Complejos - ejercicios y examenes

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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Teoría: a) Forma polar; b) Producto de números complejos; c) Ley de Moivre.
2. Si el senx=0,6 y ð/2<x<ð. Halla por la ley de Moivre cos3x.
3. Construye una ecuación que tenga de raíces los números complejos
2 45, y
2 315.
4. Halla el número complejo z si
z + 1 + 3i
= 1+ i
z+i
5. Halla los resultados de la siguiente ecuación: x2-6x+10=0.
Soluciones:
2. cos3x=0,352
3. x2-2x+2=0
4. z=2-2i
5. 3"i
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EXAMEN COMPLEJOS
1. Calcula en forma binómica y polar (1+i)4
2. Encuentra a y b para que
a + 4i
= 2 45
3+ b i
3. En forma polar o trigonométrica se pide: Hallar el número complejo cuyo
cuadrado es un número imaginario, sabiendo que la componente real del mismo es superior
en una unidad a la componente imaginaria.
4. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 260º y 2300º.
5. Siendo z=8i. Se pide calcular
3
z
6. Representa las raíces anteriores y calcula la longitud del lado del triángulo.
Soluciones:
1. 4180 = -4
2. a=2, b=1
3. 1/2-1/2i
4. x2-2x-2
5. 230º+120k
6. L = 12
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Calcula en forma binómica y polar (1+2i)4
2. Encuentra a y b para que
a + 2i
= 2 315
3 + bi
19
- 24
3. Realiza la siguiente operación i 37 i
i
4. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 3+2i, 3-2i
5. Siendo z=4 3 +4i. Se pide calcular
3
z
Soluciones:
1. -7-24i; 25253,74
2. a=8, b=5
3. -1+i
4. x2-6x+13
5. 210, 2130, 2250
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EXAMEN COMPLEJOS
1. Calcula en forma binómica y polar (3-3i)4
2. Encuentra a y b para que (a-6i)/(3+bi) =
2 315
3. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 1+2i y 1-2i.
4. Siendo z=4 2 +4 2 i. Se pide calcular
3
z
5. Si sená=1/2 y 0<á<ð/2, halla sen(3á).
Soluciones:
1. 324180 =-324
2. a=0, b=-3
3. x2-2x+5
4. 215º, 2135º, 2255º
5. sen(3á) = 1
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. División de complejos en forma polar. Radicación de números complejos.
2. Resolver
gráfica.
6
- 64 . Expresa las soluciones en forma binómica. Haz la representación
3. Calcular (- 3 +i)30
4. Resolver x2-4x+5=0.
5. Resolver (x+2i)(y-3i) = 8+i / x,y 0 ú.
Soluciones:
2.
3.
4.
5.
230º, 290º, 2150º, 2270º, 2330º; 3 +i, 2i, - 3 +i, - 3 -i, -2i,
230180º=-230
2"i
x=1, y=2; x=-4/3, y=-3/2
3 -i
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Hallar "a" para que el complejo (2a-3i)/(-3-2i) sea: a) imaginario puro. b) un
número real.
2
- i7
13
2. Calcula el complejo: i
y pásalo a forma polar.
2 i
3. Resuelve: x4 + 1 =
3i
4. Siendo z = 1- 3 i y w = 2+2i. Calcula: a) z-zw b) (zAw)4 c) z3/2w2
Soluciones:
1. a) a=-1; b) a=-9/4
2. -1/2 = (1/2)180º
3. 2 30+90k
4. a) -1-2 3 +( 3 -2)i; b) 256300; c) (1/2)90 = i/2
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Dados los complejos: z = -2+2i y u = 2-2i. Calcula: a) uAz, b) z/u, c) u4 y d)
z
3
%
2x - y i
2+i
Calcular el lugar geométrico de los puntos (x,y) tal que el cociente sea imaginario
2. Dado el cociente
puro.
3. Dado el complejo: z = 3-4i. Calcula: a) Su opuesto, b) su conjugado, c) su
inverso, d) el conjugado del opuesto y e) el opuesto del conjugado.
4. ¿A qué es igual el cociente de dos números complejos en forma polar?. Dedúcelo.
5. Un vértice de un hexágono regular centrado en el origen es (0,2), halla el resto de
sus vértices.
Soluciones:
1. a) 8i; b) -1; c) -64; d) 2 45, 2 165, 2 285
2. y=4x
3. a) -3+4i; b) 3+4i; c) 3/25+4/25 i; d) 3-4i; e) -3-4i
5. 290, 2150, 2210, 2270, 2330, 230
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Determinar el valor de a para que el módulo del cociente (a+i)/(2-i) sea:
2.
2. Utilizar la fórmula de Moivre para deducir las fórmulas trigonométricas del ángulo
triple: cos3á, sen3á.
3. Halla los números complejos z y z' verificando las siguientes condiciones: a) z+z'
= 1-7i; b) z/z' sea imaginario puro; c) la parte real de z' sea 3.
4. Hallar un número complejo z tal que z2 = z', siendo z' el conjugado de z.
5. Calcular:
4
8+8 3 i
Soluciones:
1. a="3
2. sen3á=3cos2ásená - sen3á; cos3á=cos3á-3sen2ácosá
3. z=-2-6i, z'=3-i ó z=-2-i, z'=3-6i
4. -1/2" 3 /2i
5. z1=215º, z2=2105º, z3=2195º, z4=2285º
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Dados los números complejos z=3-2i y u=-1+3i. Halla: a) z/u, b) z3, c) z.u
2. Calcula a para que el módulo del cociente
a + 2i
sea igual a 2.
1- i
3. Dados los vértices de un triángulo equilátero z, u y w. Halla los afijos (vértices) y
sus coordenadas, sabiendo que z=2.
4. Dada la ecuación z2-3z+4=0, halla las raíces.
5. a) Calcula: (i35-i-5)/(i13); b) zAz'=|z|2. Razónalo. (z' = conjugado de z); c) Si se
multiplica un número complejo z por i, ¿qué pasa geométricamente?.
Soluciones:
1.
2.
3.
4.
5.
a) -9/10-7/10 i; b) -9-46i; c) 3+11i
a="2
u=-1+ 3 i, w=-1- 3 i
3/2" 7 /2 i
a) 0; b) rá.r-á=r20; c) gira 90º
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Escribe en forma cartesiana los complejos: a) z1 = 230 ; z2 = 8135 ; z3 = 2300 .
2. Escribe en forma polar los números complejos: z1 = 5; z2 = (1,-1); z3 = (0,3); z4
= 3i; z5 = (1+ 3 i); z6 = 3 -i.
3. Resuelve la ecuación: x2+3x+3 = 0.
4. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean (1+3i) y (1-3i).
5. Halla el conjugado y el opuesto en las formas binómica y polar del número
complejo z = (-2,2).
6. Calcula el valor de a para que el cociente (12-ai)/(3-4i) sea a) imaginario puro; b)
real puro; c) tenga su afijo en la bisectriz del primer cuadrante.
2
+ 3
7. Calcula i i y escribe el resultado en forma binómica y polar.
2 i
Soluciones:
1. z1=( 3 ,1); z2=(-4 2 ,4 2 ); z3=(1,- 3 )
2. z1=50; z2= 2 -45º; z3=390º; z4=390º; z5=260º; z6=2-30
3. -3/2" 3 /2 i
4. x2-2x+10=0
5. -2-2i= 8 225º; 2-2i, 8 -45º
6. a=-9; b) a=16; c) a=12/7
7. -1/ 2 +1 2 i; 1135º
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Resuelve la ecuación x3-2x2+10x=0
2. Calcula los números reales x e y de modo que se cumpla que
3. Determina el valor de x para que
imaginario puro.
4+ x i
= y -2i
2+i
x+2 i
sea: a) un número real; b) un número
1- 2 i
4. Halla las raíces cúbicas del complejo z=i+1.
5. Resuelve: a) (1+i)Az2 + i = 7; b) z3+4z = 0 (z = número complejo)
5. Escribe en forma binómica, trigonométrica y polar el número complejo: 2 3-2i
%
7. Halla los vértices de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de centro
el origen de coordenadas. Sabiendo que uno de sus vértices se encuentra en el afijo del
número complejo (1+ 3i).
%
Soluciones:
1. x=0; x=1"3i
2. x=-3, y=1
3. a) x=-1; b) x=4
4. 6 2 15” , 6 2 135” , 6 2 255”
5. a) 2-i, -2+i; b) z=0, z="2i
6. 40-30; 40(cos(-30)+isen(-30)); (2 3 ,-2)
7. 260, 2132, 2204, 2276, 2348
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Teoría: a) Forma polar; b) Producto de números complejos; c) Ley de Moivre.
2. Si el senx=0,6 y ð/2<x<ð. Halla por la ley de Moivre sen3x+sen2x.
3. Construye una ecuación que tenga de raíces los números complejos
2 30, y
2 300.
4. Halla el número complejo z si
z -2
1+ 2 i
=
2z - 4 i
6
5. Halla los resultados de la siguiente ecuación: x2-2x+4=0.
Soluciones:
2. -0,024
3. x2-2 3 x+4=0
4. z=3+2i
5. 1" 3 i
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Teoría: a) Forma polar; b) Producto de números complejos; c) Ley de Moivre.
2. Si el senx=5/13 y ð/2<x<ð. Halla por la ley de Moivre sen4x.
3. Construye una ecuación que tenga de raíces los números complejos 245, y 2225.
4. Halla el número complejo z si
z+i
= 1+ i
z -i
5. Halla los resultados de la siguiente ecuación: x2-2x+5=0.
Soluciones:
2. sen4x•-1
3. x2-4i=0
4. z=2+i
5. 1"2i
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EXAMEN COMPLEJOS
1. Calcula en forma binómica y polar ( 3 +i)4
2. Encuentra a y b para que (a+7i)/(3+bi) = 2+i
3. Dado el número complejo (i6-i-5)/i. Halla: a) su cociente; b) los afijos de las raíces
cúbicas del complejo obtenido en el apartado anterior.
4. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean
2 45º y
2 315º.
5. Dado el número complejo (x+i)/(1+xi). Calcula x en los siguientes casos: a) el
cociente sea imaginario puro; b) el cociente sea número real; c) el afijo está en la bisectriz
del primer cuadrante
Soluciones:
1. 8 3 i-8; 16120º
2. a=4, b=2
3. a) 1+i; b) 6 2 15 , 6 2 135 , 6 2 255
4. x2-2x+2=0
5. a) x=0; b) x="1; c) x=-1" 2
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EXAMEN COMPLEJOS
1. Define: a) forma polar; b) forma trigonométrica; c) y d) deduce la expresión del producto de dos
números complejos en forma polar (o trigonométrica).
2. Utilizando la fórmula de Moivre deduce las expresiones del seno y coseno de 3á.
3. Dados los números complejos z=2120º, v=230º y t=1+
2
a) z.v -t
3
b)
3
3 i. Calcula:
z1
4. Resuelve en ÷ la ecuación x2-2x+2=0.
5. Eleva al cubo
3 -i y expresa el resultado de todos los modos posibles.
Soluciones:
2. sen(3á)=3cos3ásená-sen3á; cos(3á)=cos3á-3cosásen2á
3. a) 0; b) 3
2 40 ; 3 2 1 6 0 ; 3 2 28 0 2
4. 1"i
5. 8270º, 8(cos270º+isen270º), -8i, (0,-8)
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EXAMEN COMPLEJOS
1. Define:
a) parte imaginaria y real de un número complejo
b) conjugado de un número complejo
c) inverso de un número complejo
d) opuesto de un número complejo
2. Halla dos números complejos sabiendo que su suma es -4+7i, la parte imaginaria del primero es 4 y
pertenece al primer cuadrante, y el cociente del primero partido por el segundo es imaginario puro.
3. Calcula
3
4+4 3 i 3
4. Calcula el valor de k para que el afijo del cociente
a) el eje de abscisas.
b) el eje de ordenadas.
c) la bisectriz del segundo cuadrante.
k +i
4 se encuentre sobre:
2 +i
5. a) Resuelve la ecuación: x2-(2+2i)x+2i-1=0.
b) Calcula (i 20+i 35-i 462).i 7
Soluciones:
2. 2+4i, -6+3i
3. 220º, 2140º, 2260º
4. a) k=2; b) k=-1/2; c) k=1/3
5. a) 2+i, i; b) -1-2i
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EXAMEN MATEMATICAS - Complejos
1. Teoría: a) Forma polar; b) Producto de números complejos; c) Ley de Moivre.
2. Si el senx=0,6 y 0<x<ð/2. Halla por la ley de Moivre sen4x.
3. Realiza las siguientes operaciones:
7
+4
a) i 3 i
i -1
b) (3 + 3i )4
c) 3
4. Halla el número complejo z si
27 3
27
+
i
2
2
2 z + 6i
=3 - i
z +i
5. Halla los resultados de la siguiente ecuación: x2-2x+5=0.
Soluciones:
2. sen4x=0,5376
3. a) i; b) -324=182180º; c) 310º, 3130º, 3250º
4. z= -2 +i
5. 1+2i, 1-2i
¡Error!Marcador no definido.