Aplicación de las derivadas

Matemáticas II.
Relación Aplicación de las derivadas.
I.E.S. Guadalquivir.
Lora del Río.
1. Dada la función f x  x 3  3x 2  9x  5 averigua dónde crece y dónde decrece.
Establece los máximos y mínimos relativos.
2. Dada la siguiente función f x  3x 4  4x 3 averigua sus puntos singulares.
3. Estudia la curvatura de las funciones
a) f x  3x 4  8x 3  5
b) f x  x 3  6 x 2  9 x
4. Estudia los intervalos de crecimiento y di cuáles son sus máximos y mínimos relativos:

a) f x  x 3  3x 2  9x  1

b) f x  e x x 2  3x  1

5. Halla los puntos de inflexión de f x   ln x
2

 1 y estudia su curvatura.
6. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
a) f x  x 4  2x 3
b) f x  x 4  2x 2
c) f x  
d ) f x  e x x  1
1
2
x 1
7. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento di si tienen máximos o
mínimos:
a) f x  
x2
x2 1
b) f  x  
x2 1
x
c) f  x  
x3
x2 1
d ) f x  
8. Halla la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de:
a) f x  x  2
b) f  x  
4
d ) f x   lnx  1
c) f x  xe x
2 x
x 1
x2 1
x2 1
9. Dada la función f x  1  2  x comprueba que f 2  0, f 2  0, f 2  0.
5
¿Tiene f máximo, mínimo o punto de inflexión en x =2?
10. Estudia si las siguientes funciones tienen máximo, mínimo o punto de inflexión en x= 1.
a) f x  1  x  1
3
b) f x  2  x  1
4
c) f x  3  2x  1
5
d ) f x  3  x  1
6
11. Razona por qué la gráfica de la función f x   3x  senx no puede tener extremos
relativos.
12. Halla los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:
a) f x   senx  cos x si x  0,2 
b) f x  x ln x
c) f x  
x
ex
13. Halla los coeficientes a, b,c y d de la función: f x  ax3  bx2  cx  d sabiendo que la
ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión ( 1, 0) es y=-3x+3 y que la
función tiene un extremo relativo en x=0.
14. Dada la función f x  ax4  3bx3  3x 2  ax calcula los valores a y b sabiendo que la
función tiene dos puntos de inflexión en x=1 y x =1/2.
15. Sea el polinomio f x  ax3  bx2  cx  d que cumple f(1)=0 y f´(0)=2 y tiene dos
extremos relativos en x=1 y x = 2. Halla a, b,c,d y averigua si los extremos relativos son
máximos o mínimos relativos.
16. La curva f x  x 3  ax2  bx  c corta al eje de abscisas en x=-1 y tiene un punto de
inflexión en ( 2, 1). Calcula a, b y c .
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Relación Aplicación de las derivadas.
I.E.S. Guadalquivir.
Lora del Río.
17. De la función f x   ax3  bx sabemos que pasa por ( 1, 1) y en ese punto tiene
tangente paralela a la recta y +3x =0. Halla a y b. Determina sus extremos relativos y
sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
18. Sea f x  x 3  ax2  bx  5 . Halla a y b para que la curva y=f(x) tenga en x = 1 un
punto de inflexión con tangente horizontal.
19. El propietario de un inmueble tiene alquilados cuarenta pisos a 300 euros cada uno. Por
cada 10 euros de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino que se traslada a
otro piso más económico.¿Cuál es el alquiler que más beneficios produce al
propietario?
20. Descompón el número 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto del
primer sumando por el cuadrado del segundo sea el máximo.
21. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.
22. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones
de aquel cuya área es máxima.
23. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?
24. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a
6.28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata.
25. En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre
rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus
extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea
máxima.
26. Un nadador, A, se encuentra a 3 Km de la playa en frente de una caseta. Desea ir a B
en la misma playa a 6 Km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y que camina por
la arena a 5Km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor
tiempo posible.
27. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8dm3 .
Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima.
28. En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un
rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y y dos de
sus vértices sobre los lados iguales.
a) Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y di cuál
es el dominio de la función.
b) Halla el valor máximo de esa función.
29. De todas las rectas que pasan por el punto (1,2)encuentra la que determina con los
ejes de coordenadas y en el primer cuadrante, un triángulo de área máxima.
30. Calcula aplicando la Regla de L´Hôpital:
senx1  cos x 
x 0
x cos x
x
e  e x
b) lim
x 0
senx
a ) lim
ex  x 1
x 0
x2
x3  2x 2  x
d ) lim 3
x 1 x  x 2  x  1
c) lim
31. Calcula los siguientes límites:
a) limcos x  senx x
1
x0
32. Calcula:
1


b) lim 1  2 x  x
x  


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 1
1
a) lim
 
x 0 ln1  x 
x

x  senx
b) lim
x 0 senx2
c) lim ln x 
1
ex
x  
1
x4  x3
3
d ) lim
x 0 x  tgx
e x  e  x  kx
. Calcula el límite para ese
x 0
x  senx
33. Determina k para que exista y sea finito lim
valor de K.
34. Calcula:
a) limcos x  senx x
d ) lim 1  x  x
g ) lim1  sen2 x 
b) lim tgx
1 x 
e) lim x ln

x  
 x 
1 
 e
h) lim x


x 0 e  e
x 1

1
 1
j ) lim
 
x 0 senx
x

1
x 0
cos x
x

2

c) lim e  x
x 0
x

1
3 x
1
x  
1
f ) lim 
x 0 x
 
tgx
cot g 3 x
x
35. Comprobar que la función f x   x 3  4 x  3 cumple la hipótesis del teorema de Rolle
en el intervalo 0,2 ¿En qué punto cumple la tesis?
36. f x   x 2  5x  3 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 1, b .
Calcula b.
37. a) Explica que f x   senx cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el
intervalo 0,   .
b) ¿En qué punto se verifica la tesis del teorema?
38. Comprobar que f x   x cumple las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el
intervalo 0,9 ¿Dónde cumple la tesis?
39. aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función f x  x 2  3x  2 en el
intervalo  2,1 . Calcula el valor correspondiente de c.
40. Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que x 3  3x  b  0 no puede tener más de
una raíz en el intervalo  1,1 para cualquiera que sea el valor de b.( empieza
suponiendo que hay dos raíces en ese intervalo).
41. Si f´(a)=0 ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a. f tiene un máximo o mínimo en x=a.
b. f tiene un punto de inflexión en x=a.
c. f tiene en x=a tangente paralela al eje OX.
42. De una función sabemos que f´(a)=0 f´´(a)=0 y f´´´(a)=5. ¿Podemos asegurar que f
tiene un máximo, mínimo o punto de inflexión en x =a?