Tema II: Dinámica en el espacio de fases

Tema II: Dinámica en el espacio
de fases
1.
Las ecuaciones de Hamilton
Para sistemas autónomos en los que H no depende de t, es una constante del
movimiento por lo que
H(p, q) = α
(1.1)
Esta ecuación determina una curva en el plano p, q denominado plano de fase
El valor de q y p en cada instante (un punto en el plano de fase) define completamente el estado del sistema. Conforme transcurre el tiempo, dicho punto dibuja
una curva en el espacio de fases denominada curva de fase. El movimiento del
punto a lo largo de la curva de fase se denomina flujo de fase. Puesto que el
valor de α depende de las condiciones iniciales, para cada conjunto de condiciones
iniciales habrá una curva de fase diferente.
Debido a las propiedades de unicidad de las ecuaciones del movimiento
∂H
∂p
∂H
ṗ = −
∂q
q̇ =
(1.2)
podemos asegurar que las curvas de fase no se cortan. El conjunto de curvas de fase
describe bastante bien el comportamiento del sistema y se denomina Diagrama
de fases
2.
Espacio de fases para sistemas conservativos
Un caso particular de sistemas autónomos son los sistemas conservativos potenciales en los que el Hamiltoniano es precisamente la energı́a.
p2
+ V (q) = E
H(p, q) =
2m
1
(2.3)
2
Capı́tulo 2
En este caso, el valor de la constante E es suficiente para definir las curvas de fase
que suelen denominarse curvas de nivel
Puede establecerse una correlación entre la función potencial y las curvas de
nivel como veremos en los ejemplos siguientes
2..1
Espacio de fases del Oscilador armónico
Las curvas del espacio de fases son
s
2ml2
p=±
µ
¶
1
2
E − mx
2
que son elipses. En las figuras siguiente se ha representado la capa de energı́a y
las curvas de nivel
Capa de energia del oscilador
Diagrama de fases del oscilador
p
16
12
8
4
0
q
–4
–4
2..2
0
–2
0
p
2
q
4
4
Espacio de fases del péndulo
Corresponde al potencial
V = −mgl cos φ
Las curvas en el espacio de fases son
p
p = ± 2ml2 (E + mgl cos φ)
(2.4)
(2.5)
donde
ṗ = −mgl sin φ
p
φ̇ =
ml2
(2.6)
(2.7)
Dinámica en el espacio de fases
3
• Puntos de retroceso Son los puntos en los que
p = 0 =⇒ cos φ = −
E
mgl
de forma que solo existen si E < mgl. En tal caso φ adquiere un valor máximo y
uno mı́nimo correspondientes a:
¶
µ
E
φ± = ± arcos −
mgl
por lo que se trata de un estado oscilatorio ligado
φ− < φ < φ +
conocido como libración
Por el contrario, si E > mgl, φ no tiene máximos ni mı́nimos, el potencial es
periódico pero los estados son no ligados y el movimiento se denomina de rotación
• Máximos y mı́nimos del potencial Puesto que
ṗ = −
∂V
∂q
los máximos y mı́nimos de V como función de q coincidirán con los máximos y
mı́nimos de p como función de t.
p
V tiene mı́nimos cuando φ = 2kπ, en cuyo caso p = ± 2ml2 (E + mgl) que
siempre está siempre definido y es un máximo para el signo + y un mı́nimo para
el signo −.
Porpel contrario, los máximos de V corresponden a φ = (2k + 1)π. En tal caso
p = ± 2ml2 (E − mgl) que es un mı́nimo para el signo + (o un máximo para el
signo -) pero sólo está definido si E > mgl.
Potencial del Pendulo
q
4
Capı́tulo 2
El caso en que E = mgl divide el plano de fases en dos partes; los estados de
rotación y los de libración. La curva correspondiente se llama separatriz y su
ecuación es:
r
g
φ
2
p = ±2ml
cos
l
2
Capa de energia del Pendulo
Diagrama de fases del Pendulo
p
–6
–4
–2
5
0
–4
0
2
–2
p
0
4
2
6
4
q
q
Dinámica en el espacio de fases
2..3
5
Espacio de fases del Doble valle
Potencial del doble valle
q
Capa de energia del doble valle
Diagrama de fases del Doble valle
p
0.2
0
–0.2
1.5
–0.6
–0.4
–0.2
1
0.5
q
0 –0.5
–1 –1.5
0
0.2
0.4
0.6
p
q
6
3.
3..1
Capı́tulo 2
Espacio de fases para sistemas no conservativos
El oscilador amortiguado
Oscilador infraamortiguado ω0 > γ
En tal caso ω es real y la solución se puede escribir en términos de las condiciones
iniciales en la forma siguiente:
·µ
¶
¸
v0 + γx0
x =
sin ωt + x0 cos ωt e−γt
ω
·
¸
(ω 2 + γ 2 )x0 + γv0
p = m v0 cos ωt −
sin ωt e−γt
(3.8)
ω
de manera que la oscilación se mantiene aunque con una amplitud cada vez menor
Espacio de fases del oscilador infraamortiguado
Oscilador sobreamortiguado ω0 < γ
En tal caso la solución se puede escribir en términos de las condiciones iniciales en
la forma siguiente:
·µ
¶
¸
v0 + γx0
x =
sinh δt + x0 cosh ωt e−γt
δ
¸
·
(−δ 2 + γ 2 )x0 + γv0
sinh δt e−γt
p = m v0 cosh δt −
δ
(3.9)
Dinámica en el espacio de fases
7
Espacio de fases del oscilador sobreamortiguado
Oscilador crı́tico: ω0 = γ
En este caso ω = 0.
x = [(v0 + γx0 ) t + x0 ] e−γt
p = m [v0 − γ (v0 + γx0 ) t] e−γt
(3.10)
El comportamiento del sistema es pues parecido al caso infraamortiguado. El
sistema decae rapidamente sin tener tiempo de oscilar
4.
Análisis de estabilidad para sistemas con un
grado de libertad
Puntos fijos
Sea el sistema autónomo
q̇ = f (q, p)
ṗ = g(q, p)
(4.1)
Los puntos del espacio de fases en que el flujo es estcionario se denominan puntos
fijos. Un punto fijo (q0 , p0 ) verificará:
f (q0 , p0 ) = 0
g(q0 , p0 ) = 0
(4.2)
Veamos ahora como determinar la estabilidad de los estados mecánicos definidos
por estos puntos, es decir, que es lo que ocurre cuando perturbamos alrededor de
un punto fijo
δ q̇ = fq (q0 , p0 )δq + fp (q0 , p0 )δp + ..
δ ṗ = gq (q0 , p0 )δq + gp (q0 , p0 )δp + ..
(4.3)
8
4..1
Capı́tulo 2
La matriz de estabilidad
es decir
d
dt
µ
δq
δp
¶
µ
=
fq (q0 , p0 ) fp (q0 , p0 )
gq (q0 , p0 ) gp (q0 , p0 )
¶µ
δq
δp
¶
(4.4)
La matriz
µ
M=
fq (q0 , p0 ) fp (q0 , p0 )
gq (q0 , p0 ) gp (q0 , p0 )
¶
se denomina matriz de estabilidad Si denominamos
~ = (δq, δp)
E
(4.5)
~
dE
~
= ME
dt
(4.6)
la ecuación (2.4) puede escribirse
que es un sistema lineal de ecuaciones de primer orden cuya solución general es de
la forma
~ = c1 D
~ 1 eλ1 t + c2 D
~ 2 eλ2 t
E
(4.7)
~ i son los autovectores y λi los autovalores de la matriz M.
donde D
~1 y D
~ 2 constituyen una base local del plano de fases. Está claro
Los vectores D
que si λi son imaginarios puros, la perturbación permanece acotada y unicamente
gira alrededor del punto fijo. Por el contrario si λ tiene componentes reales, las
soluciones crecerán o decrecerán exponencialmente.
Dinámica en el espacio de fases
4..2
9
Clasificación de puntos fijos
Supongamos que el polinomio caracterı́stico es:
λ2 − aλ + b = 0
entonces
√
∆
a
λ= ±
,
∆ = a2 − 4b
2
2
y los puntos se clasificarán según los signos de a, b y ∆.
• 1) Nodo estable a < 0, ∆ > 0
λ1 y λ2 son reales negativos. λ1 < λ2 < 0. La perturbación decae en todas las
direcciones por lo que el flujo converge hacia el punto fijo.
2
• 2) Nodo inestable a < 0, 0 < b < a4 , 0 < ∆ <| a |
λ1 y λ2 son reales positivos. λ1 > λ2 > 0. El flujo total crece exponencialmente
en todas direcciones.
10
Capı́tulo 2
• 3) Punto hiperbólico o de silla b < 0
Ambos reales pero uno positivo y otro negativo. λ1 < 0 < λ2 . Las órbitas se
~ 1 pero se alejan en D
~2
acercan en la dirección D
• 4) Espiral estable a < 0, ∆ < 0
Son complejos conjugados con parte real negativa λ1 = −α + iβ, λ2 = −α − iβ.
El flujo gira acercándose al punto fijo.
Dinámica en el espacio de fases
11
• 5) Espiral Inestable a > 0, ∆ < 0
Son
√ complejos conjugados con parte real positiva λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ con
β = −∆/2. El flujo gira alejándose del punto fijo.
• 6) Punto elı́ptico o centro a = 0,√b > 0
√
Son puramente imaginarios λ1 = +i b, λ2 = −i b. El flujo gira alrededor del
punto fijo.
12
Capı́tulo 2
• 7) Puntos degenerados ∆ = 0
Son iguales y reales λ1 = λ2 = a2 . En este caso la solución es:
³
´ a
~
~
~
~
E = c1 D1 + c2 (D2 + D1 t) e 2 t
~ 2 = 0, D
~ 1 arbitrario
• 7.1) D
Las lı́neas de flujo son lı́neas rectas
7.1.a) Estrella Estable a < 0
Cuando a < 0, las lı́neas convergen hacia el punto a lo largo de rectas de
~ 1.
pendiente D
7.1.b) Estrella Inestable a > 0
Cuando a > 0, las lı́neas divergen del punto a lo largo de rectas de pendiente
~ 1.
D
Dinámica en el espacio de fases
~ 2 6= 0
• 7.2) D
Las lı́neas de flujo se curvan.
7.2.a) Nodo impropio Estable a < 0
Cuando a < 0, las lı́neas convergen hacia el punto.
7.2.b) Nodo impropio Inestable a > 0
Cuando a > 0, las lı́neas divergen del punto.
13
14
Capı́tulo 2
El siguiente esquema sirve para clasificar los puntos.
centros
nodos impropios y estrellas estables
espirales estables
nodos estables
nodos impropios y estrellas inestables
espirales inestables
nodos inestables
sillas
Dinámica en el espacio de fases
5.
15
Ejemplos
1) Problema de Volterra x=conejos,y=zorros
ẋ = x − xy
ẏ = −y + xy
•
Puntos Fijos
x1 = (0, 0),
•
Estabilidad en x1
La matriz es:
µ
M=
x2 = (1, 1)
1 0
0 −1
¶
Su diagonalización es:
λ2 − 1 = 0 =⇒ λ1 = −1, λ2 = 1
luego es un silla Las direcciones principales son:
x = λi x,
−y = λi y
de manera que
~ 1 = (0, 1)
D
~ 2 = (1, 0)
D
•
Estabilidad en x2
La matriz es:
µ
M=
0 −1
1 0
¶
Su diagonalización es:
λ2 + 1 = 0 =⇒ λ = ±i
luego es un centro Cuando δx > 0 =⇒ δ ẏ > 0. La curva gira en sentido antihorario.
16
Capı́tulo 2
zorros
conejos
Dinámica en el espacio de fases
17
2)
ẋ = −x − 5y
ẏ = x + 3y
•
Puntos Fijos
x0 = (0, 0)
•
Estabilidad en x0
La matriz es:
µ
M=
−1 −5
1
3
¶
Su diagonalización es:
λ2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ = 1 ± i
luego es un espiral inestable antihoraria
18
Capı́tulo 2
3)
ẋ = 3x + 2y
ẏ = −2x − 2y
•
Puntos Fijos
x0 = (0, 0)
•
Estabilidad en x0
La matriz es:
µ
M=
3
2
−2 −2
¶
Su diagonalización es:
λ2 − λ − 2 = 0 =⇒ λ1 = −1,
luego es un punto de silla
• Las direcciones principales son:
3x + 2y = λi x
de manera que
~ 1 = (1, −2)
D
~ 2 = (1, −1/2)
D
λ2 = 2
Dinámica en el espacio de fases
19
4)
ẋ = x − 2y
ẏ = 3x − 4y
•
Puntos Fijos
x0 = (0, 0)
•
Estabilidad en x0
La matriz es:
µ
M=
1 −2
3 −4
¶
Su diagonalización es:
λ2 + 3λ + 2 = 0 =⇒ λ1 = −2,
λ2 = −1
luego es un nodo estable. Entran paralelas a D1 y acaban paralelas a D2 . El
valor máximo de x lo alcanzan en la recta x − 2y = 0
• Las direcciones principales son:
x − 2y = λi x
de manera que
~ 1 = (1, 3/2)
D
~ 2 = (1, 1)
D
~ 1 para t −→ −∞ y a D
~ 2 para t −→ ∞ y giran en
Las órbitas serán paralelas a D
sentido antihorario
20
Capı́tulo 2
5)
ẋ = x − y
ẏ = 1 − xy
•
Puntos Fijos
x = y,
1 = xy
x1 = (−1, −1),
•
Estabilidad en x1
La matriz es:
µ
M=
x2 = (1, 1)
1 −1
1 1
¶
Su diagonalización es:
λ2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ = 1 ± i
luego es una espiral inestable
•
Estabilidad en x2
La matriz es:
µ
M=
1 −1
−1 −1
¶
Su diagonalización es:
√
λ2 − 2 = 0 =⇒ λ1 = − 2,
luego es un punto de silla.
Las direcciones principales son:
x − y = λi x
−x − y = λi y
luego y = (1 − λi )x
de manera que
√
~ 1 = (1, 1 + 2)
D
√
~ 2 = (1, 1 − 2)
D
λ2 =
√
2
Dinámica en el espacio de fases
La gráfica será:
21
22
Capı́tulo 2
6) Oscilador amortiguado
ẋ = y
ẏ = −ω02 x − 2γy
•
Puntos Fijos
x0 = (0, 0)
•
Estabilidad en x0
La matriz es:
µ
M=
0
1
2
−ω0 −2γ
¶
Su diagonalización es:
2
λ + 2γλ +
ω02
q
q
2
2
= 0 =⇒ λ1 = −γ − γ − ω0 , λ2 = −γ + γ 2 − ω02
a) γ < ω0 . λ1 y λ2 son complejos conjugados. Es una espiral estable
b) γ > ω0 . λ1 y λ2 son reales negativos. Es un nodo estable con direcciones
principales
~ 1 = (1, λ1 )
D
~ 2 = (1, λ2 )
D
(5.8)
(5.9)
~ 1 y salen paralelas a D
~ 2.
Las órbitas entran paralelas a D
c) γ = ω0 . λ1 = λ2 = −γ son reales negativos. Es un nodo estable impropio
con dirección principal y = −γx.
Dinámica en el espacio de fases
23
7)
ẋ = x(1 + x − 2y)
ẏ = (x − 1)y
•
Puntos Fijos
x1 = (0, 0),
•
x2 = (−1, 0),
Estabilidad en x1
La matriz es:
µ
M=
1 0
0 −1
x3 = (1, 1)
¶
Su diagonalización es:
λ2 − 1 = 0 =⇒ λ = ±1
luego es una silla con direcciones principales
x = 0 para
λ = −1,
y = 0 para
λ=1
luego las lı́neas entran paraleas al eje y y salen paralelas al eje x.
•
Estabilidad en x2
La matriz es:
µ
M=
−1 2
0 −2
¶
Su diagonalización es:
(λ + 1)(λ + 2) = 0 =⇒ λ1 = −1,
λ2 = −2
luego es un nodo estable horario. Las direcciones principales son:
y = 0 para
λ = −1,
y=−
x
2
para
λ = −2
luego las lı́neas entran paralelas al eje y = − x2 , giran en y =
paralelas al eje x.
x
2
y caen en x2
24
•
Capı́tulo 2
Estabilidad en x3
La matriz es:
µ
M=
1 −2
1 0
¶
Su diagonalización es:
√
1±i 7
λ − λ + 2 = 0 =⇒ λ =
2
2
luego es una espiral inestable antihoraria. Las direcciones principales son:
y = 0 para
λ = −1,
y=−
x
2
para
λ = −2
luego las lı́neas entran paralelas al eje y = − x2 , giran en y =
paralelas al eje x.
x
2
y caen en x2
Dinámica en el espacio de fases
25
8)
ẋ = x(4 − x − y)
ẏ = (x − 2)y
•
Puntos Fijos
x1 = (0, 0),
•
x2 = (2, 2),
Estabilidad en x1
La matriz es:
µ
M=
4 0
0 −2
x3 = (4, 0)
¶
Su diagonalización es:
(λ − 4)(λ + 2) = 0 =⇒ λ1 = −2,
λ2 = 4
luego es una silla con direcciones principales
x = 0 para
λ1 = −2,
y = 0 para
λ2 = 4
luego las lı́neas entran paralelas al eje y y salen paralelas al eje x.
•
Estabilidad en x2
La matriz es:
µ
M=
0 −2
2 0
¶
Su diagonalización es:
√
λ2 + 2λ + 4 = 0 =⇒ λ − 10 ± i 3
luego es una espiral estable .
•
Estabilidad en x3
La matriz es:
µ
M=
−4 −4
0
2
¶
Su diagonalización es:
−(4 + λ)(2 − λ) = 0 =⇒ λ1 = −4,
λ2 = 2
26
Capı́tulo 2
luego es una espiral inestable antihoraria. Las direcciones principales son:
y = 0 para
λ1 = −4,
y=−
x
2
para
λ2 = 2
luego las lı́neas entran paralelas al eje y = − x2 , giran en y =
paralelas al eje x.
x
2
y caen en x2
Dinámica en el espacio de fases
6.
27
Ciclos lı́mite
Veamos por ejemplo el siguiente sistema
ẋ = x + y − x(x2 + y 2 )
ẏ = −x + y − y(x2 + y 2 )
(6.10)
Desde el punto de vista del analisis lineal hay una espiral inestable en el origen.
Sin embargo, el sistema puede ser resuelto exactamente si pasamos a polares. En
tal caso:
xẋ + y ẏ = x2 + y 2 − (x2 + y 2 )2
y ẋ − xẏ = x2 + y 2
es decir
rṙ = r2 (1 − r2 )
ϕ̇ = −1
or
r
1
1 + ae−2t
ϕ̇ = −1
r =
(6.11)
de manera que las órbitas convergen a un cı́rculo de radio 1 tanto si r0 es mayor
que 1 como si es menor (ver figura)
1
0.5
–1
–0.5
0.5
–0.5
–1
1
1.5
2
28
Capı́tulo 2
7.
Blow up
ẋ = −y + x(x2 + y 2 )
ẏ = x + y(x2 + y 2 )
Pasando a polares:
rṙ = xẋ + y ẏ = (x2 + y 2 )2 = r4
r2 ϕ̇ = xẏ − y ẋ = x2 + y 2 = r2
luego
ṙ = r3
ϕ̇ = 1
cuya solución es
r02
1 − 2r02 t
ϕ = t + t0
r2 =
Dinámica en el espacio de fases
8.
29
atractores
Los cı́clos lı́mite, los nodos estables y las espirales estables son atractores.
En más de dos dimensiones el espacio de fases puede presentar atractores con
comportamientos peculiares que se denominan atractores extraños
8..1
El atractor de Lorenz