Integración por fracciones parciales

Integración por fracciones
parciales
El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que
puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte,
la integración de una función racional puede conducirnos a funciones que no
son racionales1 por ejemplo:
Z
Z
dx
dx
= ln |x| + C y
= arctan (x) + C
x
1 + x2
ahora daremos un método para calcular la integral de una función racional
cualquiera y se verá que el resultado puede expresarse siempre por medio de
polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.
La idea del método es descomponer la función racional en fracciones
simples que pueden calcularse por medio de técnicas ya conocidas (de debe realizar la descomposición en fracciones parciales de la función racional
considerada).
(x)
es una función racional, si es impropia
Supongamos entonces que fg(x)
podemos simplemente dividir y nos queda
f (x)
R (x)
= Q (x) +
g (x)
g (x)
donde Q es un polinomio (el cociente de la división) y R (x) es el resto de
la división (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)),
de esta forma toda función racional se puede escribir como la suma de un
polinomio con una función racional propia.
1
¿Cómo puede mostrarse que determinada función no es racional?
1
Nelson Cifuentes F.
Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda función racional
propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma
A
(0.0.1)
(αx + β)k
y
Bx + C
+ bx + c)m
(0.0.2)
(ax2
donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y
b2 − 4ac < 0
en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadrática sin raı́ces reales.
Luego el calculo de la integral de una función racional, se reduce al
calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de
integrales de la forma
Z
Adx
(αx + β)k
y
Z
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
aprenderemos a calcular este tipo de integrales.
Ejemplo 1. Consideremos la integral
Z 5x + 3
dx
x2 + 2x − 3
la función racional
5x + 3
x2 + 2x − 3
es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos
conocer las raı́ces reales del denominador, como
x2 + 2x − 3 = (x + 3) (x − 1)
se sigue que
5x + 3
5x + 3
=
x2 + 2x − 3
(x + 3) (x − 1)
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Nelson Cifuentes F.
luego por el método de las fracciones parciales, existen constantes A y B
tales que
A
B
5x + 3
=
+
x2 + 2x − 3
x+3 x−1
para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador
5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3)
evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos
8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2
evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene
−15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3
se sigue
5x + 3
3
2
=
+
x2 + 2x − 3
x+3 x−1
luego
Z 5x + 3
2
x + 2x − 3
Z 3
2
dx =
+
dx
x+3 x−1
Z
Z
dx
dx
+2
= 3
x+3
x−1
= 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C
el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio
del denominador posee tantas raı́ces reales como el grado del polinomio y
todas las raı́ces distintas.
Ejemplo 2. Calcular
Z
(2x − 1) dx
(x − 1) (x − 2) (x − 3)
Como ya conocemos las raı́ces del denominador, efectuamos la descomposición en fracciones parciales:
A
B
C
(2x − 1)
=
+
+
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
x − 1 x − 2 2x − 3
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3
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y aplicamos alguna técnica que nos permita encontrar los valores de las
constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador
2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos
2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0
ası́
1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1
evaluando en x = 2 se obtiene
4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0
ası́
3=B
y finalmente, evaluando en x =
3
2
se obtiene
3
3
−1
−2
3−1=A·0+B·0+C
2
2
ası́
1
1
2=C
−
=⇒ C = −8
2
2
se sigue
(2x − 1)
1
3
−8
=
+
+
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
x − 1 x − 2 2x − 3
luego
(2x − 1)
dx
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
Z 1
3
−8
+
+
dx
x − 1 x − 2 2x − 3
Z
Z
Z
dx
dx
dx
+3
−8
x−1
x−2
2x − 3
ln |x − 1| + 3 ln |x − 2| − 4 ln |2x − 3| + C
!
|x − 1| |x − 2|3
ln
+C
|2x − 3|4
Z
=
=
=
=
donde
Z
dx
1
= ln |2x − 3|
2x − 3
2
(recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2).
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Ejercicio 1. Calcular
Z
(x2
x
dx
− 1) (x − 2)
Ejercicio 2. Calcular
Z
2x + 1
dx
(3x − 1) (2x + 5)
Ejercicio 3. Calcular
Z
2x2 + x − 1
2x3 + x2 − 5x + 2
veamos ahora que pasa si la raı́ces se repiten:
Ejemplo 3. Calcular
Z
x2 + 2x + 3 dx
(x − 1) (x + 1)2
notemos que es una función racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales (no necesitamos dividir
los polinomios) luego
x2 + 2x + 3
B
C
A
2 = x−1 + x+1 +
(x − 1) (x + 1)
(x + 1)2
desarrollando encontramos
3
1
A = , B = − y C = −1
2
2
se sigue
x2 + 2x + 3 dx
Z
(x − 1) (x + 1)2
Z
Z
3
dx
1
dx
dx
−
−
2
x−1 2
x+1
(x + 1)2
3
1
1
ln |x − 1| − ln |x + 1| +
+C
2
2
x+1
Z
=
=
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Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo
Z
Adx
(αx + β)k
para k = 1 la integral es
Z
Adx
A
= ln |αx + β| + C
αx + β
α
para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = αx + β eso implica
du = αdx de donde
Z
Z
Adx
du
A u(−k+1)
+C
=
A
=
α (−k + 1)
αuk
(αx + β)k
A (αx + β)(−k+1)
+C
α
(−k + 1)
=
Ejemplo 4. Calcular
Z
3dx
(2x − 1)3
Desarrollo: Podemos hacer la sustitución u = 2x − 1 =⇒ du = 2dx se sigue
Z
Z
Z
du
3
3dx
=
u−3 du
3 = 3
3
2u
2
(2x − 1)
3 u−3+1
+C
=
2 −3 + 1
3
= − u−2 + C
4
3
= −
+C
4 (2x − 1)2
Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo
Z
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
con b2 − 4ac < 0.
Ejemplo 5. Calcular
Z
x2
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xdx
+ 2x + 2
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note que en este caso, es denominador no posee raı́ces reales ∆ = 4 − 8 =
−4 < 0 y
x
2
x + 2x + 2
ya es una fracción parcial (no tenemos que aplicar la técnica de descomposición), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la
forma
Z
dv
v2 + 1
que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador,
x2
x
x
=
+ 2x + 2
(x + 1)2 + 1
luego
Z
xdx
=
(x + 1)2 + 1
Z
xdx
x2 + 2x + 2
si hacemos el cambio de variable
u = x + 1 =⇒ du = dx
luego
Z
xdx
(x + 1)2 + 1
(u − 1) du
(u2 + 1)
Z
Z
du
udu
=
−
2
2
u +1
u +1
Z
=
note que la primera es calculable por una simple sustitución v = u2 + 1 (esto
es general para las integrales del tipo
Z
xdx
2
(x + α2 )m
las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 +
α2 =⇒ dv
2 = xdx) y la segunda es conocida, luego
Z
Z
du
1 udu
−
= ln u2 + 1 − arctan (u) + C
2
2
u +1
u +1
2
volvemos a la variable original
Z
xdx
1 2
=
ln
(x
+
1)
+
1
− arctan (x + 1) + C
2
2
(x + 1) + 1
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entonces, toda integral de la forma
Z
(Bx + C) dx
(ax2 + bx + c)m
la podemos escribir como
Z
Z
Bxdx
dx
m +C
2
2
(ax + bx + c)
(ax + bx + c)m
pero
Z
(ax2
=
B
2a
(2ax + b − b) dx
(ax2 + bx + c)m
Z
Z
B
(2ax + b) dx
Bb
dx
m −
2
2
2a
(ax + bx + c)
2a
(ax + bx + c)m
Z
=
Bxdx
+ bx + c)m
de esta forma
Z
Z
Z
B
(2ax + b) dx
Bb
dx
(Bx + C) dx
=
+ C−
(ax2 + bx + c)m
2a
(ax2 + bx + c)m
2a
(ax2 + bx + c)m
la integral
Z
(2ax + b) dx
(ax2 + bx + c)m
se puede calcular mediante la sustitución u = ax2 + bx + c =⇒ du =
(2ax + b) dx, por lo que no presenta mayor dificultad.
El problema ahora, es calcular integrales del tipo
Z
dx
(ax2 + bx + c)m
completemos cuadrado de binomio
b
b2
b2
2
2
ax + bx + c = a x + 2 x + 2 −
+c
2a
4a
4a
b 2 4ac − b2
= a x+
+
2a
4a
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note que b2 − 4ac < 0 =⇒ 4ac − b2 > 0 obtenemos
Z
Z
dx
dx
m =
2
2 m
b 2
(ax + bx + c)
a x + 2a
+ 4ac−b
4a
Z
dx
1
=
2 m
b 2
am
x + 2a + 4ac−b
4a2
hagamos el cambio de variables
b
x+
=
2a
entonces
r
dx =
r
4ac − b2
v
4a2
4ac − b2
dv
4a2
se sigue
q
1
am
Z
dx
x+
b 2
2a
+
4ac−b2
4a2
m
1
am
=
Z
q
4ac−b2
4a2
4ac−b2
1
4a2
m
m
4ac−b2
a
=
4ac−b2
dv
4a2
v2 +
Z
4a2
(v 2
4ac−b2
4a2
m
dv
+ 1)m
de donde obtenemos que el cálculo de las integrales de la forma
Z
dx
(ax2 + bx + c)m
puede ser reducido al cálculo de integrales de la forma
Z
dv
2
(v + 1)m
y estas pueden ser abordadas a través de integración por partes, en efecto
Z
Z
−m
dv
v2 + 1
dv
m =
2
(v + 1)
Z
1 −m
−2m
=
v
1+ 2
dv
v
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pongamos
−m
1
=⇒ dk = −m 1 + 2
k =
v
v −2m+1
dr = v −2m dv =⇒ r =
−2m + 1
ası́
Z
dv
=
2
(v + 1)m
es decir
Z
dv
2
(v + 1)m
1
1+ 2
v
v −2m+1
−2m + 1
−m−1 −2
v3
dv
!
Z −2m+1 1 −m
v
1 −m−1 −2
1+ 2
−m 1 + 2
dv
−
v
−2m + 1
v
v3
−m −m−1
Z −2m+1 2
v v2 + 1
v
v +1
2m
−
dv
−2m + 1
−2m + 1
v −2m−2 v 3
Z
v
2m
1
−
dv
2
(−2m + 1) (v 2 + 1)m
−2m + 1
(v + 1)m+1
=
=
si en lugar de m ponemos m − 1 entonces
Z
Z
1
dv
v
2 (m − 1)
dv
m−1 =
m−1 − −2 (m − 1) + 1
2 + 1)m
2
2
(v
(v + 1)
(−2 (m − 1) + 1) (v + 1)
es decir
Z
dv
(v 2 + 1)
ası́
Z
m−1
=
v
(−2m + 3) (v 2 + 1)
m−1
−
2m − 2
−2m + 3
Z
(v 2
1
dv
+ 1)m
Z
1
− (−2m + 3) v
−2m + 3
dv
−
m dv = −
m−1
2
2
2
(v + 1)
2m − 2
(−2m + 3) (2m − 2) (v + 1)
(v + 1)m−1
Z
v
2m − 3
dv
=
m−1 + 2m − 2
2
2
(2m − 2) (v + 1)
(v + 1)m−1
Ejemplo 6. Calcular
Z
dx
(x2 + 1)2
Desarrollo: Aplicando la fórmula de recurrencia anterior
Z
Z
dx
x
1
dx
2 = 2 (x2 + 1) + 2
2
2
x +1
(x + 1)
x
1
=
+ arctan x + C
2 (x2 + 1) 2
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Ejemplo 7. Calcular
Z
dx
(x2 + 1)3
Desarrollo: con la fórmula de recurrencia
Z
Z
dx
x
2·3−3
dv
=
+
3
3−1
2·3−2
(x2 + 1)
(2 · 3 − 2) (x2 + 1)
(x2 + 1)3−1
Z
x
3
dv
=
2 + 4
2
2
4 (x + 1)
(x + 1)2
utilizando el ejercicio anterior
Z
dx
=
=
(x2 + 1)3
x
3
x
1
+
+ arctan x + C
4 (x2 + 1)2 4 2 (x2 + 1) 2
3
x
3x
+ arctan x + C
+
2
2
8 (x + 1) 8
4 (x2 + 1)
Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una
función racional cualquiera (aunque nuestros cálculos se ven limitados por
tener que encontrar las raı́ces que nos permitan hacer la descomposición en
fracciones parciales, para encontrar una descomposición de polinomios muy
generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las raı́ces)
Ejemplos resueltos
1. Calcular
Z
3x2 + 2x − 2
dx
x3 − 1
Desarrollo: Primero notamos que la función racional es propia, luego
podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones parciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las raı́ces del denominador
x3 − 1 = (x − 1) x2 + x + 1
notemos que el segundo factor no tiene raı́ces reales, ası́
3x2 + 2x − 2
A
Bx + C
=
+ 2
3
x −1
x−1 x +x+1
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desarrollando encontramos
A = 1, B = 2 y C = 3
luego
3x2 + 2x − 2
1
2x + 3
=
+ 2
3
x −1
x−1 x +x+1
luego
Z
3x2 + 2x − 2
dx =
x3 − 1
Z
1
dx +
x−1
Z
= ln |x − 1| +
Z
2x + 3
dx
+x+1
2x + 3
dx
x2 + x + 1
x2
para calcular la integral
Z
2x + 3
dx
+x+1
x2
reordenamos en la forma
Z
Z
Z
2x + 1 + 2
2x + 1
2
dx =
dx +
2
2
2
x +x+1
x +x+1
x +x+1
Z
2dx
= ln x2 + 2x + 1 +
2
x +x+1
ahora debemos calcular
Z
x2
2dx
+x+1
para ello completamos cuadrados
Z
Z
2dx
dx
=
2
1
2
x +x+1
x2 + 2 2 x +
Z
dx
= 2
2
x + 12 + 34
1
4
+
3
4
hacemos el cambio de variable
r
r
1
3
3
x+ =
u =⇒ dx =
du = dx
2
4
4
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ası́
q
Z
2
x+
dx
1 2
2
Z
+
= 2
3
4
q
q
= 2
3
4
3
4
3
4 du
2
3
4u
Z
+
3
4
du
+1
u2
1
= 2 q arctan u
3
4
4
√ arctan
3
=
2
√
3
1
+C
x+
2
ası́
Z
3x2 + 2x − 2
dx
x3 − 1
4
= ln |x − 1| + ln x + 2x + 1 + √ arctan
3
2
2. Calcular
Z
2
√
3
1
+C
x+
2
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)2
Desarrollo: La función racional es propia. Efectuamos la descomposición en fracciones parciales:
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x − 1) (x2 + 2)
2
=
Bx + C
Dx + E
A
+ 2
+
x−1
x +2
(x2 + 1)2
las constantes nos dan
1
2
1
A = , B = , C = − , D = −1, E = 0
3
3
3
se sigue
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
(x −
Apuntes de Clases
1) (x2
+ 2)
2
=
1 1
1 2x − 1
x
+
−
2
2
3 x − 1 3 x + 2 (x + 1)2
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luego
Z
=
=
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
dx
(x − 1) (x2 + 2)2
Z
Z
Z
1
dx
2x − 1
1
xdx
+
dx −
2
2
3
x−1 3
x +2
(x + 1)2
Z
Z
Z
1
1
2xdx
1
dx
xdx
ln |x − 1| +
−
−
2
2
2
3
3
x +2 3
x +2
(x + 1)2
pero
Z
2xdx
= ln x2 + 2
2
x +2
y
Z
dx
+2
x2
√
√
la podemos calcular con el cambio de variable 2u = x =⇒ 2du = dx
ası́
Z
Z √
Z
dx
2du
1
du
=
=√
2+1
x2 + 2
2u2 + 2
u
2
1
= √ arctan u
2
x
1
= √ arctan √
2
2
luego
Z
=
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
dx
(x − 1) (x2 + 2)2
Z
1
1 2
1
x
xdx
ln |x − 1| + ln x + 2 − √ arctan √
−
3
3
3 2
2
(x2 + 1)2
y para
Z
xdx
(x2
+ 1)2
es simplemente hacer la sustitución
u = x2 + 1 =⇒ du = 2xdx
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ası́
Z
Z
Z
du
1
u−2 du
=
2u2
2
1
= − u−1 + C
2
1
+C
= −
2 (x2 + 1)
xdx
=
(x2 + 1)2
ası́
Z
=
x4 − x3 + 2x2 − x + 2
dx
(x − 1) (x2 + 2)2
1
1 2
x
1
1
ln |x − 1| + ln x + 2 − √ arctan √
+
+C
2
3
3
2 (x + 1)
3 2
2
Ejercicios propuestos
Z
a)
Z
d)
Z
g)
(2x + 3) dx
(x − 2) (x + 5)
x2 dx
x4 + 1
(x + 1) dx
(x2 − 1)2
Apuntes de Clases
Z
b)
Z
e)
c)
dx
4
x − 2x3
15
x3
Z
dx
(x + 1) (x2 + 1)2 (x + 2)2
Z
h)
Z
x dx
(x + 1) (x + 2) (x + 3)
f)
x dx
− 3x + 2
x4 dx
(x2 + 3)2
x2 dx
Z
i)
(x2 + 2x + 2)2
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