Calcular los cinco primeros trminos y el 100

TRABAJO PRÁCTICO
TEMA: SUCESIONES Y SERIES
SUCESIÓN NUMÉRICA: es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales
` (o un subconjunto de él) y la imagen está incluida en el conjunto de los Reales ( \ )
SUCESIÓN ARITMÉTICA: es una sucesión numérica en la cual cada término se obtiene
sumando una valor constante, llamado diferencia (d) , al término anterior.
SUCESIÓN GEOMÉTRICA: es una sucesión numérica en la cual cada término se obtienen
multiplicando por un valor constante llamado razón (r), al término anterior ( r⟩ 0 y r ≠ 1 )
FÓRMULAS PARA USAR!
SUCESIONES ARITMÉTICAS
SUCESIONES GEOMÉTRICAS
an = a1 + ( n − 1) d
an = a1.r n −1
Sn =
a1 + an
⋅n
2
Sn =
an .r − a1
r −1
1.- Calcular los cinco primeros términos y el 100-ésimo término de la sucesión
numérica definida por cada fórmula. Graficar
a)
an = n + 1
b) a n = 2n − 1
d) a n = 5 + (− 1)
n
g) a n = n
c) a n = n 2 − 1
n
n +1
h) a n = 3
e) a n =
n
f) a n
n
(
− 1)
=
3n
2n
i) a n = (− 1) (n − 10)
2.- Encontrar una expresión del término general de cada sucesión:
a) 1; 3; 5; 7; 9 …
b) -1; 2;-3;4;-5…
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...; an
2 4 8 16 32
1 3 5 7
d) , , , ,...
2 4 6 8
c)
f) ) 0, 5, 0, 5, 0, 5 ...
1 2 1 2
;...; an
2 9 8 25
d) 2; ; ; ;
e) –3 , 6 , -9, 12, -15
g) 4, -16, 64, -256, ....
3.- En las siguientes sucesiones recursivas, calcular los cinco primeros términos.
a) a n = 3(a n −1 + 2)
para a1 = 1
b) a n = a n −1 + a n − 2
para ( a1 = a 2 = 1 )
(sucesión de Fibonacci)
Ejercicios extraídos de distintas bibiografías recomendadas para ingresos a las Universidades
1
para a1 = 7
c) an = 5(an −1 − 6)
e) a n =
(− 1)n
d) an = an −1 + an − 2
para a1 = 2 y a 2 = 3
para a1 = −1
2 + a n −1
4.- Hallar la suma de los primeros cien números naturales
5.- Calcular las siguientes sumas
5
a)
∑k2
5
b)
k =1
1
∑
k =3 k
10
c)
8
6
∑k
d)
k =5
∑2
e)
k =1
∑2
k −1
k =1
6.- Expresar cada suma con la notación de sigma
a) 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3
c)
b)
3
4
5
6
+
+
+
...
3
4
5
6
d)
3 + 4 + 5 + 6 ... 77
log 2 log 4 log 6 log 8
+
+
+
...
2
4
6
8
7.- Determinar los seis primeros términos de las siguientes sucesiones aritméticas
a) 15, 7, ...
b) 101, 51,...
c) 0, -3, ...
8.- Determinar el sexto término, el 100-ésimo término y e n-ésimo término en las
siguientes sucesiones aritméticas
a) 4, 6, 8, 10,...
b) –10, -6, -2, 2,...
c) 23, 23.1, 23.2, 23.3, 23.4, ...
d) 1, 100, 199, 298, ...
9.- Calcular los términos indicados de las siguientes sucesiones aritméticas.
a) El primer término, sabiendo que el décimo es 55/2 y el segundo es 7/2
b) El vigésimo término, conociéndose el 12-ésimo igual 32 y el quinto a18
c) ¿Cuál término es 88 de la sucesión aritmética: 1, 4, 7 ... 88?
10.- Calcular las sumas parciales de las siguientes sucesiones aritméticas
a)
a1 = 1,
d=2,
n = 10
b)
a1 = 100,
d = -5 ,
n=8
c)
a1 = 4,
d=2,
n = 20
11.- Calcular las sumas parciales
b) -10 - ,9 – 9,8 - … - 0,1
Ejercicios extraídos de distintas bibiografías recomendadas para ingresos a las Universidades
2
a) 1 + 5 + 9 + … + 401
10
c)
∑ ( 3 + 0,25k )
20
d)
k =0
∑ (1 − 2n )
n =0
12.- Algunos problemas
a) Se almacenan postes de teléfonos en una pila con 25 postes en la primer capa,
24 en la segunda y así sucesivamente. ¿Si hay 12 capas, cuántos postes hay
en total?
b) A una persona le ofrecen un trabajo con un sueldo de $30 000 anuales, y firma
un contrato con aumentos anuales de $2 300. Calcular los ingresos totales al
cabo de 10 años de trabajar.
c) En una playa de estacionamientos hay lugares para estacionar 20 automóviles
en la primera fila, 22 en la segunda, 24 en la tercera y así sucesivamente. Si
hay 21 filas, calcular la cantidad de autos que pueden estacionarse.
d) Se diseña un teatro con 15 butacas en la primer fila, 18 en la segunda, 21 en la
tercera, etc. Si el teatro debe tener 870 lugares, ¿cuántas filas debe haber en
el diseño del arquitecto?
13.- Determinar si la sucesión es geométrica. En caso de serlo calcular la razón.
a) 2, 4, 8, 16, …
5 5 5
,...
2 4 16
c) 5, , ,
b) 2, 6, 8, 36
d)
1 1 1 1
, , , ,...
2 3 4 5
14.- Determinar la razón, el quinto y el n-ésimo término de la sucesión geométrica
a) 2, 6, 18, 54, …
c) 1,
2, 2, 2 2,...
t2 t3 t4
e) t , , , ,...
2 4 8
b) 7,
14 28 56
, , ,...
3 9 27
d) 144, − 12, 1, −
1
2
1
,...
12
1
8
f) −8, −2, − , − ,...
15.-Resolver:
a) El primer término de una sucesión geométrica es 3 y el tercero es
4
, calcular
3
el quinto término.
b) El primer término es 8 y el segundo es 4, calcular el cuarto término.
c) La razón de una sucesión geométrica es
2
5
y el cuarto término es . Calcular
5
2
el tercer término.
Ejercicios extraídos de distintas bibiografías recomendadas para ingresos a las Universidades
3
d) La razón de una sucesión geométrica es
3
y el quinto término es 1. Calcular
2
los tres primeros términos.
16.- Calcular la suma parcial de las siguientes sucesiones geométricas
a) a = 5 ,
b) a =
2
,
3
c) a3 = 28 ,
r=2,
n=6
1
,
3
n=4
a6 = 224 ,
n =6
r=
17.- Determinar las sumas de:
a) 1 + 3+ 9 + ….+ 2 187
b) 1 −
1 1 1
1
+ − + ... −
2 4 8
512
⎛ 1⎞
c) ∑ 3 ⎜ ⎟
k =0 ⎝ 2 ⎠
10
k
18.- Calcular la suma de cada serie geométrica hasta el término indicado.
a) 1 +
c)
1 1 1
+ +
,...
3 9 27
2 4
8
+
+
+ ...
5 25 125
b) 1 −
d) −
1 1 1
+ − + ...
2 4 8
100 10
3
+
− 1+
− ...
9
3
10
19.- Algunos problemas de sucesiones geométricas
a) Una colonia de bacterias tiene al principio 5.000 unidades y su tamaño
aumenta 8% por hora. ¿Cuántas bacterias habrá al final de 5 horas? Deducir
una fórmula para calcular la cantidad de bacterias presentes después de n
horas.
b) Una mujer muy paciente desea llegar a ser millonaria. Se apega a un esquema
sencillo: aparta 1 centavo el Reimer día, 2 el segundo, 4 el tercero, etc.
Duplicando la cantidad de centavos cada día. ¿Cuánto dinero tendrá pasados
30 días? ¿Cuántos días deberán trascurrir para que llegue a tener mil millones
de pesos?
Al ir a San Dimas
Encontré a un señor con siete canastas
c) Rima popular infantil:
Cada canasta con siete sacos
Cada saco con siete gatos
Cada gato con siete pulgas
Pulgas, gatos, sacos y canastas
¿Cuántos iban a San Dimas?
d) El tío Gilito y Cruella de Ville, famosos por sus riquezas, hacen un trato por el
que el Tío Gilito dará a Cruella $12.000 el primer día del mes, $24.000 al día
siguiente, $36.000 el tercero y así sucesivamente hasta completar el mes.
Simultáneamente, Cruella dará al Tío Gilito 1centavo el primer dia, 2 centavos
el segundo, 4 centavos el tercero, 8 centavos el cuarto día y así
sucesivamente, hasta cumplir el mes. ¿Quién obtendrá mayor beneficio?
Ejercicios extraídos de distintas bibiografías recomendadas para ingresos a las Universidades
4
RESPUESTAS:
1.- a) 2,3,4,5,6…101
b) 1,3,5,7,9,…,199
c) 0,3,8,15,25,…9999
d)
e) 1/2,2/3, 3/4,4/5,5/6…100/101 f) -1/3,1/6,-1/9,1/12,4,6,4,6,4,…6
1/15,…1/300
g)
h) 3,3,3,3,3,…3
i) -9,-8,-7,-6,-5,…90
1,4,27,256,3125,…100100
1
2
2.- a) an = 2n − 1
b) an = n( −1) n
c) an = n
d) an = 2
n
2
n
n
2n − 1
d) an = 3n( −1)
f) an = 4 n ( −1) n +1
e) an = 2.5 + 2.5 ( −1)
e) an =
2n
3.-a) 1;9;33;105;321;…
b) 1;1;3;5;8;13;…
c)7; 5;-5;-55;-305
d) 2;3;5;8;13
e) -1;1;-1/3;3/5;-5/13;…
4.- 5050 5.- a) 55 b) 47/60 c) 45 d)12 e) 255
4
77
∞
∞
log 2k
k
d) ∑
6.- a) ∑ k 3
b) ∑ k
c) ∑
2k
k =1
k =3
k =1
k =3 k
7.- a) 15;7;-1;-9;-17;-25
b)101;51;1;-49;-99;-149
c)0;-3;-6;-9;-12;-15
8.-a) a6 = 14, a100 = 202
an = 2n + 2
c) a6 = 23,5, a100 = 32,9
an = 23 + (n − 1)0,1 = 22,9 + 0,1n
b) a6 = 10, a100 = 386
an = −10 + (n − 1)4 = −14 + 4n
d) a6 = 496, a100 = 9802
an = 1 + ( n − 1) 99 = −98 + 99n
b) a20 = 48
9.-a) a1 = 1
2
10.-a) S10 = 100
11.-a) S n = 20301
c) a30 = 88
b) S8 = 660
c) S 20 = 400
b) no es posible la
c) S n = 46, 75
d) S n = −399
sucesión (n da un
número negativo)
12.- 234 postes
b) $403 500
c) 840 autos
d) 286 filas
13.- a) Si, r = 2
B) NO
C)SI, r =0,5
d) NO
n −1
n −1
14.- a) r = 3 ; a5 = 162 ; an = 2 ( 3)
b) r = 2 3 ; a5 = 112 ; an = 7 2
81
3
n −1
n −1
3
−
n
d) r = −1/12 ; a5 = 1
; an = 12 ( −1)
c) r = 2 ; a5 = 4 ; an = 2
144
( )
( )
e) r = t
2
; a5 = t
15.-a) a5 = − 1
3
16.-a) S6 = 315
17.- a) S n = 3280
18.- a) S n = 40 / 27
19.- a) 1, 28 x1014
c) 2801
5
; an = t n / 2 n −1
16
b) a4 = 1
f) r = 4 ; a5 = −1/ 32 ; an = −25− 2 n
c) a3 = 25
4
d) 16/81; 8/27; 4/9;
c) S6 = 441
b) S4 = 80 / 81
b) S n = 1023 / 512
c) S n = 5,997
b) S n = −5 / 8
c) S n = 78 /125 d) S n = −763 / 90
a .400 − 5000 b) aproximadamente $10 737 000
Sn = n
y tendrán que pasar 40 días
399
d) El tío Gilito porque el dinero que recibe se
comporta como una serie geométrica
Ejercicios extraídos de distintas bibiografías recomendadas para ingresos a las Universidades
5