Si A = A-1

1
MATRICES : Ejercitación-Operaciones-
PROF.CARLOS SANLLORENTI
 MATRIZ CUADRADA:
Tiene el mismo número de filas que de columnas. Es decir : m = n.
Ejemplo :
-2
7
4
6
2
0
4
6
1
Orden : m.n = 3x3
 DIAGONAL PRINCIPAL DE UNA MATRIZ :
1
2
3
6
9
0
7
8
7
*La diagonal principal consiste en : a11 = 1
a22 = 9
a33 = 7
 MATRIZ TRIANGULAR(superior o inferior) :
Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior o inferior, si todos los
elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.
Por ejemplo:
2
5
-3
7
0
1
2
0
0
4
y
7
0 0
0
-3
2 0
0
6
5
-4 0
1
6
0 1
Diagonal principal
Las matrices anteriores son: triangulares superior e inferior, respectivamente.
 RESUELVE :
a)
3x
j
6
2
0
4
=
z
b)
-3w
2
4
A=
-6
-8
B=
6
OPERAR :
I. A + B
II. A – B
III. –3A + 2B
4
3
9
2
-2
3
IV. AXB
V. BXA
VI. BXB
VII. B2
VIII.A2
IX. A - 4B
2
NOTA:Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de A
debe ser igual al número de filas de B.
EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO!!!
X. Verifica que A.(B + C) = A.B + A.C, si :
1
0
-2
0
A=
B=
2
3
-2
1
0
2
C=
1
3
Entonces, ¿se cumple la propiedad anterior?
¡DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA!
XI.SI :
3
-2
X
A=
B=
7
Y
1
Y
HALLAR LOS VALORES DE “X” E “Y”.
XII.RESOLVER:
X1
3.
4
-
X2
2
= 5.
-3
8
-4
C=
5
4
XIII.MULTIPLICAR:
B=
-2
1
0
1
3
2
-1
3
1
Y
-1
5
6
3
A=
*EFECTUAR BxA.¿PUEDES MULTIPLICAR AxB?
2
 SEAN A = 4
1
1
3
0
4
,
2
B=
Y
1
3
2
0
1
3
C=
CALCULAR :
a) AxB y b) BxC
; c) AxC =?
XIV.INDICA SI LAS SIGUIENTES MATRICES SE PUEDEN MULTIPLICAR: (plantear todos los productos posibles).
A: ES UNA MATRIZ DE 3x4
B: ES UNA MATRIZ DE 4x7
C: ES UNA MATRIZ DE 7x3
OBSERVACIÓN : UN MODO DE SABERLO (si el producto está definido),
ES ESCRIBIR EL ORDEN O TAMAÑO DEL PRIMER FACTOR A LA
IZQUIERDA Y EL ORDEN DEL SEGUNDO FACTOR A LA DERECHA.
SI LOS NÚMEROS INTERIORES SON IGUALES EL PRODUCTO ESTÁ
DEFINIDO.(se puede efectuar).
LOS NÚMEROS EXTERIORES DAN EL ORDEN O TAMAÑO DEL PRODUCTO.
VEAMOS:
5
A
B
m.r
interiores
= AxB
(m.n)
r.n
exteriores
XV.MULTIPLICA:
a)
1
3
0
2
4
1
10
9
4
3
1
0
2
3
Y
b)
8
20
2
5
13
1
Y
c)
3
2
4
10
0
0
1
2
d)SI :
-1
Y
2
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
6
2
1
-6
A=
,
3
-2
-5
B=
-3
Y
2
-3
-1
C=
.EFECTUAR:
-3
3
a)1/2.A – 2.(B + 2.C) =
b)2.B – 3.A + 2.C =
c)2.A – 1/2.(B + C) =
d)3.C – 2.B =
XV. DADA LA MATRIZ:
4 5 0
0 -2 3
HALLAR SU TRANSPUESTA: At
XVI. HALLAR LAS INVERSAS DE :
2
3
4
1
6
-2
7
9
Y
3
5
2
3
A-1 = MATRIZ INVERSA
-2
1
-1
XVII. SI A =
3/2 -1/2
HALLAR A y At.
Ver ejercicios resueltos en clase.
7
XVIII. HALLAR LAS MATRICES TRANSPUESTAS DE :
0
-1
1
3
5
,
1
1
2
2
4
6
0
y
1
XIX.RESUELVE:
4 1
a)
x
3 0
-2
-3
3
9
12
=
a
0
6
9
*HALLAR “a”.
RESPUESTA : a = 1
b)
3
-1
0
0
1
2
-1
a
3 x -1
0
0
1
b
2
-1
0
c
3
= -2
-2
1
7
4
-2
-2
0
*HALLAR “a”, “b” y “c”.
XX.CALCULA LA MATRIZ INVERSA DE:
1
-2
-2
-4
A=
*Siempre hay que tener en cuenta que: AxA-1 = I (matriz identidad)
8
XXI.RESUELVE POR CUALQUIER MÉTODO:
X+Y+Z=6
a)
Y–Z=1
Z=1
b)
X+Y+Z=0
4X + 6Y + 8Z = 2
7X – 4Y – Z = -11
 COMPRUEBA QUE LA INVERSA DE :
1
1
1
-1
Y DE
1
Y
0
1
0
1
SON RESPECTIVAMENTE:
-1
A-1 =
1
½
1/2
½
-1/2
B-1 =
1
 CALCULA LA INVERSA Y LA TRANSPUESTA DE:
4
-6
-7
2
9
XXII.RESUELVE LA SIGUIENTE ECUACIÓN MATRICIAL:
1
3
2
1
-5
-2
-4
-2
-3
X
Y
Z
x
=
10
-4
3
XXIII.CALCULA LA INVERSA DE:
2
-1
-5
3
 CALCULA LA TRANSPUESTA DE LA INVERSA OBTENIDA.
XXIV.HALLA EL VALOR DE “X” EN LOS SIGUIENTES DETERMINANTES:
1
-2

= 0
3
X


2
5
=3
1
X
X2
2
=0
8
1
10
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA PARA RESOLVER SISTEMAS
DE ECUACIONES :
 Sea el sistema de ecuaciones representado por :
x1 + 2x2 = 0
4x1 + 9x2 = 1
Es:
1
4
2
9
x
x1
x2
0
=
1
1
2
9
-2
-4
1
A-1 =
Si A =
4
9
De este modo:
9
-2
0
=
x
-4
1
-2
1
1
Por lo tanto, x1 = -2 y x2 = 1
 Ejercicio:
Resolver el sistema dado, hallando la inversa de la matriz de
los coeficientes:
11
x1
- 2x3 = 1
4x1 - 2x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 - 10x3 = -1
Es:
A=
X1
X2
X3
=
1
0
-2
4
-2
1
1
2
-10
-9
-41/2
-5
En consecuencia:
2
4
1
2
9/2
1
-9
y
A-1 = -41/2
-5
x
1
2
-1
2
2
4
9/2
1
1
-7
-17
-4
=
x1 = -7, x2 = -17 y x3 = -4
 Ejercicio:
Resolver por el método de la matriz inversa:
3x – y = 7
x +y =1
Respuestas: x = 2 e
y = -1
 Ejercicio: Proceder igualmente con :
3x + 4y = 2
Respuestas: x = 0
x - 8y = -4
e
y = 1/2
12
DETERMINANTES :
Tratar los determinantes es otro objetivo de esta materia.
Un determinante de segundo orden por ejemplo, se calcula así:
+
–
a
b
D=
= a.d - b.c
c
d
 Sea resolver el siguiente determinante:
+
–
+
0
1
1
2
3
2
0
-1
-3
= 4
¿Por qué?
 MÉTODO DE KRAMER PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES:
Sea resolver por la regla de Kramer el sistema:
3x – y = 2
2x + y + z = 0
3y + 2z = –1
Pasos:
1)Hallamos el determinante del sistema:
13
3
-1
0
= 2
1
1
0
3
2
= 1=0
determinado
2
-1
0
0
1
1
-1
3
2
2)
X =
3
2
0
2
0
1
0
–1
2
= –1
3)
Y =
4)
Z =
El sistema es compatible
= –5
3
–1
2
2
1
0
0
3
–1
*Entonces: X = –1 ; Y = –5 y Z = 7
= 7
14
PRIMER PARCIAL DE MATEMÁTICA I:
1)Determina los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales son válidas:
x+1
4
u
2
y –1
–1
3
5
z+2
=
2x – 1
v+1
–4
t+1
3
–3
5
w – 1 2z – 1
2)Multiplicar:
a)
1
2
3
4
5
6
2
1
4
x
–2
1
2
3
2
1
1
3
2
¿Qué valor obtienes si multiplicas al revés?
7
14
10
Respuesta a:
13
32
25
Respuesta b:
3
16
13
6
3
8
13
17
25
17
19
29
3)Determinar la matriz inversa de:
15
1
3
2
5
Respuesta:
–5
3
2
–1
4)Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, determinando la inversa de la
matriz de coeficientes:
2x – 3y = 1
3x + 4y = 10
5)Calcula x, y y z por Kramer:
3x – y + 2z = –1
2x + y – z = 5
x + 2y + z = 4
Respuesta: x = 1 ; y = 2 ; z = –1
Prof. Carlos Sanllorenti
16
MÉTODO DE GAUSS–JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES(Rango de una matriz–Regla del Rectángulo):
 ¿Cómo se determina el rango de una matriz?
Sea una matriz A  0. Se elige cualquier elemento distinto de cero, al cual se lo
llama pivote. Para “fijar” ideas, supongamos que el pivote es a11 = a, y sea la
matriz:
a
b
c......
d
e
f.......
......................................
Dividiendo la primera fila por a0, o sea multiplicándola por el recíproco del
pivote, se obtiene:
1
b
a
c .........
a
d
e
f ..........
............................................
En la etapa siguiente, se reducen a cero(0) los restantes elementos que figuran
en la columna del pivote. Entonces, a la segunda fila se le suma la primera
multiplicada por – d . De este modo, d se transforma en cero(0), “e” se transforma
a
En:
e –( d.b)/a, y “f” se transforma en
17
f – d.c/a. Se obtiene:
1
0
b
e – (d.b)/a
c ...................
f – (d.c)/a.......
................................................................
Si a31 = g, en la misma etapa, al sumarle a la tercera fila la primera multiplicada
por – g/a, se transforma en cero(0). Y si a32 = h, entonces “h” se transforma en
h – (g.b)/a.
Observamos en la matriz dada que todo elemento que no figure en la fila, ni en
la columna del pivote, forma con éste una diagonal de un “rectángulo imaginario”. Los otros dos vértices determinan lo que se llama “contradiagonal”. Por
ejemplo, asociado al elemento “e” se tiene:
a
b
c......................
d
e
f.......................
............................................................
Como el tranformado de “e” es e – (d.b)/a, operamos así: el transformado de
cada elemento que no figure en la fila y columna del pivote es igual a la diferencia entre dicho elemento y el producto contradiagonal dividido por el pivote. En las etapas siguientes se reitera el procedimiento eligiendo el “pivote” que
no figure ni en las filas ni en las columnas de los pivotes anteriores.
El procedimiento finaliza cuando no es posible obtener ningún “pivote” (distinto de cero) en las condiciones ya señaladas.
EJERCICIO: Mediante el método de Gauss–Jordan, obtener el rango de:
18
1
2
1
–1
1
1
0
2
0
1
2
–1
2
2
–1
2
A=
El “pivote” puede ser cualquier elemento no nulo (0). Si algún elemento es la
unidad, se lo elegirá como “pivote” para evitar cálculos.
Procedemos de acuerdo con el siguiente esquema:
1
1
0
2
2
1
1
2
1
2
0 –1
0
1
0 –2
1
0
2
–1
1
–1
2
3
–1
2
–1
2
–1
3
–1
4
El transformado de a23 = 0 es:
0 – 1.1 = 1
1
El transformado de a43 = –3 es:
––3 –- (–2).2 = 1
1
**Continuamos el cálculo en la hoja siguiente:
19
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
–3 1
1 2
2 –1
1 2
0
1
0
0
7
2
–5
0
El transformado de a44 = 2 es:
2 –– 1.2 = 0
1
El procedimiento ha terminado, ya que no es posible elegir otro “pivote”
nuevo.
El rango de la matriz A es 3.
RESUMEN DE LA MECÁNICA:
1)Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por la fila correspondiente.
2)Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en ceros.
3)El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna
del pivote, se determina siguiendo la “regla del rectángulo”, es decir, es igual a
su diferencia con el producto contradiagonal dividido por el pivote.
4)Se reitera el mecanismo eligiendo como pivote un elemento no nulo que no
pertenezca ni a las filas ni a las columnas de los pivotes anteriores.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR EL MÉTODO DE GAUSS–
JORDAN:
El método de Gauss–Jordan no sólo permite discutir si el sistema es compatible
o no, sino también la resolución efectiva de él en el caso de compatibilidad.
20
Se basa esencialmente en la determinación del rango, para lo cual se escribe a
la derecha de la matriz la columna formada por los términos independientes.
Resolver por Gauss–Jordan :
X + Y +Z = 2
2X – Y – Z = 1
X +2Y– Z = –3
1
2
1
1
–1
2
1
–1
–1
2
1
–3
r(A) = r(A’) = 3
La solución del sistema es:
1
0
0
1
–3
1
1
–3
–2
2
–3
5
1
0
0
0
0
1
3
–9
–2
7
–18
–5
1
0
0
0
0
1
0
1
0
–1
–1
2
X = –1
Y = –1
Z= 2
Nota: Compruébense los resultados por la regla de Kramer.
21
UNA “MIRADA” MÁS AL MÉTODO DE GAUSS–JORDAN:
Sea resolver un sistema de ecuaciones lineales como el siguiente:
3x1 + x2 + x3 = – 1
x1 – 3x2 + x3 = – 9
x1 – x2 + 4x3 = 3
 Construimos la matriz ampliada:
3
1
1
1
–3
–1
1
1
4
–1
–9
3
Etapa 1: Consiste en anular los elementos de la columna 1, excepto el a11 que
debe ser 1(pivote). Hacemos a11 = 1, de la siguiente forma:
f1 = f1/3. Observamos que nos queda la matriz:
1
1
1
1/3
–3
–1
1/3
1
4
– 1/3
–9
3
Hacemos a21 = a31 = 0, utilizando las expresiones: f2 = f2 – f1 y f3 = f3 – f1.
Ahora la nueva matriz es:
1
0
0
1/3
– 10/3
– 4/3
1/3
2/3
11/3
– 1/3
– 26/3
10/3
22
Etapa 2: Consiste en anular los elementos de la columna 2, excepto el a 22 que
debe ser 1. Hacemos a22 = 1, nuevamente con: f2 = f2/(– 10/3).
1
0
0
Hacemos a12 = a32 = 0, con f1 = f1 – 1/3 . f2
1
0
0
–1/3
13/5
10/3
1/3
1/3
1 – 1/5
– 4/3 11/3
0
1
0
y
6/15
– 1/5
51/15
f3 = f3 + 4/3 . f2
– 18/15
13/5
102/15
Etapa 3: Consiste en anular los elementos de la columna 3, excepto el a 33 que
debe ser 1. Para ello utilizamos: f3 = f3/(51/15).
1
0
0
0
1
0
6/15
– 1/5
1
Hacemos a13 = a23 = 0, con f1 = f1 – 6/15 . f3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
– 18/15
13/5
2
y
f2 = f2 + 1/5 . f3.
–2
3
2
Después de estas transformaciones se llega al sistema equivalente:
1x1 + 0x2 + 0x3 = – 2
0x1 + 1x2 + 0x3 = 3
0x1 + 0x2 + 1x3 = 2
Por lo tanto las soluciones del sistema son: x 1 = – 2, x2 = 3 y x3 = 2, que es
precisamente la última columna de la matriz final.
Ejercicio: Resolver por Gauss–Jordan los sistemas hechos por Kramer.
23
ALGO MÁS: MÉTODO DE REDUCCIÓN POR RENGLONES
Sea resolver el sistema de ecuaciones siguiente:
3x – 2y = 4
x + 3y = 5
Intercambiando la primera y segunda
ecuaciones:
x + 3y = 5
3x – 2y = 4
Sumando – 3 veces la primera
ecuación a la segunda:
x + 3y =
5
0x – 11y = – 11
Dividimos ambos lados de la
ecuación por – 11:
x + 3y = 5
0x + y = 1
Matriz Aumentada:
3
–2
4
1
3
5
Intercambiando el primero y
segundo renglones:
1
3
3
–2
5
4
Sumando – 3 veces el primer
renglón al segundo:
1
0
3
5
– 11 – 11
Dividimos el segundo renglón
por – 11:
1
0
3
1
5
1
Restamos tres veces la
segunda ecuación de la
primera:
Restamos tres veces el segundo
renglón del primero:
x + 0y = 2
0x + y = 1
1
0
0
1
2
1
24
La solución es por lo tanto x = 2 e y = 1. Se observa que los valores de “x”
e “y” están dados por los elementos de la última columna de la matriz aumentada final.
 OBSERVACIONES: La última matriz aumentada contiene la matriz
identidad. La forma final de la matriz I/C que da las soluciones a un sistema, se llama matriz reducida. Este método de resolución de sistemas
lineales se denomina método de reducción de renglones.
Ejercicio: Utilizar el método de reducción de renglones para resolver los siguientes sistemas:
2x – 5y = 8
3x + 2y = 1
1.
y
2x – y = 3
2.
3y + 7x = – 13
Nota: Resuelve por Kramer los sistemas anteriores.
Ejercicio: Resuelve por cualquier método: (comprueba los resultados por el
método de reducción de renglones).
3x + 5y = 1
a)
2x – 4y = – 3
2x – 5y = 11
b)
3x + 4y = 5
25
Ejercitación General:
1)Efectúa los productos con las siguientes matrices:
-1 2 3
3 1 4
0 -1 0
A=
;B=
2 0 0
-1 3 1
1 -4 1
a) (AxB)xB y b) Ax(BxA)
2) Calcula las inversas de las matrices anteriores A y B.
3)Si:
1
2
0
1
A=
Llamamos AxA = A2.
a)Calcula A2
b)Calcula A3
c)Calcula A-1
d)Resuelve la siguiente operación: calcula a, b, c y d.
A-1 x
a
c
b
d
=
-3
1
4
5
4)Resuelve:
1
2
comprueba que ( A – I )2 = 0; siendo I la matriz identi-
Si A =
dad.
0
5)Siendo:
1
26
3
0
A=
y
6
1
–3
B=
–1
5
0
Hallar una matriz X que cumpla: 3X – 2A = 5B
6)Siendo las matrices:
A=
2 1 0
0 3 3
2 1 1
y
I=
1
0
0
0 0
1 0
0 1
Comprueba que: 6.A2 – A2 – 8.A + 6.I = 0 es la matriz nula 3x3.
7)Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de la matriz
inversa u otro:
a)
2 –3 4
1 –1 2 x
b) 1 1
3 –5
2 –2
–4
–2
–3
x
y
z
7
=
x
x
y
z
0
=
10
–4
3
Prof. Carlos Sanllorenti
27
Método de Gauss:
Sea resolver el sistema de ecuaciones:
2x – y – 2z = – 8
x – 2y + z = 1
3x + 4y – z = 7
Construimos la matriz ampliada:
1
–2
1
1
2
–1
–2
–8
3
4
–1
7
Primer Paso:
Conseguiremos ceros en los números subrayados para lo cual: a la segunda fila
le restamos el doble de la primera; a la tercera le restamos el triplo de la primera:
1
–2
1
1
0
3
–4
– 10
0
10
–4
4
Segundo Paso:
Dividimos la segunda fila por 3:
1
–2
0
1
-4/3
0
10
–4
1
1
– 10/3
4
28
Tercer Paso:
A la tercera fila le restamos la segunda fila multiplicada por 10.
1
–2
1
1
0
1
– 4/3
– 10/3
0
0
28/3
112/3
1
–2
1
por 3
0
3
–4
por 3
0
0
28
1
– 10
112
Sistema equivalente:
X – 2y + z = 1 (1)
3y – 4z = – 10 (2)
28z = 112
z=4
Ya obtuvimos z; sustituimos en la segunda ecuación:
3y – 16 = – 10
y=2
Sustituimos en la primera ecuación:
X–4+4=1
x=1
La solución del sistema es la terna ordenada: 1, 2, 4.
O bien S = 1; 2; 4
Ejercitación: Resolver los sistemas propuestos para Kramer por el método de
Gauss.
29