Ecuaciones con matrices

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Ecuaciones con matrices
Igual que ocurría con los números reales, también pueden plantearse ecuaciones con matrices. En
ellas, tanto los términos como las incógnitas son todos matrices. Para entender cómo se resuelven,
primero debes tener claras un par de cosas:
- Las operaciones básicas con matrices (suma, resta y producto).
- Cómo calcular la inversa de una matriz.
Si tienes dudas con alguno de estos puntos, conviene que los repases en tus libros, tus apuntes o las
descargas de nuestra web. Si los tienes dominados (o si estás volviendo a leer esto después de irte a
repasarlos), podemos empezar.
Como todo se ve mejor a través de ejemplos, vamos a ir resolviendo una ecuación con matrices
mientras explicamos cómo se hace. Tomemos esta ecuación:
A·B·X – C = D
Siendo
A=
(
1 1
−1 0
)
B=
(
−1 0
3 1
)
C=
(
2 2
−2 1
)
D=
(
0 4
−1 0
)
X, por supuesto, es la matriz incógnita. Fíjate que todo se indica utilizando letras mayúsculas, y que
todas las matrices son cuadradas y tienen las mismas dimensiones. De lo contrario, la ecuación no
podría resolverse.
Igual que una ecuación normal, para resolver tenemos que despejar la matriz X. El primer paso es
pasar la matriz C, que está restando, sumando al otro lado:
A·B·X = D + C
Hasta ahí nada nuevo. Lo que viene ahora, sin embargo, sí es distinto. En una ecuación normal,
pasaríamos A y B dividiendo al otro lado de la igualdad, pero eso no puede hacerse (porque no
existe la división entre matrices). Lo que se hace en su lugar, es multiplicar ambos lados de la
igualdad por la inversa de A:
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A-1·A·B·X = A-1(D + C)
IMPORTANTE: las matrices no tienen propiedad conmutativa. Así que si he tenido que multiplicar
por la inversa de A poniendo A-1 a la izquierda, tengo que hacer exactamente lo mismo al otro lado
de la igualdad. Escribir
A-1·A·B·X = (D + C) A-1
habría estado mal (tampoco puedo meter A-1 entre la A y la B). Ahora, antes de seguir, vamos a
simplificar un poco, porque A-1·A da como resultado la matriz identidad (I), que es el elemento
neutro de la multiplicación de matrices y por lo tanto se puede quitar1.
A-1·A·B·X = A-1(D + C)
I·B·X = A-1(D + C)
B·X = A-1(D + C)
Ahora hacemos lo mismo para despejar la B:
B-1·B·X = B-1·A-1(D + C)
X = B-1·A-1(D + C)
Y ya tenemos despejada la X. Esta es la parte teórica. Si te fijas, hasta ahora no hemos hecho ni una
sola cuenta. Ahora toca realizar todas las operaciones que aparecen en el lado derecho de la
igualdad. Puede que no estés acostumbrado a hacer las cosas así, poniendo primero todo con letras
para dejar los cálculos al final, pero créetelo: con las matrices es mucho más cómodo de esta
manera.
Empezamos calculando el paréntesis:
D+C=
1
(
0 4
−1 0
)+(
2 2
−2 1
)=(
2 6
−3 1
)
Recuerda que I es una matriz cuadrada con todos sus elementos iguales a ceros, salvo los de la diagonal principal,
que valen 1. Cualquier matriz multiplicada por I da la misma matriz como resultado. Es como multiplicar por 1 los
números reales.
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Ahora calculamos las inversas de A y B y las multiplicamos2:
A-1 =
(
(
0 1
1 −1
0 1
1 −1
)·(
)
(
−1 0
3 −1
)
)=(
3 −1
−4 1
)
B-1 =
−1 0
3 −1
Y lo único que queda ya es multiplicar esta última matriz por la que nos había salido de sumar D y
C, por este orden. Una vez más, recuerda que no hay propiedad conmutativa y que hay que respetar
el orden que nos salía al despejar la X.
(
3 −1
−4 1
)·(
2 6
−3 1
)=(
9
17
−11 −23
)
Esa es, por fin, nuestra solución:
X=
(
9
17
−11 −23
)
Recapitulemos un poco los pasos. Lo primero, tener claro cómo se suman, restan y multiplican
matrices, así como el cálculo de inversas. Luego, acostumbrarnos a resolver primero todo “con
letras” y después operar. Despejaremos la matriz incógnita X sabiendo que las sumas y restas se
despejan igual que en las ecuaciones de toda la vida, pero que los productos se simplifican a través
de la matriz inversa. Cuando hayamos dejado la X sola a un lado, iremos calculando, en el orden
adecuado, todas las operaciones con las matrices que nos den.
Si trabajáramos con matrices de orden 3 o superior, el mecanismo sería exactamente igual. Lo único
que las operaciones serían más largas (pero recuerda que “más largo” no significa “más difícil y ya
no lo sé hacer”, sino “se trata de hacer lo mismo, aunque me lleve más tiempo”).
¡Y ahora, a practicar!
2
Si alguna de ellas no tuviera inversa por ser su determinante igual a cero, tendríamos que indicar que la ecuación no
tiene solución.
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