INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA INTRODUCCIÓN La lógica difusa o lógica borrosa, es la lógica que utiliza expresiones inciertas o imprecisas. Lo difuso, borroso, impreciso o vago no es la lógica en sí, sino el objeto que estudia: expresa la falta de definición del concepto al que se aplica. Permite tratar información imprecisa, como estatura media o temperatura baja, en términos de conjuntos borrosos que se combinan en reglas para definir acciones: • Si la temperatura es alta entonces enfriar mucho. Los sistemas de control basados en lógica difusa combinan variables de entrada, definida en términos de conjuntos difusos, por medio de grupos de reglas que producen uno o varios valores de salida BREVE HISTORIA Investigada a mediados de la década de los 60’ en la Universidad de Berkeley por el ingeniero Lofty A. Zadeh Principio de incompatibilidad: “Conforme la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para ser precisos y construir instrucciones sobre su comportamiento disminuye hasta el umbral más allá del cual, la precisión y el significado son características excluyentes” BREVE HISTORIA Conjunto Difuso: Lógica Difusa Términos Lingüísticos • Los elementos sobre los que se construye el pensamiento humano no son números sino etiquetas lingüísticas. • Representa el conocimiento común, de tipo lingüístico cualitativo y no necesariamente cuantitativo, un lenguaje matemático a través de la teoría de conjuntos difusos y funciones asociadas a ellos. • Son datos menos precisos que los datos numéricos pero en muchas ocasiones aportan una información más útil para el razonamiento humano. BREVE HISTORIA Más formalmente se puede decir que si la lógica es la ciencia de los principios formales y normativos del razonamiento, la lógica difusa o borrosa se refiere a los principios formales del razonamiento aproximado. BREVE HISTORIA Un hito importante en el desarrollo de la lógica difusa fue establecido por Assilian y Mamdani en 1974 en el Reino Unido al desarrollar el primer controlador difuso diseñado para una máquina de vapor, pero la primera implantación real de un controlador de este tipo fue en 1980 por F. L. Smidth & Co. en un planta cementera en Dinamarca BREVE HISTORIA 1983 • Fuji aplica la lógica difusa para el control de inyección química en plantas depuradoras de agua por primera vez en Japón. 1987 • Hitachi pone en marcha un controlador fuzzy para el control del tren – metro de Sendai y la empresa Omron desarrolla los primeros controladores difusos comenciales. 80’ • Mamdani, Takagi y Sugeno desarrollan la primera aproximación para construir la primera aproximación para construir reglas fuzzy a partir de datos de entrenamiento. (Modelos Fuzzy) DEFINICIONES BÁSICAS Y TERMINOLOGÍA Sea X un espacio de objetos y x un elemento genérico de X. Un conjunto clásico A, A ⊆ X, se define como una colección de elementos u objetos x ∈ X, de tal manera que cada x puede pertenecer o no pertenecer al conjunto A . Al definir una función característica para cada elemento x en X, podemos representar un conjunto clásico A por un conjunto de pares ordenados (x, 0) o (x, 1), lo que indica x ∉ A o x ∈ A, respectivamente. DEFINICIONES BÁSICAS Y TERMINOLOGÍA A diferencia de la serie convencional mencionado, un conjunto borroso expresa el grado en que un elemento pertenece a un conjunto. De ahí que la función característica de un conjunto difuso se le permite tener valores entre 0 y 1, que denota el grado de pertenencia de un elemento en un conjunto dado. CONJUNTO DIFUSO Si X es una colección de objetos denotados genéricamente por x, entonces un conjunto borroso A en X se define como un conjunto de pares ordenados: donde se llama la función de pertenencia (MF) para el conjunto difuso A. La "MF" mapea cada elemento de X a un grado de pertenencia (o valor de pertenencia) entre 0 y 1. CONJUNTO DIFUSO Obviamente, la definición de un conjunto difuso es una simple extensión de la definición de un conjunto clásico en el que se permite la función característica de tener cualquier valor entre 0 y 1. Si el valor de la función de pertenencia µA (x) se limita a 0 o 1, entonces A se reduce a un conjunto clásico y µA (x) es la función característica de A. CONJUNTO DIFUSO También se refieren a los conjuntos clásicos como conjuntos ordinarios, conjuntos duros, conjuntos no fuzzy, o simplemente conjuntos. Por lo general, X se conoce como el universo de discurso, o simplemente el universo, y puede consistir discreta (ordenado o no ordenado) objetos o espacio continuo. Esto puede ser aclarada por los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Conjuntos difusos con un universo discreto no ordenado Sea X = {San Francisco, Boston, Los Angeles} un conjunto de ciudades se puede elegir una para vivir. El conjunto difuso C = “ciudad deseable para vivir" puede ser descrito por: Al parecer, el universo de discurso X es discreta y contiene objetos no ordenados en este caso, tres grandes ciudades en los Estados Unidos. Como se puede ver, los grados de pertenencia a lo anterior antes mencionados son bastante subjetivos, cualquier persona puede llegar a tres valores diferentes, pero valores legítimos para reflejar su preferencia. Ejemplo 2: Conjuntos difusos con un universo discreto ordenado Sea X={0,1,2,3,4,5,6} un conjunto de números de hijos que una familia puede elegir tener. Entonces el conjunto difuso A=“número posible de hijos en una familia” puede ser descrito como: Donde se tiene un universo discreto ordenado X; la MF del conjunto A se muestra en la figura 2.1(a). Nuevamente los grados de membresía del conjunto difuso son obviamente medidas subjetivas. Ejemplo 2 Ejemplo 2: Conjuntos difusos con un universo continuo Sea X=R+ un conjunto de posibles edades del humano. Entonces el conjunto difuso B=“aproximadamente 50 años” puede ser expresado como: donde Ejemplo 2 CONJUNTOS DIFUSOS Para los ejemplos anteriores su construcción depende de: Identificación del universo de discurso y Especificación de una función de membresía adecuada. La especificación de la función de membresía es subjetiva, lo que significa que las funciones de membresía especificada para el mismo concepto (por decir, “numero aproximado de hijos en una familia”) para diferentes personas puede variar considerablemente. CONJUNTOS DIFUSOS Para denotar un conjunto difuso A : Si X es una colección de objetos discretos. Si X es un espacio continuo (usualmente los reales R). Los signos de suma e integración se colocan para la unión de los pares (x, µA(x)); no indica la suma e integración. Similarmente “/” es solo un marcador y no una división Variables Lingüísticas y valores lingüísticas Suponga que X=“edad”. Entonces podemos definir los conjuntos “joven”, “edad media” y “viejo” que son caracterizados como MF µviejo(x), µedadmedia(x) y µjoven(x). Una variable puede asumir varios valores, la variable lingüística “Edad” puede tomar diferentes valores lingüísticos, como “joven”, “edad media”, “viejo”. Variables Lingüísticas y valores lingüísticas Las MF para el valor lingüístico anterior se muestra abajo, donde el universo de discurso X es totalmente cubierto por las MF y la transición de una MF a otra s muy suave y gradual. CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo) Por ejemplo supongamos que se desea representar con conjuntos difusos la variable altura de una persona, en esta caso el universo de discurso será el rango de posibles valores de la altura que tenga un persona adulta Se escoje un rango entre 140 cm y 200 cm, valores por fuera de este rango son posibles pero son muy escasos. El universo de discurso U = [140, 200], CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo) Las variables lingüísticas: es Muy Baja (MB), Baja (B), Mediana (M), Alta (Alta) y Muy Alta (MA) Etiqueta Rango [min, max] MB [140,160] B [160,170] M [170,180] A [180,190] MA [190,200] CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo) Si el ejemplo anterior se desea trabajar con conjuntos clásicos (crisp) se tienen dos opciones o alguien Alto (A) o Bajo (B). Se supondrá que alguien Alto si mide mas de 170cm en caso contrario es bajo CONJUNTO DIFUSO (Ejemplo) En un conjunto difuso su frontera no está precisamente definida, y la prueba de pertenencia regresa un valor entre 0 y 1. Para ésto, existe un grado de pertenencia (µ) el cual es subjetivo y dependiente del dominio.