3Núcleo e Imagen de una Apliación Lineal

0251.00
3
Núcleo e Imagen de una Apliación Lineal
3 487002 510008
(c) 2012 Leandro Marin
Definiciones Básicas
Dada una aplicación lineal f : V → W existen dos espacios vectoriales
asociados a los que llamaremos núcleo e imagen de f . El núcleo de
f , también conocido como el kernel de f se denota Ker( f ) y es el
subconjunto de V formado por los vectores v ∈ V tales que f (v) = 0.
La linealidad de f nos garantiza que Ker( f ) es un subespacio porque
si u y v están en Ker( f ), entonces f (u) = f (v) = 0 y por lo tanto
f (u + v) = f (u) + f (v) = 0. También si v ∈ Ker( f ) y λ ∈ K, tenemos que
f (v) = 0 y por lo tanto f (λv) = λ f (v) = λ0 = 0.
Cuando la aplicación lineal f es una aplicación entre espacios del tipo
K n , por ejemplo


x
x 1 + x 2 − 3x 3
1 1 −3
 1 
f  x2  =
,
=
x1 + x3
1 0
1
x3
el núcleo es precisamente el conjunto de valores (x 1 , x 2 , x 3 ) tales que
x 1 + x 2 − 3x 3 = 0 y x + 1 + x 3 = 0, es decir, el conjunto de soluciones
de un sistema homogéneo o lo que es lo mismo, un subespacio dado en
forma implícita.
Entonces, el concepto de núcleo de una aplicación lineal y el de espacio
dado en forma implícita, realmente son la misma cosa y la técnica
que utilizaremos para su cálculo es la misma que utilizábamos para la
resolución de sistemas homogéneos.
El otro espacio vectorial asociado a una aplicación lineal es su imagen.
Dada f : V → W lineal, llamaremos imagen de f y lo denotaremos como
Im( f ) como el conjunto de vectores w ∈ W para los cuales podemos encontrar algún vector v ∈ V tal que f (v) = w. La forma de calcular la imagen de una aplicación lineal, es a través de la propiedad de generación:
Proposición. Si los vectores {v1 , v2 , · · · , vk } generan V , entonces los
vectores { f (v1 ), f (v2 ), · · · , f (vk )} generan Im( f ).
Demostración: Supongamos primero que w ∈ Im( f ), entonces podemos encontrar un vector v ∈ V tal que w = f (v), pero utilizando que
{v1 , v2 , · · · , vk } generan V deducimos que podemos encontrar valores
λ1 , λ2 , · · · , λk ∈ K tal que v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λk vk , pero entonces
w = f (v) = f (λ1 v1 +λ2 v2 +· · ·+λk vk ) = λ1 f (v1 )+λ2 f (v2 )+· · ·+λk f (vk )
lo que prueba que el vectore w está en el espacio generado por los vectores { f (v1 ), f (v2 ), · · · , f (vk )}.
Recíprocamente, si un vector w está en el espacio generado por
{ f (v1 ), f (v2 ), · · · , f (vk )} entonces podemos encontrar valores λ1 , · · · , λk
tales que
w = λ1 f (v1 )+λ2 f (v2 )+· · ·+λk f (vk ) = f (λ1 v1 +λ2 v2 +· · ·+λk vk ) ∈ Im( f ).
Esta propiedad que acabamos de demostrar, la podemos realizar para
cualquier conjunto generador de V , en particular, para una base como la
canónica, en cuyo caso obtenemos el siguiente resultado.
Proposición. Sea f : K m → K n una aplicación lineal dada por la matriz
M , entonces Im( f ) es precisamente el espacio generado por las columnas
de la matriz M .
Demostración: Las columnas de la matriz M son precisamente los valores f (ei ) para cada uno de los vectores de la base canónica y utilizando
la proposición anterior, el resultado es inmediato. ƒ.
2. El algoritmo de cálculo para núcleo e imagen
Dada una aplicación lineal f : K n → K m dada a partir de una matriz
M de tamaño m × n, podemos calcular del siguiente modo la base del
núcleo y la imagen de f :
Como la imagen es el subespacio de K m generado por las columnas de
la matriz M , podemos poner esos vectores como filas y hacer operaciones
elementales para calcular una base a partir de un conjunto generador.
Esto se hace reduciendo por filas la matriz transpuesta de M .
Si a la derecha de la matriz transpuesta de M ponemos la matriz identidad, con el proceso de reducción podemos también calcular el núcleo de
la aplicación lineal tal y como hacíamos la base de un subespacio dado
en coordenadas implícitas, por lo tanto podemos calcular ambas bases
reduciendo una única matriz.
El método se puede ver de forma más clara a partir de los ejemplos.
3. Ejemplos
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
Q2 → Q2 dada por la matriz
0 −1
0 −1
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:
0
0
1 0
−1 −1 0 1
F1 ↔F2
F2 =−1F2
1 1 0 −1
0 0 1
0
→
→
0 0 1
0
1 1 0 −1
La base del núcleo buscada es ( 1 0 ) . La base de la imagen es
( 1 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F5 2 → F5 2 dada por la matriz
0 2
2 1
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:
0 2 1 0
2 1 0 1
F1 =3F1
F2 =4F1 +F2
0 1 3 0
0 1 3 0
→
→
2 1 0 1
2 0 2 1
F1 ↔F2
F2 =3F2
1 0 1 3
0 1 3 0
→
→
0 1 3 0
1 0 1 3
La base del núcleo buscada es ; porque el núcleo es el espacio 0. La
base de la imagen es ( 1 0 ) ( 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F23 2 → F23 2 dada por la matriz
1
a+1
1 a2 + a + 1
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:
1
1
1
a + 1 a2 + a + 1 0
0
1
F2 =(a+1)F1 +F2
1
0
1
a2
1
a+1
0
1
→
F2 =(a2 +a+1)F2
→
1
0
1
1
1
a
0
a +a+1
2
La base del núcleo buscada es ; porque el núcleo es el espacio 0. La
base de la imagen es ( 1 1 ) ( 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
Q4 → Q3 dada por la matriz


0 21 1 −2


 1 0 2 −2 
0 0 0
2
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:


0
1
0 1 0 0 0
 1

 2
0
0 0 1 0 0 


1
2
0
0
0
1
0


−2 −2 2 0 0 0 1
F3 =−2F1 +F3

F4 =2F1 +F4

→
→








0
1
2
1
−2
0
1
2
1
−2
1
0
0
−2
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
1
0
−2
0
1
0
−2
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1

0

0 

0 
1







0
1 0
1
0 0 0
F2 =2F2
1
0 0
0
2 0 0 

→
1
0 0 −2 0 1 0 
−2 0 2
2
0 0 1


0
1 0
1
0
0 0

F3 =−1F2 +F3
0 0
0
2
0 0 
 1

→
 0
0 0 −2 −2 1 0 
−2 0 2
2
0
0 1


0 1 0
1
0
0 0

F4 =2F2 +F4  1
0
0
0
2
0
0


→
 0 0 0 −2 −2 1 0 
0 0 2
2
4
0 1


0 1 0
1
0
0 0
F4 = 12 F4 
0
2
0 0 

 1 0 0
→  0 0 0 −2 −2 1 0 


0 0 1
1
2
0 12


1 0 0
0
2
0 0

1 0
1
0
0 0 
F1 ↔F2  0

→  0 0 0 −2 −2 1 0 


0 0 1
1
2
0 21


1 0 0
0
2
0 0

F3 ↔F4  0
1 0
1
0
0 0 

→ 

1
2
0 21 
 0 0 1
0 0 0 −2 −2 1 0



La base del núcleo buscada es ( −2 −2 1 0 ) . La base de la
imagen es ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F5 4 → F5 3 dada por la matriz


1 2 3 1


 1 1 3 1 
3 1 4 1
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:

1
 2

 3
1
1
1
3
1

1
 0

→
 3
1

1
F3 =2F1 +F3  0

→
 0
1

1
F4 =4F1 +F4  0

→
 0
0

1
F2 =4F2  0
→ 
 0
0

1
F4 =2F4  0
→ 
 0
0

1
F3 ↔F4  0
→ 
 0
0
F2 =3F1 +F2
3
1
4
1
1
0
0
0
1
4
3
1
1
4
0
1
1
4
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
3
0
4
1
3
0
0
1
3
0
0
3
3
0
0
3
3
0
0
1
3
0
1
0
0
0
1
0
1
3
0
0
1
3
2
0
1
3
2
4
1
2
2
4
1
2
2
3
1
2
3
2

0
0 

0 
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
4
0
0
0
4
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
2
0

0
0 

0 
1

0
0 

0 
1

0
0 

0 
1












La base del núcleo buscada es ( 2 0 1 0 ) . La base de la
imagen es ( 1 1 3 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F23 4 → F23 3 dada por la matriz



a
1
a2 + a
a
a2
a+1
a2
a+1
a2 + a

a2 + a

a +a+1 
a+1
2
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:

a
a
a2
a2 + a




F3
=a2 F
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1





1
a
a2
a2 + a
a2 + 1
a2
a+1
a2 + a + 1
a+1
a+1
a2 + a
a+1
a2 + 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1


1
0
a2
2
a +a
a2 + 1
a2 + 1
a+1
a2 + a + 1
a+1
a2 + 1
a2 + a
a+1
a2 + 1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1


1
0
0
a2 + a

a2 + 1
a2 + 1
1
a2 + a + 1
a+1
a2 + 1
1
a+1
a2 + 1
1
a
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0

0 

0 
1





→
→
a2 + a
a+1
a2 + a
a+1

F1 =(a2 +1)F1
F2 =aF1 +F2
1
a2
a+1
a2 + a + 1




1 +F3
→




F4 =(a2 +a)F1 +F4
→
1

 0

 0
0
a2 + 1
a2 + 1
1
a2
a+1
a2 + 1
1
a
a2 + 1
1
a
a+1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1












F2 =aF2
→

1

 0
 0

0

a2 + 1
1
1
a2
a+1
1
1
a
a2 + 1
a
a
a+1
0
a
0
0
0
0
1
0
1 a2 + 1 a + 1 a2 + 1 0 0

F3 =1F2 +F3  0
1
1
a
a 0
→
 0
0
0
0
a 1

2
0
a
a
a+1
0 0

2
2
1 a +1
a+1
a +1
0

F4 =a2 F2 +F4  0
1
1
a
a
→
 0
0
0
0
a

0
0
a2 + a
0
a+1

2
1 a + 1 a + 1 a2 + 1
0
0

F4 =(a+1)F4  0
1
1
a
a
0
→
 0
0
0
0
a
1

0
0
1
0
a2 + 1 0

1 a2 + 1 a + 1 a2 + 1
0
0

F3 ↔F4  0
1
1
a
a
0
→ 
0
1
0
a2 + 1 0
 0
0
0
0
0
a
1

0
0
0
1




0
0
0
1
0
0
1
0





0
0
0
1






0

0


0

a+1

0

0


a+1 
0
La base del núcleo buscada es ( 0 a 1 0 ) . La base de la
imagen es ( 1 a2 + 1 a + 1 ) ( 0 1 1 ) ( 0 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
Q3 → Q4 dada por la matriz





0
0
0
2
2
0
−2
0
0


− 21 

1 
−1
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:

0
 2

0
F1 = 12 F1
→

0
0
− 12
0

 2
0

0
−2
1
0
0
− 12
2
0
−1
0
−2
1
0
0
0

0
−2
 2
0 − 21
1

0
0
0
F2 = 12 F2 
0
−1
→ 
 1
1
0 − 21

0 0
0
1
F3 =−2F3 
→  1 0 −1 0
0 1 −2 0

1 0 −1 0
F1 ↔F2 
→  0 0
0
1
0 1 −2 0

1 0 −1 0
F2 ↔F3 
→  0 1 −2 0
0 0
0
1
F3 =1F1 +F3
→
1
0
0
0
1
0

0
0 

1
1
2
0
1
0

0

0
0 
0
1

1 12 0 0

0 0 1 0 
0 12 0 1

0 0
1 12

1
0 0
0 

2
1
0 2
0 1

1
0
0
2

1
0 
0
2
−1 0 −2

1
0
0
2

1
0
0 
2
−1 0 −2

1
0
0
2

−1 0 −2 
1
0
0
2
1
0
−1
La base del núcleo buscada es ; porque el núcleo es el espacio 0.
La base de la imagen es ( 1 0 −1 0 ) ( 0 1 −2 0 )
( 0 0 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F5 3 → F5 4 dada por la matriz

0
 1

 3
3
1
1
0
0

0
3 

1 
4
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:

0

 1
0
1
1
3

0

→
 1
0

0
F3 =2F1 +F3 
→
 1
0

0
F3 =3F3 
→  1
0

1
F1 ↔F2 
→  0
0
F2 =4F1 +F2
3
0
1
3
0
4
1
0
0
0
1
0

0

0 
1
1
0
3
3
2
1
3
2
4
1
4
0
0
1
0
1
0
0
3
2
2
3
2
0
1
4
2
0
1
0
1
0
0
3
2
1
3
2
0
1
4
1
0
1
0
0
1
0
2
3
1
2
3
0
4
1
1
1
0
0

0

0 
1

0

0 
1

0

0 
3

0

0 
3
La base del núcleo buscada es ; porque el núcleo es el espacio
0. La base de la imagen es ( 1 0 2 2 ) ( 0 1 3 3 )
( 0 0 1 0 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F23 3 → F23 4 dada por la matriz


a
a2 + a
1


a2 a2 + a + 1
a 

 2

2
a
a 
 a +a+1
a
0 a2
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:


a
a2
a2 + a + 1
a
1 0 0
 2

2
2
a
0
0 1 0 
 a +a a +a+1
1
a
a
a2 0 0 1


1
a
a2 + a
1
a2 + 1 0 0
F1 =(a2 +1)F1 

2
2
2
a
0
0
1 0 
→
 a +a a +a+1
2
1
a
a
a
0
0 1


1 a a2 + a
1
a2 + 1 0 0
2
F2 =(a +a)F1 +F2 

2
2
a+1
1 0 
→
 0 0 a +a a +a
1 a
a
a2
0
0 1


1 a a2 + a
1
a2 + 1 0 0
F3 =1F1 +F3 

2
2
a+1
1 0 
→
 0 0 a +a a +a
0 0
a2
a2 + 1 a2 + 1 0 1


1 a a2 + a
1
a2 + 1
0
0
F2 =(a+1)F2 

1
1
a2 + 1 a + 1 0 
→
 0 0
2
2
2
0 0
a
a +1 a +1
0
1


1 a a2 + a 1
a2 + 1
0
0
2
F3 =a F2 +F3 

1
1
a2 + 1
a+1
0 
→
 0 0
2
2
0 0
0
1 a +a+1 a +a+1 1
La base del núcleo buscada es ; porque el núcleo es el espacio 0.
La base de la imagen es ( 1 a a2 + a 1 ) ( 0 0 1 1 )
( 0 0 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
Q2 → Q2 dada por la matriz
0 1
0 2
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:
0 0 1 0
1 2 0 1
F1 ↔F2
1 2 0 1
→
0 0 1 0
La base del núcleo buscada es ( 1 0 ) . La base de la imagen es
( 1 2 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F5 2 → F5 2 dada por la matriz
0 0
3 0
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:
0 3 1 0
0 0 0 1
F1 =2F1
0 1 2 0
→
0 0 0 1
La base del núcleo buscada es ( 0 1 ) . La base de la imagen es
( 0 1 )
Ejercicio. Calcula en núcleo y la imagen de la aplicación lineal f :
F23 2 → F23 2 dada por la matriz
2
a
a
a a2 + a
Para calcular la base del núcleo y la imagen de esta aplicación lineal
ponemos la transpuesta de la matriz de la aplicación y la ampliamos con
la matriz identidad, con lo que obtenemos:
2
a
a
1 0
2
a
a +a 0 1
F1 =(a2 +a+1)F1
1 a2 + 1 a2 + a + 1 0
→
a a2 + a
0
1
F2 =aF1 +F2
1
a2 + 1
a2 + a + 1 0
→
2
2
0 a +a+1
a +1
1
F2 =a2 F2
1 a2 + 1 a2 + a + 1
0
→
2
0
1
a
a
La base del núcleo buscada es ; porque el núcleo es el espacio 0. La
base de la imagen es ( 1 a2 + 1 ) ( 0 1 )