Método para Calcular el Modo Fundamental de la Ecuación de

Método para Calcular el Modo Fundamental de la Ecuación de Helmholt
en un Anillo Elíptico Homofocal
Gallardi, Carlos M.
Cátedra de Análisis Matemático II (Orientación Física)
Facultad de Ciencias Exactas - UNNE - Departamento de Física
Avda. Libertad 5600 - (3400) Corrientes - Argentina
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INTRODUCCIÓN
Desde el año 1868 cuando se publicó la memoria original, y hasta las primeras décadas de nuestro siglo, las
funciones de Mathieu han sido objeto de investigación matemática y encontraron variadas aplicaciones en
física e ingeniería.
Algunos autores [ 1 ]-[ 2 ]- [ 5 ] muestran una abundante bibliografía sobre ellas; no obstante esto, una discusión y
posteriores aplicaciones son generalmente omitidas en la gran mayoría de las publicaciones y textos modernos
de matemática para ciencias e ingeniería.
En años recientes se publicaron nuevas e importantes aplicaciones [ 8 ] de esas funciones y desarrollaron
métodos [ 9 ] para calcular autofunciones y autovalores de la ecuación de Helmholtz en coordenadas elípticas.
En esta comunicación se presenta un método para calcular , de manera muy simple, el modo y autovalor
fundamental de la citada ecuación, válido en un recinto con forma de anillo elíptico homofocal, utilizándose
para ello las posibilidades que brinda el programa Mathematica V.2.2.1 [ 6 ] que no tiene incorporado, las
funciones de Mathieu.
MÉTODO DE CÁLCULO
El modo fundamental Ψ01 satisface la ecuación de Helmholtz en coordenadas elípticas [ 1 ]
2
( ∇ 2 + k 01
) Ψ01 ( ζ , η ) = 0 ,
(1)
en un dominio Ω con forma de anillo elíptico homofocal y las elipses ζ 1 y ζ 2 como frontera, así :
Ψ01 ( ζ , η ) ∈ Ω ,
Ω =
{
(ζ, η ) /
x2
h 2 cosh 2 ζ
+
y
2
2
2
h senh ζ
= 1 ,
0 < ζ
1
< ζ < ζ
2
, 0 ≤ η
≤ 2π
}
con h distancia focal.
Imponiendo a Ψ01 condiciones homogéneas de Dirichlet sobre la frontera de Ω se tiene :
(2)
Ψ01 ( ζ 1 , η ) = Ψ01 ( ζ
2
, η ) = 0 .
En la separación de variables de la ec. (1), la solución completa, de variable ζ , se expresa por una
combinación lineal de funciones modificadas de Mathieu de 1ra y 2da especies de orden cero debido a la
forma del dominio Ω.
Para dichas funciones, Ceo ( ζ ) y Feyo ( ζ ) , se han utilizado aquí las nomenclaturas y definiciones dadas por
McLachlan [ 2 ] como series de funciones de Bessel de 1ra y 2da especies respectivamente. Esto simplifica la
construcción de ambas funciones, especialmente la de 2da especie, al utilizar las funciones de Bessel que se
encuentran incorporadas a Mathematica V.2.2.1. Por consiguiente, la solución apropiada de la ec. (1) en Ω es
:
(3)
Ψ01 ( ζ , η ) =
{
M o ( q ) Ce o ( ζ , q ) + N o ( q ) Fey o ( ζ , q ) } ce o (η , q ) =
=
) ce o ( η , q )
q
donde o denota la función de
de 1ra especie y orden cero de variable η . Los coeficientes
Mo ( q ) y No ( q ) deben ser tales que la ec. (3) satisfaga las condiciones (2).
Como ceo [ 2 ] - [ 3 ] no puede anularse [ 4 ] , las condiciones ( 2 ) aplicadas a la ec.( 3 ) dan el sistema :
(4)
 Ξ (ζ 1 , q ) = 0

 Ξ (ζ2 , q ) = 0
(0 ≤ η ≤ 2π )
que se resuelve numéricamente en este trabajo para un par cualesquiera de elipses, frontera de Ω.
Debido a que, para dicho par, no se conoce al comienzo el valor de q que satisface las condiciones ( 2 ) o su
equivalente ( 4 ) , el método aquí desarrollado permite obtener un valor de q = q01 , definido como la menor
de todas las raices positivas del sistema ( 4 ) , mediante el siguiente procedimiento :
1) Cálculo de un valor aproximado q*01 .
2) Utilización de una función ∆ = Ceo ( ζ 2 ) Feyo ( ζ 1 ) - Ceo ( ζ 1) Feyo ( ζ 2 ) proveniente de ( 4 ) , para.
obtener un valor final q01.
Para valores de q tales que 0 < q < q01 , la función ∆ no tiene raices y diverge a
debido a la influencia de términos logarítmicos en la definición de Feyo.
- ∞ cuando q → 0,
Cálculo de q*01
Se utiliza una Tabla de valores de q que son raices del sistema ( 4 ) y que fue construida previamente para un
amplio intervalo de pares conocidos (ζ 1 , ζ 2 ) ,habiéndose definido las funciones que figuran en dicho
sistema, con coeficientes A2r calculados mediante los algoritmos utilizados en un trabajo anterior [ 4 ] e igual
extensión de las fracciones continuas [ 5 ].
En una situación práctica, dadas dos elipses ζ 1 y ζ 2 , las mismas deben ubicarse entre dos valores
consecutivos correspondientes de la Tabla de doble entrada para las variables ζ 1 y ζ 2 . Así, el valor q*01
asociado a este último par puede obtenerse mediante una fórmula en incrementos finitos que utiliza los cuatro
valores de q adyacentes a q*01.
Cálculo de q01
*
*
Se aceptará q*01 como q01, siempre que Abs [Ψ01 ( ζ 1 , q 01 ) ] y Abs [Ψ01 ( ζ 2 , q 01 ) ] sean ambos menores que
un infinitésimo ε preestablecido. Si por lo menos una de las condiciones de contorno no verificara la
acotación , se adoptarán tres valores qi , qj y qk muy próximos entre sí y a q*01 , siendo qi < qj < qk de
manera que Sig ∆ ( qi ) ≠ Sig ∆ ( qk ).
Estos tres pares de puntos (q , ∆(q ) ) permiten construir una función polinómica p ( q ) que tiene una
única raiz q01 en [ qi , qk ] [ 6 ] . Un intervalo [ qi , qk ] es aceptable cuando , al utilizar q01 en ( 2 ) ,se verifica
la acotación establecida.
Modo y autovalor fundamental
De acuerdo con la ec. ( 3 ) , el valor hallado q01 y salvo una constante multiplicativa, el modo fundamental se
escribe ahora:
(5)
Ψ01 ( ζ , η ) = Ξ ( ζ , q 01 ) ce o ( η , q 01 )
que es válido en Ω y cumple, dentro de un cierto margen de error, las condiciones ( 2 ).
El correspondiente autovalor fundamental está dado teóricamente por k201 = 4 q01/ h2 [ 1 ].
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
La convergencia absoluta y uniforme de Feyo, en ( 3 ) queda asegurada [ 2 ] al adoptar su definición en serie
de Bessel [ 2 ] como función de Cosh ζ , cuando Cosh ζ > 1; condición que se satisface por ser ζ > 0 en Ω.
2
El método expuesto se utilizó para calcular Ψ01 y k 01 en una región limitada por las elipses con semiejes
mayores a2 = 2.0 , a1 = 1.2 y h = 1 unidad. Resulta entonces que ζ 2 = 1.3169578 y ζ 1 = 0.6223625 , los
que fueron ubicados entre valores conocidos de la Tabla mencionada, la que al relacionar a q con ζ 2 y ζ 1 ,
que dependen sólo de las excentricidades, tiene un carácter general e independiente de los valores que se
adopten posteriormente para los ejes de las elipses.
Mediante un desarrollo en serie en incrementos finitos partiendo de q =3.0,ubicado en la Tabla, se obtuvo q*01
= 2.55995. Para este valor es Ψ01 ( ζ 1 , η ) = 1.6 10-17 y Ψ01 ( ζ 2 , η ) = 0.018. Esta última condición ha
sido mejorada con qi = 2.45 y qk =2.47 para los cuales ∆ cambia de signo y qj = 2.46. Entonces resulta
que p ( q ) tiene una raiz q01 = 2.463014.
Como el máximo valor de ceo (η , q01 ) = 1.2 , entonces las condiciones ( 2 ) adoptaron los valores:
Ψ01 ( ζ 1 , q 01 ) = -3.3 10-17 y Ψ01 ( ζ 2 , q 01 ) = -5.6 10-7 , que pueden aceptarse si resultan ser menores en
valor absoluto que un cierto error preestablecido.
El modo fundamental ( 5 ) se escribe finalmente: Ψ01 ( ζ , η ) = Ξ ( ζ , 2.463014 ) ce o ( η , 2.463014 ) y el
autovalor asociado k201 = 4 q01 / h2 = 9.85205.
.
El número de decimales exactos del autovalor no está limitado por el método aquí expuesto sino por la
exactitud con que se expresa la distancia focal , debido a que siempre es posible hallar q01 con una exactitud
mucho mayor que la que corresponde al valor de h , con sólo considerar una conveniente extensión de las
fracciones continuas para el cálculo de los coeficientes A2r[ 4 ] y aumentar consecuentemente su número en la
función Ξ .
Las figuras 1 y 2 muestran los valores del modo fundamental sobre sendos planos perpendiculares al anillo
elíptico y que contienen, respectivamente, a los ejes mayores y menores.
CONCLUSIONES
La sistematización de algoritmos conjuntamente con el método expuesto para el cálculo de q01 permiten
obtener, de manera simple, el modo fundamental y el autovalor asociado.
Modos Ψ n j de órdenes superiores al fundamental y sus autovalores k2n j = 4 q n j / h2 con j = 1,2,3,...;
n = j-1, pueden hallarse mediante algoritmos similares a los utilizados aquí.
APLICACIÓN
Los resultados anteriores permiten calcular la frecuencia de corte fc [ 7 ] y la longitud de onda de corte λ c para
una onda electromagnética que se propaga en el modo TM01 en una guía de ondas cilíndrica de sección
transversal en forma de anillo elíptico homofocal.
En una guía metálica con aire como dieléctrico en su interior, la componente E z ,01 ( ζ , η ) del campo eléctrico
satisface una ecuación del tipo ( 1 ) y las condiciones ( 2 ) , donde z representa la dirección lonlongitudinal de la guía . Para dos elipses con las mismas dimensiones anteriormente dadas resulta que
fc = c k01 / 2 π = 3 . 10 10 . 2 . ( q01 )1/2 / 2 π = 1.5 1010 s-1 y λ c = 2 π / k01 = π / ( q01 ) 1/2 = 2.00 cm.
Fig. 1 Valores del modo
Ψ01 sobre un plano perpendicular al anillo
elíptico y que contiene a los ejes mayores.
Fig. 2 Valores del modo
Ψ01 sobre un plano perpendicular al anillo
elíptico y que contiene a los ejes menores.
REFERENCIAS
[ 1 ] Morse, P.M., and Feshbach,H., Methods of Theoretical Phisics. N.Y. McGraw-Hill.1953.
[ 2 ] McLachlan, N.W.,Theory and Application of Mathieu Functions Clarendon Press,Oxford,England.1947
[ 3 ] Angot ,A., Moderna Matemática para Ingenieros. Nigar. Buenos Aires. 1964.
[ 4 ] Gallardi, C. M., Método para calcular el modo fundamental de la ecuación de Helmholtz en un recinto
elíptico.Reunión de Comunicaciones Científicas y Tecnológicas. SECYT. Tomo IV. UNNE. 1998.
[ 5 ] Abramowitz, M., and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions. Dover Publ. Inc. N. Y. 1972.
[ 6 ] Adamchik,V.,et al,Guide to Standard Mathematica ® Packages.V.2.2.T. Report.W. Research Inc. 1993.
[ 7 ] Jackson, J.D., Electrodinámica Clásica. Alhambra, S.A.Madrid.1966.
[ 8 ] Ruby,L.,Applications of the Mathieu Equation. Am.J.Phys. 64(1),39-44 (1996).
[ 9 ] Chen,G., Morris,P.J. and Zhou,J., Visualization of Special Eigenmodes Shapes of Vibrating Elliptical
Membrane. SIAM Review. 36(3),453-469 (1994).