capítulo 9 estadística descriptiva bidimensional

CAPÍTULO 9
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPÍTULO
a) Cuando sobre cada individuo se observan simultáneamente dos caracterı́sticas cuantitativas ¿cómo se organizan y representan gráficamente esos datos bidimensionales?
b) ¿Cómo se puede saber si dos variables estadı́sticas están relacionadas de forma lineal, exponencial, potencial
o parabólica?
c) ¿Se puede predecir el valor de una variable sabiendo el valor de otra variable que está relacionada con ella
de forma lineal, exponencial, potencial o parabólica?
2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPÍTULO
2.1. Tabulación de los datos
Cuando sobre cada individuo de una población se observan simultáneamente dos caracterı́sticas cuantitativas, que
unidimensionalmente podrı́amos representar separadamente por las variables X e Y , entonces se dice que se está
observando una variable estadı́stica bidimensional y se representa por (X, Y ).
El conjunto de valores bidimensionales de la variable junto con sus frecuencias asociadas dará lugar a la correspondiente distribución bidimensional de frecuencias.
En el caso de variables bidimensionales podemos distinguir dos tipos principales de tablas:
a) Tabulación en dos columnas (o en dos filas)
Si el número de datos bidimensionales es pequeño, los datos se disponen en dos columnas (o en dos filas)
sobre las que se emparejan los correspondientes valores unidimensionales de una misma realización de la
variable bidimensional, como se expresa en la tabla siguiente:
variable X
x1
x2
..
.
xn
variable Y
y1
y2
..
.
yn
257
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
X
Y
A1
A2
..
.
Ai
..
.
Ar
suma
B1
f11
f21
..
.
fi1
..
.
fr1
f∗1
B2
f12
f22
..
.
fi2
..
.
fr2
f∗2
···
···
···
···
···
···
Bj
f1j
f2j
..
.
fij
..
.
frj
f∗j
···
···
···
···
···
···
Bk
f1k
f2k
..
.
fik
..
.
frk
f∗k
suma
f1∗
f2∗
..
.
fi∗
..
.
fr∗
n
Tabla 9.1: Tabla de doble entrada o de contingencia
b) Tabla de doble entrada o de contingencia
Si el número de observaciones bidimensionales es grande, clasificamos los n individuos de la muestra en
r clases (A1 , . . . , Ar ) respecto de la variable X, y en k clases (B1 , . . . , Bk ) respecto de la variable Y .
Entonces los datos suelen organizarse en una tabla como la Tabla 9.1, que se denomina tabla de doble
entrada o de contingencia.
En la Tabla 9.1, fij es el número de individuos que pertenecen a la clase Ai de la variable X y a la clase Bj
de la variable Y y se llama frecuencia absoluta conjunta de la clase Ai × Bj de la variable bidimensional
(X, Y ).
La frecuencia relativa conjunta de la clase bidimensional Ai × Bj es igual a:
hij =
fij
.
n
(9.1)
2.2. Distribuciones marginales y condicionadas. Independencia de variables
Supongamos que tenemos los datos bidimensionales organizados en una tabla de doble entrada como la Tabla 9.1.
La suma de las frecuencias absolutas conjuntas de la fila i−ésima, fi∗ , es igual al número de individuos en la clase
Ai de la variable X, independientemente del valor de Y , y se llama frecuencia absoluta marginal de la clase Ai
de la variable X:
fi∗ = fi1 + fi2 + · · · + fik .
La frecuencia relativa marginal de la clase unidimensional Ai es igual a:
hi∗ =
fi∗
.
n
(9.2)
Análogamente, la suma de las frecuencias absolutas conjuntas de la columna j−ésima, f∗j , es igual al número
de individuos en la categorı́a Bj de la variable Y , y se llama frecuencia absoluta marginal de la clase Bj de la
variable Y :
f∗j = f1j + f2j + · · · + frj .
La frecuencia relativa marginal de la clase unidimensional Bj es igual a:
h∗j =
f∗j
.
n
(9.3)
258
MATEM ÁTICAS
Si de la Tabla 9.1 consideramos la primera y la última columna obtenemos la distribución marginal de frecuencias
absolutas de la variable X:
X
fi∗
A1
..
.
Ai
..
.
Ar
f1∗
..
.
fi∗
..
.
fr∗
suma
n
Análogamente, si consideramos la primera y la última fila de la Tabla 9.1, obtenemos la distribución marginal de
frecuencias absolutas de la variable Y :
Y
f∗j
B1
..
.
Bj
..
.
Bk
f∗1
..
.
f∗j
..
.
f∗k
suma
n
Denotaremos por X/yj a la variable X condicionada a que Y tome el valor yj . La distribución de frecuencias
absolutas condicionadas de X/yj se obtiene de la Tabla 9.1 considerando la primera columna y la columna de la
clase Bj ; es decir:
X/yj
fij
A1
..
.
Ai
..
.
Ar
f1j
..
.
fij
..
.
frj
suma
f∗j
Por tanto, la frecuencia relativa de X ∈ Ai condicionada a que Y tome el valor yj es:
hi/j =
fij
.
f∗j
(9.4)
Análogamente, denotaremos por Y /xi a la variable Y condicionada a que X tome el valor xi . La distribución de
frecuencias absolutas condicionadas de Y /xi se obtiene de la Tabla 9.1 considerando la primera fila y la fila de la
clase Ai ; es decir:
259
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
Y /xi
fij
B1
..
.
Bj
..
.
Bk
fi1
..
.
fij
..
.
fik
suma
fi∗
En consecuencia, la frecuencia relativa de Y ∈ Bj condicionada a que X tome el valor xi es:
hj/i =
fij
.
fi∗
(9.5)
Teniendo en cuenta las fórmulas 9.4 y 9.5 se obtiene:
fij = hi/j f∗j = hj/i fi∗ .
Dividiendo por n tenemos:
f∗j
fi∗
fij
= hi/j
= hj/i
.
n
n
n
Y teniendo en cuenta 9.1, 9.2 y 9.3 se tiene:
hij = hi/j h∗j = hj/i hi∗ .
La variable X es independiente de la variable Y si las distribuciones de frecuencias relativas de X condicionada
a cualquier valor de Y son todas idénticas; es decir, no dependen del valor que tome la variable condicionante Y ;
es decir:
hi/1 = hi/2 = · · · = hi/k
∀i ,
lo que es equivalente a:
fi2
fij
fik
fi1
=
= ··· =
= ··· =
f∗1
f∗2
f∗j
f∗k
∀i ,
y por tanto:
fi1 + fi2 + · · · + fij + · · · + fik
fij
=
f∗j
f∗1 + f∗2 + · · · + f∗j + · · · + f∗k
∀i, j ,
lo que también se puede escribir como:
fi∗
fij
=
f∗j
n
∀i, j .
En consecuencia, la definición de independencia entre las variables X e Y es equivalente a la siguiente propiedad:
fi∗ f∗j
n
∀i, j ,
hij = hi∗ h∗j ,
∀i, j ,
fij =
o su equivalente:
es decir, las frecuencias relativas conjuntas son iguales al producto de las correspondientes frecuencias relativas
marginales.
260
MATEM ÁTICAS
2.3. Representaciones gráficas
Los métodos para determinar la existencia y el grado de relación entre dos variables cuantitativas deben ser capaces
también de discriminar entre los tipos generales de relación que hay:
a) Se dice que dos variables cuantitativas X e Y mantienen una relación directa cuando los valores altos en
Y tienden a emparejarse con valores altos en X, los valores intermedios en Y tienden a emparejarse con
valores intermedios en X, y los valores bajos en Y tienden a emparejarse con valores bajos en X.
b) Se dice que dos variables cuantitativas X e Y mantienen una relación inversa cuando los valores altos en
Y tienden a emparejarse con valores bajos en X, los valores intermedios en Y tienden a emparejarse con
valores intermedios en X, y los valores bajos en Y tienden a emparejarse con valores altos en X.
c) Se dice que no hay relación entre dos variables cuantitativas cuando no existe un emparejamiento sistemático
entre ellas en función de sus valores.
En una buena representación gráfica conjunta de dos variables estadı́sticas cuantitativas debe apreciarse fácilmente
si existe relación entre las variables y de qué tipo es. Una representación gráfica que cumple esta condición es el
diagrama de dispersión, que también se puede llamar nube de puntos.
• Si los datos no están agrupados en intervalos (como en la tabla siguiente), entonces el diagrama de dispersión se
hace como se muestra en la Figura 9.1.
xi
yi
61
15
118
28
57
15
123
30
125
31
122
30
122
30
85
23
85
22
85
22
83
23
78
23
76
23
76
21
73
21
70
21
97
25
107
29
Y
35
30
25
20
15
10
5
X
0
60
70
80
90
100
110
120
130
Figura 9.1: Diagrama de dispersión para datos no agrupados en intervalos
• Si los datos están agrupados en intervalos (como en la tabla siguiente), entonces el diagrama de dispersión se
hace como se muestra en la Figura 9.2.
X
Y
(25,75]
(75,125]
(125,175]
(175,225]
(225,275]
(275,325]
suma
(0,10]
13
4
17
(10,20]
3
9
11
2
1
26
(20,30]
(30,40]
5
16
11
5
1
38
1
4
9
3
5
22
(40,50]
1
1
suma
16
19
31
22
10
6
104
261
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
Y
50
40
30
20
10
X
0
75
25
125
175
225
275
325
Figura 9.2: Diagrama de dispersión para datos agrupados en intervalos
2.4. Covarianza
A partir de las distribuciones marginales de X y de Y se pueden calcular las medidas descriptivas de las variables
X eY.
De entre las medidas descriptivas bidimensionales, la más utilizada es la Covarianza entre X e Y que se calcula
de la siguiente forma:
1) Si los datos se tabulan en dos columnas (o dos filas), la covarianza entre X e Y es:
n
X
sxy =
n
X
(xi − x)(yi − y)
i=1
=
n
xi yi
i=1
− xy.
n
2) Si los datos se organizan en una tabla de doble entrada como la Tabla 9.1, la covarianza entre X e Y es:
sxy =
k
r X
X
(xi − x)(yj − y)fij
k
r X
X
i=1 j=1
i=1 j=1
=
n
xi yj fij
n
− x y,
donde xi es la marca de clase de la clase Ai , yj es la marca de clase de la clase Bj y fij es la frecuencia
absoluta conjunta de la clase bidimensional Ai × Bj .
Si en lugar de dividir por n dividimos por (n − 1) tenemos la la Cuasicovarianza o Covarianza modificada o
corregida entre X e Y ; cuya definición, por tanto, es la siguiente:
1) Si los datos se tabulan en dos columnas (o dos filas), la cuasicovarianza entre X e Y es:
n
X
Sxy =
(xi − x)(yi − y)
i=1
n−1
.
262
MATEM ÁTICAS
2) Si los datos se organizan en una tabla de doble entrada como la Tabla 9.1, la cuasicovarianza entre X e Y
es:
k
r X
X
(xi − x)(yj − y)fij
i=1 j=1
,
n−1
donde xi es la marca de clase de la clase Ai , yj es la marca de clase de la clase Bj y fij es la frecuencia
absoluta conjunta de la clase bidimensional Ai × Bj .
Sxy =
En consecuencia, la covarianza y la cuasicovarianza están relacionadas de la siguiente forma:
(n − 1)Sxy = nsxy .
Por tanto, se puede calcular una de ellas a partir de la otra.
La covarianza (y, por tanto, la cuasicovarianza) es capaz de discriminar entre los dos tipos de relación lineal pues:
a) si sxy > 0 entonces hay relación lineal directa entre X e Y ,
b) si sxy < 0 entonces hay relación lineal inversa entre X e Y , y
c) si sxy = 0 entonces no hay relación lineal entre X e Y .
2.5. Regresión y correlación. Coeficiente de determinación
La regresión consiste en sustituir la nube de puntos correspondiente a una distribución bidimensional por la función
matemática que mejor se ajuste a la nube de puntos. La correlación estima la “fuerza” con que las variables están
relacionadas.
La curva de regresión es la curva ideal hacia la que tienden los puntos del diagrama de dispersión.
El ajuste por el método de mı́nimos cuadrados consiste en lo siguiente:
Si tenemos una nube de puntos {(xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n} y queremos ajustarle una curva cualquiera y =
f (x, a, b, . . .) con parámetros a, b, . . ., la determinación de éstos se hace minimizando la siguiente expresión:
D=
n
X
[yi − f (xi , a, b, . . .)]2
i=1
Para saber si la curva y = f (x, a, b, . . .) se ajusta a los puntos {(xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n} calculamos el coeficiente
de determinación:
n
X
[yi − f (xi )]2
R2 = 1 −
i=1
n
X
.
(yi − y)
2
i=1
Este coeficiente verifica:
1) 0 6 R2 6 1.
2) Si R2 = 1, entonces el ajuste es perfecto.
3) Si R2 = 0, entonces la función y = f (x) no se ajusta en absoluto a los puntos.
4) Cuanto más se aproxime R2 a 1, mejor es el ajuste.
263
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
2.6. Regresión y correlación lineal
2.6.1. Coeficiente de correlación lineal de Pearson
La covarianza carece de unos valores máximo y mı́nimo estables, comunes a todos los casos, que permitan su
interpretación directa. La solución a este problema consiste en dividir la covarianza por el producto de las desviaciones tı́picas marginales. Este ı́ndice se conoce con el nombre de coeficiente de correlación lineal de Pearson, y
se denota por la letra r; o sea:
sxy
,
(9.6)
r=
sx sy
donde sx es la desviación tı́pica de la variable X y sy es la desviación tı́pica de la variable Y .
Si la tabulación de los datos se ha hecho en dos columnas, entonces una fórmula alternativa equivalente a la
expresión 9.6 es la siguiente:
! n !
n
n
X
X
X
xi yi −
xi
yi
n
i=1
i=1
i=1
v
r=v
!
u n
u
2
n
n
u X
u X
X
tn
x2i −
xi tn
yi2 −
i=1
i=1
i=1
n
X
!2 .
yi
i=1
La razón principal por la que la covarianza no puede considerarse un ı́ndice de dependencia lineal entre dos
variables es la dificultad de su valoración dado que carece de un máximo y un mı́nimo estables. Pero el coeficiente
de correlación lineal no tiene esa dificultad ya que este ı́ndice no puede valer más de 1 ni menos de −1, es decir:
−1 6 r 6 1 .
Además, la interpretación descriptiva de r es la siguiente:
a) Si r = 1 entonces existe una dependencia lineal directa exacta entre las variables X e Y . Los puntos del
diagrama de dispersión están sobre una lı́nea recta de pendiente positiva.
b) Si r = −1 entonces existe dependencia lineal inversa exacta entre X e Y . Los puntos del diagrama de
dispersión están sobre una lı́nea recta de pendiente negativa.
c) Si r = 0 entonces no existe dependencia lineal entre X e Y .
d) Cuanto más se aproxime r a −1 o a 1, más dependencia lineal existe entre X e Y . Cuando esto ocurra, el
diagrama de dispersión se aproxima a una lı́nea recta.
e) Cuanto más se aproxime r a 0, más independencia lineal existe entre X e Y . Cuando esto ocurra, el
diagrama de dispersión no se aproxima a una recta.
f) Si r es positivo, entonces al aumentar el valor de la variable X, aumenta el valor de la variable Y .
g) Si r es negativo, entonces al aumentar el valor de la variable X, disminuye el valor de la variable Y .
2.6.2. Recta de regresión mı́nimo cuadrática
La recta de regresión mı́nimo cuadrática de Y sobre X es la recta Ŷ = A + BX que mejor se ajusta (por el
método de mı́nimos cuadrados) a los puntos del diagrama de dispersión {(xi , yi ), i = 1, 2, . . . , n}. Esta recta nos
permitirá predecir Y a partir de los valores de X.
264
MATEM ÁTICAS
Tenemos que minimizar la expresión:
n
X
D(A, B) =
[yi − (A + Bxi )]2 .
(9.7)
i=1
Igualando a cero las derivadas parciales de D respecto de A y de B obtenemos las siguientes ecuaciones normales:
P
P
y = B xi + nA
P
P
P i
xi yi = B x2i + A xi
Si los datos están tabulados en dos columnas, las fórmulas de los coeficientes A y B que hacen mı́nima la expresión
9.7 son las siguientes:
! n !
n
n
X
X
X
xi yi −
xi
yi
n
B
=
i=1
i=1
n
n
X
x2i −
i=1
A
i=1
n
X
!2
,
xi
i=1
= y − Bx.
Estas fórmulas son equivalentes a las siguientes:
sy
sxy
=r
,
s2x
sx
B
=
A
= y − Bx.
Estas últimas fórmulas se pueden aplicar tanto si los datos están organizados en una tabla de dos columnas como
si lo están en una tabla de doble entrada.
Análogamente, la ecuación de la recta de regresión mı́nimo cuadrática de X sobre Y es:
sxy
sx
donde
B∗ = 2 = r ,
A∗ = x − B ∗ y .
X̂ = A∗ + B ∗ Y,
sy
sy
2.6.3. Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal. Predicción
En el caso del ajuste lineal (ajuste a una recta), el coeficiente de determinación es igual a:
R2 =
s2xy
.
s2x s2y
Por tanto, (sólo en el caso del ajuste lineal) se cumple que el coeficiente de determinación es igual al cuadrado del
coeficiente de correlación lineal (R2 = r 2 ).
Si el coeficiente de correlación lineal está próximo a 1 o a −1 sabemos que existe bastante relación lineal entre las
variables X e Y y por tanto los puntos del diagrama de dispersión están próximos a la recta de regresión mı́nimo
cuadrática. En este caso, a partir de la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X se puede calcular, de forma
aproximada, el valor de la variable Y cuando se conoce el valor de la variable X. Esta aproximación se conoce
también por el nombre de estimación, predicción o pronóstico. Similarmente, a partir de la ecuación de la recta
de regresión de X sobre Y se pueden predecir los valores de la variable X cuando se conocen los valores de la
variable Y .
Si el coeficiente de correlación lineal no está próximo a 1 o a −1, las ecuaciones de las rectas de regresión no nos
sirven para predecir los valores de una de las variables cuando se conocen los valores de la otra, pues los puntos
del diagrama de dispersión no están próximos a la recta de regresión mı́nimo cuadrática.
265
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
2.7. Regresión exponencial
Ajuste a la curva Y = AeBX por el método de mı́nimos cuadrados.
Tomando logaritmos neperianos: ln Y = ln A + BX.
Se hace el cambio: Y 0 = ln Y , A0 = ln A. Entonces Y 0 = A0 + BX, con lo que se reduce a un ajuste lineal entre
las variables Y 0 y X (se pueden utilizar las ecuaciones normales). La bondad del ajuste nos lo da el coeficiente de
determinación, que coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación lineal entre Y 0 y X.
2.8. Regresión potencial
Ajuste a la curva Y = AX B por el método de mı́nimos cuadrados.
Tomando logaritmos decimales: log Y = log A + B log X.
Se hace el cambio: Y 0 = log Y , A0 = log A , X 0 = log X. Entonces Y 0 = A0 + BX 0 , con lo que se reduce
a un ajuste lineal entre Y 0 y X 0 (se pueden utilizar las ecuaciones normales). La bondad del ajuste nos lo da el
coeficiente de determinación, que coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación lineal entre Y 0 y X 0 .
2.9. Regresión parabólica
Ajuste a la curva Y = A + BX + CX 2 por el método de mı́nimos cuadrados.
Minimizar D(A, B, C) =
P
[yi − (A + Bxi + Cx2i )]2 .
Simplificando se obtiene:
P
P
 P
B xi + C x2i
 P yi = An +
P
P 2
P
x y = A xi + B xi + C x3i
P 2
P 3
P
 P i2 i
xi yi = A xi + B xi + C x4i
La bondad del ajuste a la curva Y = A + BX + CX 2 nos lo da el coeficiente de determinación:
2
R =1−
3.
P
[yi − (A + Bxi + Cx2i )]2
P
.
(yi − y)2
ACTIVIDADES DE APLICACIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS
A.9.1. Se está estudiando la relación existente entre los años de estudios realizados por los padres (X) y los años
de estudios realizados por los hijos (Y ). En una muestra de tamaño 7 se obtienen los siguientes resultados:
266
MATEM ÁTICAS
xi
12
10
6
16
8
9
12
yi
12
8
6
11
10
8
11
Dibujar el diagrama de dispersión o nube de puntos. Hallar la covarianza, sxy , entre las dos variables. Hallar
el coeficiente de correlación lineal r. Hallar la ecuación de la recta de regresión mı́nimo cuadrática de Y
sobre X. Predecir el número de años de estudio de un hijo cuyo padre ha estudiado 14 años. Decir si esta
predicción es fiable. Hallar la ecuación de la recta de regresión mı́nimo cuadrática de X sobre Y . Predecir
el número de años de estudio de un padre cuyo hijo ha estudiado 15 años.
A.9.2. Determinar el grado de dependencia existente entre los años de estudio completados (X) y las faltas de
ortografı́a cometidas en un dictado (Y ) tal y como se encontró en la siguiente muestra de 10 entrevistados.
xi
yi
10
1
3
7
12
2
11
3
6
5
8
4
14
1
9
2
10
3
2
10
¿Cuántas faltas ortográficas tendrı́a un entrevistado que hubiese completado 13 años de estudio? ¿Es fiable
esta predicción?
A.9.3. Una factorı́a de una cierta marca de refrescos ha tomado al azar 18 semanas de un año, observando la
temperatura media, en grados centı́grados (X) correspondiente a cada una de ellas y la cantidad de refrescos
pedidos durante cada uno de dichos perı́odos, en miles (Y ). La información obtenida es la siguiente:
xi
yi
10
21
28
65
12
19
31
72
30
75
19
39
24
67
5
11
9
12
15
24
Dibujar el diagrama de dispersión. Hallar el coeficiente de correlación lineal r. Predecir la temperatura
media de un semana en la que se hubiesen pedido 50.000 refrescos. Decir si esta predicción es fiable.
Predecir el número de refrescos pedidos en una semana en la que la temperatura media fuese de 20 grados
centı́grados.
A.9.4. Se está estudiando la relación existente entre la edad de los hombres (X) y de las mujeres (Y ) a la hora de
contraer matrimonio. Se recogen los datos del año 1971 en la tabla siguiente:
Y
X
[10,20]
(20,25]
(25,30]
(30,35]
(35,40]
(40,50]
(50,60]
(60,80]
[10,20]
4.187
1.125
134
16
3
5
(20,25]
16.272
55.505
8.731
485
104
31
4
(25,30]
7.401
69.151
37.480
2.845
517
142
12
1
(30,35]
864
8.138
11.668
4.142
1.110
327
32
2
(35,40]
175
1.358
2.715
2.602
1.886
730
56
6
(40,50]
127
354
779
1.153
1.871
2.265
314
33
(50,60]
5
26
64
120
266
1.176
867
151
(60,80]
2
10
21
57
410
792
828
¿Existe una dependencia lineal fuerte entre la edad de los hombres y la edad de las mujeres a la hora de
contraer matrimonio? Hacer una predicción de la edad de la esposa cuyo esposo tiene 25 años. ¿Es fiable
esta predicción? Hacer el diagrama de dispersión.
A.9.5. El precio, en pesetas, (X) y el número de páginas (Y ) de los libros contenidos en un catálogo vienen dados
por:
267
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
xi
19.950
9.950
17.500
15.000
12.000
30.000
32.500
35.000
37.500
25.000
18.000
15.000
30.000
25.000
17.500
17.000
20.000
22.500
32.500
30.000
12.000
15.000
21.000
35.000
12.000
yi
496
208
300
448
200
288
324
525
384
250
200
224
384
256
215
278
376
421
450
243
202
251
320
460
342
xi
27.500
12.500
25.000
8.000
5.950
9.950
32.500
24.000
30.000
30.000
35.000
22.000
37.500
20.000
30.000
9.500
19.500
20.500
30.000
32.500
27.500
24.000
36.500
14.500
21.000
yi
392
200
280
120
220
200
468
539
400
320
736
516
700
400
656
191
464
348
352
598
392
472
591
282
340
xi
21.000
15.000
27.500
10.500
9.950
35.000
20.000
27.500
15.000
16.000
12.000
38.000
37.750
30.000
17.250
9.950
18.500
18.000
12.000
17.000
28.000
38.500
25.000
27.500
17.000
yi
240
278
420
128
249
392
400
300
240
230
144
336
550
478
437
288
496
236
143
284
520
758
413
394
207
xi
12.000
21.000
17.000
35.000
7.500
21.000
25.000
37.250
24.000
12.500
22.500
25.000
20.000
18.000
38.500
3.500
30.000
21.500
27.500
16.000
30.500
15.000
12.500
38.000
7.500
yi
342
340
207
440
88
351
292
464
344
130
382
403
249
182
458
63
400
278
508
256
368
275
112
458
83
Agrupar los datos de ambas variables en intervalos de clase. Determinar la distribución bidimensional de
frecuencias, ası́ como las distribuciones marginales de X y de Y . Hallar el coeficiente de correlación lineal.
Predecir el precio de un libro que tuviera 205 páginas. Decir si esta predicción es fiable.
A.9.6. Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Biologı́a y Fı́sica son:
Biologı́a
Fı́sica
3
5
4
5
6
8
7
7
5
7
8
9
7
10
3
4
5
7
4
4
8
10
5
5
5
7
8
9
8
10
8
5
5
7
a) Escribir la tabla de doble entrada de frecuencias absolutas.
b) Hallar las distribuciones marginales, ası́ como la media y la varianza de dichas distribuciones unidimensionales.
c) ¿Existe relación lineal entre las calificaciones de Biologı́a y Fı́sica?
A.9.7. Se han tomado cinco muestras de glucógeno, de una cantidad fija cada una. Se les ha aplicado una cantidad X de glucogensa (en milimoles/litro) anotando en cada caso la velocidad de reacción Y , medida en
micromoles/minuto, obteniéndose los siguientes datos:
X
Y
1
18
2
35
3
60
0’2
8
0’5
10
a) ¿Se puede deducir que la velocidad de reacción aumenta con la concentración de glucogensa? Justificar la respuesta.
b) Si a una de las muestras le hubiésemos aplicado una concentración de glucogensa de 20 5 milimoles/litro ¿cuál hubiese sido la velocidad de reacción? ¿Con qué grado de predicción?
A.9.8. Un psicólogo afirma en base a los datos obtenidos, que a medida que un niño crece, menor es el número
de respuestas inadecuadas que da. Los datos son:
268
MATEM ÁTICAS
X
Y
2
11
3
12
4
10
4
13
5
11
5
9
6
10
7
7
7
12
9
8
9
7
10
3
11
6
11
5
12
5
donde X representa la edad en años, e Y representa el número de respuestas inadecuadas.
a) Determinar la validez de esta conclusión.
b) Si Alberto, de diez años y medio, participa en el experimento ¿cuál será el número de respuestas
inadecuadas que dará?
A.9.9. Dada una variable bidimensional (X, Y ), cuya tabla de frecuencias relativas es:
Y
X
4
0 03
0
0
0
0
00 03
0
1
2
3
4
5
6
7
0 04
00 07
0
0
0
0 07
00 04
0
10
00 03
00 09
00 04
00 04
00 09
00 03
13
0
00 04
00 12
00 12
00 04
0
16
0
0
00 04
00 04
0
0
17
0
0
0
0
0
0
Calcular:
a) Distribuciones marginales de frecuencias absolutas.
b) Medias y varianzas marginales.
c) Recta de regresión de Y sobre X.
d) Coeficiente de correlación lineal.
A.9.10. Los datos de la tabla siguiente representan el resultado de un experimento consistente en exponer bacterias, en perı́odos de 1 a 15 intervalos de 6 minutos, a la radiación de rayos X a 200 kilovoltios y contabilizar
el número de bacterias supervivientes. (X representa el número de intervalos de 6 minutos, e Y representa
los cientos de bacterias supervivientes).
X
Y
1
355
2
211
3
197
4
166
5
142
6
106
7
104
8
60
9
56
10
38
11
36
12
32
13
21
14
19
15
15
Ajustar a los datos una curva exponencial; representar gráficamente el resultado y comprobar la bondad del
ajuste.
A.9.11. Los datos de la tabla siguiente son el resultado de un estudio del efecto de la temperatura de cristalización
primaria (medida en grados centı́grados) de una solución, xi , sobre el contenido en fósforo (medido en
gramos por litro), yi .
xi
25
20
15
12
9
6
3
0
−3
−6
yi
100 9
90 3
80 2
70 5
60 2
50 8
40 2
30 9
20 8
20 0
a) Representar gráficamente la nube de puntos. Determinar el modelo de curva adecuado para representar
la relación entre las variables y encontrar, por el método de mı́nimos cuadrados, los parámetros de la
curva.
269
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
b) ¿El ajuste anterior es bueno?
A.9.12. Los datos de la tabla siguiente pertenecen a la medida de la temperatura (X) y la presión (Y ) en diferentes
lugares del Himalaya.
xi
290 211
280 559
270 972
240 697
230 726
230 369
230 030
210 892
210 928
210 654
210 605
yi
2100 8
2100 2
2080 4
2020 5
2000 6
2000 1
1990 5
1970 0
1960 4
1960 3
1950 6
xi
200 480
200 212
190 758
190 490
190 386
180 869
180 356
180 507
170 267
170 221
170 062
yi
1930 4
1930 6
1910 4
1910 1
1900 6
1890 5
1880 8
1880 5
1850 7
1860 0
1850 6
xi
160 959
160 881
160 817
160 385
160 235
160 106
150 928
150 919
150 376
yi
1840 1
1840 6
1840 1
1830 2
1820 4
1810 9
1810 9
1810 0
1800 6
Explicar la presión en función de la temperatura mediante una parábola (por el método de mı́nimos cuadrados).
4.
ACTIVIDADES PRÁCTICAS DEL CAPÍTULO
4.1. Diagrama de dispersión
Para una variable estadı́stica bidimensional, el gráfico más utilizado es el diagrama de dispersión. El programa dibuja estos diagramas si seleccionamos las opciones Statistics|Summary Statistics|Scatter Plot.
Entonces nos aparece una ventana como en la Figura 9.3 donde debemos seleccionar las variables implicadas
(X-Axis Variable e Y-Axis variable). Si deseamos agrupar los datos en intervalos (de una variable o de las
dos) entonces debemos rellenar los recuadros X-Axis (Optional) o Y-Axis (Optional), según la variable
que queramos agrupar.
Ejercicio. Dibuja el diagrama de dispersión de la variable estadı́stica bidimensional (PESO,ALTURA).
4.2. Covarianza y coeficiente de correlación lineal
Para una variable bidimensional es interesante hallar la matriz de varianzas y covarianzas corregidas. Dicha matriz
es la siguiente:
2
Sx Sxy
,
Sxy Sy2
donde Sx2 denota la cuasivarianza de X, Sy2 indica la cuasivarianza de Y , y Sxy representa la cuasicovarianza entre X e Y . La matriz de varianzas y covarianzas corregidas se puede obtener seleccionando las opciones
Statistics|Linear Models|Variance-Covariance. Entonces aparece una ventana (ver Figura 9.4) en la
que debemos seleccionar las variables estadı́sticas de las cuales queremos calcular su matriz de covarianzas corregidas (en el recuadro Var-Covar Variables).
270
MATEM ÁTICAS
Figura 9.3: Pantalla del programa que permite seleccionar las variables para las que vamos a dibujar el diagrama
de dispersión.
Figura 9.4: Pantalla del programa que permite seleccionar las variables para las que vamos a calcular la matriz de
covarianzas.
Ejercicio. Calcula la matriz de varianzas y covarianzas corregidas de la variable bidimensional (PESO, ALTURA).
Para calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre dos variables estadı́sticas debemos seleccionar
las opciones Statistics|Linear Models|Correlations (Pearson) y nos aparece una ventana como en la
Figura 9.5. Tras pulsar el botón OK surge la ventana de resultados, con los coeficientes de correlación lineal entre
todas las variables seleccionadas. En nuestro ejemplo (ver Figura 9.6) el coeficiente entre las variables PESO y
ALTURA es de 00 9384, lo que significa que existe una dependencia lineal fuerte.
Ejercicio. Determina el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre las variables ALTURA y PESO.
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
271
Figura 9.5: Pantalla del programa que permite calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson.
Figura 9.6: Pantalla con los resultados para la correlación entre el PESO y la ALTURA.
4.3. Recta de regresión. Predicción
La recta de regresión permite estimar el valor de una variable estadı́stica conocido el valor de otra variable, siempre que entre las dos variables estadı́sticas exista dependencia lineal. Cuanto mayor sea esta dependencia lineal,
mejor será la aproximación que nos da la recta de regresión. Para calcular la ecuación de la recta de regresión mı́nimo cuadrática debemos seleccionar las opciones Statistics|Linear Models|Linear Regression
y nos aparece una ventana como en la Figura 9.7. En el recuadro Dependent Variable debemos poner la variable dependiente (la que está representada en el eje vertical) y en el recuadro Independent Variables la variable
independiente (la que está representada en el eje horizontal).
Por ejemplo, si en la variable dependiente ponemos ALTURA y en la variable independiente colocamos EDAD,
entonces se supone que queremos predecir la altura de un individuo conociendo su edad. La ventana de resultados
se muestra en la Figura 9.8. En dicha figura aparecen muchos valores que no estamos en condiciones de explicar
en este momento, ya que pertenecen a la parte de Estadı́stica Inferencial. Si la ecuación de la recta de regresión
de ALTURA sobre EDAD es ALTURA = A + B EDAD, entonces A = 10 40089 y B = 00 01306.
Para hacer una predicción debemos seleccionar las opciones Results|Prediction, escribiendo en el recuadro
Predictor Values el valor de la variable independiente para el cual queremos estimar el correspondiente valor de la variable dependiente. En la casilla Specification Method debemos seleccionar la opción Valued
Method (ver Figura 9.9). Ası́, para una edad de 24.5 años el valor correspondiente de la altura es de 1.7207
metros.
Una vez hemos calculado la recta de regresión podemos realizar una representación gráfica de la misma. Para
272
MATEM ÁTICAS
Figura 9.7: Pantalla del programa que permite seleccionar las variables para las que vamos a calcular la recta de
regresión.
Figura 9.8: Pantalla del programa que muestra la recta de regresión de ALTURA sobre EDAD.
ello seleccionamos las opciones Results|Plots|Simple Regression Plot. En el gráfico resultante aparece
el diagrama de dispersión (con cruces), la recta de regresión (en color azul) y dos curvas (en color rojo), una por
cada lado de la recta de regresión, que delimitan una zona de confianza para los valores de la variable dependiente
(ver Figura 9.10).
Ejercicio. Halla la ecuación de la recta de regresión mı́nimo cuadrática de ALTURA sobre PESO. Represéntala
gráficamente y predice la altura de un alumno que pesa 60 kilogramos.
5. BIBLIOGRAFÍA DEL CAPÍTULO
CANDEL, J.; MARIN, A. y RUIZ, J.M. Estadı́stica aplicada I: Estadı́stica descriptiva. Barcelona: DM–PPU,
1991. Secciones 3.1, 3.3, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.6.
273
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
Figura 9.9: Pantalla del programa que permite estimar el valor de ALTURA para un valor de EDAD.
Simple Regression Plot
1.79
ALTURA
1.74
1.69
1.64
1.59
18
20
22
24
26
EDAD
ALTURA = 1.4009 + 0.0131 * EDAD 95% conf and pred intervals
Figura 9.10: Pantalla del programa que representa la recta de regresión de ALTURA sobre EDAD.
6.
PREGUNTAS DE EVALUACIÓN
E.9.1. En un grupo de alumnos de la Universidad de Murcia, se estudia el número de asignaturas aprobadas en
Junio (X) y el número de horas semanales dedicadas al estudio (Y). La información obtenida es la siguiente:
X
Y (0, 10]
0
6
1
3
2
1
3
0
4
1
5
0
(10, 20]
2
6
10
10
5
2
(20, 30]
0
2
8
12
10
16
(30, 40]
0
1
3
8
15
10
274
MATEM ÁTICAS
a) Obtener la distribución marginal de frecuencias absolutas de Y. ¿Cuál es el tiempo medio semanal
dedicado al estudio? ¿Cuál es el tiempo semanal de horas de estudio que deja por debajo el 50 por
ciento de los tiempos semanales y por encima el 50 por ciento restante?
b) Obtener la distribución marginal de frecuencias absolutas de X. ¿Cuál es el número más habitual
de asignaturas aprobadas por los alumnos? ¿Cuál es el número medio de asignaturas aprobadas?
Calcular e interpretar la varianza de X. Dibujar un polı́gono acumulativo para la variable X y calcular
su recorrido intercuartı́lico.
c) Obtener la distribución de frecuencias absolutas de Y condicionada a X= 1. ¿Cuál es el tiempo medio
semanal dedicado al estudio por los alumnos que han aprobado una asignatura? ¿Cuál es el tiempo
semanal más habitual en los alumnos que han aprobado una asignatura? Calcular la mediana de esta
distribución.
E.9.2. En una determinada empresa se ha realizado un estudio para determinar si la edad de los empleados está
relacionada con el número de dı́as de ausencia en el trabajo. Estos son los resultados:
Edad (X)
Dı́as de ausencia (Y )
(20,29]
(29,38]
(38,47]
(47,56]
(56,65]
(44,50]
0
(50,56]
2
1
8
7
16
6
10
2
4
(56,62]
(62,68]
5
9
5
0
1
14
6
2
2
0
a) Obtener la distribución marginal de frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas absolutas de X.
Hallar la mediana, la media y la desviación tı́pica de X.
b) Obtener la distribución marginal de frecuencias absolutas de Y . Hallar la moda, la media y la desviación tı́pica de Y .
c) Determinar el coeficiente de correlación lineal entre X e Y . ¿Existe una fuerte dependencia lineal
entre X e Y ?
E.9.3. Una empresa nacional dedicada a la producción de videojuegos pretende sacar al mercado dos nuevos
productos: uno para el segmento de 13 a 15 años y otro para el segmento de 16 a 18 años. Antes de fijar
el precio, la empresa contacta con un centro de estudios sociológicos para conocer la asignación semanal
de los jóvenes. Para ello, el centro extrae una muestra de 10 jóvenes y, entre otros datos, se les pregunta la
edad (X, en años) y su asignación semanal (Y , en miles de pesetas), obteniendo los siguientes datos:
Edad (X)
Asignación (Y )
17
3
16
4
16
3
15
4
14
1
13
2
16
2
18
5
17
4
13
0
a) Calcular recorrido intercuartı́lico y coeficiente de variación de la asignación semanal.
b) ¿Cuál es la asignación semanal estimada para un joven de 16 años? ¿Es fiable dicha predicción?
E.9.4. Un equipo investigador está analizando el comportamiento de los jóvenes españoles respecto del matrimonio. Para ello extrae una muestra de 10 jóvenes parejas y les pasa un cuestionario. Entre las muchas
preguntas del cuestionario figura la edad a la que contrajeron matrimonio, obteniéndose los siguientes datos:
X: Edad de la mujer
Y : Edad del hombre
26
26
25
27
25
26
24
27
23
24
22
25
25
25
27
28
26
27
22
23
a) Calcular los cuartiles Q1 , Q2 y Q3 de la variable X.
b) Calcular el coeficiente de variación de la variable Y .
c) Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Si en una pareja de jóvenes, la mujer tenı́a 28 años
cuando contrajo matrimonio, ¿cuál es la edad estimada del hombre? ¿es fiable esta predicción?
275
ESTAD ÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
E.9.5. Una editorial está interesada en conocer los hábitos de lectura de los españoles y determinar si existe alguna
relación con otras variables (nivel cultural, nivel económico, edad, etc.). Para ello se extrae una muestra de
10 personas y, entre otros datos, se les pregunta por el número de años de estudio (X) y por el número de
libros que suelen comprar cada trimestre (Y ). Los datos son los que recoge la siguiente tabla:
X
Y
11
3
10
4
10
3
9
4
8
1
7
2
10
2
12
5
11
4
7
0
a) Calcular la media y la mediana de Y .
b) Calcular la desviación media y la desviación mediana de Y .
c) Si una persona suele comprar 2 libros al trimestre, calcular una estimación para el número de años de
estudio. ¿Es fiable dicha predicción?