Dinámica de fluidos - Unidad de Ciencias de la Atmósfera

FACULTAD DE CIENCIAS
CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 2008
BOLILLA 9
Dinámica de fluidos
Fluidos: Se denomina así al sistema de partículas que a diferencia de los sólidos, no están
unidas rígidamente y pueden moverse con una cierta libertad unas respecto de las otras.
Esto le permite ceder a cualquier fuerza tendiente a alterar su forma, con lo que fluye
adaptándose a la del recipiente.
Esta designación engloba a la materia que se encuentra en los estados líquido y gaseoso.
La diferencia entre el fluido líquido y el gaseoso radica en que las partículas que componen un
líquido se encuentran más unidas que las de un gas; por esta razón, el volumen del líquido dentro
de un recipiente, permanece constante con una superficie límite bien definida, mientras que el
del gas no posee límite y se difunde en el aire disminuyendo su densidad.
1. Fluidos ideales
La dinámica de fluidos trata del estudio de los fluidos en movimiento y constituye una de las
ramas más complicadas de la mecánica, como puede comprobarse considerando ejemplos tan
corrientes de movimiento de fluidos como un río desbordado o los remolinos del humo de un
cigarro. Aunque sigue cumpliéndose la ecuación F = ma en todo instante para cada gota de agua
y cada partícula de humo, puede imaginarse la complicación que resultaría si tuviéramos que
escribir las ecuaciones de movimiento de cada partícula. Sin embargo, el problema no es tan
insoluble como parece a primera vista.
Cuando se cumplen condiciones adecuadas, el movimiento de un fluido corresponde a un tipo
relativamente sencillo, llamado currentilineo o estacionario. La figura 1 representa una porción
de un tubo el cual un fluido se mueve de izquierda a derecha. Si el movimiento es de tipo
estacionario, cada partícula que pasa por un punto tal como el a sigue exactamente la misma
trayectoria que las partículas precedentes que pasaron por dicho punto. Estas trayectorias se
llaman líneas de flujo o líneas de corriente, y en la figura se han representado tres de ellas. Si la
sección transversal del tubo varía un punto a otro, la velocidad de cada partícula variará a lo
largo de su línea de corriente; pero, en cualquier punto fijo del tubo, la de la partícula que pase
por dicho punto es siempre la misma.
Figura 1. Régimen currentilineo o estacionario
La partícula que se encuentra ahora en a en la figura estará un momento mas tarde en b,
moviéndose en dirección distinta con velocidad diferente, y un momento todavía posterior estará
en c, habiendo cambiado de nuevo su velocidad. Sin embargo, si fijamos nuestra atención en el
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punto b del espacio, cada partícula que pase sucesivamente por b se moverá exactamente en la
misma dirección y con igual velocidad que la que se encuentra ahora en dicho punto.
A causa de su viscosidad, cualquier fluido real tendrá una velocidad mayor en el centro del tubo
que en las partes más alejadas de él. Por ahora suponemos que el fluido carece de viscosidad y
que la velocidad es la misma en todos los puntos de una sección transversal.
El movimiento de un fluido es del tipo estacionario siempre que la velocidad no sea demasiado
grande, y los obstáculos, estrechamientos o curvas del tubo no sean tales que obliguen a las
líneas de corriente cambiar su dirección demasiado bruscamente. Si no se cumplen esta
condiciones, el movimiento es de un tipo mucho más complicado, llamado turbulento.
El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción
consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:
Fluido Ideal:
1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido
2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo
3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo
4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido
respecto de cualquier punto.
2.Ecuación de la continuidad
La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de
fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo
cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra.
La figura representa un tubo por el cual circula un fluido de izquierda a derecha. Sea S1 el área de
la sección transversal en el punto (1) y v1 la velocidad. Durante el tiempo t, las partículas del
fluido que se encuentran inicialmente en (1) avanzarán una distancia v1t y atravesará la sección
S1 un volumen de fluido igual a S1v1t. El volumen de fluido que atraviesa por unidad de tiempo
es, por tanto, igual a S1 v1. Análogamente, el volumen de fluido que atravesará por unidad de
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tiempo la sección S2 es S2v2. Si el fluido es incompresible, las cantidades que fluyen por unidad
de tiempo a través de ambas secciones serán iguales, y
S1v1 = S2v2 = Sv = constante
donde S y v son el área de la sección y la velocidad en cualquier punto. Esta es la ecuación de
continuidad para el movimiento estacionario de un fluido incompresible. Una consecuencia de
esta relación es que la velocidad aumenta cuando la sección transversal disminuye, y viceversa.
3.Ecuación de Bernoulli
La ecuación fundamental de la hidrodinámica es la correspondiente al teorema de Bernoulli, que
relaciona la presión, velocidad y altura en los puntos situados a lo largo de una línea de corriente.
La figura 2 representa una porción de tubo en el cual se mueve, con movimiento estacionario, un
fluido incompresible y no viscoso. La parte del tubo representada en la figura tiene primero una
zona de sección recta A1, seguida de otra de sección recta decreciente, para terminar con una
tercera de sección recta A2 menor que A1. Fijemos la atención en la porción de fluido
representada por las dos partes rayadas oblicua y horizontalmente (en lo sucesivo llamado el
sistema), y consideremos el movimiento de este sistema desde la posición representada en (a) a
la indicada en (b).
Figura 2
En todos los puntos de la parte ancha del tubo, la presión es p1 la velocidad v1. En todos los
puntos de la parte estrecha, la presión es p2 y la velocidad v2. Cuando la parte izquierda del
sistema avanza una distancia l1 paralela a la fuerza exterior p1A1, se deduce que
Trabajo realizado por el sistema = p1A1 l1
la parte de la derecha avanza una distancia l2 mientras actúa una fuerza exterior p2A2 en sentido
opuesto. Por consiguiente,
Trabajo realizado por el sistema = p2A2 l2
Para mover el sistema de la posición (a) a la (b), ha de realizarse un trabajo por un agente
exterior (una bomba, en este caso) igual a
Trabajo neto realizado sobre el sistema = p1A1l1 -p2A2l2.
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Pero A111 y Al2 son los volúmenes de las porciones rayadas oblicuamente, los cuales son iguales
puesto que el fluido es incompresible. Si m es la masa de cada una de estas porciones y ρ la
densidad del fluido, se tiene:
A1l1 =A2l2 = m/ρ
y, finalmente,
Trabajo neto = (p1 — p2) m/ρ
Puesto que la energía cinética de la porción rayada horizontalmente experimenta ningún cambio
en el paso del sistema de (a) a (b), se deduce que el incremento total de energía cinética del
sistema se reduce incremento de la energía cinética de las partes rayadas oblicuamente, o sea:
Incremento de energía cinética = 1/2mv22 — 1/2mv12.
En la figura, donde el tubo se supone horizontal, no hay variación de energía potencial
gravitatoria. En general, la porción rayada oblicuamente en (b) tendrá una altura distinta de la
correspondiente porción rayada de igual forma en (a), y, por tanto,
Incremento de energía potencial gravitatoria = mgy2 — mgy1
siendo y2 e y1 las respectivas alturas de las porciones rayadas oblicuamente por encima de un
plano horizontal arbitrario de referencia.
En rigor, hay siempre alguna resistencia al movimiento de un fluido por un tubo. Si el tubo es
liso, de gran diámetro y pequeña longitud, y si el fluido tiene poca viscosidad y fluye lentamente,
la resistencia de rozamiento puede ser lo suficientemente pequeña para considerarla
despreciable. Supondremos por ahora que se cumplen estas condiciones. Igualando entonces el
trabajo neto realizado sobre el sistema a la suma de los incrementos de sus energías cinética y
potencial gravitatoria se obtiene:
(p1—p2) m/ρ = (1/2mv22—1/2mv12)+(mgy2—mgy1)
Dividiendo por mg y reagrupando términos, resulta:
p1/ρg + v12/2g + y1 = p2/ρg + v22/2g + y2
y puesto que los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera situados a lo largo del
tubo, podemos escribir:
p/ρg + v2/2g + y = constante
Cualquiera de las Ecs. puede considerarse como la forma especial del teorema de Bernoulli
aplicable al movimiento currentilíneo sin rozamiento.
Obsérvese atentamente que p es la presión absoluta (no manométrica) y ha de expresarse en
kilogramos por metro cuadrado, newtons por metro cuadrado, dinas por centímetro cuadrado o
libras por pie cuadrado. La densidad ρ tiene que expresarse entonces en unidades técnicas de
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masa por metro cúbico, kilogramos por metro cúbico, gramos por centímetro cúbico o slugs por
pie cúbico, respectivamente. Hecho esto, cada término del teorema de Bernoulli tiene la
dimensión de una longitud, y se denomina altura. El término p/ρg se llama altura debida a la
presión; v2/2g es la altura debida a la velocidad, e y, la altura de cota.
Figura 3. Gasto en un tubo
4. Aplicaciones del teorema de Bernoulli.
4.1 Las ecuaciones de la hidrostática son casos especiales del teorema de Bernoulli, cuando la
velocidad es nula en todos los puntos; p. ej., la variación de presión con la profundidad de un
fluido incompresible puede encontrarse aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos 1 y 2 de
la figura . Tenemos:
P2 = Pa (atmosférica);
v1=v2= 0
Si las alturas se miden desde el fondo, como es frecuente, entonces:
p1/ρg + y1 = pa/ρg + y2
o bien:
p1 = pa + ρg (y2 –y1) = pa + ρg h
4.2
Teorema de Torricelli. La figura 5 representa un líquido que sale por un orificio
practicado en un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie del líquido en el
depósito. Tómese un punto 1 en el orificio y un punto 2 en la superficie. La presión en ambos
puntos es la atmosférica, Pa, ya que los dos se encuentran en comunicación con la atmósfera.
Tomemos como plano de referencia el fondo del depósito. Si el orificio es pequeño, el nivel del
líquido en el depósito descenderá lentamente. Por consiguiente, v2 es pequeña y la supondremos
nula.
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Figuras 4 y 5
Entonces:
pa/ρg + v12/2g + y1 = pa/ρg + 0 + y2
o sea:
v12 = 2g (y2 –y1) = 2gh
es el teorema de Torricelli. Obsérvese que la velocidad de salida es la misma que la que
adquiriría un cuerpo que cayese libremente, partiendo del reposo, desde una altura h.
Si A es el área de la abertura, el volumen de fluido que sale d depósito por unidad de tiempo es:
Av =A(2gh)1/2
A causa de la convergencia de las líneas de corriente cuando aproximan al orificio, la sección
transversal de la corriente continúa disminuyendo durante un pequeño recorrido situado fuera del
depósito y, por lo tanto, en la Ecuación debe utilizarse el área de la sección mínima, llamada
sección contraída. Para una abertura circular de bordes finos, el área de la sección contraída es,
aproximadamente, el 65% del área del orificio.
4.3 Contador de Venturi.
Representado en la figura 6, consiste en un estrechamiento producido en un tubo y proyectado de
forma que mediante una disminución gradual de la sección en la entrada, y un aumento también
gradual en la salida, se evite la producción de remolinos y quede asegurado un régimen
estacionario.
El teorema de Bernoulli, aplicado a la parte ancha y al estrechamiento del tubo, da:
p1 + 1/2ρv12 = p2 + 1/2ρv22
(el término que contiene y desaparece si el tubo es horizontal).
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Puesto que v2 es mayor que v1, se deduce que p2 es menor que p1. Esto es, la presión en el estrechamiento es menor que en el resto del tubo. La diferencia de presiones puede medirse disponiendo lateralmente tubos verticales, como indica la figura. Si h es diferencia de alturas del
líquido en los tubos, se tiene:
p1 – p2 = ρgh
La disminución de presión en un estrechamiento encuentra muchas aplicaciones técnicas. El
vapor de la nafta penetra en el tubo de aspiración de un motor de explosión por la baja presión
producida en un tubo de Venturi al cual está conectado el carburador. La trompa de vacío es un
tubo de Venturi a través del cual se obliga a pasar el agua, el aire penetra en la región contraída,
que es donde el agua tiene menor presión. La bomba de inyección usada por las locomotoras de
vapor para hacer penetrar el agua desde el ténder se basa en el mismo principio.
Con frecuencia en los tubos de Venturi como el que se muestra en la figura, se emplea
como se ha señalado para medir la velocidad o el caudal en una tubería. Si se
combinan las ecuaciones de continuidad (V1A1 = V2A2) y la de Bernoulli para encontrar
la velocidad en la garganta, se tiene que:
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Ejemplos de Tubos de Venturi
4.3Tubo de Pitot.
En la figura 7 se ha representado un tubo de Pitot tal como se dispondría para medir la velocidad
de un gas en un tubo. Un tubo manométrico abierto se conecta, como indica la figura, al tubo
dentro del cual circula el gas. La presión en la rama izquierda del manómetro, cuya abertura es
paralela a la dirección del movimiento del gas, es igual a la presión de la corriente gaseosa. La
presión en la rama derecha, cuya abertura es perpendicular a la corriente, puede calcularse
aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos a y b. Sea v la velocidad de la corriente, p la
densidad del gas y Pa la presión en el punto a. Naturalmente, la velocidad en el punto b es nula.
Entonces:
Pb = Pa +1/2ρv2
Puesto que Pb es mayor que Pa , el líquido del manómetro se desplaza como indica la figura 7. Si
ρo es la densidad del líquido del manómetro y h la diferencia de alturas del líquido en sus ramas,
tenemos:
Pb = Pa+ ρo g h
Si esta ecuación se combina con la anterior, resulta:
ρo g h = 1/2ρv2
de la cual puede deducirse v en función de magnitudes medibles.
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Figura 7 Tubo de pitot
El orificio del tubo de Pitot toma la presión total y la conduce a la conexión (a) en la sonda de presión. La
presión estática pura se toma desde una parte lateral y se conduce a la conexión (b). La presión
diferencial resultante es una presión dinámica que depende de la velocidad y que es analizada e
indicada.
Anemómetro de Pitot con veleta
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Considerando la Viscosidad:
5. Regímenes laminar y turbulento.
En la deducción del teorema de Bernoulli y de la ecuación de continuidad, se ha despreciado el
efecto de la viscosidad.
Figura 8. (a) Perfil de velocidad plano. (b) Régimen laminar. (e) Régimen turbulento.
En consecuencia, las velocidades de todas las partículas de fluido situadas en una sección de un
tubo eran iguales y el fluido avanzaba en conjunto por el tubo. En la figura 8 se representan, en
un instante determinado, los vectores velocidad de cierto número de partículas de fluido que se
encuentran en una sección del tubo, cuando el fluido carece de viscosidad. La superficie
determinada por los extremos de estos vectores es un plano, y se dice que el movimiento del
fluido está caracterizado por un perfil plano de velocidad.
Cuando el fluido es viscoso y la velocidad no demasiado grande, el movimiento será laminar y
el perfil de velocidad tiene la forma representada en la figura 8(b). La velocidad es máxima sobre
el eje del tubo y disminuye hasta anularse en la pared. Hay, por tanto, una capa fina de fluido
denominada capa limite. El movimiento laminar del fluido es análogo al de varios tubos de
anteojo que deslizan uno respecto al otro, de los cuales el central es el que avanza más rápidamente, mientras que el exterior permanece en reposo.
Cuando la velocidad excede de un cierto valor crítico, la naturaleza del movimiento se hace
mucho más complicada. Se producen, al azar en el fluido corrientes locales e iregulares,
denominadas vórtices o torbellinos, que originan un gran aumento de la resistencia al
movimiento. Sin embargo, en cada punto de una sección transversal el fluido tiene una
componente de velocidad hacia adelante, y el perfil de velocidad de estas componentes tiene la
forma representada en la figura 8(c). Un régimen de esta clase se denomina turbulento.
6. Número de Reynolds.
La experiencia indica que hay una combinación de cuatro factores que determina cuándo el
régimen de un fluido viscoso a través de un tubo es laminar o turbulento. Esta combinación se
denomina número de Reynolds, Nr, y se define mediante la expresión
NR = ρvD/η
Donde ρ es la densidad del fluido; v su velocidad media; η el coeficiente de viscosidad, y D, el
diámetro del tubo. (La velocidad real no es misma en toda la sección del tubo, y la velocidad
media se define como la velocidad uniforme que resultaría para la misma salida de líquido por
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unidad de tiempo)
El número de Reynolds es un número abstracto, y, por tanto, su valor numérico es el mismo en
cualquier sistema coherente de unidades: p. ej., para el agua a 20°C circulando por un tubo de 1
cm de diámetro, con una velocidad de 10 cm/seg, el número de Reynolds es igual a 1000. Todos
los experimentos demuestran que cuando el número de Reynolds se encuentra entre 0 y 2000 el
régimen de un fluido viscoso es laminar, mientras que por encima de 3000 el régimen es
turbulento. Entre los 2000 y 3000 hay una zona de transición en el cual el régimen es inestable y
puede pasar de un tipo a otro.
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