la ecuación dada. Hallar
también la ecuación de la tangente en ese punto.
Tema 10
17
c) Representación gráfica de la función.
ax + b
1
(4) Dada la función f (x) =
, calcula a, b y c, sabiendo que f (−3) = , f
cx − 1
4
4
1
= . Estudia la función y represéntala gráficamente.
f
4
3
4
= −3 y
3
