Ecuación de Continuidad

Ecuación de Continuidad
Fenómenos de Transporte
ILQ – 230 (II – 2011)
Prof. Alonso Jaques
Informaciones
- Pagina ramos online habilitada
- Quiz 25/11/2001, tópico ecuación de
continuidad
- Fijar horarios de ayudantía y calendario
de certámenes
Ecuación de Continuidad,
Balance Integral
Consideraciones:
• “Hipótesis del Medio
Continuo”
• Volumen de Control
Invariante
• ….
Ecuación de Continuidad,
Balance Integral
Consideraciones:
• La cantidad de materia en
volumen de control es
descrita por:
• La razón de cambio del
balance en el volumen de
control:
Ecuación de Continuidad,
Balance Integral
Consideraciones:
• El cambio de inventario en
el volumen de control esta
dado por el balance de
materia que pasa por la
superficie del mismo:
①
Ecuación de Continuidad,
Balance Integral
Consideraciones:
• Considerando que el
volumen de control esta
“fijo” se puede considerar:
• Comparando los resultados
resultado para ambos lados
de ①:
②
Ecuación de Continuidad,
Balance Integral
Consideraciones:
• Aplicando el teorema de la
divergencia se puede tener
ambas integrales en ② en
base a integral de volumen.
• Agrupando términos y
considerando volumen de
control arbitrario se tiene:
Ecuación de Continuidad
Ejemplo:
Considerando una reacción química ocurriendo al fondo de un estanque
(altura H, y diámetro D) produciendo generación de gases con la siguiente
generación de espuma.
Considerando la siguiente expresión para el cambio de la densidad de la
mezcla a medida de avance de la reacción química:
𝑑𝜌
= −𝑘 𝜌 − 𝜌𝑒
𝑑𝑡
Determine:
- La velocidad de ascenso en el fluido a medida que la reacción avanza
- La altura final del fluido en el estanque.
Asuma, mezcla homogénea, y el efecto de fricción de las paredes.
Ecuación de Continuidad,
Balance Diferencial
𝝆𝒖𝒚 |𝒚+∆𝒚
Consideraciones:
𝝆𝒖𝒛 |𝒛+∆𝒛
• Fluido puro
𝝆𝒖𝒙 |𝒙
𝝆𝒖𝒙 |𝒙+∆𝒙
Δz
Δy
y
Δx
𝝆𝒖𝒛 |𝒛
z
x
𝝆𝒖𝒚 |𝒚
• Flujo a través de elemento
de volumen estacionario fijo
en el espacio
• Concentración de fluido
igual a ρ [M/ L3]
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 − 𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 =
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 = ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥 + ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦 + ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 = ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑚
𝜕𝜌
= ∆𝑥∆𝑦∆𝑧
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝜕𝑡
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 − 𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 =
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝜕𝜌
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕𝑡 = ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥
+ ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦
+ ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑦 |𝑧+∆𝑧
𝜕𝜌
=
𝜕𝑡
ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥
∆𝑥
+
ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦
∆𝑦
+
ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧
∆𝑧
lim
∆𝑥→0
ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥
+ lim
∆𝑦→0
∆𝑥
𝜕𝜌
=
𝜕𝑡
ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦
ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧
+ lim
∆𝑧→0
∆𝑦
∆𝑧
𝜕 𝜌𝑢𝑦
𝜕𝜌
𝜕 𝜌𝑢𝑥
𝜕 𝜌𝑢𝑧
=−
+
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Ecuación de Continuidad
𝜕𝜌
= − 𝛻 ∙ 𝜌𝐮
𝜕𝑡
Se puede escribir la ecuación de continuidad en base molar, considerando el
peso molecular promedio del medio
• Coordenadas rectangulares (x,y,z)
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜌𝑢𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕
𝜌𝑢𝑦 +
𝜕𝑧
𝜌𝑢𝑧 =0
• Coordenadas cilíndricas (r,θ,z)
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1 𝜕
𝑟 𝜕𝑟
𝜌𝑟𝑢𝑟 +
1 𝜕
𝑟 𝜕θ
𝜌𝑢θ +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑢𝑧 =0
• Coordenadas esféricas (r,θ,φ)
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1 𝜕
𝑟 2 𝜕𝑟
𝜌𝑟 2 𝑢
1
𝜕
𝑟 + 𝑟∙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕θ
𝜌𝑢θ 𝑠𝑖𝑛𝜃
1
𝜕
+
𝑟∙𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕φ
𝜌𝑢φ =0
Problemas Propuestos:
- Verifique si el flujo de Hagen-Poiseville, puede ser valido para flujo
incompresibles.
- Verifique que el flujo dado por el siguiente campo de velocidades dado
por 𝐮 = 𝑥 3 𝑦, 2𝑦𝑥 2 𝑧, 0 no corresponde para fluido incompresible.
- Determine la componente faltante del siguiente campo de velocidades
incompresible, 𝐮 = 𝑥 3 𝑦, 2𝑦𝑥 2 𝑧, ?
- Si se tiene un flujo unidireccional, incompresible en coordenadas
cartesianas, verifique si el la velocidad puede cambiar en la dirección
del flujo.
Representación Vectorial
𝐮 = 𝑦, −𝑥, 0