1 Definición y ejemplos - Eva

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Introducción a la Topología
Curso 2016
NOTAS TEÓRICO-PRÁCTICAS 5: ESPACIOS MÉTRICOS
1 Denición y ejemplos
Comenzaremos estas notas recordando la denición de métrica en un espacio.
Denición.
(i)
(ii)
(iii)
Una métrica en un conjunto
d(x, y) ≥ 0
para todo
d(x, y) = d(y, x)
x, y ∈ X ,
para todo
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
En tal caso diremos que
x, y
con
en
es una función
d(x, x) = 0
y
d:X ×X →R
d(x, y) > 0
si
tal que
x 6= y .
X.
para todo
(X, d)
X
x, y, z
en
X .1
es un espacio métrico. Veamos algunos ejemplos.
0−1
X , denimos d(x, y) = 1
Ejemplo 1: Métrica
Dado un conjunto
métrica en
si
x 6= y ,
y
d(x, x) = 0.
Es fácil ver que
d
es una
X.
n
Ejemplo 2: Métricas en R
n
En R podemos denir las siguientes métricas
• d(x, y) := (
Pn
|xi − yi |2 )
• d1 (x, y) :=
Pn
|xi − yi |;
i=1
i=1
1/2
;
• d∞ (x, y) := maxi=1,...,n |xi − yi |.
Ejemplo 3: Métrica inducida
Sea
(X, d)
es un espacio métrico, y
por lo tanto
(A, dA×A )
A ⊂ X.
La restricción de
d
a
A×A
es una métrica, y
es un espacio métrico.
Ejemplo 4: Convergencia uniforme
X un conjunto,
B(X, R) denimos la
Sea
y sea
B(X, R)
el conjunto de funciones
f : X → R
acotadas.
2
En
métrica
d(f, g) := sup |f (x) − g(x)|.
x∈X
Ejemplo 5: Espacios normados
Sea
V
un espacio vectorial real o complejo. Una norma en
V
es una función real
que verica
1A
esta propiedad se le llama desigualdad triangular.
que f : X → R es acotada si existe K > 0 tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ X .
2 Decimos
1
k·k : V → R
(i)
(ii)
(iii)
Si
kxk ≥ 0,
y
kxk = 0
kλxk = |λ| kxk,
para todo
kx + yk ≤ kxk + kyk,
(V, k · k)
x=0
sii
λ
V;
en
escalar, y
para todo
x, y
x∈V;
en
V.
d(x, y) := kx − yk es una métrica en V .
Rn en el Ejemplo 2. son métricas que provienen
es un espacio normado entonces
Observar que las métricas denidas en
de las normas respectivas
P
1/2
• kxk := ( ni=1 |xi |2 ) ;
P
• kxk1 := ni=1 |xi |;
• kxk∞ := maxi:1,...,n |xi |.
El conjunto
B(X, R) es un espacio vectorial deniendo de manera natural las operaciones
punto a punto. De esta forma podemos ver facilmente que la métrica denida en el Ejemplo
4. proviene de la norma
Ejemplo 6: Espacios
kf k∞ := supx∈X |f (x)|.
`1 (N), `2 (N), `∞ (N)
P∞
n=1 |xn | < ∞. Es fácil
dotar a este espacio con una estructura de espacio vectorial deniendo la suma y producto
P∞
por número coordenada a coordenada. En `1 (N) se dene la norma kxk1 :=
n=1 |xn |.
Análogamente se denen
Sea `1 (N) el espacio de la sucesiones complejas
• `2 (N) := {{xn } :
P
x = {xn }n∈N tales que
|xn |2 < ∞};
• `∞ (N) := {{xn } : supn |xn | < ∞},
Al igual que
`1 (N) es fácil ver que estos conjuntos son espacios vectoriales con las operaciones
habituales. Se denen para estos espacios las normas siguientes
P
1/2
• kxk2 := ( |xn |2 ) ,
donde
• kxk∞ := supn |xn | < ∞},
x = {xn } ∈ `2 (N).
donde
x = {xn } ∈ ell∞ (N).
Ejemplo 7: Pull-back de una métrica
X un conjunto, (M, d) un espacio métrico, y f : X → M una función
0
cada x, y ∈ X , la función d (x, y) =: d(f (x), f (y)) dene una métrica en X .
Sea
inyectiva. Para
(Comparar con
Ejemplo 3. más arriba).
Ejercicio 1.
Probar en cada caso de los ejemplos anteriores que las funciones denidas son
realmente métricas.
Ejercicio 2.
Si consideramos el conjunto
3
R([0, 1])
denido por las funciones
f : [0, 1] → R
tales que su parte positva y negativa sean integrables Riemann, entonces podemos denir
R1
d(f, g) := 0 |f (x) − g(x)| dx. ¾Es d una métrica? En caso contrario, ¾en qué subconjunto
de R([0, 1]) sería una métrica?
3 Dada
f : [0, 1] → R, la parte positiva f + se dene como f + (x) = max{0, f (x)}. Análogamente, la parte
negativa f − se dene por f − (x) = max{0, −f (x)}. Observar que f = f + − f −
2
2 Topología Métrica
Denición.
(X, d) es un espacio métrico,
B(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) < r}.
conjunto
Denición.
X.
Si
denimos la bola de centro
y radio
r
como el
Recordar que el conjunto de bolas de un espacio métrico forman una base de
A la topología generada por esta base se le llama topología métrica.
Ejercicio 3.
x
4
Probar que la topología métrica generada por la métrica del Ejemplo 1 es la
topología discreta.
Ejercicio 4.
Probar que la topología usual de
Denición.
Diremos que dos distancias
C≥1
tal que para todo par de puntos
R es generada por la métrica d(x, y) := |x−y|.
d1 y d2 son equivalentes
x, y ∈ M se tiene
si existe una constante
1
d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ Cd1 (x, y)
C
Ejercicio 5.
Vericar que la relación denida arriba es realmente una relación de equiva-
lencia.
Ejercicio 6.
Probar que dos métricas equivalentes inducen la misma topología. Probar que
el recíproco no es cierto.
(Sugerencia:
observar que si
d
es una métrica entonces
métrica que genera la misma topología que
Ejercicio 7.
en
Probar que las métricas
d0 (x, y) = min{1, d(x, y)}
es una
d).
d, d1 , d∞ denidas en Rn generan la topología producto
Rn .
Ejercicio 8.
Probar que en el espacio de las funciones reales continuas de [0, 1], las topologías
R1
generadas por las distancias d1 (f, g) :=
|f (x)−g(x)| dx y d∞ (f, g) := supx∈[0,1] |f (x)−g(x)|
0
no son las mimsmas. ¾Alguna de las topologías generadas por estas métricas es más na que
la otra?
2.1
Funciones Continuas
Recordar que la noción de continuidad de una función entre espacios topológicos generados
− δ de continuidad, es decir que una función entre
espacios métricos f : (X, dX ) → (Y, dY ) es continua con respecto a las topologías métricas
si y sólo si dado x ∈ X se tiene que ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si dX (x, y) < δ entonces
dY (f (x), f (y)) < ε.
por métricas coincide con la denición
Ejercicio 9.
Sea
f : X → Y , donde X
es un espacio topológicos generados por una métrica.
f es continua si y sólo si para toda sucesión convergente xn → x, se
f (xn ) converge a f (x). (Sugerencia: usar Ejercicio 1. del práctico 3.)
Entonces
sucesión
4 Cuando
tiene que la
no especiquemos la topología en un espacio métrico signica que estamos trabajando con la
topología métrica asociada.
3
Denición.
f : (M, d1 ) → (N, d2 ) es Lipschitz
puntos x, y ∈ M se cumple
Una funcíon entre espacios métricos
una constante
K>0
tal que para todo par de
si existe
d2 (f (x), f (y)) ≤ Kd1 (x, y)
Diremos que es bi-Lipschitz si existe
C≥1
tal que
1
d1 (x, y) ≤ d2 (f (x), f (y)) ≤ Cd1 (x, y)
C
Observar que dos métricas
d1 y d2 en M
son equivalentes si y sólo si
id : (M, d1 ) → (M, d2 )
es bi-Lipschitz. También suele decirse que dos métricas son bi-Lipschitz equivalentes en este
caso
Un ejemplo de funciones bi-Lipschitz son las isometrías, es decir, las funciones sobreyecti-
f : (M, d1 ) → (N, d2 ) que cumplen d2 (f (x), f (y)) = d1 (x, y) para
x, y ∈ M . Cuando exista una isometría entre espacios métricos diremos
vas entre espacios métricos
todo par de puntos
que son isométricos, lo que signica que no pueden distinguirse desde el punto de vista de
los espacios métricos. El siguiente ejercicio muestra en particular que espacios isométricos
son espacios homeomorfos con las respectivas topologías métricas.
Ejercicio 10.
Probar que una función Lipschitz es contínua (recordar el ejercicio de 6 del
práctico 3), y que una función sobreyectiva y bi-Lipschitz es un homeomorsmo.
3 Topologías Metrizables
Denición.
Diremos que un espacio topológico es metrizable cuando la topología está gen-
erada por alguna métrica.
Como hemos visto a lo largo del curso, los espacios métricos tienen ciertas propiedades
agradables que permiten estudiarlos con mayor facilidad. Es por esta razón que es razonable
presguntarse cuándo un espacio topológico es metrizable.
En los siguientes ejercicios mostraremos ejemplos de espacios que son y que no son metrizables.
Ejercicio 11:
3.
Recordar la denición de métrica producto dada en el ejercicio 6 del práctico
Probar que la topología inducida por el producto de nitas métricas es justamente la
topología producto.
Ejercicio 12:
Consideremos una sucesión de espacios métricos
con la topología producto. Encontrar una métrica en
Ejercicio 13:
Sea
X
X
{(Mn , dn )}n∈N
y
X = Πn Mn
que induzca la topología producto.
un producto no numerable de espacios métricos . ¾Es
X
metrizable
para la topología producto? (Sugerencia: revisar el ejercicio 16 del práctico 4.) ¾Qué nos
dice lo anterior de la "topología de la convergencia puntual" de funciones de
X
es un conjunto no numerable e
Y
es un espacio métrico?
4
X
en
Y,
donde
4 Ejercicios Opcionales
Ejercicio 14: Métricas conformes en el plano
Sea
Ω⊂C
ρ : Ω → [0, +∞)
α : [a, b] → Ω como
un abierto y
curva diferencible
Z
long(α) =
una función
C 2.
Denimos la longitud de una
b
ρ(α(s))|α0 (s)|ds.
a
Probar que la longitud de una curva no depende de la parametrización. Observar que esta
denición se puede extender a curvas diferenciables a trozos. Ahora dados dos puntos
dρ (x, y) como el inmo de las longitudes
x con y . Probar que dρ es una métrica.
denimos
unen
x, y ∈ Ω
de las curvas diferenciables a trozos que
Un ejemplo clásico es el llamado Plano Hiperbólico : Ω = H = {z ∈ C : Im(z) > 0},
1
. Probar que si z1 y z2 tienen parte real nula entonces la distancia dρ (z1 , z2 )
ρ(z) = Im(z)
es realizada por cualquier parametrización inyectiva del segmento que une dichos puntos.
Concluir que el semi-eje vertical es una curva que minimiza la distancia entre cualquier par
de sus puntos. Una curva con esta propiedad es llamada geodésica. Puede verse (pero no lo
pedimos aquí) que las geodésicas del plano hiperbólico son las rectas verticales y las semicircunferencias con centro en el eje real. El plano hiperbólico es un modelo de geometría no
euclideana donde por un punto exterior a una geodésica pasan innitas geodésicas que no
cortan a la primera, es dicir, innitas geodésicas paralelas a la primera.
Ejercicio 15: Cuasi-métricas
Una cuasi-métrica es una función
(i)
(ii)
d(x, y) ≥ 0
para todo
d(x, y) = d(y, x)
(iii) Existe
M ≥1
x, y ∈ X ,
para todo
tal que
d:X ×X →R
x, y
con
en
que cumple:
d(x, x) = 0
y
d(x, y) > 0
si
x 6= y .
X.
d(x, y) ≤ M (d(x, z) + d(z, y))
para todo
x, y, z
en
X.
A diferencia de las métricas, las cuasi-métricas no necesariamente generan topología. Para
ver un ejemplo tomemos en
Probar que
d
d : C × C → R denido por
1
|x − y| si x, y ∈ R,
2
d(x, y) =
|x − y| si no.
es una cuasi-métrica cuyas bolas no son base para ninguna topología.
5