(T) de gravedad modicada

Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Rafael Ferraro
IAFE
Universidad de Buenos Aires - CONICET
I Cosmosul
1-5 de agosto de 2011, Rio de Janeiro
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Contenidos
1
Gravedad modificada
2
Teorı́as f (R)
3
Teleparalelismo
4
Teorias f (T )
5
Gravedad de Born-Infeld
6
Grados de libertad en teorı́as f (T )
7
Conclusiones
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
GRAVEDAD MODIFICADA
¿Qué buscamos en las teorı́as alternativas a la Relatividad General?
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
GRAVEDAD MODIFICADA
¿Qué buscamos en las teorı́as alternativas a la Relatividad General?
Explicar geométricamente los fenómenos que hoy suponemos que son
causados por MATERIA y ENERGÍA OSCURAS (lı́mite de bajas energı́as
o escalas grandes)
Rafael Ferraro
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GRAVEDAD MODIFICADA
¿Qué buscamos en las teorı́as alternativas a la Relatividad General?
Explicar geométricamente los fenómenos que hoy suponemos que son
causados por MATERIA y ENERGÍA OSCURAS (lı́mite de bajas energı́as
o escalas grandes)
Suavizar o evitar singularidades: agujeros negros, Big-Bang (lı́mite de altas
energı́as o escalas pequeñas)
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GRAVEDAD MODIFICADA
¿Qué buscamos en las teorı́as alternativas a la Relatividad General?
Explicar geométricamente los fenómenos que hoy suponemos que son
causados por MATERIA y ENERGÍA OSCURAS (lı́mite de bajas energı́as
o escalas grandes)
Suavizar o evitar singularidades: agujeros negros, Big-Bang (lı́mite de altas
energı́as o escalas pequeñas)
Algunas décadas atrás se esperaba obtener una teorı́a de gravedad
renormalizable agregando a la acción términos de más alto orden en la
curvatura
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GRAVEDAD MODIFICADA
ALGUNAS FORMAS DE GRAVEDAD MODIFICADA:
MOND (Modified Newtonian Dynamics): modificación de la ley de gravitación de
Newton a bajas aceleraciones gravitatorias (a << ao ≈ 10−10 ms−2 ), para
ajustar las curvas de rotación galácticas. En ese régimen resulta
√
gM ON D = ao gN ewton .
M Milgrom, Astrophys. J. 270 (1983), 365.
TeVeS: generalización relativista de MOND. Describe la gravedad mediante una
combinación del tensor métrico más un campo vectorial y un campo escalar.
Pretende abarcar más fenómenos que MOND (lensing, cosmologı́a).
J Bekenstein, Phys. Rev. D 70 (2004), 083509.
Gravedad DGP: el universo de 4 dimensiones está embebido en una quinta
dimensión. La gravedad en 5D produce efectos a escalas grandes en 4D que
conducen a una expansión acelerada. Estos efectos de “gravedad modificada”
quedan encapsulados en un campo escalar acoplado a la gravedad en 4D: el
galileón (el nombre proviene de las simetrı́as del lagrangiano).
G Dvali, G Gabadadze, M Porrati, Phys. Lett. B 485 (2000), 208.
A Nicolis et al., Phys. Rev. D 79 (2009), 064036.
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GRAVEDAD MODIFICADA
Lagrangianos construidos con invariantes de curvatura de orden superior:
Rµν Rµν , Rλµνρ Rλµνρ .
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GRAVEDAD MODIFICADA
Lagrangianos construidos con invariantes de curvatura de orden superior:
Rµν Rµν , Rλµνρ Rλµνρ .
Lagrangianos de Lovelock:
Son lagrangianos polinómicos en el tensor de Riemann que conducen a
ecuaciones conservadas de segundo orden para la métrica (pese a que el
lagrangiano contiene derivadas segundas de la métrica) en cualquier dimensión D.
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GRAVEDAD MODIFICADA
Lagrangianos construidos con invariantes de curvatura de orden superior:
Rµν Rµν , Rλµνρ Rλµνρ .
Lagrangianos de Lovelock:
Son lagrangianos polinómicos en el tensor de Riemann que conducen a
ecuaciones conservadas de segundo orden para la métrica (pese a que el
lagrangiano contiene derivadas segundas de la métrica) en cualquier dimensión D.
En D = 5, 6 se obtiene el lagrangiano de Einstein-Lanczos:
L = R + 2 Λ + α(Rλµνρ Rλµνρ + R2 − 4Rµν Rµν )
En D = 4 el término cuadrático (Gauss-Bonnet) no juega ningún papel porque
resulta ser un invariante topológico (caracterı́stica de Euler).
D Lovelock, J. Math. Phys. 12 (1971), 498.
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1
Gravedad modificada
2
Teorı́as f (R)
3
Teleparalelismo
4
Teorias f (T )
5
Gravedad de Born-Infeld
6
Grados de libertad en teorı́as f (T )
7
Conclusiones
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TEORÍAS f (R)
TEORÍAS f (R)
S=
1
2κ
Z
d4 x
√
1
−g R −→
2κ
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Z
d4 x
√
−g f (R),
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
κ ≡ 8πG
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TEORÍAS f (R)
TEORÍAS f (R)
S=
1
2κ
Z
d4 x
√
1
−g R −→
2κ
Z
d4 x
√
−g f (R),
κ ≡ 8πG
Es una teorı́a de gravedad modificada bastante fácil de manejar.
De acuerdo a la forma de la función f , la teorı́a podrı́a modificar la gravedad tanto a
grandes escalas como a pequeñas escalas.
HA Buchdahl, Mon. Not. R. Astron. Soc. 150 (1970), 1.
P Teyssandier, Ph Tourrenc, J. Math. Phys. (N.Y.) 24 (1983), 2793.
B Whitt, Phys. Lett. B 145 (1984), 176.
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TEORÍAS f (R)
Variación de la acción en teorı́as f (R)
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TEORÍAS f (R)
Variación de la acción en teorı́as f (R)
En Relatividad General hay dos formas de variar la acción, que llevan a las
mismas ecuaciones de Einstein:
Formalismo métrico:
La curvatura se escribe con la conexión de Levi-Civita: R = R(g, ∂g, ∂ 2 g),
S = S[g]
Formalismo de Palatini:
La conexión Γ y la métrica g son variadas en forma independiente,
S = S[Γ, g],
pero la acción de la materia depende únicamente de la métrica a través del
acoplamiento mı́nimo usual.
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TEORÍAS f (R)
Variación de la acción en teorı́as f (R)
En Relatividad General hay dos formas de variar la acción, que llevan a las
mismas ecuaciones de Einstein:
Formalismo métrico:
La curvatura se escribe con la conexión de Levi-Civita: R = R(g, ∂g, ∂ 2 g),
S = S[g]
Formalismo de Palatini:
La conexión Γ y la métrica g son variadas en forma independiente,
S = S[Γ, g],
pero la acción de la materia depende únicamente de la métrica a través del
acoplamiento mı́nimo usual.
En teorı́as f (R), ambos procedimientos conducen a dinámicas diferentes.
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TEORÍAS f (R): FORMALISMO MÉTRICO
Formalismo métrico:
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TEORÍAS f (R): FORMALISMO MÉTRICO
Formalismo métrico:
f 0 (R) Rµν −
1
f (R) gµν − [∇µ ∇ν − gµν ] f 0 (R) = κ Tµν
2
donde ∇µ es la derivada covariante asociada a la conexión de Levi-Civita.
Son ecuaciones de cuarto orden para la métrica: la teorı́a tiene más grados de libertad
que la gravedad de Einstein. En particular, la curvatura R y la traza T no quedan
ligadas algebraicamente, como en RG, sino diferencialmente. En efecto, “traceando” la
ecuación obtenemos la propagación de un grado de libertad escalar:
f 0 (R) R − 2 f (R) + 3 f 0 (R) = κ T
JD Barrow, S Cotsakis, Phys. Lett. B 214 (1988), 515.
K Maeda, Phys. Rev. D 39 (1989), 3159.
T Chiba, Phys. Lett. B 575 (2003), 1.
Para evitar ghosts e inestabilidades: f 0 > 0, f 00 > 0.
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TEORÍAS f (R): FORMALISMO MÉTRICO
El número de grados de libertad puede ser mejor examinado pasando a una teorı́a
escalar-tensorial dinámicamente equivalente (otra representación de la misma teorı́a).
Para esto definimos el escalar:
φ = f 0 (R)
y la transformada de Legendre de f (R):
V (φ) = φ R(φ) − f (R(φ))
Entonces la acción f (R) es dinámicamente equivalente a la acción:
Sgrav [g, φ] =
1
2κ
Z
√
d4 x −g [φ R − V (φ)]
La variación con respecto a φ da R = V 0 (φ), significando que la función entre corchetes
depende sólo de R, pues resulta ser la transformada de Legendre de V : f (R) = φ R − V (φ).
I Sgrav [g, φ] es una acción de Brans-Dicke en el Jordan-frame con parámetro ω = 0
(ausencia de término cinético) y un potencial.
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Brans-Dicke
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TEORÍAS f (R): FORMALISMO MÉTRICO
Cambiando a la representación en el Einstein frame mediante la transformación usual,
0
"r
φ ≡ f (R) = exp
#
2κ
φ̃ ,
2ω + 3
gµν → g̃µν = f 0 (R) gµν = φ gµν ,
obtenemos que la acción adquiere la forma
0
Sgrav
Z
=
4
d x
p
−g̃
donde el potencial es
U (φ̃) =
R̃
1
− ∂ α φ̃ ∂α φ̃ − U (φ̃)
2κ
2
Rf 0 (R) − f (R)
2κ f 0 (R)2
0
La forma canónica de Sgrav
muestra que las teorı́as f (R) en el formalismo métrico
contienen un grado de libertad adicional, correspondiente a un campo escalar masivo.
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TEORÍAS f (R): FORMALISMO MÉTRICO
Las observaciones en el Sistema Solar restringen las teorı́as de Brans-Dicke a valores
|ω| > 40000. No obstante, la presencia del potencial U obliga a revisar estas
conclusiones. El potencial otorga al campo escalar una masa. Si esta masa fuera muy
grande, el campo escalar serı́a de muy corto alcance. Esto permitirı́a lograr un acuerdo
con las observaciones en el Sistema Solar.
Más aún, si el valor de esta masa fuera diferente a diferentes escalas (o diferentes
densidades de energı́a),entonces el campo escalar podrı́a ser suprimido a escalas del
Sistema Solar, y a la vez ser de largo alcance a escala cosmológica para dar cuenta de
la expansión acelerada (efecto camaleón). El lı́mite Newtoniano, válido en el Sistema
Solar, se recuperarı́a en una aproximación para densidades o curvaturas intermedias
mucho mayores que la escala cosmológica Ho2 ∼ 10−54 m−2 .
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TEORÍAS f (R): FORMALISMO MÉTRICO
Las observaciones en el Sistema Solar restringen las teorı́as de Brans-Dicke a valores
|ω| > 40000. No obstante, la presencia del potencial U obliga a revisar estas
conclusiones. El potencial otorga al campo escalar una masa. Si esta masa fuera muy
grande, el campo escalar serı́a de muy corto alcance. Esto permitirı́a lograr un acuerdo
con las observaciones en el Sistema Solar.
Más aún, si el valor de esta masa fuera diferente a diferentes escalas (o diferentes
densidades de energı́a),entonces el campo escalar podrı́a ser suprimido a escalas del
Sistema Solar, y a la vez ser de largo alcance a escala cosmológica para dar cuenta de
la expansión acelerada (efecto camaleón). El lı́mite Newtoniano, válido en el Sistema
Solar, se recuperarı́a en una aproximación para densidades o curvaturas intermedias
mucho mayores que la escala cosmológica Ho2 ∼ 10−54 m−2 .
El efecto “camaleón” permite que el sector escalar del campo gravitatorio actúe a
escalas cosmológicas sin ser percibido en regiones de curvatura (o densidad) altas.
J Khoury, A Weltman, Phys. Rev. Lett. 93 (2004), 171104; Phys. Rev. D 69 (2004), 044026.
GJ Olmo, Phys. Rev. D 72 (2005), 083505.
JAR Cembranos, Phys. Rev. D 73 (2006), 064029.
T Faulkner et al., Phys. Rev. D 76 (2007), 063505.
AA Starobinsky, JETP Lett. 86 (2007), 157.
I Navarro, K Van Akoleyen, JCAP 02(2007) 022.
A De Felice, S Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13: 3, (2010).
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CHAMELEON MECHANISM: Ecuación dinámica para φ̃
√
0
Variando S 0 = Sgrav
[g̃µν , φ̃] + Smat [gµν = e(−
˜ φ̃ − U 0 (φ̃) = −
.
donde ρ = −Tmat
µ
µ
2κ/3 φ̃)
g̃µν , Ψmat ] respecto de φ̃:
h p
i
p
κ/6 exp − 8κ/3 φ̃ ρ
> 0.
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Ver
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
CHAMELEON MECHANISM: Ecuación dinámica para φ̃
√
0
Variando S 0 = Sgrav
[g̃µν , φ̃] + Smat [gµν = e(−
˜ φ̃ − U 0 (φ̃) = −
.
donde ρ = −Tmat
µ
µ
2κ/3 φ̃)
g̃µν , Ψmat ] respecto de φ̃:
h p
i
p
κ/6 exp − 8κ/3 φ̃ ρ
Ver
> 0.
Para mostrar el “camaleón” veamos una solución estática, esféricamente simétrica en
una métrica g̃µν = ηµν :
˜2 = 1 d
˜ −→ ∇
r2 dr
r2
d
dr
En regiones donde la densidad ρ sea constante habrá un potencial efectivo
Uef f (φ̃) = U (φ̃) +
h p
i
ρ
exp − 8κ/3 φ̃ ⇒
4
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0
∇2 φ̃ = Uef
f (φ̃)
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CHAMELEON MECHANISM
Para valores de ρ pequeños la masa de φ̃ es chica (el sector escalar de la
gravedad tiene efectos a grandes escalas de distancia)
Para grandes valores de ρ la masa de φ̃ es muy grande (el sector escalar de
la gravedad resulta fuertemente suprimido)
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CHAMELEON MECHANISM
Resolveremos para un cuerpo de radio R y densidad ρc sumergido en un
medio de densidad ρo .
Plantearemos una solución que toma valores entre los dos mı́nimos, φ̃c y
φ̃o de los potenciales efectivos respectivos.
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CHAMELEON MECHANISM
Región exterior (r > R ): Se aproxima Uef f alrededor de su mı́nimo φ̃o :
Uef f ' m2 (φ̃ − φ̃o )2 /2.
φ̃ ' φ̃o +
Rafael Ferraro
C
exp[−m r]
r
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CHAMELEON MECHANISM
Región exterior (r > R ): Se aproxima Uef f alrededor de su mı́nimo φ̃o :
Uef f ' m2 (φ̃ − φ̃o )2 /2.
φ̃ ' φ̃o +
Rafael Ferraro
C
exp[−m r]
r
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CHAMELEON MECHANISM
Región exterior (r > R ): Se aproxima Uef f alrededor de su mı́nimo φ̃o :
Uef f ' m2 (φ̃ − φ̃o )2 /2.
φ̃ ' φ̃o +
C
exp[−m r]
r
Región interior (r < R ): La exponencial domina sobre el potencial U ,
h p
i
p
p
p
∇2 φ̃ ≈ −ρc κ/6 exp − 8κ/3 φ̃ ≈ −ρc κ/6, si 8κ/3 |φ̃| << 1.
r
φ̃ ' φ̃c − ρc
κ 2
Rs
24
r2
2 Rs
+
−1
3 Rs2
3r
Se satisface que φ̃(Rs ) = φ̃c y φ̃0 (Rs ) = 0.
φ̃(r) se completa con φ̃ = φ̃c si 0 < r < Rs .
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CHAMELEON MECHANISM
Región exterior (r > R ): Se aproxima Uef f alrededor de su mı́nimo φ̃o :
Uef f ' m2 (φ̃ − φ̃o )2 /2.
φ̃ ' φ̃o +
C
exp[−m r]
r
Región interior (r < R ): La exponencial domina sobre el potencial U ,
h p
i
p
p
p
∇2 φ̃ ≈ −ρc κ/6 exp − 8κ/3 φ̃ ≈ −ρc κ/6, si 8κ/3 |φ̃| << 1.
r
φ̃ ' φ̃c − ρc
κ 2
Rs
24
r2
2 Rs
+
−1
3 Rs2
3r
Se satisface que φ̃(Rs ) = φ̃c y φ̃0 (Rs ) = 0.
φ̃(r) se completa con φ̃ = φ̃c si 0 < r < Rs .
C y Rs están disponibles para unir continuamente ambas regiones.
J Khoury, A Weltman, Phys. Rev. Lett. 93 (2004), 171104; Phys. Rev. D 69 (2004), 044026.
TP Waterhouse, arXiv:astro-ph/0611816.
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CHAMELEON MECHANISM
Las condiciones de continuidad están gobernadas por la cantidad
≡
√ φ̃c − φ̃o
√ |φ̃o |
κ
' κ
ΦN
ΦN
donde ΦN es el potencial newtoniano en la superficie del cuerpo:
2 /6. Por ejemplo, Φ
−6 .
ΦN = κ ρc R
Sol ∼ 10
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CHAMELEON MECHANISM
Las condiciones de continuidad están gobernadas por la cantidad
≡
√ φ̃c − φ̃o
√ |φ̃o |
κ
' κ
ΦN
ΦN
donde ΦN es el potencial newtoniano en la superficie del cuerpo:
2 /6. Por ejemplo, Φ
−6 .
ΦN = κ ρc R
Sol ∼ 10
Si << 1, el campo φ̃ no influye sobre partı́culas
vecinas al cuerpo debido a que su variación es
pequeña comparada con ΦN (efecto camaleón).
En ese caso, la cáscara del cuerpo donde la solución
se aparta de φ̃c es muy delgada (“thin-shell”):
R − Rs ∝ R . También es C = O().
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CHAMELEON MECHANISM
Las condiciones de continuidad están gobernadas por la cantidad
≡
√ φ̃c − φ̃o
√ |φ̃o |
κ
' κ
ΦN
ΦN
donde ΦN es el potencial newtoniano en la superficie del cuerpo:
2 /6. Por ejemplo, Φ
−6 .
ΦN = κ ρc R
Sol ∼ 10
Si << 1, el campo φ̃ no influye sobre partı́culas
vecinas al cuerpo debido a que su variación es
pequeña comparada con ΦN (efecto camaleón).
En ese caso, la cáscara del cuerpo donde la solución
se aparta de φ̃c es muy delgada (“thin-shell”):
R − Rs ∝ R . También es C = O().
Si se incluye la back-reaction sobre la métrica, la solución esféricamente simétrica
conduce a alteraciones de la solución de Schwarzschild con parámetro PPN
γ = 1 + O()
−5 (Cassini tracking).
lo que acota el valor de , pues |γ − 1| <
∼ 2,3 × 10
T Faulkner et al., Phys. Rev. D 76 (2007), 063505.
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CHAMELEON MECHANISM
Una tı́pica f (R) para proveer expansión acelerada a baja curvatura es:
f (R) = R +
µ2(n+1)
Rn
(R−n domina a baja curvatura, y se recupera RG cuando R >> µ2 ).
En tal caso, si ρo κ >> µ2 , el Uef f que resulta satisface que
p
2κ/3 φ̃o ' −n
2
µ
ρo κ
Ver Uef f
n+1
Usando ρo ≈ 10−24 g/cm3 (es el valor correspondiente a la materia bariónica de
la Galaxia: ρo κ = 3 ΩGalaxia Ho2 ≈ 105 Ho2 ), resulta una cota para µ2 :
n
µ2
Ho2
n+1
Rafael Ferraro
/ 105n ΦN
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
CHAMELEON MECHANISM
Una tı́pica f (R) para proveer expansión acelerada a baja curvatura es:
f (R) = R +
µ2(n+1)
Rn
(R−n domina a baja curvatura, y se recupera RG cuando R >> µ2 ).
En tal caso, si ρo κ >> µ2 , el Uef f que resulta satisface que
p
2κ/3 φ̃o ' −n
2
µ
ρo κ
Ver Uef f
n+1
Usando ρo ≈ 10−24 g/cm3 (es el valor correspondiente a la materia bariónica de
la Galaxia: ρo κ = 3 ΩGalaxia Ho2 ≈ 105 Ho2 ), resulta una cota para µ2 :
n
µ2
Ho2
n+1
/ 105n ΦN
Campo camaleón en cosmologı́a: Se ha sugerido que los efectos de energı́a oscura
debidos a φ̃, con los constraints observacionales conocidos, serı́an indistinguibles de
una mera constante cosmológica (“vanilla DE”).
P Brax et al., Phys. Rev. D 70 (2004), 123518.
T Faulkner et al., Phys. Rev. D 76 (2007), 063505.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
COSMOLOGÍA
Perturbaciones: El crecimiento de las inhomogeneidades permitirı́a discriminar entre
distintas teorı́as f (R) métricas y el modelo ΛCDM .
YS Song, W Hu, I Sawicki, Phys. Rev. D 75 (2007), 044004.
S Carloni, PKS Dunsby, A Troisi, Phys. Rev. D 77 (2008), 024024.
A de la Cruz-Dombriz, A Dobado, AL Maroto, Phys. Rev. D 77 (2008), 123515.
Inflación: Teorı́as f (R) que modifican la gravedad a curvaturas altas, por ejemplo:
f (R) = R + α R
2
pueden dar inflación, con φ̃ en el rol de
inflatón. El potencial U (φ̃) resulta plano
para grandes valores de φ̃, como se requiere
en inflación.
AA Starobinsky, Phys. Lett. B 91 (1980), 99.
AA Starobinsky, Sov. Astron. Lett. 9 (1983), 302.
JC Hwang, H Noh, Phys. Lett. B 506 (2001), 13.
Efectos de lensing debidos a sobredensidades de materia en teorı́as f (R) métricas:
P Zhang, M Liguori, R Bean, S Dodelson, Phys. Rev. Lett. 99 (2007), 141302.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Formalismo de Palatini:
δS[Γ, g] = 0
Rafael Ferraro
⇒
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Formalismo de Palatini:
f 0 (R) R(µν) −
δS[Γ, g] = 0
1
f (R) gµν = κ Tµν ,
2
⇒
¯λ
∇
√
−g f 0 (R) g µν = 0
¯ µ y Rµν son la derivada covariante y el Ricci asociados a la conexión independiente Γλ .
donde ∇
µν
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Formalismo de Palatini:
f 0 (R) R(µν) −
δS[Γ, g] = 0
1
f (R) gµν = κ Tµν ,
2
⇒
¯λ
∇
√
−g f 0 (R) g µν = 0
¯ µ y Rµν son la derivada covariante y el Ricci asociados a la conexión independiente Γλ .
donde ∇
µν
La primera ecuación relaciona algebraicamente la curvatura R con la distribución de materia:
f 0 (R) R − 2 f (R) = κ T
preanunciando que en el formalismo de Palatini hay menos dinámica que en el formalismo métrico.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Formalismo de Palatini:
f 0 (R) R(µν) −
⇒
δS[Γ, g] = 0
1
f (R) gµν = κ Tµν ,
2
¯λ
∇
√
−g f 0 (R) g µν = 0
¯ µ y Rµν son la derivada covariante y el Ricci asociados a la conexión independiente Γλ .
donde ∇
µν
La primera ecuación relaciona algebraicamente la curvatura R con la distribución de materia:
f 0 (R) R − 2 f (R) = κ T
preanunciando que en el formalismo de Palatini hay menos dinámica que en el formalismo métrico.
La segunda ecuación puede ser resuelta para obtener la conexión:
Γλµν =
g λσ ∂µ f 0 (R) gνσ + ∂ν f 0 (R) gµσ − ∂σ f 0 (R) gµν
2 f 0 (R)
Entonces la primera ecuación es una ecuación para la métrica que involucra derivadas segundas de
T , lo que constituye un acoplamiento totalmente inusual entre geometrı́a y materia.
VH Hamity and DE Barraco, Gen. Rel. Grav. 25 (1993), 461.
DN Vollick, Phys. Rev. D 68 (2003), 063510.
GJ Olmo, Phys. Rev. D 72 (2005), 083505.
GJ Olmo, IJMPD 20 (2011), 413.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Formalismo de Palatini en el Einstein frame:
Reemplazando en la acción la expresión obtenida para la conexión, y haciendo las
transformaciones usuales, se llega a las formulaciones tipo Brans-Dicke del formalismo
de Palatini:
SP al [g, φ] =
1
2κ
Z
√
3
d4 x −g φ R +
∂µ φ ∂ µ φ − V (φ)
2φ
SP0 al [g̃, φ] =
Z
d4 x
p
−g̃
R̃
− U (φ)
2κ
donde
φ ≡ f 0 (R) ,
V = R f 0 (R) − f (R) ,
U=
que es una teorı́a de Brans-Dicke con ω = −3/2.
Rafael Ferraro
V
,
2κ f 0 (R)
Brans-Dicke
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
R = R(R)
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Problemas del formalismo de Palatini:
Problemas con las condiciones de juntura en la superficie de un cuerpo
esféricamente simétrico, que conducen a divergencias de la curvatura para una
amplia variedad de ecuaciones de estado de la materia. Este problema
está relacionado con la presencia de derivadas superiores del campo de materia
en las ecuaciones.
E Barausse, TP Sotiriou, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 099001.
E Barausse et al., Class. Quantum Grav. 25 (2008), 105008.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Problemas del formalismo de Palatini:
Problemas con las condiciones de juntura en la superficie de un cuerpo
esféricamente simétrico, que conducen a divergencias de la curvatura para una
amplia variedad de ecuaciones de estado de la materia. Este problema
está relacionado con la presencia de derivadas superiores del campo de materia
en las ecuaciones.
E Barausse, TP Sotiriou, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 099001.
E Barausse et al., Class. Quantum Grav. 25 (2008), 105008.
Incompatibilidades con la estabilidad de sistemas microscópicos, como
consecuencia de la presencia inusual de derivadas cuartas de los campos de
materia en las ecuaciones para la métrica.
DN Vollick, Phys. Rev. D 71 (2005), 044020.
EE Flanagan, Class. Quant. Grav. 21 (2004), 3817.
GJ Olmo, Phys. Rev. D 77 (2008), 084021.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R): FORMALISMO DE PALATINI
Problemas del formalismo de Palatini:
Problemas con las condiciones de juntura en la superficie de un cuerpo
esféricamente simétrico, que conducen a divergencias de la curvatura para una
amplia variedad de ecuaciones de estado de la materia. Este problema
está relacionado con la presencia de derivadas superiores del campo de materia
en las ecuaciones.
E Barausse, TP Sotiriou, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 099001.
E Barausse et al., Class. Quantum Grav. 25 (2008), 105008.
Incompatibilidades con la estabilidad de sistemas microscópicos, como
consecuencia de la presencia inusual de derivadas cuartas de los campos de
materia en las ecuaciones para la métrica.
DN Vollick, Phys. Rev. D 71 (2005), 044020.
EE Flanagan, Class. Quant. Grav. 21 (2004), 3817.
GJ Olmo, Phys. Rev. D 77 (2008), 084021.
Formulación del problema de valores iniciales: en presencia de materia el problema
de Cauchy está bien formulado solamente si la traza T es una constante.
V Faraoni, Class. Quantum Grav. 26 (2009), 168002.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
TEORÍAS f (R)
Reviews sobre teorı́as f (R):
TP Sotiriou, V Faraoni, Rev. Modern. Phys. 82 (2010), 451.
S Capozziello, V Faraoni, Beyond Einstein Gravity, Fundamental Theories
of Physics Volume 170, Springer, 2011.
A De Felice, S Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13: 3 (2010).
S Tsujikawa, Lectures Notes in Physics 800, p. 99-145, Springer, 2010.
arXiv:1101.0191
GJ Olmo, IJMPD 20 (2011), 413.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Contenidos
1
Gravedad modificada
2
Teorı́as f (R)
3
Teleparalelismo
4
Teorias f (T )
5
Gravedad de Born-Infeld
6
Grados de libertad en teorı́as f (T )
7
Conclusiones
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Elementos de Teleparalelismo
TELEPARALELISMO
Es una teorı́a de la gravitación cuya variable dinámica no es la métrica sino la
tétrada, y la gravitación no está codificada en la curvatura sino en la torsión.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Elementos de Teleparalelismo
TELEPARALELISMO
Es una teorı́a de la gravitación cuya variable dinámica no es la métrica sino la
tétrada, y la gravitación no está codificada en la curvatura sino en la torsión.
Campo de frames o tétradas (bases en el espacio tangente):
ea (x)
y sus respectivos co-frames ea (x):
.
eµa ebµ = δab
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
a = 0, 1, 2, 3
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Elementos de Teleparalelismo
RELACIÓN ENTRE TÉTRADA Y MÉTRICA
La tétrada es declarada ortonormal:
ν
ηab = gµν eµ
a eb
Entonces,
gµν = ηab eaµ ebν
⇒
√
.
−g = det[eaµ ] = e
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Elementos de Teleparalelismo
RELACIÓN ENTRE TÉTRADA Y MÉTRICA
La tétrada es declarada ortonormal:
ν
ηab = gµν eµ
a eb
Entonces,
gµν = ηab eaµ ebν
⇒
√
.
−g = det[eaµ ] = e
Dar una dinámica para la tétrada implica dar una dinámica para la métrica.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Elementos de Teleparalelismo
TORSIÓN
Las derivadas de la tétrada entran en el Lagrangiano exclusivamente a través
de la torsión, definida como cuatro 2-formas exactas:
.
Ta = dea
cuyas componentes son
T a νρ = ∂ν eaρ − ∂ρ eaν = eaµ T µ νρ
Llamar “torsión” a este tensor significa considerar la siguiente conexión:
Γ
µ
ρν
= eµa ∂ν eaρ + términos simétricos en {ρν}
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Elementos de Teleparalelismo
CONEXIÓN DE WEITZENBÖCK
En particular, eligiendo la conexión de Weitzenböck,
Γ
µ
ρν
a
a
µ
= eµ
a ∂ν eρ = −eρ ∂ν ea ,
resulta que la curvatura es nula:
Rλ µνρ ≡ 0
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Elementos de Teleparalelismo
CONEXIÓN DE WEITZENBÖCK
En particular, eligiendo la conexión de Weitzenböck,
Γ
µ
ρν
a
a
µ
= eµ
a ∂ν eρ = −eρ ∂ν ea ,
resulta que la curvatura es nula:
Rλ µνρ ≡ 0
µ
Además, la derivada covariante de un vector V = V a ea = V a eµ
a ∂µ = V ∂µ resulta:
∇ν V µ = ∂ν V µ + Γ
µ
ρν
a
µ
ρ
a
V ρ = ∂ν (V a eµ
= eµ
a ) − eρ ∂ν ea V
a ∂ν V
Paralelismo: Un vector V es transportado paralelamente a lo largo de una curva si y
sólo si sus componentes V a son constantes sobre la curva.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Elementos de Teleparalelismo
CONEXIÓN DE WEITZENBÖCK
En particular, eligiendo la conexión de Weitzenböck,
Γ
µ
ρν
a
a
µ
= eµ
a ∂ν eρ = −eρ ∂ν ea ,
resulta que la curvatura es nula:
Rλ µνρ ≡ 0
µ
Además, la derivada covariante de un vector V = V a ea = V a eµ
a ∂µ = V ∂µ resulta:
∇ν V µ = ∂ν V µ + Γ
µ
ρν
a
µ
ρ
a
V ρ = ∂ν (V a eµ
= eµ
a ) − eρ ∂ν ea V
a ∂ν V
Paralelismo: Un vector V es transportado paralelamente a lo largo de una curva si y
sólo si sus componentes V a son constantes sobre la curva.
La conexión de Weitzenböck es compatible con la métrica, pues ∇ν eµ
a ≡ 0
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Equivalente teleparalelo de la Relatividad General
EQUIVALENTE TELEPARALELO DE LA RELATIVIDAD GENERAL
El lagrangiano teleparalelo es cuadrático en la torsión:
LT [ea ] =
1
e Sρ
16πG
µν
.
T ρ µν =
1
e S·T
16πG
donde
2 Sρ
µν
1
.
= − (T µνρ − T νµρ − Tρ
{z
| 2
contorsión K
µν
Rafael Ferraro
µν
) + δρµ T θν θ − δρν T θµθ
}
ρ
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Equivalente teleparalelo de la Relatividad General
EQUIVALENTE TELEPARALELO DE LA RELATIVIDAD GENERAL
El lagrangiano teleparalelo es cuadrático en la torsión:
LT [ea ] =
1
e Sρ
16πG
µν
.
T ρ µν =
1
e S·T
16πG
donde
2 Sρ
µν
1
.
= − (T µνρ − T νµρ − Tρ
{z
| 2
contorsión K
µν
µν
) + δρµ T θν θ − δρν T θµθ
}
ρ
La contorsión es la diferencia entre las conexiones de Weitzenböck y de Levi-Civita:
w
L
K λ µν = Γ λµν − Γ λµν
Las geodésicas son autoparalelas de Weitzenböck sólo si la contorsión es nula.
K Hayashi, T Shirafuji, PRD 19 (1979), 3524.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Equivalente teleparalelo de la Relatividad General
EQUIVALENCIA CON LA RELATIVIDAD GENERAL
Los lagrangianos LT [e] y LRG [g] difieren en una divergencia:
L
−e R[ea ] = e S · T − 2 (e T µµρ ), ρ
El teleparalelismo nos libra de los términos que contienen derivadas segundas,
pues estos quedan encapsulados en una divergencia.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Equivalente teleparalelo de la Relatividad General
EQUIVALENCIA CON LA RELATIVIDAD GENERAL
Los lagrangianos LT [e] y LRG [g] difieren en una divergencia:
L
−e R[ea ] = e S · T − 2 (e T µµρ ), ρ
El teleparalelismo nos libra de los términos que contienen derivadas segundas,
pues estos quedan encapsulados en una divergencia.
Ejemplo: minisuperespacio FRW plano,
LT [N, a] ∝ −N −1 a ȧ2 ,
eaµ = diag[N (t), a(t), a(t), a(t)].
LGR [N, a] ∝ −N −1 a ȧ2 +
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
d
(N −1 a2 ȧ)
dt
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Equivalente teleparalelo de la Relatividad General
ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE PARA EL CAMPO DE TÉTRADAS
∂σ (e eλa Sλ νσ ) − e eλa Sη
µν
T η µλ +
1
ν
e eνa S · T = 4πG e eµ
a Tµ
4
donde Tµν es el tensor energı́a-momento de la materia.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Contenidos
1
Gravedad modificada
2
Teorı́as f (R)
3
Teleparalelismo
4
Teorias f (T )
5
Gravedad de Born-Infeld
6
Grados de libertad en teorı́as f (T )
7
Conclusiones
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Teorı́as f (T )
Una teorı́a “f (T )” es una deformación del Equivalente teleparalelo de la
Relatividad General.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Teorı́as f (T )
Una teorı́a “f (T )” es una deformación del Equivalente teleparalelo de la
Relatividad General.
Teorı́as f (T )
LT =
e
e
S · T −→ LT =
f (S · T)
16πG
16πG
R Ferraro, F Fiorini, PRD 75 (2007) 084031.
R Ferraro, F Fiorini, PRD 78 (2008) 124019.
GR Bengochea, R Ferraro, PRD 79 (2009) 124019.
EV Linder, PRD 81 (2010) 127301.
B Li, T Sotiriou, JD Barrow, PRD 83 (2011) 104017.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Teorı́as f (T ): VENTAJAS
VENTAJAS DE LA FORMULACIÓN f (T )
Las ecuaciones de la teorı́a deformada son siempre de segundo orden
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Teorı́as f (T ): VENTAJAS
VENTAJAS DE LA FORMULACIÓN f (T )
Las ecuaciones de la teorı́a deformada son siempre de segundo orden
A diferencia de las f (R), las teorı́as f (T ) permitirı́an deformaciones
suaves de soluciones de vacı́o.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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Teorı́as f (T ): VENTAJAS
En efecto, las ecuaciones de vacı́o para la teorı́a L =
√
−g f (R) son
√
√
∂( −g R)
∂( −g R)
0
− f 0 (R)
+
f
(R)
∂φa,µν
∂φa,µ
,µν
,µ
√
√
∂ −g
∂( −g R) + R f 0 (R) − f (R)
= 0
−f 0 (R)
∂φa
∂φa
donde φa representa las componentes del tensor métrico.
Si la teorı́a es una deformación suave de la Relatividad General,
f (R) = R + O(Rn ),
n > 1,
⇒
f (0) = 0,
f 0 (0) = 1
resulta que las soluciones de vacı́o (R = 0) de RG son también soluciones de la teorı́a
deformada.1
1
Además podrı́an existir nuevas soluciones debido al grado de libertad adicional.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Teorı́as f (T ): VENTAJAS
En cambio, el argumento S · T de las teorı́as “f (T )” (es decir, f (S · T)) no se
anula, en general, para las soluciones de vacı́o pues
S · T = −R + 2 e−1 (e T µµρ ), ρ
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Teorı́as f (T ) en cosmologı́a
Las ecuaciones de teorı́as f (T ) para un FRW plano se reducen a
eaµ = diag[1, a(t), a(t), a(t)]
S · T = −6 H(t)2 ,
en coordenadas comóviles
. ȧ
H =
a
parámetro de Hubble
f (−6H 2 ) + f 0 (−6H 2 ) 12 H 2 = 16 π G ρ
1 d 2
4 a H f 0 (−6H 2 ) + 4 H 2 f 0 (−6H 2 ) + f (−6H 2 ) = −16 π G p
a2 dt
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PRD 75 (2007) 084031, Inflation without inflaton
Deformación a “altas energı́as”
"r
f (S · T) = λ
2 S·T
1+
−1
λ
#
La ecuación para el parámetro de Hubble es
1−
12 H 2
λ
− 12
−1 =
16πG
ρ
λ
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PRD 75 (2007) 084031, Inflation without inflaton
Deformación a “altas energı́as”
"r
2 S·T
1+
−1
λ
f (S · T) = λ
#
La ecuación para el parámetro de Hubble es
1−
12 H 2
λ
− 12
−1 =
16πG
ρ
λ
La singularidad inicial es suavizada.
lı́m H(t) =
t→−∞
p
.
λ/12 = Hmax para
ecuaciones de estado p = w ρ con w > −1.
El horizonte de partı́cula diverge; de modo que el
universo resulta causalmente conectado.
Rafael Ferraro
α ≡ Hmax /Ho , w = 1/3 (radiación)
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
G.R. Bengochea y R.F., PRD 79 (2009) 124019, Dark torsion as the cosmic speed-up
Deformación a “bajas energı́as”
f (S · T) = S · T −
β
(−S · T)n
La ecuación de FRW (plano) modificada es
H2 −
(2n + 1) β
8
= πGρ
6n+1 H 2n
3
que puede ser reescrita como
H
Ho
2n "
H
Ho
2
#
3
4
− Ωmo (1 + z) − Ωr o (1 + z)
= 1−Ωmo −Ωr o ,
Ωr o = 5 × 10−5
β está encapsulada en 1 − Ωmo − Ωr o . En RG es β = 0 y Ωmo + Ωr o = 1.
El mejor acuerdo con los datos provenientes de SNIa, BAO y CMB se obtiene para
Ωmo = 0,27
Rafael Ferraro
n = −0,10
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Contenidos
1
Gravedad modificada
2
Teorı́as f (R)
3
Teleparalelismo
4
Teorias f (T )
5
Gravedad de Born-Infeld
6
Grados de libertad en teorı́as f (T )
7
Conclusiones
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
Cuerda cósmica in RG
ds2 = d(t + 4J θ)2 − dρ2 − (1 − 4µ)2 ρ2 dθ2 − dz 2
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
Cuerda cósmica in RG
ds2 = d(t + 4J θ)2 − dρ2 − (1 − 4µ)2 ρ2 dθ2 − dz 2
En D = 2 + 1 (z está ausente), la métrica resuelve las ecuaciones de Einstein para
T 00 = µ δ(x, y)
y
T 0i = (J/2) ij ∂j δ(x, y).
De manera que la solución es una partı́cula de masa µ and spin J (un “cosmón”).
Deser, Jackiw y ’t Hooft, Ann. Phys. 152 (1984), 220.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
Cuerda cósmica in RG
ds2 = d(t + 4J θ)2 − dρ2 − (1 − 4µ)2 ρ2 dθ2 − dz 2
En D = 2 + 1 (z está ausente), la métrica resuelve las ecuaciones de Einstein para
T 00 = µ δ(x, y)
y
T 0i = (J/2) ij ∂j δ(x, y).
De manera que la solución es una partı́cula de masa µ and spin J (un “cosmón”).
Deser, Jackiw y ’t Hooft, Ann. Phys. 152 (1984), 220.
No hay gravedad alrededor de la partı́cula, pues la métrica es plana.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
Cuerda cósmica in RG
ds2 = d(t + 4J θ)2 − dρ2 − (1 − 4µ)2 ρ2 dθ2 − dz 2
En D = 2 + 1 (z está ausente), la métrica resuelve las ecuaciones de Einstein para
T 00 = µ δ(x, y)
y
T 0i = (J/2) ij ∂j δ(x, y).
De manera que la solución es una partı́cula de masa µ and spin J (un “cosmón”).
Deser, Jackiw y ’t Hooft, Ann. Phys. 152 (1984), 220.
No hay gravedad alrededor de la partı́cula, pues la métrica es plana.
El cosmón se manifiesta a través de propiedades topológicas:
i) el ángulo de déficit 8πµ (singularidad cónica),
ii) la existencia de curvas temporales cerradas (CTC) de (t, ρ, z) constantes:
!
16J 2
.
2
2
2
2
ds =
−ρ
M dθ ,
M = 1 − 4µ
2
M
.
es decir que las curvas con radio ρ < ρo = 4J/M son CTC.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
La estructura singular de las cuerdas cósmicas puede ser evitada en una teorı́a de
gravedad modificada.
Densidad lagrangiana determinantal
L ∝ −λ
hp
i
p
p
|gµν − 2λ−1 Fµν | − |gµν | −−−−→
|gµν | T r(F )
λ→∞
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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La estructura singular de las cuerdas cósmicas puede ser evitada en una teorı́a de
gravedad modificada.
Densidad lagrangiana determinantal
L ∝ −λ
hp
i
p
p
|gµν − 2λ−1 Fµν | − |gµν | −−−−→
|gµν | T r(F )
λ→∞
En teleparalelismo podemos usar
pues
Fµν = A Sµλρ Tν λρ + B Sλµρ T λ ν ρ ,
T r(F ) = (A + B) S · T
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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La estructura singular de las cuerdas cósmicas puede ser evitada en una teorı́a de
gravedad modificada.
Densidad lagrangiana determinantal
L ∝ −λ
hp
i
p
p
|gµν − 2λ−1 Fµν | − |gµν | −−−−→
|gµν | T r(F )
λ→∞
En teleparalelismo podemos usar
pues
Fµν = A Sµλρ Tν λρ + B Sλµρ T λ ν ρ ,
T r(F ) = (A + B) S · T
De esta forma, eligiendo A + B = 1, resulta
L ∝ e
S·T −
λ−1
(S · T)2 + λ−1 Fµν Fνµ + O(λ−2 )
2
que muestra que esta teorı́a difiere de una teorı́a f (T ). Este aspecto es esencial para
suavizar la geometrı́a, pues el cosmón tiene S · T = 0.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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La cuerda cósmica modificada
Proponemos la siguiente tétrada con simetrı́a cilı́ndrica:
e0 = d(t + 4Jθ) ,
e1 = Y (ρ) dρ ,
e2 = ρ M dθ ,
e3 = dz,
De modo que la métrica respectiva es
ds2 = d(t + 4J θ)2 − Y 2 (ρ)dρ2 − ρ2 M 2 dθ2 − dz 2 .
La función Y (ρ) es la única diferencia entre la gavedad de Born-Infeld determinantal y RG.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
La cuerda cósmica modificada
Proponemos la siguiente tétrada con simetrı́a cilı́ndrica:
e0 = d(t + 4Jθ) ,
e1 = Y (ρ) dρ ,
e2 = ρ M dθ ,
e3 = dz,
De modo que la métrica respectiva es
ds2 = d(t + 4J θ)2 − Y 2 (ρ)dρ2 − ρ2 M 2 dθ2 − dz 2 .
La función Y (ρ) es la única diferencia entre la gavedad de Born-Infeld determinantal y RG.
Ecuaciones dinámicas (A = 1, B = 0)
Y 2 (ρ) − Y 3 (ρ) = −
16 J 2 2 16 J 2 −2
ρ −
λM 2
M2
- ρ2o
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
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La cuerda cósmica modificada
Proponemos la siguiente tétrada con simetrı́a cilı́ndrica:
e0 = d(t + 4Jθ) ,
e1 = Y (ρ) dρ ,
e2 = ρ M dθ ,
e3 = dz,
De modo que la métrica respectiva es
ds2 = d(t + 4J θ)2 − Y 2 (ρ)dρ2 − ρ2 M 2 dθ2 − dz 2 .
La función Y (ρ) es la única diferencia entre la gavedad de Born-Infeld determinantal y RG.
Ecuaciones dinámicas (A = 1, B = 0)
Y 2 (ρ) − Y 3 (ρ) = −
16 J 2 2 16 J 2 −2
ρ −
λM 2
M2
- ρ2o
Y (ρ) está definida para ρo ≤ ρ < ∞.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
RESULTADOS
La geometrı́a de la cuerda cósmica
modificada es curva en lugar de plana:
R(ρ) =
Rµν Rµν =
2Y 0 (ρ)
,
ρ Y (ρ)3
1 2
R , Rµνηπ Rµνηπ = R2
2
La curvatura se anula para ρ → ∞ y ρ → ρo
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
RESULTADOS
La geometrı́a de la cuerda cósmica
modificada es curva en lugar de plana:
R(ρ) =
Rµν Rµν =
2Y 0 (ρ)
,
ρ Y (ρ)3
1 2
R , Rµνηπ Rµνηπ = R2
2
La curvatura se anula para ρ → ∞ y ρ → ρo
J es la fuente de curvatura: R = 0 ⇔ J = 0, porque J = 0 implica Y = 1.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
RESULTADOS
La geometrı́a de la cuerda cósmica
modificada es curva en lugar de plana:
R(ρ) =
Rµν Rµν =
2Y 0 (ρ)
,
ρ Y (ρ)3
1 2
R , Rµνηπ Rµνηπ = R2
2
La curvatura se anula para ρ → ∞ y ρ → ρo
J es la fuente de curvatura: R = 0 ⇔ J = 0, porque J = 0 implica Y = 1.
El tiempo propio para alcanzar el cı́rculo mı́nimo ρ = ρo es infinito: la
singularidad cónica ha desaparecido.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
R.F. y F. Fiorini, PLB 692 (2010) 206, The taming of the conical singularity in 2+1 D
RESULTADOS
La geometrı́a de la cuerda cósmica
modificada es curva en lugar de plana:
R(ρ) =
Rµν Rµν =
2Y 0 (ρ)
,
ρ Y (ρ)3
1 2
R , Rµνηπ Rµνηπ = R2
2
La curvatura se anula para ρ → ∞ y ρ → ρo
J es la fuente de curvatura: R = 0 ⇔ J = 0, porque J = 0 implica Y = 1.
El tiempo propio para alcanzar el cı́rculo mı́nimo ρ = ρo es infinito: la
singularidad cónica ha desaparecido.
Las curvas temporales cerradas (CTC) han desaparecido: como ρ > ρo entonces
las curvas de (t, ρ, z) constantes son todas espaciales:
16J 2
2
ds2 =
−
ρ
M 2 dθ2 < 0 .
M2
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Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Contenidos
1
Gravedad modificada
2
Teorı́as f (R)
3
Teleparalelismo
4
Teorias f (T )
5
Gravedad de Born-Infeld
6
Grados de libertad en teorı́as f (T )
7
Conclusiones
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Aunque las teorı́as f (T ) llevan a ecuaciones de segundo orden, el número
original de variables dinámicas es mayor que el de RG: 16 componentes eaµ
contra 10 componentes gµν .
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Aunque las teorı́as f (T ) llevan a ecuaciones de segundo orden, el número
original de variables dinámicas es mayor que el de RG: 16 componentes eaµ
contra 10 componentes gµν .
La métrica gµν = ηab eaµ ebν es invariante ante transformaciones locales de
Lorentz de la tétrada:
0
0
ea → ea = Λaa (x) ea
Rafael Ferraro
(6 generadores)
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Aunque las teorı́as f (T ) llevan a ecuaciones de segundo orden, el número
original de variables dinámicas es mayor que el de RG: 16 componentes eaµ
contra 10 componentes gµν .
La métrica gµν = ηab eaµ ebν es invariante ante transformaciones locales de
Lorentz de la tétrada:
0
0
ea → ea = Λaa (x) ea
(6 generadores)
Pero la acción f (T ) sólo es invariante si la transformación de Lorentz de la
tétrada es global (salvo el caso f (T ) = T ).
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Podrı́a decirse que las “f (T )”, además de
teorı́as sobre distancias y tiempos, son
teorı́as que “paralelizan” el espacio-tiempo.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Podrı́a decirse que las “f (T )”, además de
teorı́as sobre distancias y tiempos, son
teorı́as que “paralelizan” el espacio-tiempo.
¿Cuál es el contenido fı́sico de los grados de libertad adicionales?
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Podrı́a decirse que las “f (T )”, además de
teorı́as sobre distancias y tiempos, son
teorı́as que “paralelizan” el espacio-tiempo.
¿Cuál es el contenido fı́sico de los grados de libertad adicionales?
¿Deberı́an ser eliminados devolviendo a la teorı́a la invariancia ante
transformaciones locales de Lorentz en el espacio tangente?
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
Podrı́a decirse que las “f (T )”, además de
teorı́as sobre distancias y tiempos, son
teorı́as que “paralelizan” el espacio-tiempo.
¿Cuál es el contenido fı́sico de los grados de libertad adicionales?
¿Deberı́an ser eliminados devolviendo a la teorı́a la invariancia ante
transformaciones locales de Lorentz en el espacio tangente?
¿O participan en las interacciones y son, en principio, detectables?
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
La falta de invariancia ante transformaciones locales de Lorentz en el
espacio tangente dificulta la búsqueda de soluciones aún en situaciones de
alta simetrı́a, como FRW cerrado o abierto:
La tétrada no es una “raı́z cuadrada” cualquiera de la métrica.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
La falta de invariancia ante transformaciones locales de Lorentz en el
espacio tangente dificulta la búsqueda de soluciones aún en situaciones de
alta simetrı́a, como FRW cerrado o abierto:
La tétrada no es una “raı́z cuadrada” cualquiera de la métrica.
FRW cerrado: ds2 = dt2 − a2 (t) [dψ 2 + sin2 ψ (dθ2 + sin2 θ dφ2 )]
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
La falta de invariancia ante transformaciones locales de Lorentz en el
espacio tangente dificulta la búsqueda de soluciones aún en situaciones de
alta simetrı́a, como FRW cerrado o abierto:
La tétrada no es una “raı́z cuadrada” cualquiera de la métrica.
FRW cerrado: ds2 = dt2 − a2 (t) [dψ 2 + sin2 ψ (dθ2 + sin2 θ dφ2 )]
La tétrada que paraleliza la variedad es:
e0 = dt , e1 = a(t) E1 , e2 = a(t) E2 , e3 = a(t) E3 ,
E1
=
− cos θ dψ + sin ψ sin θ (cos ψ dθ − sin ψ sin θ dφ)
2
=
sin θ cos φ dψ − sin ψ [(sin ψ sin φ − cos ψ cos θ cos φ) dθ
E3
=
E
+(cos ψ sin φ + sin ψ cos θ cos φ) sin θ dφ]
− sin θ sin φ dψ − sin ψ [(sin ψ cos φ + cos ψ cos θ sin φ) dθ
+(cos ψ cos φ − sin ψ cos θ sin φ) sin θ dφ].
R Ferraro, F Fiorini, PLB 702 (2011), 75.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
La falta de invariancia local se debe al comportamiento de la torsión:
0
0
0
0
T a −→ T a = dea = Λaa dea − ea ∧ dΛaa
Este comportamiento se podrı́a curar introduciendo una conexión de spin para definir
la torsión como la derivada exterior covariante de la tétrada:
.
T a = Dea = dea + ωba ∧ eb
Esto convertirı́a la acción en S[e, ω]. Pero la variación respecto de ωba congela la
dinámica:
δS
= 0
a
δωbµ
T a µν = 0
⇔
T Sotiriou, B Li, JD Barrow, PRD 83 (2011) 104030.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Grados de libertad en teorı́as f (T )
El estudio de la estructura de vı́nculos en la formulación Hamiltoniana de las
teorı́as f (T ) (con T a = dea ) muestra que las f (T ) en D = 4 poseen
5 grados de libertad
significando que las f (T ) contienen tal vez:
gravitón + campo vectorial masivo
o
gravitón + campo vectorial sin masa + campo escalar
M Li, RX Miao, YG Miao, JHEP 07 (2011) 108.
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Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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Algunas conclusiones
Las teorı́as f (T ) son un posible camino hacia gravedad modificada. Conducen
siempre a ecuaciones de 2do orden pero, al igual que las f (R) métricas, poseen
más grados de libertad. Esto deja abierta la discusión sobre el significado de los
grados de libertad adicionales y la forma en que estos podrı́an manifestarse, o si
existe forma de devolverle a la teorı́a el número de grados de libertad original.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Algunas conclusiones
Las teorı́as f (T ) son un posible camino hacia gravedad modificada. Conducen
siempre a ecuaciones de 2do orden pero, al igual que las f (R) métricas, poseen
más grados de libertad. Esto deja abierta la discusión sobre el significado de los
grados de libertad adicionales y la forma en que estos podrı́an manifestarse, o si
existe forma de devolverle a la teorı́a el número de grados de libertad original.
Las f (R) correspondientes a deformaciones suaves de RG no modifican las
soluciones de vacı́o. En particular no suavizan la solución de Schwarszchild.
Tampoco lo hacen las f (T ), pues existe una tétrada para la solución de
Schwarzschild que anula T . En cambio, la gravedad de Born-Infeld determinantal
sı́ suaviza la estructura singular de la cuerda cósmica rotante: el espacio-tiempo
finaliza en un anillo inalcanzable de radio proporcional a J. Tanto la singularidad
cónica como las curvas temporales cerradas resultan eliminadas.
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Algunas conclusiones
Las teorı́as f (T ) son un posible camino hacia gravedad modificada. Conducen
siempre a ecuaciones de 2do orden pero, al igual que las f (R) métricas, poseen
más grados de libertad. Esto deja abierta la discusión sobre el significado de los
grados de libertad adicionales y la forma en que estos podrı́an manifestarse, o si
existe forma de devolverle a la teorı́a el número de grados de libertad original.
Las f (R) correspondientes a deformaciones suaves de RG no modifican las
soluciones de vacı́o. En particular no suavizan la solución de Schwarszchild.
Tampoco lo hacen las f (T ), pues existe una tétrada para la solución de
Schwarzschild que anula T . En cambio, la gravedad de Born-Infeld determinantal
sı́ suaviza la estructura singular de la cuerda cósmica rotante: el espacio-tiempo
finaliza en un anillo inalcanzable de radio proporcional a J. Tanto la singularidad
cónica como las curvas temporales cerradas resultan eliminadas.
¡Muchas gracias!
Rafael Ferraro
Teorı́as f (T ) de gravedad modificada
Gravedad modificada Teorı́as f (R) Teleparalelismo Teorias f (T ) Gravedad de Born-Infeld Grados de libertad en teorı́as f (T ) Conclusiones
Brans-Dicke theory
Smet [g, φ] =
1
2κ
Z
√
ω
d4 x −g φ R − ∂µ φ ∂ µ φ
φ
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Rafael Ferraro
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Brans-Dicke theory
Smet [g, φ] =
1
2κ
Z
√
ω
d4 x −g φ R − ∂µ φ ∂ µ φ
φ
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Rafael Ferraro
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Ecuación dinámica para el camaleón
0 =
δ 0
Sgrav [g̃, φ̃] + Smat g̃
δ φ̃
donde
δLmat δ φ̃ g̃
=
r
δLmat δ(φ g̃ µν ) 2κ
δφ δLmat δg µν =
φ
µν
µν
δφ g̃
3
δg
δφ
g̃
δ φ̃ δg
r
=
r
=
2κ
δLmat µν
φ
g̃
=
3
δg µν
−
2 κ µν δLmat
g
3
δg µν
r
√
−g µν δLmat
2κ
κ √
√
g
−g g µν Tµν
= −
3
δg µν
6
−g
r
=
r
κ −2 p
φ
−g̃ Tµµ
6
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Rafael Ferraro
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Uef f
Rf 0 (R) − f (R) + κ ρ/2
(n + 1) µ2
=
=
−
2κf 0 (R)2
2κ φ2
donde φ = exp[
1−φ
n
n
n+1
p
2κ/3 φ̃].
n
Uef f (φ̃) tiene forma de pozo si ρo κ > 2µ2 (n+1) n− n+1 .
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Rafael Ferraro
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+
ρ
,
4 φ2