TOPOLOGIA DI Rn

TOPOLOGIA DI Rn
Dato un insieme A si definisce distanza, se esiste, una funzione
d:A×A→R
tale che:
1. ∀X, Y ∈ A, d(X, Y ) = d(Y, X), (la distanza è simmetrica),
2. ∀X, Y ∈ A, d(X, Y ) ≥ 0,
3. d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y ,
4. ∀X, Y, Z ∈ A, d(X, Y ) ≤ d(X, Z) + d(Z, Y ) (disuguaglianza triangolare).
Ogni insieme su cui è possibile definire una distanza viene detto spazio metrico. In particolare,
Rn è uno spazio metrico, in cui si definisce la distanza euclidea, che è la naturale estensione a
dimensione qualunque della distanza definita nel piano:
∀ X = (x1 , . . . , xn ), Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn :
p
d(X, Y ) = |X − Y | = kX − Y k = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )n .
Osserviamo che questa definizione corrisponde alle definizioni di distanza già note in R e nel
piano R2 :
p
1. se x, y ∈ R, d(x, y) = (x − y)2 = |x − y|.
p
2. se X = (x1 , x2 ), Y = (y1 , y2 ) ∈ R2 , d(X, Y ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 è la lunghezza del
segmento XY , calcolato utilizzando il teorema di Pitagora.
Quando Y = O = (0, . . . , 0), cioè è l’origine, si ha che la distanza di X dall’origine (detta anche
norma di X) est:
q
d(X, O) = kXk = x21 + . . . + x2n .
Definizione. Dato X ∈ Rn , si dice intorno sferico di centro X e raggio ρ l’insieme dei punti di Rn
che hanno distanza da X minore di ρ:
B(X, ρ) = Iρ (X) = {Y ∈ Rn : d(X, Y ) < ρ} .
Se rileggiamo questa definizione nelle dimensioni basse abbiamo che:
1. Se x ∈ R, B(x, ρ) = {y ∈ R : |x − y| < ρ} = (x − ρ, x + ρ), cioè l’intorno sferico è un intervallo
aperto, costituito da tutti i punti che hanno distanza inferiore a ρ dal punto x.
2. Se X ∈ R2 ,
n
o
p
B(X, ρ) = Y ∈ R2 : (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < ρ =
= Y ∈ R2 : (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < ρ2
è il cerchio di centro X e raggio ρ, esclusa la circonferenza di centro X e raggio ρ.
3. Se X ∈ R3 , B(X, ρ) risulta essere la sfera piena di centro X e raggio ρ, esclusa la superficie
sferica di centro X e raggio ρ.
Nell’uso della lettera I è implicita l’idea che si sta parlando di ”intorni”. Quando si usa la lettera
B invece, si fa riferimento al fatto che si sta parlando di ”sfere”: in questo contesto, in inglese si usa
la parola ”ball” (ball of centre X and radius ρ).
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Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che un punto X ∈ A è interno ad A se esiste un
intorno B(X, ρ) tale che B(X, ρ) ⊆ A.
Esempi.
1. Se consideriamo un intervallo A = [a, b] ⊂ R, tutti i punti di (a, b) sono punti interni di A,
mentre gli estremi {a}, {b} non lo sono.
2. Dato un rettangolo pieno in R2 , tutti i punti che stanno dentro il rettangolo sono punti interni,
mentre i punti sul perimetro non lo sono.
3. Un segmento nel piano non ha punti interni.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che A è aperto in Rn se tutti i suoi punti sono punti
interni, cioè:
∀X ∈ A, ∃ρ > 0 B(X, ρ) ⊆ A.
In particolare, ∅ e Rn sono insiemi aperti in Rn .
Esempi.
1. Ogni intervallo aperto (a, b) è un sottoinsieme aperto di R.
2. Gli intorni sferici in qualunque dimensione sono insiemi aperti.
3. Nel piano, un rettangolo pieno privo del perimetro è aperto.
4. Lo stesso rettangolo, considerato come sottoinsieme di R3 non è aperto.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che X ∈ Rn è un punto di frontiera di A se:
∀ρ > 0 :
B(X, ρ) ∩ A 6= ∅
e
B(X, ρ) ∩ (Rn \ A) 6= ∅
cioè ogni intorno di X interseca sia A che il suo complementare.
Si dice frontiera di A, e si indica con ∂A, l’insieme dei punti di frontiera di A.
Spesso la frontiera di un insieme viene anche detta bordo (”boundary” in inglese).
Esempi.
1. Se A è un qualunque intervallo in R, la sua frontiera è costituita dagli estremi dell’intervallo
(indipendentemente dal fatto che l’intervallo li comprenda o no).
2. La frontiera di un segmento in R2 è composta dal segmento stesso, inclusi gli estremi.
3. La frontiera di un rettangolo in R2 è il perimetro del rettangolo stesso.
4. Sia A = n1 , n ∈ N \ {0} . A non ha punti interni. Il punto 0 e tutti i punti di A sono di
frontiera; ∂A = A ∪ {0}.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che A è chiuso se ∂A ⊆ A.
∅ e Rn sono insiemi chiusi di Rn .
Osserviamo che un insieme può essere né aperto né chiuso. L’esempio più semplice è proprio un
intervallo del tipo [a, b). Gli insiemi ∅ e Rn sono chiusi (e aperti) in Rn .
Si dimostra inoltre che:
Proposizione.
A ⊆ Rn è aperto
⇐⇒
Rn \ A è chiuso.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice chiusura di A, e si indica con A, il più piccolo
insieme chiuso che contiene A. Si può dimostrare che
A = A ∪ ∂A.
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Esempi.
1. Ogni intervallo chiuso è un insieme chiuso di R.
2. N è un insieme chiuso di R.
3. Tutti i punti di Q sono punti di frontiera. La sua chiusura è Q = R. (Quando la chiusura di
un insieme coincide con lo spazio ambiente si dice che l’insieme è denso nello spazio ambiente).
Esercizio. Rappresentare nel piano cartesiano gli insiemi:
A = (1, 2) × (1, 2)
B = [1, 2] × [1, 2]
C = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2, 1 < y < 2} D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}
E = [−1, 3) × [−2, 2)
F = {(x, y) ∈ R2 : −1 < x ≤ 2, −2 ≤ y < 2}.
verificando che sono tutti rettangoli. Descriverne inoltre la frontiera e la chiusura, graficamente e
insiemisticamente.
Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn , si dice che X ∈ Rn è un punto di accumulazione di A se
∀ρ > 0
B(X, ρ) ∩ (A \ {X}) 6= ∅.
cioè se ogni intorno di X interseca A in punti diversi da X.
I punti di A che non sono di accumulazione per A si dicono punti isolati. Ciò significa che esiste
ρ > 0 tale che B(X, ρ) ∩ (A \ {X}) = ∅, ossia esiste un intorno di X che interseca A solo in X.
Osservazioni.
1. Un punto di accumulazione può appartenere all’insieme come non appartenergli.
2. Tutti i punti interni di A sono punti di accumulazione di A.
3. Se A ha punti di accumulazione, necessariamente contiene infiniti elementi. Viceversa, se un
insieme contiene un numero finito di elementi (si dice anche che è un insieme finito), allora
tutti i suoi punti sono isolati.
Lo studente può provare a dimostrare queste ultime due osservazioni per esercizio.
Esempi.
1. Tutti i punti di un intervallo chiuso sono punti di accumulazione dell’intervallo stesso.
2. N è costituito da punti isolati.
3. Tutti i punti di R sono punti di accumulazione di Q.
4. Sia A = n1 , n ∈ N \ {0} . Tutti i punti di A sono punti isolati. A ha 0 come unico punto di
accumulazione.
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Tutte le definizione date finora possono essere estese a tutti gli spazi metrici, cioè agli insiemi su
cui è possibile definire una distanza. Si possono estendere a tutti gli spazi metrici anche le definizioni
che diamo nel seguito.
Definizione. Un insieme A ⊆ Rn si dice limitato se
∃M > 0 ∀X ∈ A,
X ∈ B(O, M ).
Equivalentemente, potremo dire che ∃M > 0 tale che A ⊆ B(O, M ), o anche che ∃M > 0, ∀X ∈ A,
d(X, O) = kXk < M .
Definizione. Un insieme A ⊆ Rn si dice compatto se è chiuso e limitato.
Esempi.
1. Gli intervalli chiusi sono compatti di R. I segmenti che contengono i propri estremi sono
compatti in Rn , per ogni n > 0.
2. Un rettangolo con il perimetro incluso è un compatto di R2 .
3. Una curva chiusa è un compatto di R2 .
4. Il grafico della parabola y = x2 , cioè l’insieme dei punti {(x, x2 ) ∈ R2 : x ∈ R} è un insieme
chiuso ma non limitato di R2 .
Definizione. Data una funzione f definita su un insieme A a valori in Rn , o più in generale a valori
in uno spazio metrico, si dice che f è limitata su A se l’insieme f (A) è un sottoinsieme limitato di
Rn .
In altre parole, f : A → Rn è limitata su A se ∃M > 0, ∀x ∈ A, kf (x)k < M .
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Per esempio la funzione
z) = (sin y, cos(x + z)) è limitata in R3 , dato che
q f : R → R , f (x, y,
√
√
k(sin y, cos(x + z))k = sin2 y + cos2 (x + z) ≤ 1 + 1 = 2.
Appunti redatti da Luisa Mazzi per il corso di Analisi Matematica I, corsi di Laurea di Ingegneria
per l’Ambiente e il Territorio e Ingegneria della Protezione del Territorio.
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