Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones 1

Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones
1
Representa en los mismos ejes las siguientes funciones:
a) y = x2;
b) y = 2x2;
c) y =
Solución:
2
y=x
2
y=2x
1 2
y= x
3
2
Representa las siguientes funciones:
a) y = x2
b) y = x3
c) y = x4
Solución:
20
15
10
5
-4
-2
2
4
-5
-10
-15
3
Representa las siguientes rectas:
a) y = 4
b) y = 4 - x
c) x = 4
1
1 2
x
3
Solución:
a)
b)
y
c)
y
x
4
x
x
Representa las siguientes rectas:
a) y = 2x - 1
Solución:
a)
b) y = 4 - x
b)
y
c) y =
c)
y
x
5
y
2
x −3
5
y
x
Representa en los mismos ejes las siguientes funciones:
a) y = x2;
b) y = x2 + 1;
Solución:
2
y=x
2
y=x +1
2
y=x -2
2
x
c) y = x2 - 2
6
Representa en los mismos ejes las siguientes funciones:
a) y = 2x2- 2;
b) y = x2;
c) y =
1 2
x +1
3
Solución:
2
y=x
2
y=2x -2
1 2
y= x +1
3
7
Escribe la ecuación de una recta que tenga la misma ordenada en el origen que cada una de las que se dan
a continuación:
a) y = 4x - 3
b) y = -2x + 5
c) y = 4x
d) y = 1 - x
Solución:
a) y = mx - 3
Siendo m cualquier número
8
b) y = mx + 5
c) y = mx
Escribe la ecuación de una recta paralela a cada una de las que se dan a continuación:
a) y = 2x + 1
b) y = -3x - 2
c) y = -x + 3
d) y = x - 10
Solución:
a) y = 2x + n
b) y = -3x + n
Siendo n cualquier número
9
d) y = mx +1
c) y = -x + n
d) y = x + n
Basándote en la gráfica de y = x2 indica la modificación que sufre para convertirse en la gráfica de las
siguientes parábolas.
1
1
b) y = 4x2
c) y = x 2 - 1
a) y = x 2
4
4
3
Solución:
a)
b)
c)
a) La parábola se abre, creciendo más lentamente.
b) La parábola se cierra, creciendo más deprisa.
c) Igual que en a y además desciende una unidad.
10 Representa las siguientes parábolas por traslación de y = x2.
a) y = (x - 2)2
b) y = x2 - 2
c) y = (x - 2)2 + 2
Solución:
a)
b)
c)
11 Explica qué movimiento se produce en cada caso respecto a la función y = x3 + 2x:
a) y = (x + 1)3 + 2 (x + 1)
b) y = x3 + 2x2 + 2
Solución:
a) Traslación horizontal 1 a la izquierda.
b) Traslación vertical 1 hacia arriba.
12 Representa las siguientes parábolas por traslación de y = x2.
a) y = (x - 1)2
b) y = x2 - 1
c) y = (x - 1)2 + 1
4
Solución:
a)
b)
c)
13 En una mina, pagan un fijo a cada minero de 500 Euros más un incentivo de 200 Euros por cada m3
excavado. Define mediante una función el sueldo de los mineros.
Solución:
Conocemos la pendiente m = 200 y un punto de la recta (0,500)
S = 200M + S0 ; S = 200M + 500
14 Encuentra el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
a) y = 3x2 + 6x + 1
b) y = -x2 + x + 2
c) y = 4x2 - 12x + 3
Solución:
− b −6
a) x v =
=
= −1;
y(-1) = −4 ⇒ v = (-1,-4)
eje : x = −1
2a
6
1
−b 1
⎛ 1⎞ 9
⎛1 9⎞
y⎜ ⎟ =
eje : x =
b) x v =
= ;
⇒ v=⎜ , ⎟
2a 2
2
⎝2 4⎠
⎝2⎠ 4
c) x v =
−b 3
= ;
2a 2
⎛3⎞
y ⎜ ⎟ = −6
⎝2⎠
⎛3
⎞
⇒ v = ⎜ ,−6 ⎟
⎠
⎝2
eje : x =
3
2
15 Encuentra el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
a) y = x2 + 4x + 3
b) y = x2 - 2x + 1
c) y = 2x2 - 3x + 1
Solución:
− b −4
a) x v =
=
= −2;
y(-2) = -1 ⇒ v = (-2,-1)
eje : x = -2
2a
2
−b 2
b) x v =
= = 1;
y(1) = 0 ⇒ v = (1,0)
eje : x = 1
2a 2
3
−b 3
⎛ 3 ⎞ −1
⎛ 3 − 1⎞
y⎜ ⎟ =
eje : x =
c) x v =
= ;
⇒ v=⎜ ,
⎟
4
2a 4
⎝4⎠ 8
⎝4 8 ⎠
5
16 Halla la ecuación de una recta que cumpla las siguientes condiciones:
a) Tenga pendiente 1 y ordenada en el origen -1
b) Tenga pendiente 4 y que pase por el punto (2,1)
c) Que pase por los puntos (1,0) y (0,1)
Solución:
a) y = x - 1
b) y = 4x - 7
c) y = -x + 1
17 Halla la ecuación de una recta que cumpla las siguientes condiciones:
a) Tiene pendiente -2 y que pase por (1,1)
b) Sea paralela a y = 4x - 2 y que pase por (0,4)
c) Que pase por los puntos (0,6) y (2,4)
Solución:
a) y = -x + 3
b) y = 4x + 4
c) y = -x +
18 Encuentra el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
a) y = x2 + 4x + 3
b) y = 3x2 + 6x - 1
c) y = 3x2 - 12x + 5
Solución:
− b −4
a) x v =
=
= −2;
y(-2) = -1 ⇒ v = (-2,-1)
2a
2
− b −6
b) x v =
=
= −1;
y(-1) = −4 ⇒ v = (-1,-4)
2a
6
− b 12
c) x v =
=
= 2;
y(2) = −7 ⇒ v = (2,-7)
2a
6
eje : x = -2
eje : x = −1
eje : x = 2
19 Halla la ecuación de una recta que cumpla las siguientes condiciones:
a) Paralela a y = 2x + 1 y que pase por (0,4)
b) Paralela a y = 2x + 1 y que pase por (1,2)
c) Que pase por los puntos (0,0) y (2,2)
Solución:
a) y = 2x + 4
b) y = 2x
c) y = x
20 A partir de la recta y = 2x, representa por traslación vertical:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x - 3
c) y = 2x - 5
d) y = 2x + 2
6
Solución:
a)
b)
y
y
x
c)
x
d)
y
y
x
x
21 Representa las siguientes funciones:
a) y =- x2 +1
b) y = x3 - 3x2 - x
c) y = x4 - 4x2 + 2
Solución:
10
5
-4
-2
2
4
-5
-10
-15
22 Halla el dominio de las siguientes funciones racionales:
x 2 + 2x + 1
4x + 2
a) f(x) = 2
b) g(x) =
x −1
x2 + 1
Solución:
Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para
todos los números reales excepto los que anulan el denominador.
a) Dom (f) = R - {1,-1}
b) El denominador no se anula nunca, por tanto Dom (g) = R
7
23 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones
cuando x → + ∞
1
2x + 1
a) f ( x) = x + 4
b) g(x) =
c) h(x) =
x −1
x+4
Solución:
a) Cuando x → + ∞ ⇒ f(x) → + ∞
b) Cuando x → + ∞ ⇒ g(x) → 0
c) Cuando x → + ∞ ⇒ h(x) → 2
24
Para la función y =
4
construye una tabla de valores y representa la gráfica de la función.
x
Solución:
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4/x
-0,66...
-0,8
-1
1,33...
-2
-4
error
4
2
1,33...
1
0,8
0,66...
25 Representa las siguientes funciones:
3
a) y =
x
−3
b) y =
x
¿Qué diferencias observas en las gráficas de ambas funciones?
8
Solución:
Diferencias entre las gráficas:
a) y = 3/x es una función decreciente, mientras que y = -3/x es creciente.
b) En y = 3/x si x > 0
y>0
si x < 0
y<0
En y = -3/x si x > 0
y<0
si x < 0
y>0
Son simétricas respecto de los ejes OX y OY
26 Calcula las asíntotas verticales de las siguientes funciones:
2x + 4
2
a) f(x) =
b) g(x) = 2
4−x
x +x−6
Solución:
Las funciones tienden a ±∞ cuando su denominador se anula, por tanto:
a) f(x) tiende a ∞ cuando x tiende a 4, por tanto la asíntota vertical es; x = 4
b) g(x) tiende a ∞ cuando x tiende a -3 y a +2, por tanto las asíntotas verticales son; x = -3 y x = 2
27 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones
cuando x → + ∞
1
x+1
a) f(x) = 2x − 1
b) g(x) =
c) h(x) =
x −1
2x + 1
9
Solución:
a) Cuando x → + ∞ ⇒ f(x) → + ∞
b) Cuando x → + ∞ ⇒ g(x) → 0
c) Cuando x → + ∞ ⇒ h(x) → 1
28 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones:
3
a) y =
x
8
b) y =
x
22
c) y =
x
30
d) y =
x
¿Qué observas respecto de la constante del numerador?
Solución:
A medida que el numerador es mayor, las ramas de la hipérbola están más separadas de los ejes.
29 Halla el dominio de las siguientes funciones racionales:
x2 + x − 2
1
b) g(x) =
a) f(x) = 2
x +1
x +x −2
Solución:
Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para
todos los números reales excepto los que anulan el denominador.
a) Dom (f) = R - {1,-2}
b) Dom (g) = R - {-1}
10
30 Calcula las asíntotas verticales de las siguientes funciones:
2x + 1
3
a) f(x) =
b) g(x) = 2
2x + 1
x −1
Solución:
Las funciones tienden a ±∞ cuando su denominador se anula, por tanto:
a) f(x) tiende a ∞ cuando x tiende a -1/2, por tanto la asíntota vertical es; x = -1/2
b) g(x) tiende a ∞ cuando x tiende a -1 y a +1, por tanto las asíntotas verticales son; x = -1 y x = 1
31 Dadas las siguientes funciones:
2
−5
3
f(x) =
g(x) =
h(x) = + 2
x
x
x
y las siguientes gráficas:
r(x) = 3x 2
Asigna a cada función su gráfica.
Solución:
g(x) = −
32
5
x
Dada la función f(x) =
r(x) = 3 x 2
f(x) =
2
x
h(x) =
3
+2
x
3
, represéntala gráficamente, y por traslación representa las siguientes funciones:
x
3
+2
x
3
b) h(x) = − 3
x
a) g(x) =
11
Solución:
g(x) = 3/x +2
f(x)=3/x
h(x) = 3/x -3
Para representar la gráfica g(x) se traslada verticalmente la gráfica de f(x) dos unidades hacia arriba.
La gráfica de h(x) se obtiene de trasladar verticalmente la gráfica de f(x) tres unidades hacia abajo
33 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones
cuando x → + ∞ y su dominio.
4x
x −1
b) g(x) = 2
c) h(x) =
a) f(x) = x 2 + 2x − 1
x+1
x − 2x + 1
Solución:
a) Cuando x → + ∞ ⇒ f(x) → + ∞; Dom f (x) = R
b) Cuando x → + ∞ ⇒ g(x) → 0; Dom g (x) = R - {1}
c) Cuando x → + ∞ ⇒ h(x) → 1; Dom h (x) = R - {-1}
34 Calcula las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:
x 2 + 4x
2x
a) f(x) = 2
b) g(x) =
x + 2x + 1
2x 2 + 1
Solución:
Una función tiene asíntota horizontal cuando al hacer tender la variable a ±∞ la función tiende a un valor concreto:
a) Cuando x tiende a ±∞ la función tiende a 0, por tanto la asíntota horizontal es y = 0
b) Cuando x tiende a ±∞ la función tiende a 1/2, por tanto la asíntota horizontal es y = 1/2
12
35
Dada la función f(x) =
3
, represéntala gráficamente, y por traslación representa las siguientes funciones:
x
3
x+2
3
b) h(x) =
x−3
a) g(x) =
Solución:
a)
b)
a) Se ha trasladado horizontalmente la gráfica f(x) (azul) dos unidades a la izquierda.
b) Se ha trasladado horizontalmente la gráfica f(x) (azul) tres unidades a la derecha.
36
−7
, la trasladamos horizontalmente 6 unidades a la izquierda y a continuación la
x
resultante la trasladamos verticalmente 2 unidades hacia arriba. ¿Qué función obtenemos?
Dada la función f(x) =
Solución:
−7
g(x) =
+2
x+ 6
37 Halla el dominio de las siguientes funciones racionales:
2x
x2 + 1
b)
a) f(x) = 3
g(x)
=
x − x 2 − 4x + 4
(x 2 − x − 2)(x + 3)
Solución:
Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para
todos los números reales excepto los que anulan el denominador.
a) Dom (f) = R - {-2,1,2}
b) Dom (g) = R - {-3,-1,2}
38 Calcula las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:
4x + 1
4x 2 + 6x + 3
a) f(x) =
b) g(x) =
− 3x − 10
2x 2 − 1
13
Solución:
Una función tiene asíntota horizontal cuando al hacer tender la variable a ±∞ la función tiende a un valor concreto:
a) Cuando x tiende a ±∞ la función tiende a -4/3, por tanto la asíntota horizontal es y = -4/3
b) Cuando x tiende a ±∞ la función tiende a 2, por tanto la asíntota horizontal es y = 2
39 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones
cuando x → + ∞ y su dominio.
1
x +1
a) f(x) = −2x + 2
b) g(x) =
c) h(x) =
− 2x + 2
2x − 1
Solución:
a) Cuando x → + ∞ ⇒ f(x) → m ∞; Dom f (x) = R
b) Cuando x → + ∞ ⇒ g(x) → 0; Dom g (x) = R - {1}
c) Cuando x → + ∞ ⇒ h(x) → 1/2; Dom h (x) = R - {1/2}
40 Halla el dominio de las siguientes funciones racionales:
x
1
a) f(x) = 3
b) g(x) = 2
2
x + 2x − 5x − 5
x +x −2
Solución:
Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para
todos los números reales excepto los que anulan el denominador.
a) Dom (f) = R - {-3,-1,2}
b) Dom (g) = R - {-2,1}
14