DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN : Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas pueden ser: asíntotas verticales es asíntotas horizontal asíntotas oblicuas ASÍNTOTAS VERTICALES Las asíntotas verticales son paralelas al eje OY: y o y Entonces existe un número “a” tal que: lim f x o lim f x A.V.: x=a xa xa Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. 2º Si la función deja de existir en x=a, existirá vertical “ x=a “ si lim f x o lim f x . xa asíntota xa Ejemplo 1: Determina las asíntotas verticales de y x 2 2x x2 4 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula x 2 4 0; x 2; x 2 D[ f ( x)] 2 ,2 1 Luego tiene como posible asíntotas verticales: ¿ x=2 y x=-2.? 2º ¿ A.V. en x=2. ? ¿ lim f x o lim f x ? xa x 2x 2 8 lim x2 x 2 4 0 lim x2 x x 4 2 xa lim hay que hacer límites laterales x 2 lim x 2 x 2 2x 8 0 x 4 x 2 2x 8 0 x2 4 2 No existe Estos límites nos sirven para determinar que x=2 es ASÍNTOTA VERTICAL pues lim f x y lim f x y con ellos también observamos las tendencias x2 x2 de la función (Observar gráfica) ¿ A.V. en x=-2. ? ¿ lim f x o lim f x ? xa x 2x 2 lim x 2 x 4 2 0 0 lim x 2 xa xx 2 x 2 1 lim x 2 x 2x 2 x2 4 2 No hay asíntota vertical, en x=-2 la función es discontinua evitable. Gráfica: Ejemplo 2: Determina las asíntotas verticales de y x2 x 4 2 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. 2 Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula x 42 0; x4 D[ f ( x)] 4 Luego tiene como posible asíntota vertical: ¿ x=4? 2º ¿ A.V. en x=4. ? ¿ lim f x o lim f x ? xa lim x 2 x 2 x 4 2 xa 4 0 Este límite nos sirve para determinar que x=4 es ASÍNTOTA VERTICAL pues lim f x y lim f x con ellos también observamos las tendencias de la x4 x4 función (Observar gráfica) Ejemplo 3: Determina las asíntotas verticales de y log( x 4) 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función logarítmica sólo existe si x 4 0 x 4 x 4 luego D[ f ( x)] x ,4 Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de x=4 2º ¿ A.V. en x=4. ? ¿ lim f x o lim f x ? xa xa 3 lim log( x 4) log(0) x 4 Este límite nos sirve para determinar ASÍNTOTA VERTICAL, pues lim f x x 4 que x=4 es y con el también observamos la tendencia de la función (Observar gráfica) ASÍNTOTAS HORIZONTALES x o x Las asíntotas horizontales son paralelas al eje OX: Si existe lim f x k o x lim f x k x entonces “y=k” será una asíntota horizontal. Procedimiento para determinar las asíntotas horizontales de una función Se calcula el lim f x x y lim f x x si alguno de ellos toma un valor finito “k”, existirá asíntota horizontal y=k. Nota: - En el caso de funciones del tipo y P( x) P( x) Q( x) Q( x) polinomio existirá asíntota polinomio horizontal si “grado de P(x) ≤ grado de Q(x)”. = lim f x =k lim f x x En estos casos: x 4 - En el caso de funciones del tipo exponencial y a f (x) existirá asíntota 0 a 1 y y a 1 f ( x) f ( x) horizontal “y=0” si - Para determinar la posición relativa de la curva hacemos lo siguiente: Y1=f(x) Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞ Y1 - K Y1- K > 0 x=100 y f (100) x=-100 y f (100) Y1- K < 0 Y1- K > 0 Y1- K < 0 Ejemplo 4: Determina las asíntotas horizontales de y lim f x 1º Se calcula el x y la asíntota “y=k” : lim x 1 x x2 1 x x2 x 1 1 lim lim 0 x x 2 x x El -0 indica que la curva se encuentra por debajo de la asíntota y=0 2º Tenemos dos opciones: 1 x x x 2 x - Calcular lim por x 1 x x x 2 lim lim x x 1 1 lim 0 2 x x x El +0 indica que la curva se encuentra por encima de la asíntota y=0 - O directamente calculamos la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y 1 x x x=100 y1 x=-100 y1 2 1 100 0,0099 1002 1 100 1002 0,0101 Y1-k Situación relativa de la gráfica y la asíntota -0,0099-0<0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞ 0,0101-0> 0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ (como se observa en la gráfica adjunta) 5 6 Ejemplo 5: Determina las asíntotas horizontales de y 1º Se calcula el lim f x 2x2 x2 4 x 2x2 lim 2 x x 4 2x2 2 Luego “y=2” será una asíntota horizontal. x x 2 lim 2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y x=100 y 2x2 x2 4 21002 1002 4 Y1 - 2 Situación relativa de la gráfica y la asíntota 2,00080032-2>0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ 2,00080032-2>0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ 2,00080032 x=-100 y 2 1002 1002 4 2,00080032 2 (como se observa en la gráfica adjunta) 7 Ejemplo 6: Determina las asíntotas horizontales de y x 2 2x x2 4 (ejemplo 1) 1º Se calcula el lim f x x x 2x x2 4 2 lim x lim x x2 1 Luego “y=1” será una asíntota horizontal. x2 2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y x=100 y x 2 2x x 4 2 100 2.100 1002 4 Y1 - 1 Situación relativa de la gráfica y la asíntota 1,020408163-1>0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ 0,9803921-1 < 0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞ 2 1,020408163 x=-100 y 1002 2.100 1002 4 0,9803921569 (como se observa en la gráfica adjunta) 8 Ejemplo 7: Determina las asíntotas horizontales de y 2x2 x 8 x2 4 1º Se calcula el lim f x x 2x x 8 x x2 4 2 lim 2x2 2 Luego “y=-2” será una asíntota horizontal. x x 2 lim 2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y x=100 y 2x2 x 8 x2 4 2.1002 100 8 1002 4 Y1-(-2) Situación relativa de la gráfica y la asíntota -1,990003998+2>0 La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ -2,00999960+2 < 0 La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞ 1,990003998 x=-100 y 2. 1002 100 8 1002 4 2,0099996002 (como se observa en la gráfica adjunta) 9 Ejemplo 8: Determina las asíntotas horizontales de y 10 3x . Nota: En este caso por no ser una función del tipo y calcular lim f x y x lim f x : x lim f x 1º Se calcula el x : P( x) P( x) Q( x) Q( x) polinomio hay que polinomio lim 10 3 x 10 3 Luego no existe asíntota x horizontal en el +∞. (como se observa en la gráfica adjunta) 2º Se calcula el lim f x : lim 10 3x x x x por x lim 10 3 x 10 3 10 x Luego “y=10” será una asíntota horizontal. 3º Posición relativa de la gráfica y la asíntota. x=-100 1 3 y 10 3x Y1-(10) y 10 3100 10 3100 10 0 10 1 10 0 10 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ (como se observa en la gráfica adjunta) 10 ASÍNTOTAS OBLICUAS Son rectas asíntotas a una función del tipo y mx n siendo Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. m0 Procedimiento para determinar las asíntotas oblicuas de una función f x f x 1º Se calcula m: m lim y m 0 o m lim y m 0 x x 2º Se calcula n: n lim f ( x) mx x x x si n o n lim f ( x) mx si n x Nota: - Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. - En el caso de funciones del tipo y P( x) P( x) Q( x) Q( x) polinomio existirá asíntota polinomio oblicua si “grado de P(x) = grado de Q(x) +1”. - Si m ≠ 0 en el caso de funciones del tipo y P( x) P( x) Q( x) Q( x) polinomio este polinomio valor es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞, por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando x →+∞. 3º Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: Y1=f(x) Y2=mx+n x=100 y1 f (100) y 2 100m n x=-100 y1 f (100) y 2 100m n Y1 - Y2 Y1- Y2 > 0 Y1- Y2 < 0 Y1- Y2 > 0 Y1- Y2 < 0 Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞ Ejemplo 9: Determina las asíntotas oblicuas de y 1º Se calcula “m”: x2 m lim 2 x 2 x x - lim x x2 2x 2 x2 x2 1 lim 2 2 x 2 2x 2x 2x Si m≠0 en el caso de funciones del tipo y P( x) P( x) Q( x) Q( x) polinomio este valor polinomio es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞ por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando x →+∞. 1 2 1 2 Por lo tanto existe una asíntota oblicua y x n → n y x 2º Se calcula el “n”: 11 x2 x x2 x2 x n lim lim x 2 x 2 x 2 2( x 1) lim x x x 1 lim 2 x 2 x 2 x 2 1 1 Luego “ y x ” será una asíntota oblicua. 2 2 Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: x2 2x 2 1002 y1 2.100 2 50,505050... y x=100 x=-100 y1 1002 2. 100 2 49,5049505... y 1 1 x 2 2 Y1- Y2 situación 100 1 2 2 50,5 50,505050.... 50,5 0 100 1 2 2 49,5 49,5049505 49,5 0 y2 y2 - La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞ ( como se observa en la gráfica adjunta) Ejemplo 10: Determina las asíntotas oblicuas de y x3 x 9 2 1º Se calcula “m”: x3 2 m lim x 9 x x - lim x x3 1 x3 9 x Si m≠0 en el caso de funciones del tipo y P( x) P( x) Q( x) Q( x) polinomio este valor polinomio es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞ por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando x →+∞. Por lo tanto existe una asíntota oblicua y = x+n → n = y -x 2º Se calcula el “n”: 12 x3 9x n lim 2 x lim 2 x x 9 x x 9 lim x 9x 9 lim 0 x x x2 Luego “y=x” será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y x=100 Y=x x2 9 1003 1002 9 99,91008093 y1 y1 x=-100 x3 1003 1002 9 99,91008093 Y1- Y2 y 2 100 99,91008093 100 0 y 2 100 99,91008093 100 0 - situación La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ ( como se observa en la gráfica adjunta) 13