I. Ecuaciones de primer grado 1. Simbolización

Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
1
I. Ecuaciones de primer grado
1. Simbolización
Los problemas se resuelven estableciendo
valores desconocidos que queremos hallar.
relaciones
entre
los
datos
y
los
Hallar tres números consecutivos cuya suma es 180.
Al número menor lo designamos con la letra x.
Por tanto, x + 1 será el mediano y x + 2 el mayor.
Podremos escribir la siguiente relación: x + (x + 1) + (x + 2) = 180.
Una igualdad de este tipo se llama ecuación.
1 Escribe las relaciones entre los datos y los valores desconocidos en estos
problemas:
a) La séptima parte de un número sumada a sus dos terceras partes da 51.
b) Tres niños deciden hacer un regalo por valor de 1 275 pesetas. Se sabe que
el mayor paga la cuarta parte de lo que paga el mediano y que éste paga 60
pesetas menos que el menor
c) Descompón el número 16 en dos partes cuyo producto sea 60.
d) La edad de un padre es triple que la de su hijo y hace 6 años era sólo el
doble.
e) Suma un mismo número al numerador y denominador de 2/3 para que resulte
5/6.
f) Si quitas 60 unidades al cuadrado de un número resulta lo mismo que si le
quitas 4 unidades a dicho número.
g) Se reparten 1 400 pesetas entre tres niños. El mayor recibe 200 pesetas
más que el mediano y éste 150 más que el menor.
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2
2. Soluciones de una ecuación
Una ecuación es una igualdad entre letras y números relacionados por operaciones
aritméticas.
x + 3x - 2 = 6, 3x - y = 5 son ecuaciones con una y dos incógnitas,
respectivamente.
Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas (si los
hay) que hacen cierta la igualdad.
x = 2 es solución de x + 3x - 2 = 6, pues 2 + 3 . 2 - 6 = 6
x = 0, y = 5 es solución de 3x - y = 5, pues 3 . 0 - 5 = 5
2 Completa la tabla para hallar qué valores de x son soluciones de las
ecuaciones:
2x2 = 8
3(x - 2) + 1 = 4
x 1
 1
2 2
x = 2
2 · 22 = 8
x = -2
2 ·(-2)2 = 8
x = 3
2 · 9  8
Soluciones
x = 2, x = -2
x  x 2 4
3x + 6 = 3x
x - (x - 3) = 3
3 Completa la tabla para encontrar qué pares de valores son soluciones de las
ecuaciones:
x = 3
y = 2
x = 4
y = -3
Soluciones
3x – 2y = 5
x y
 1
2 3
4 Escribe dos ecuaciones con una incógnita x que tengan por solución x = 5.
5 Escribe 2 ecuaciones con 2 incógnitas que tengan por solución x = 2, y = -1.
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3
3. Resolución de ecuaciones de primer grado con
una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado debemos despejar la incógnita, es
decir, dejarla sola en un miembro. Para ello se convierte en otra más sencilla
con las mismas soluciones:
Resolver la ecuación 6x – 3 = 2x + 5
Se resta 2x (regla de la resta) a los dos miembros: 6x - 2x – 3 = 5; 4x – 3 = 5
Se suma 3x (regla de la suma) a los dos miembros:
4x = 5 + 3; 4x = 8
8
Se divide por 4 (regla del producto o división):
x  2
4
Resolver la ecuación
2x 5x  1
x

 1
3
4
6
Se reduce a común denominador: m.c.m.(3, 4, 6)=12
Se
Se
Se
Se
Se
Se
eliminan denominadores. Multiplicamos por 12:
quitan paréntesis:
simplifica:
suma 7x:
resta 12:
divide por 9:
8x 3(5x  1) 12 2x



12
12
12 12
8x - 3(5x - 1) = 12 + 2x
8x - 15x + 3 = 12 + 2x
-7x + 3 = 12 + 2x
3 = 12 + 9x
-9 = 9x
x = -1
6 Resuelve las ecuaciones:
a) 3x - 6 = 4
c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x
b) -1 + 2x = 9 - 3x
d) 2x = 20 - 3x
7 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
3x
6
2
d)
x 6
4x  1
2
3
5
b)
4x  6
 2
3
e)
2x  1 5x
x

 3
6
4
2
d)
3x  10 5
2x  3
  4  x  
6
3
8
e)
32  x  x
3  4x

 2
5
15
6
c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5)
8 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 7x 
1  2x
 11
4
b)
3x  2 x  3

0
5
2
c)
x  2 5x  1 x  1 1



4
9
3
2
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4
4. Planteamiento de ecuaciones
Un ciclista recorre en su primera hora de viaje 1/3 de la distancia que separa
dos ciudades; en la segunda, las 2/5 partes de la misma distancia, y en la
tercera recorre los 32 km restantes. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades?
¿Qué distancia recorre en la primera hora? ¿Y en la segunda?
1.º Elegir la incógnita: asignamos la letra x a la distancia entre las dos
ciudades.
2.º Hacer una figura con datos e incógnitas:
|
A
|
1/3
|
2/5
32 km
|
B
1
2
x  x  32  x
3
5
4.º Resolver la ecuación: 5x + 3 . 2x + 15 . 32 = 15x  4x = 480  x = 120
Distancia entre las dos ciudades: 120 km
Distancia que recorre en la l.ª hora: 1/3 · 120 = 40 km
Distancia que recorre en la 2.ª hora: 2/5 · 120 = 48 km
3.º Establecer la relación:
5.º Comprobar el resultado: 40 + 48 + 32 = 120
9 Repartir 12 000 pesetas entre 3 personas de modo que la segunda reciba 2 000
pesetas más que la primera, y que la tercera reciba el triple de lo que reciben
las otras dos juntas.
10 Una niña gasta los 5/7 del dinero que tiene ahorrado en material escolar y
los 3/4 del resto en celebrar su cumpleaños, quedándole 1 000 pesetas. ¿Cuánto
dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en material escolar? ¿Y en celebrar su
cumpleaños?
11 Halla dos números consecutivos tales que la suma de la tercera parte del
mayor y la quinta parte del menor sea igual a la mitad del menor más uno.
12 El perímetro de un rectángulo es de 60 m. Sabiendo que la base mide 2/3 de
la longitud de su altura, calcula la longitud de cada lado y el área del
rectángulo.
13 Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de la edad le quito
2 y divido este resultado por 5 me da la mitad de la edad más 2.
14 Se reparte un lote de discos entre tres alumnos. El primero recibe la
tercera parte más 4, el segundo un sexto del resto y el tercero recibe 5 discos.
¿Cuántos discos se han repartido? ¿Cuántos recibe cada uno?
15 Si del contenido de un depósito se extraen sus 2/7 y sus 3/5, quedan 12
litros. Halla el volumen contenido en el depósito.
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5
II. Ecuaciones de segundo grado
5. Ecuaciones incompletas
Toda ecuación de segundo grado se puede reducir a la forma: ax 2+ bx + c = 0
(a>0)
La ecuación es incompleta si b = 0 o c = 0 (observa que si a = 0 la ecuación es
de primer grado).
Si b = c = 0  ax2 =0
. Se despeja x
3x2 = 0
x2 = 0
x = 0
Si b = 0  ax2 + c = 0
. Se despeja x
2x2 – 8 = 0
x2 = 4
x  2
x 4
 x  2
Si c = 0  ax2 + bx = 0
. Se saca x factor común
. Se iguala cada factor a
cero
2x2 + 5x = 0
x(2x + 5) = 0
x  0


5
2x  5  0  x  

2

16 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x2 - 27 = 0
d) x(x + 5) - 8x = 0
b) 3x2 + 10 = 1
e) 3(x2 - 1) + 5 = x2 + 2
c) 4x2 - 25 = 0
f) 4x2 + 9x = x2 -3x
6. Ecuaciones completas
Para resolver estas ecuaciones se emplean las siguientes fórmulas:
x1 
Si b2 - 4ac > 0
Tiene dos soluciones
x2 - 5x + 6 = 0
(a = 1, b = -5, c = 6)
5  25  24  x1  3
x

2
 x2  2
 b  b 2  4ac
,
2a
x1 
 b  b 2  4ac
2a
Si b2 - 4ac = 0
Tiene una solución
2x2 - 4x + 2 = 0
(a = 2, b = -4, c = 2)
40
x
1
4
17 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x2 - 4x + 3 = 0
d) 3x2 - 5x + 2 = 0
b) 3x2 + 3x - 6 = 0
e) 6x2 + 2x + 1 = 0
c) x2 - 6x + 9 = 0
f)
x  1 xx  1

2
3
Si b2 - 4ac < 0
No tiene solución
x2 + 2x + 3 = 0
(a = 1, b = 2, c = 3)
x
 2  4  12
2
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6
7. Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo
grado
Ecuaciones bicuadradas: son ecuaciones que se reducen a la forma
ax4 + bx2 + c = 0.
Ejemplo: Para resolver x4 - 8x2 - 9 = 0 se sustituye x2 por z: z2 - 8z - 9 = 0
Se resuelve: z 
8  64  36 8  10  z1  9


2
2
 z 2  1
2

 x  9  x   9  3
Para calcular x se hallan las raíces cuadradas: 
2

 x  1  x    1
  1 no da lugar a ninguna solución.
Las soluciones de la ecuación x4 - 8x2 - 9 = 0 son x = 3 y x = -3.
. Ecuaciones radicales: son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el
signo radical.
Resolver la ecuación 4  x  2  x
Se aísla la raíz:
x  2  x 4
Se elevan al cuadrado los dos miembros: x + 2 = (x - 4)2
x  2
Se resuelve esta ecuación: x + 2 = x2 - 8x + 16; x2 - 9x + 14 = 0  x  
x  7
Se comprueban las soluciones en la ecuación radical: x = 7 es solución,
pero x = 2 no lo es.
18 Resuelve las ecuaciones:
a) x4 - 40x2 + 144 = 0
b) 4x4 + 3x2 - 1 = 0
c) x4 - 18x2 + 32 = 0
19 Resuelve las ecuaciones:
a) x  2x  1  2
c)
36  x  x  2
b) x  2x 2  x  9  3
d) 4 x  2  x  2
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7
8. Planteamiento de ecuaciones
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor,
mientras que el otro cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuál es la
longitud de cada lado?
1.ª Hacer el dibujo:
x + 4
x
x + 2
2.ªIdentificar las cantidades conocidas y las desconocidas: llamamos x al cateto
menor.
3.º Buscar relaciones entre los datos y las incógnitas: aplicamos el teorema de
Pitágoras:
x2 + (x + 2)2 = (x + 4)2  2x2 + 4x + 4 = x2 + 8x + 16  x2 – 4x – 12 = 0
4.º Resolver: x2 – 4x – 12 = 0  x1 = 6, x2 = -2 no válida.
El cateto menor mide 6 cm, el cateto mayor mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm.
20 Luis tiene 6 amigos más que Javier y la suma de los cuadrados del número de
amigos de cada uno es 468. ¿Cuántos amigos tiene Luis? ¿Y Javier?
21 Halla un número tal que si a la novena parte de su cuadrado se le resta
cuatro se obtiene dicho número.
22 Se reparten 300 pesetas entre varios niños. Si hubiera dos niños menos, cada
uno tocaría a 40 pesetas más. ¿Cuántos niños son?
23 La décima parte del producto de números consecutivos coincide con el doble
del menor menos 7. ¿Cuáles son tales números?
24 El perímetro de un rectángulo es 54 cm, y su área 180 cm2. Calcula sus
dimensiones.
25 Dos pintores pintan una habitación en 2 horas. ¿En cuánto tiempo la pintaría
cada uno por separado sabiendo que uno de ellos tarda 3 horas menos que el otro?
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8
III. Sistemas de ecuaciones
9. Ecuaciones con dos incógnitas
5x + 2y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas, la x y la y.
Los coeficientes de las incógnitas son 5 y 2; el término independiente es 7.
El par de valores x=1, y=1, es una solución de la ecuación porque 5·1 + 2·1 = 7.
Para obtener una solución basta dar a una de las incógnitas el valor que se
desee y resolver la ecuación resultante.
Ejemplo: Si x = 0 queda: 2y = 7  y = 7/2. Por tanto el par x = 0, y = 7/2 es
solución.
Este proceso se puede repetir las veces que se quiera, por lo que toda ecuación
de primer grado con dos incógnitas tiene tantas soluciones como se desee.
26 Completa la siguiente tabla:
Coeficiente de x
Coeficiente de y
Término independiente
3x + y = 2
-x + 2y = 4
27 Comprueba si los siguientes valores de x e y son solución de las ecuaciones:
a) x = 0, y = 2 en la ecuación 3x + 7y = 14
b) x = -1, y = 1 en la ecuación -2x + 5y = 3
28 Halla una solución de la ecuación 2(x + 3) - y = 3 en la que x = 2.
29 Para y = -3, halla x para que el par de valores sea solución de la ecuación
5(x - 1) + 2(y - 2) = 5.
30 Obtén dos soluciones distintas para cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 9x - 4y = 1
b)
x y
 1
4 6
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9
10. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Resolver el sistema
3x – 2y = -5
2x – y = -2
Método de sustitución
1.º Se despeja y en la segunda ec.:
3x – 2y = 5
y = 2x + 2
2.º Se sustituye este valor en la
primera:
3x – 2(2x + 2) = -5  -x – 4 = -5
3.º Se resuelve la ec. que resulta:
x = 1
4.º Se sustituye x = 1 en la segunda
ecuación ya despejada:
y = 2·1 + 2  y = 4
Por cualquiera de los métodos empleados
Método de reducción
1.º Se multiplica por –2 la segunda
ecuación, para que la incógnita y
tenga coeficientes opuestos:
3x –2y = -5
-4x + 2y = 4
2.º Se suman las dos ecuaciones:
-x = -1  x = 1
3.º Se repite el mismo proceso para la
incógnita x o bien se sustituye el
valor de x en una de las ecuaciones
y = 4
se obtiene la solución x = 1, y = 4
31 Dado el sistema
x - 4y = 13
5x + 7y = -16
obtén otro equivalente que tenga la y de la primera ecuación despejada.
32 Dado el sistema
3x - 4y = -5
2x + y = 13/2
obtén otro equivalente que tenga los coeficientes de x opuestos.
33 Dado el sistema
x + y = 11
3x – 5y = 1
obtén otro equivalente en cuya segunda ecuación haya desaparecido la x.
34 Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:
x  3y  7
a) 
5x  2y  16
4x  3 y  1
b) 
3x  5 y  8
5( x  1)  3 y  3
d) 
2x  7( y  1)  12
x y
 2  3  2
e) 
 3x  3 y  1  17
 2
3
3
2x  7 y  1
c) 
 x  4 y  16
35 Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de reducción:
 x  2y  5
a) 
4x  y  13
2x  5 y  12
b) 
7x  2y  11
2x  5( y  2)  5
d) 
3( x  2)  7y  1
 x  5 y  3

e)  x y
4  3  4

2x  3 y  14
c) 
4(3x  y )  0
Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
10
11. Planteamiento y resolución de sistemas
En la panadería, Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras de pan y 3 ensaimadas. Si
Irene pago 190 pesetas por 2 barras y una ensaimada, ¿cuál es el precio de la
barra de pan? ¿y el de la ensaimada?
1.º Entender el enunciado y las relaciones que describe:
Al comprar diferentes cantidades de los mismos productos, el precio total
será también diferente. Conocemos el precio total para dos compras.
2.º Identificar las cantidades desconocidas y asignar una letra a cada una:
Debemos calcular el precio de cada barra: x, y de cada ensaimada: y.
3.º Separar las condiciones del problema:
a) Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras y 3 ensaimadas
b) Irene pagó 190 pesetas por 2 barras y una ensaimada.
4.º Transformar las condiciones en ecuaciones:
De la primera condición: 5x + 3y = 500
De la segunda condición: 2x + y = 190
5.º Resolver el sistema: x = 70 e y = 50
6.º Comprobar si el resultado tiene sentido y es correcto:
El resultado deben ser números enteros, positivos y no excesivamente grandes.
Además 5·70 + 3·50 = 500 y 2·70 + 50 = 190
36 En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres
veces menor que el otro lado. ¿Cuánto mide cada lado?
37 Un maestro compra 30 objetos, entre lápices y bolígrafos, con un coste de
1240 pesetas. Si los lápices cuestan 25 pesetas y los bolígrafos 60 pesetas,
¿cuántos bolígrafos compró? ¿Cuántos lápices?
38 Un ramo de flores compuesto de 5 rosas y 8 margaritas cuesta 4 100 pesetas.
Si está formado por 2 rosas y 6 margaritas su precio es 2 200 pesetas. ¿Cuál es
el precio de una rosa? ¿Y de una margarita?
39 En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de dos y tres brazos. Si para
utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?
40 Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos.
Si a cada hijo le da 700 pesetas, le sobran 200 pesetas; pero si da a cada uno
800 pesetas, le faltan 200 pesetas. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo?
¿Cuántos hijos tiene?
41 En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan de una a otra. Si pasan 4 de
la primera a la segunda, hay en ésta un alumno más que en la primera. Pero si
pasan 4 de la segunda a la primera serán doble en la primera que en la segunda.
¿Cuántos alumnos tiene cada clase?
42 Hoy, la edad de un hijo es un año menos que 1/3 de la edad de su madre. Si
dentro de cinco años la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la
de su hijo, ¿qué edad tienen?
Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
11
12. Resolución gráfica de sistemas
Cada una de las ecuaciones de un sistema se puede representar como una recta.
Las coordenadas de los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.
Y
y = 4x + 1
Resolver gráficamente el sistema
3x + y = 8
8x – 2y = -2
A
5
Despejamos y en las dos ecuaciones
y = -3x + 8
y = 4x + 1
B = N = (1,5)
M
y =-3x + 8
1
X
Tomamos dos puntos de y=-3x + 8; A(0,8), B(1,5) y trazamos la recta que los une.
Tomamos dos puntos de y= 4x + 1; M(0,1), N(1,5) y trazamos la recta que los une.
El punto de intersección de las dos rectas es (1, 5), luego la solución es:
x = 1, y = 5.
43 Resuelve gráficamente el sistema
x + 4y = 3
6x - 5y = -11
44 Resuelve gráficamente el sistema
3x – 4y = -8
7x + 6y = 12
45 Indica cuál es la representación gráfica del sistema
a)
b)
c)
3x + y = 4
x - 2y = 6
d)
Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
12
IV. Desigualdades e inecuaciones
13. Desigualdades
. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número,
se obtiene otra desigualdad con el mismo sentido:
2 < 6, sumando 3 se tiene: 5 < 9
2 < 6, restando 3 se tiene: -1 < 3
-6 < -2, sumando 8 se tiene: 2 < 6
-6 < -2, restando 8 se tiene: -14 < -10
. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número
mayor que cero, se obtiene otra desigualdad con el mismo sentido:
2 < 6, multiplicando por 4 se tiene: 8 < 24
-3 < -1, multiplicando por 4 se tiene: -12 < -4
. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número
menor que cero, la desigualdad cambia de sentido:
2 < 6, multiplicando por -4 se tiene: -8 > -24
-3 < -1, multiplicando por -4 se tiene: 12 < 4
46 Pon en los recuadros siguientes el símbolo <, =, > que convenga:
a) -4

3
d) -3
b) -8

-7
e) 0
c) 6

-12
47 Escribe
operaciones:


0

f) (-1)3
las
h) 40

desigualdades

g) 2/3
(-3)3
que

i) 16/6
se
obtienen
4/5
(-1)4

al
8/3
hacer
las
siguientes
a) Suma 8 en: 3 < 7
e) Resta 6 en: -3 > -7
b) Resta 3 en: 8 > 5
f) Multiplica por (-3) en: 6 < 10
c) Multiplica por 4 en: -2 < 2
g) Multiplica por (-2) en: -5 < -4
d) Suma 7 en: -4 < 1
h) Multiplica por (-5) en: -8 < -5
48 Escribe como intervalos las siguientes desigualdades y represéntalos en la
recta real:
a) -3 < x < 4
b) -4 < x  2
d) -6  x  -3
e) x < 5
c) 4  x < 8
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13
14. Soluciones de una inecuación
Las soluciones de una inecuación son los números reales tales
sustituirlos por las incógnitas hacen que la desigualdad sea cierta.
x = 2 es solución de 3 - x < 2 porque es cierto que 3 - 2 < 2
x = 0 no es solución de 3 - x < 2 porque es falso que 3 - 0 < 2
que
al
Si damos a x otros valores obtenemos:
X
3 – x
¿Es menor que 2?
-1
4
No
0
3
No
1
2
No
2
1
Sí
2,5
0,5
Sí
3,7
-0,7
Sí
4
-1
Sí
5
-2
Sí
6
-3
Sí
Las soluciones de esta inecuación son todos los números mayores que 1. Las
soluciones forman el intervalo (1, +).
Ecuación asociada a una inecuación es la que resulta de sustituir el símbolo de
desigualdad por el símbolo de igualdad. Su solución ayuda a resolver la
inecuación.
Ejemplo: La ecuación asociada a -x + 4 < 6 + x es -x + 4 = 6 + x
49 Averigua para cuáles de los números -4 y 3 son ciertas las siguientes
desigualdades:
a) 3x - 7 < 1 + 2x
c) x2 + 4  0
e) x2 + x + 1 > 0
b) 2x - 8 > -4x + x2
d) -2x < x + 9
f) x - 3 > 4 + x
50 Indica gráficamente el signo del valor numérico
expresiones para los diferentes valores posibles de x.
a) x - 8
de
las
siguientes
b) 5x + 20
51 Escribe y resuelve las ecuaciones asociadas a las siguientes inecuaciones:
a) 9 + x < 3 - 2x
b) 2 + 3(x - 1) < x + 5
Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
14
15. Transformación de inecuaciones. Reglas de la
suma y del producto
Regla de la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un
mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra inecuación con las mismas
soluciones.
Resolver la inecuación 5x – 3  6x + 5
Se resta 5 a los dos miembros: 5x – 8  6x
Se resta 5x a los dos miembros: -8  x
La solución de la inecuacion dada es –8  x o el intervalo [-8,+).
Regla del producto: Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número:
- mayor que cero, se obtiene otra inecuación con las mismas soluciones.
x/4 < 2 multiplicando por 4 se tiene x < 8
3x < 9 dividiendo por 3 se tiene x < 3
- menor que cero, se cambia el sentido de la desigualdad para que tenga las
mismas soluciones.
-x/7 < 2 multiplicando por (-7) se tiene x > -14
-5x < 10 dividiendo por (-5) se tiene x > -2
52 Resuelve, paso a paso, las siguientes inecuaciones:
a) 6x - 4 < 5x + 3
b) 4 - 3x  -2x – 2
c) 5 + 2x > 3x + 8
53 Representa gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:
a) 3x + 4 < 1 + 4x
b) 5x + 1  -1 + 4x
c) 7x + 14 > 6x + 14
54 Resuelve, paso a paso, las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 5 < 4x 3
b)
3x  3
 3x  7 3x
2
55 Resuelve, paso a paso, las siguientes inecuaciones:
a) 3  2x 
3x
4
2
56 Resuelve
inecuaciones:
y
b)
representa
a) -3x + 4 < -5x + 6
c) 4 - x < -6x – 11
3  2x 4x  2 x  1


6
3
4
gráficamente
b)
las
soluciones
de
las
x  3 5  2x
(Multiplica por 6)

2
3
siguientes
Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
15
16. Resolución de inecuaciones de primer grado.
En la resolución de inecuaciones conviene seguir el mismo orden que se sigue en
las ecuaciones.
x 3 1 x x 1
Resolver la inecuación


4
2
6
Se quitan denominadores multiplicando
por 12 = m.c.m. (4, 2, 6):
3(x - 3) + 6(1 - x)  2(x + 1)
Se quitan paréntesis :
3x- 9 + 6 - 6x  2x + 2
Se simplifica:
-3x- 3  2x + 2
Se trasponen términos:
-2 - 3  2x + 3x
Se reducen los términos semejantes:
-5  5x
Se despeja la incógnita:
-1  x
La solución es -1  x o el intervalo [-1, +).
57 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x - 3 < 5(x - 2) – 1
b) 3x - 2 > x + 3(1 – x)
c) x2 < x·(x - 1)
d) (x - 3)(x + 2) < (4 - x)(1 - x)
58 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
x x
x
  1
7 3
21
b)
2x  1 3  x

0
4
8
d)
x 3x  12 5x


 2x
2
9
6
e)
x  4 5x  1

 14
22
11
c)
1  3x 5x  2 4x  1


3
2
6
c)
x  2 x 3

 x 20
5
3
59 Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
x 3
x 1
x
1
6
2
d) 2x 
3x  1 3  2x 11


4
2
4
b)
2x  1 3  x 2x  1


4
6
3
e)
2x  7 1  x 4x  3


2
9
3
27
Álgebra. SM. 4º E.S.O. Opción A
16
17. Resolución gráfica de inecuaciones
Dada una inecuación de la forma ax + b < 0, o ax + b  0, o ax + b > 0, o
ax + b  0, llamamos recta asociada a la inecuación a la gráfica de la función
lineal y = ax + b.
Dicha gráfica permite obtener la solución de la inecuación con tal de observar
para qué valores de x se verifica: y < 0, o y  0, o y > 0, o y  0, según sea
el caso.
Y
y=x+1
Resolver la inecuación 10x + 3 > 2x - 5
Se deja un miembro igual a 0: 10x - 2x + 3 + 5 > 0
Al simplificar resulta la inecuación x + 1 > 0
Dibujamos su recta asociada: y = x + 1
Buscamos los valores de x que hacen
la y positiva (y > 0). Por tanto,
la solución es x > -1, igual al
intervalo (-1, +).
1
-1
1
y<0
y>0
60 Resuelve las siguientes inecuaciones dibujando su recta asociada:
a) 7x - 3  0
b) 9 - 4x  0
61 Interpretar gráficamente las soluciones de las siguientes inecuaciones:
a) 4x - 1 < 2x + 3
b) 4 - 3x > 7 - 4x
X