LOS METEORITOS CAEN SOBRE JÚPITER A 207.000

LOS METEORITOS CAEN SOBRE JÚPITER A 207.000
KILÓMETROS POR HORA, por Miguel Bronchalo de la Vega
Recuerdo que en 1994 cayeron sobre Júpiter varios meteoritos causando un impacto
equivalente al de una bomba atómica de colosales dimensiones. La NASA lo anunció con
antelación, dando unos cálculos previos: la gravedad en Júpiter era 2,65 veces la de la
Tierra; su diámetro era 10 veces más grande, y la velocidad de caída iba a ser de 207.000
kilómetros por hora. Yo me congratulé entonces al comprobar que esta velocidad se
correspondía
exactamente
con
la
fórmula
de
Newton
v = 2 gR = 2 x 26 x63.660.000m / seg = 57.535m / seg = 207.000 Km / h , y me congratulé aun
más al pensar que esa fórmula definía de una vez para siempre la velocidad de caída de
todos los meteoritos sobre todos los planetas, que en el caso de Júpiter resultaba ser de
207.000 kilómetros por hora.
Oí en otra ocasión que los satélites geo-estacionarios se colocaban en una órbita idónea para
la emisión-recepción situada a 35.800 kilómetros sobre la superficie de la Tierra ( 42.200
Km. desde el centro), y volví a pensar que esa altura se correspondía también con la fórmula
de Newton, que nos da
d =(
TR g 23
) = 42,2 x10 6 m = 42.200 Km (1)
2π
(Ver más adelante)
Siendo:
T = Periodo de la rotación = 1 día = 86.400 segundos
R = Radio de la Tierra = 6.366.000 metros
g = 9,81 m/ seg2
Volví a pensar que los 42.200 Km. no eran ningún capricho, ya que todos los satélites geoestacionarios tienen que estar a esa altura, porque si no, no serían geo-estacionarios (girarían
más deprisa o más despacio que la propia Tierra). Me quedé pensando que la fórmula de
Newton no era ninguna simplicidad que se le ocurrió al ver caer una manzana de un árbol,
sino que era algo verdaderamente genial, que sirvió para entonces y que sigue sirviendo
todavía para ahora mismo.
Repensando yo ahora sobre ello, recuerdo un problema que circuló en Caminos allá por los
años 50 que decía, más o menos:
Se sabe que la Luna da una vuelta completa a la Tierra cada 28 días y que la atracción
de la gravedad en la Tierra es de 9,81 m/seg2. Admitiendo que su órbita es “casi”
circular, se pide:
1º.- Calcular la distancia de la Tierra a la Luna.
2º.- Calcular el tiempo que tardaría la Luna en caer a la Tierra si dejara de girar a su
alrededor.
Yo me he puesto ahora a recalcularlo, y obtengo, salvo error u omisión, lo que sigue. Creo,
además, que se trata de un problema apasionante, y agradeceré cualquier comentario o
crítica sobre mi planteamiento.
1º.- Si la masa de la Tierra es M, la de la Luna, m, el periodo de la rotación T = 28 días, y la
distancia Tierra-Luna, d, tendremos:
KMm
v2
=
m
d
d2
v=
KM
d
Pero en la Tierra, la atracción de la gravedad g cumple:
KMm
= mg
R2
luego KM = gR2
y también
⎛ RT g
d =⎜
⎜ 2π
⎝
2
⎞3
⎟
⎟
⎠
(1)
Esta fórmula, coincidente con la (1) anterior, y similar a la del péndulo, nos da la duración
de la órbita de un satélite (natural o artificial) a su planeta en función exclusiva de la
distancia entre ambos. Con ella podemos calcular ya directamente la distancia Tierra-Luna.
2
⎛ 6.366.000 x(28 x 24 x3.600) 9,81 ⎞ 3
⎟ = 3,89 x10 8 m = 389.000 Km.
Distancia Tierra-Luna = d = ⎜⎜
⎟
π
2
⎝
⎠
La distancia de la Tierra a la Luna es de 389.000 Km.
2º.- El tiempo de caída de la Luna sobre la Tierra se deduce de lo siguiente:
x
1 dx 2
1 1
KMm
m( ) = ∫ − 2 dx = KMm( − )
d
x d
2 dt
x
Cuya fórmula, integrada nos da el tiempo (siendo el radio de la Luna r= 1.738 Km.)
T=
d
1
2 KM
∫
R+r
d
⎡ 32
⎤
x
=
− xd 2 − x 2 d ⎥
=
⎢d arctg
d−x
1 1 R 2g ⎣
⎦ R+r
−
x d
dx
1
⎧π
R+r
( R + r )(d − R − r ) ⎫
+
⎬ =
⎨ − arctg
2
2
d
R
r
−
−
d
⎭
⎩
=
d3
2 gR 2
=
⎡π
8.104 x10 6
8,104 x10 6 x380,9 x10 6
−
+
arctg
⎢
2
380.9 x10 6
(389 x10 6 ) 2
2 x9,81x(6,366 x10 6 ) ⎢⎣ 2
(389 x10 6 ) 3
⎤
⎥=
⎥⎦
= 272.087 x 1,5688 = 426.850 seg = 4,94días
La Luna caería sobre la Tierra en 4,94 días.
Estos cálculos supongo que serán correctos, pero los someto en todo caso a la crítica o a la
corrección de los colegas, anticipándoles que la recibiré gustoso, pero en cualquier caso
avanzando mi opinión sobre la grandeza del pensamiento de Newton que en 1687 estableció
su fórmula magistral para permitirnos calcular la distancia de la Tierra a la Luna y otras
muchas cosas con los únicos instrumentos de
la cinta métrica y el reloj.
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