Leyes de Kepler T2 = k ·r T : periodo k : cte de proporcionalidad

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Tema 1.- Movimientos de los Cuerpos Celestes
Leyes de Kepler
1º. Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, situado en uno de los focos de la elipse.
2º. La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (los planetas se mueven más
rápidamente en el perihelio): los planetas se mueven con velocidad areolar constante.
Afelio
A1
A2
A 1 = A2
Perihelio
3º. Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias
medias al Sol:
T : periodo
T2 = k ·r3
k : cte de proporcionalidad =
r : distancia media
4π2
G · msol
Nociones Actuales

Todos los planetas tienen dos movimientos.- traslación y rotación.

Todos los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol.

Casi todas las órbitas están aproximadamente en el mismo plano.

Todos los planetas tienen un sentido antihorario de traslación visto desde el polo norte celeste (lo
mismo ocurre con los satélites) .

Todos los planetas, excepto Urano y Plutón, tienen un eje de rotación perpendicular al plano de su
órbita.

Todos los satélites, excepto los de Urano y Plutón, describen órbitas en el plano ecuatorial de sus
planetas (prácticamente en su mismo plano orbital) .

Todos los planetas, excepto Venus, Urano y Plutón, tienen un sentido antihorario de rotación.
Traslación
Consideramos al planeta o satélite como puntos materiales dotados de la masa del cuerpo, no se tienen en
cuenta sus dimensiones.
Momento Angular (L)
L=r×p=r×m·v→ L
dirección: ⊥al plano que forman r y p (o v)
sentido: regla de la mano derecha
→
módulo: L = m · v · r · sen 
L
r

v
L = kg ·
m2
s
á
á
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Física _ 2º Bachillerato
Movimientos Circulares
L = m · v · r · sen  → v ⊥ r → sen  = sen 90º = 1 → L =m · v · r
v = ω · r → L = m · r2 · ω → L = m · r2 ·
dθ
dt
L


p
r
Movimientos Curvilíneos
r × m · vr = 0 (r∥vr )
→ sen  = 1 → L = m · v · r
vt ⊥ r → sen  = 1
L = r × m · vr + vt = r × m · vr + r × m · vt
v = ω · r → L =m · r2 · ω → L = m · r2 ·
dθ
dt
L
0

vt
r
v
vr
Conservación del Momento Angular
El L de un cuerpo varía cuando actúa sobre él el momento de una fuerza M .
L
=r ×F=M
dt
El L de un cuerpo permanece cte si sobre él no actúan fuerzas ( F =0) o las fuerzas que actúan son centrales ( r y
F tienen la misma dirección, las fuerzas están dirigidas siempre hacia un punto fijo  la trayectoria de un punto
material que se mueve bajo la acción de una fuerza central es siempre plana).
L
=r×F=0
dt
Momento Angular de Traslación
Según la 2ª ley de Kepler: la velocidad areolar
v=
área barrida
unidad de tiempo
=
dA
dt
) de un planeta es cte  el L de
traslación de un planeta alrededor del Sol permanece cte.
dA
1 L
= ·
dt
2 m
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Tema 1.- Movimientos de los Cuerpos Celestes
Consecuencias
1. Las órbitas de los planetas y satélites son planas, consecuencia de la constancia en la dirección del L.
2. La fuerza que gobierna el movimiento planetario y de los satélites es de
tipo central y actúa en la dirección que une el planeta y el sol, ó el
satélite y el planeta.
F
3. Las órbitas planetarias y de los satélites son estables.
Centro de Masas
Su posición viene dada por las coordenadas promedio de las masas que componen el sistema.
rCM =
mi · ri
mtotal
r2
r1
0
mi · vi
vCM =
mtotal
m
CM
m
rCM
El movimiento del CM es representativo del movimiento de todo el sistema. El momento lineal del sistema
equivale al p del CM si se supone concentrada en él toda la masa del sistema.
pCM = mtotal · vCM = mtotal ·
drCM
dt
F=
dpCM
dt
Rotación
Se considera el cuerpo como un sólido rígido (conjunto de partículas que ocupan posiciones relativas fijas entre
sí o con respecto a un origen arbitrario cualquiera).
n
mi · r2i
Ltotal =
·ω
i=1
Momento de Inercia
n
mi · r2i
I=
kg · m2
i=1
Depende de la masa del sólido y de la distribución de esta masa con respecto al eje de rotación elegido (un sólido
tendrá multitud I, tantos como ejes de rotación se puedan elegir).
Movimientos Lineales
Movimientos Curvilíneos
Magnitud
Momento lineal o cantidad de movimiento
Momento angular
Caracteriza
El estado de traslación lineal
El estado de rotación
Expresión
p=m·v
L=I·ω
Factor de oposición a los
cambios
Masa
Momento de inercia
Agente Dinámico
Fuerza
Momento de Fuerza
Expresión
F=m·a N
M=I·α N·m
á
á
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Física _ 2º Bachillerato
Conservación del Momento Angular en Rotación
Si sobre un sólido no actúa momento de fuerza ninguno (o los que actúan se anulan):
dL
= 0 → L = cte
dt
→ I·ω
antes
= I '· ω'
después
Energía Cinética de un Cuerpo en Rotación
1
I·ω
EC rotacional = ·
2
I
L2
=
2I
2
Cuerpos Rodantes
Rotación sin traslación
Traslación sin rotación
v=R·
v=0
v=R·
Cuerpo Rodante
2v
v
v=0
El punto en contacto con la superficie está en reposo (su velocidad de traslación es igual y contraria a su velocidad
de rotación).
El punto superior tiene una velocidad relativa 2v con respecto al punto de contacto y 𝑣 en relación con el CM.
EC
rodadura
= EC
traslacional
+ EC
rotacional
=
1
1
· m · v2 + · IC · ω2
2
2