Modelo Simplificado de Sharpe

GESTIÓN DE CARTERAS Y PATRIMONIOS
TEMA 3. MODELO
SIMPLIFICADO DE SHARPE
Dr. Borja Amor Tapia
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Área de Economía Financiera
1
William F. Sharpe
 Premio Nobel de
Economía en 1990 junto
a Merton Miller y Harry
Markowitz por sus
aportaciones a la teoría
de la economía
financiera
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1. El Modelo de Mercado:
Análisis de los Activos
1.1. Rentabilidad y Riesgo
1.2. Covarianza entre Rentabilidades
1.3. Clasificación de los Activos según su Beta
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 Para aplicar el modelo de Markowitz es necesario disponer de
un número elevado de estimaciones.
 Con el objeto de simplificar el modelo, Sharpe publica en 1963
un nuevo modelo, denominado indistintamente “Modelo de
Mercado”, “Modelo de Índice único” o “Modelo de Sharpe”.
 Este modelo no solo simplifica el del Markowitz, sino que se
introduce una importante descomposición del riesgo total de
cualquier activo y de cualquier cartera, así como una
clasificación de los títulos y carteras en función del impacto que
tenga sobre su rendimiento esperado una modificación en un
determinado índice bursátil que se tome como referencia.
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1.1. Rentabilidad y Riesgo
ri  ai   i rM  ui
i  1,2,..., n
• En general, para cualquier momento t del tiempo:
rit  ai   i rMt  uit
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i  1,2,..., n; t  1,2,...,T
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 En el modelo se introducen un conjunto de hipótesis, propias
del modelo de regresión lineal simple, y relacionadas con las
perturbaciones aleatorias. Así, para cada título i y en cualquier
período de tiempo t, tenemos:
• 1. Su esperanza matemática es nula, ya que se supone que en el error
aleatorio se incluyen múltiples factores individualmente irrelevantes y
estadísticamente independientes, que actúan de forma aditiva y
compensándose unos con otros:
E (ui )  0
• 2.Las perturbaciones aleatorias no dependen de la rentabilidad del
mercado, por lo que ambas variables se distribuyen de forma
estadísticamente independiente, siendo, pues, su covarianza nula:
cov(ui ,rM )   ui M  E ui (rM  EM )  0
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• 3. Las perturbaciones aleatorias de dos activos cualesquiera no influyen
entre sí, por lo que no están correlacionadas. Por tanto su covarianza es
nula:
cov(ui ,u j )   uiu j  E(ui ,u j )  0
Esta hipótesis implica que la única razón para que las rentabilidades de los
títulos varíen conjuntamente es un movimiento conjunto con el mercado.
• 4. La perturbación aleatoria de un período temporal no influye ni está
influenciada por la de otro período, por lo que son independientes:
cov(uit ,uit ' )   uituit '  E(uit ,uit ' )  0
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t  t '
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• 5. La perturbación aleatoria sigue una distribución independiente de t
con varianza constante:
E (uit )2   u2i i  1,2,..., n; t  1,2,...,T
• 6. La perturbación aleatoria sigue una distribución normal:

ui  N 0, u2i
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
i  1,2,..., n
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 Interpretación del riesgo de activo mediante su
descomposición en dos sumandos:
• riesgo de mercado, y
• riesgo específico
 i2  i2 M2   ui2
 i2   si2   ui2
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1.2. Covarianza entre Rentabilidades
 La matriz de varianzas-covarianzas del modelo de mercado es:


SM   ij ; ij   i  j  M2 , i  j  
  12

2



 2 1 M
   3 1  M2

 ...
  2
 n 1 M
1  2  M2
 22
 3  2  M2
1  3  M2 ... 1  n  M2 

 2  3  M2 ...  2  n  M2 
 32
...  3  n  M2 
...
...
 2  2  M2
 n  3  M2
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...
...
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...
 n2




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2. El Modelo de Mercado:
Análisis de las Carteras
2.1. Rentabilidad y Riesgo
2.2. Determinación de las Carteras
Eficientes y selección de la Cartera Óptima
2.3. Las Carteras Mixtas en el Modelo de
Mercado
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2.1. Rentabilidad y Riesgo
 La rentabilidad esperada de una cartera verifica:
n
E  rp    xi E  ri 
i 1
• En notación matricial: Ep  X 'E
 p2  X 'SM X


SM   ij ; ij  i  j  M2 , i  j 
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 El riesgo total de una cartera, medido por la varianza, se
puede descomponer en dos sumandos:
• Riesgo sistemático o de mercado
• Riesgo propio o específico
2
 p2   sp2   up
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 x1 
x 
 2
Xu   ... 
 
 xn 
 
 p
  u21 0

2
0

u2

Su   ... ...

0
 0
 0
0

...
...
0
0
... ...
2
...  un
... 0
0 

0 
... 

0 
 M2 
 Por tanto, recordando la multiplicación de matrices, tenemos:
  Xu Su Xu
2
p
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2.2. Determinación de las Carteras Eficientes y
selección de la Cartera Óptima
 En el modelo de mercado, de acuerdo con las expresiones
correspondientes al mismo, relativas a la rentabilidad y al
riesgo de una cartera, son aplicables los conceptos ya
estudiados previamente sobre carteras eficientes y selección
de la cartera óptima.
 Se denomina grado de diversificación de una cartera al
porcentaje que representa su riesgo sistemático sobre el
riesgo de la misma:
 sp2  p2 M2
dp  2 
p
 p2
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2.3. Las Carteras Mixtas en el
Modelo de Mercado
a f  rf
 2f  0
 uf2  0
f  0
• La cartera óptima arriesgada T para combinar con el activo
libre de riesgo, es la de máxima prima relativa al riesgo.
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 En las carteras mixtas se verifica:
rp  yrT  (1  y)rf
• La rentabilidad de la cartera arriesgada T verifica:
rT  aT  T rM  uT
n
aT   xi ai
i 1
n
T   xi  i
i 1
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n
uT   xi ui
i 1
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 Al sustituir tenemos
rp  yaT  yT rM  yuT  (1  y)rf
• Por tanto
rp  ap   p rM  up  (1  y)rf
ap  yaT
 p  y T
up  yuT
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 Por tanto, la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera
mixta p, verifican:
Ep  ap   p rM  (1  y)rf
 p2   p2 M2   yT   M2  y 2 T2 M2  y 2 sT2
2
 up2  y 2 uT2
• En consecuencia:
2
 p2  y 2 sp2  y 2 up
 y 2 T2
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