3 | F ísica cuántica, relatividad y constitución del universo La física clásica mantuvo sus postulados vigentes hasta que un conjunto de fenómenos promovió una revisión de aquellos. Los principios newtonianos, debieron reformularse en las fronteras del mundo a escala atómica y de las altas velocidades, dando lugar a la física cuántica y a la teoría de la relatividad. Durante el siglo xx estas teorías han contribuido a un mayor conocimiento del mundo a escalas micro y macroscópica; han hecho posible forjar un nuevo tipo de ciencia y una nueva forma de entender el mundo. Las nuevas teorías del universo y de la composición de la matería son testigos de ello, y las numerosas aplicaciones de carácter tecnológico que han promovido aconsejan un estudio acerca de los principios básicos de ambas teorías. 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 87 13/5/09 08:22:32 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 1 | La física cuántica A fines del siglo xix la interpretación física del Universo se fundamentaba en gran medida en las aportaciones de Newton y Maxwell. Las leyes de Newton, además de ser aplicables a los sucesos de nuestro entorno, permitían explicar el comportamiento de los astros. Por otro lado, no hacía mucho tiempo que Maxwell había conseguido conjugar satisfactoriamente en una única teoría la electricidad y el magnetismo. De esta manera, tanto las leyes del comportamiento de los sistemas materiales como las de los campos electromagnéticos se aplicaban con éxito a los nuevos descubrimientos. Sin embargo, aparecieron fenómenos que contradecían las leyes hasta entonces aceptadas, leyes que hoy conocemos como física clásica. De la resolución de algunos de estos problemas surgió una nueva concepción de la física. Lo que en un principio se consideró como una excepción o un recurso matemático aplicable a casos concretos, se convir tió en una generalización que englobó a la física clásica. Actualmente, esta visión recibe el nombre de física cuántica. El nombre hace referencia a la principal idea que incorporó en su momento: La energía no puede tener cualquier valor, sino unos valores determinados que, además, son múltiplos de uno fundamental. Por lo tanto, la energía se transforma y se propaga de una manera agrupada, como si constituyese paquetes. De ahí que se utilizara el latinismo quantum (‘paquete’) para expresar este concepto. Sin él es imposible explicar los hechos que tienen lugar a escala atómica, donde las par tículas tienen masas muy pequeñas comparadas con las que encontramos en nuestro entorno (por ejemplo, la masa del electrón es de 9,11 10–31 kg). El primer fenómeno que mostró esta nueva faz de la física fue la radiación electromagnética emitida por los sólidos y los líquidos. Efectivamente, al calentar suficientemente algunos sólidos y líquidos, pueden llegar a emitir luz. Las bombillas domésticas ilustran este hecho: al circular los electrones por su filamento, este se calienta y emite luz. Según la temperatura que alcance, la luz será más o menos blanca (Fig. 1). Por ejemplo, la temperatura que alcanzan los filamentos de tungsteno de las bombillas cuando emiten la luz que nos parece blanca es de unos 3 000 K. 1. Al aumentar la intensidad de la corriente que circula por el filamento de esta bombilla, su temperatura se incrementa. Cuanto más elevada es, más blanca nos parece la luz que emite. 88 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 88 13/5/09 08:22:35 El estudio de la radiación emitida por los cuerpos calientes dio pie a la teoría cuántica. A finales del siglo xix se conocía experimentalmente cuál es la radiación emitida en función de la temperatura, y se había comprobado que es muy similar para cualquier tipo de sustancia emisora, ya sea líquida o sólida. También se sabía que los cuerpos calientes no emiten únicamente en la frecuencia de la luz visible, sino que pueden irradiar otras longitudes de onda que no percibimos directamente debido a que no tenemos la sensibilidad adecuada. En la figura 2 se compara la cantidad de radiación que produce un cuerpo, en una determinada longitud de onda emitida, a diferentes temperaturas. Observa que este cuerpo a 900 K no emite radiación del espectro visible, pero sí lo hace, por ejemplo, en la zona del infrarrojo. Esta radiación nos produce la sensación de calor cuando incide sobre nuestro cuerpo. Por lo tanto, la emisión de ondas electromagnéticas por par te de los cuerpos calientes está constituida por diferentes longitudes de onda y sigue unas leyes que ya eran conocidas en el siglo xix. Cuando los científicos intentaron explicar la radiación térmica de acuerdo con la física clásica, comprobaron que lo observado experimentalmente era diferente de lo que predecían sus cálculos. A principios de 1900, J. S. Rayleight y J. Jeans establecieron matemáticamente cómo debería ser la radiación térmica. La línea discontinua de la figura 2 muestra la predicción para un cuerpo a 1 600 K. Contrariamente a lo que ocurre en realidad, la emisión aumenta de manera continua al disminuir la longitud de onda. Por lo tanto, la predicción fundamentada en la física clásica resulta errónea. Esta discordancia supuso una paradoja que muchos físicos trataron de desvelar. Intensidad relativa de la radiación Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 900K 1 600K 2 000K Previsión clásica para 1 600K 0 2 000 visible 4 000 6 000 8 000 Longitud de onda (nm) 2. Espectros de emisión de un cuerpo caliente en función de su temperatura. La línea discontinua muestra la previsión de la física clásica para un cuerpo a 1 600 K. La temperatura de las partículas de carbón en una llama es de unos 1 500 °C y la de una lámpara de flash de unos 4 000 °C. Max Planck, en la reunión de Navidad de la Sociedad Física Alemana celebrada el año 1900, presentó una solución, conocida como hipótesis de Planck. En ella cabía suponer que la energía, E, de las diferentes longitudes de onda irradiadas por un cuerpo caliente se emitía en cantidades múltiplos de una fundamental. Además, el valor de esta unidad fundamental de energía tenía que ser directamente proporcional a la frecuencia de la radiación: E=hν En esta ecuación h es la llamada constante de Planck, que tiene el valor de 6,63 10–34 J s. Solo de esta manera la predicción de Planck coincidía plenamente con la experiencia. Ahora bien, era a costa de alejarse muchísimo de las leyes físicas aceptadas entonces. En primer lugar, se debía prescindir de la idea de que la energía de las radiaciones dependía de la amplitud de sus campos eléctrico y magnético (una analogía evidente respecto a las oscilaciones mecánicas); en segundo lugar, debía aceptarse que la energía emitida no podía tener cualquier valor continuo, sino unos discretos (no continuos), múltiplos de h ν. El mismo Planck calificó su solución como un mero recurso matemático, pero con el tiempo y con nuevas pruebas, tanto él como la comunidad científica terminaron por aceptar que se trataba de un hecho real y no de un requisito formal. 3. Max Planck (1858-1947) fue uno de los creadores de la mecánica cuántica. Le fue concedido el Premio Nobel de Física en 1918 aunque inicialmente, al igual que Einstein, fue menospreciado por la comunidad científica de la época. El descubrimiento de la constante que lleva su nombre y la ley de radiación de un cuerpo negro fueron algunos de sus trabajos más significativos. Durante la Segunda Guerra Mundial intentó convencer a Hitler de que perdonara a los científicos judíos.Uno de sus hijos fue ejecutado por el gobierno nazi por haber participado en el intento de asesinato del mismo Hitler. 89 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 89 13/5/09 08:22:43 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 2 | El efecto fotoeléctrico Las características de la radiación de los sólidos y de los líquidos que has estudiado anteriormente no es el único fenómeno que no puede ser explicado satisfactoriamente mediante la física clásica. En uno de sus experimentos, Hertz comprobó que al iluminar con radiación ultravioleta la placa externa de un electroscopio cargado negativamente, se producía su descarga (Fig. 4). El experimento de Her tz demuestra que tiene lugar una interacción entre las radiaciones y la materia, ya que, al iluminar un metal con radiación ultravioleta se favorece la emisión de electrones desde ese metal. Los electrones emitidos por absorción de la luz se denominan fotoelectrones. Este hecho experimental, que se dio a conocer como efecto fotoeléctrico, era una predicción derivada de la naturaleza ondulatoria que se asignaba a las radiaciones y confirmaba las hipótesis de Maxwell. Desde el punto de vista de la física clásica, la energía de las ondas electromagnéticas se consideraba proporcional al cuadrado de las amplitudes de sus campos eléctrico y magnético, y podía ser absorbida por los electrones. Cuando los electrones adquiriesen la energía necesaria, ya no serían retenidos por el metal y podría detectarse su emisión. A principios del siglo xx se había estudiado con detalle el efecto fotoeléctrico mediante aparatos que, esquemáticamente, eran como el que se muestra en la figura 5. La diferencia de potencial entre los electrodos mantenidos en el vacío en el interior de una campana de cristal de cuarzo (a) se podía regular e inver tir de polaridad mediante un generador variable (b). La corriente eléctrica en el circuito era medida por un amperímetro (c). UV A c e- e - –– –– –– a ee - –– ee –– –– –– –– –– –– –– –– – –– ––– – –– –– e- - e– – UV – – – – – b 4. Al incidir radiación ultravioleta en la placa externa de un electroscopio cargado negativamente, tiene lugar la pérdida de la carga, al emitirse los electrones que absorben la radiación. 5. Esquema de un aparato diseñado para el estudio del efecto fotoeléctrico. La superficie iluminada con radiación ultravioleta (UV) se denomina cátodo y la opuesta, ánodo. En este tipo de aparatos, al iluminar el cátodo cuando no se establece ninguna diferencia de potencial entre los electrodos, se crea una determinada intensidad de corriente eléctrica. 90 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 90 13/5/09 08:22:53 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 Este fenómeno tiene lugar hasta un valor determinado de potencial positivo, el cual hace que todos los fotoelectrones lleguen al ánodo y el valor de la intensidad eléctrica obtenida sea el máximo. Esta intensidad recibe el nombre de intensidad de saturación (Imáx). Cualquier incremento de potencial a par tir de este punto no causa un aumento de la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito. Al hacer el potencial lo suficientemente negativo, se llega a un punto en el cual la intensidad eléctrica es cero y, por lo tanto, ninguno de los fotoelectrones llega al ánodo. Al potencial en el cual tiene lugar este fenómeno se le llama potencial de detención o de frenado (Vd). El potencial de detención sir ve para calcular la energía cinética máxima, Ek máx, que pueden tener algunos de los electrones en el momento en que son liberados por el cátodo. Al aplicar el potencial de frenado, los fotoelectrones que son emitidos con Ek máx y en la dirección adecuada, pierden toda su velocidad justo antes de llegar al ánodo, ya que no hay corriente eléctrica en el circuito. Durante el viaje entre los electrodos en contra del campo eléctrico su energía cinética disminuye progresivamente a medida que aumenta la energía potencial (U). Por lo tanto, en el instante en que su velocidad es cero, la energía potencial, U(v = 0), debe ser igual a la energía cinética que tenían al ser emitidos: Ek máx = U(v = 0) Como la energía potencial de una carga eléctrica es igual al producto del potencial por el valor de la carga, para ese instante podemos expresar la igualdad anterior como: 1 2 m v máx = e Vd 2 En esta expresión m y e indican, respectivamente, la masa y la carga del electrón. Obser va que, al ser e y Vd negativos, su producto tiene signo positivo. La unidad de energía en la escala atómica Cuando se realizan cálculos de energía en procesos que tienen lugar a nivel atómico, es útil trabajar con unidades de energía diferentes a las usadas en la escala macroscópica. Por eso, desde 1912, se utiliza la unidad de electrón-voltio, eV, que corresponde a la energía cinética que adquiere un electrón cuando se acelera con una diferencia de potencial de 1 voltio. Su conversión a julios es: 1 eV = 1,60 10–19 J Los fundamentos establecidos por la física clásica podían explicar bien el comportamiento descrito anteriormente, ya que los electrones podían captar fracciones de la energía apor tada por la radiación y adquirir diferentes velocidades. No obstante, fueron incapaces de dar una explicación para lo que ocurre cuando el cátodo se ilumina con varias intensidades de luz o con radiaciones de distinta longitud de onda. Realizando diversos experimentos se pueden extraer, principalmente, dos conclusiones: a) Debido a que el potencial de frenado es el mismo, podemos afirmar que la energía cinética máxima de los electrones no depende de la intensidad de la luz. b) Al aumentar la intensidad de la radiación incidente en el cátodo, aumenta el número de fotoelectrones emitidos, ya que las intensidades de saturación son proporcionales a la intensidad de la luz. Por otro lado, realizando experimentos en un mismo aparato con diferentes longitudes de onda, se constató que no todas las radiaciones son capaces de generar fotoelectrones. Por mucho que se incremente la intensidad de la luz incidente, hay una serie de radiaciones que no producen ninguna corriente en el circuito. 91 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 91 13/5/09 08:22:54 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo Para un cátodo compuesto de un metal determinado, las radiaciones situadas por debajo de una determinada frecuencia no producen ningún efecto fotoeléctrico. Existe, por tanto, una frecuencia umbral, νL. Esta frecuencia es la mínima que debe tener la radiación para que pueda generar fotoelectrones. La teoría ondulatoria de la luz no podía explicar la independencia del potencial de detención –o de la Ek máx de los fotoelectrones– respecto a la intensidad de la luz. Si las radiaciones se compor taban como una onda y la energía dependía de la amplitud al cuadrado de sus campos, al aumentar su intensidad debería incrementarse también la energía incidente en el cátodo y, consecuentemente, la energía cinética máxima de algunos de los fotoelectrones emitidos. Ahora bien, los experimentos ponen de manifiesto que el único efecto constatable es un aumento en la cantidad de electrones desprendidos, ya que la intensidad de saturación sí que es proporcional a la intensidad de la luz. 6. Algunos ascensores tienen células fotoeléctricas en las puertas que hacen que estas se abran si, mientras se cierran, deja de incidir un haz luminoso en ellas. De esta manera se impide que las puertas atrapen a las personas. Planck, que era el editor de la revista alemana ‘Annalen der Physik’, en la que Einstein publicó el ar tículo sobre el efecto fotoeléctrico, se mostró contrario durante mucho tiempo a las nuevas ideas que sobre él se aportaban y que, curiosamente, tomaban al propio Planck como referencia. Además, la física clásica tampoco podía justificar la existencia de la frecuencia umbral. Como, según esta, era la intensidad de la iluminación y no su frecuencia –o longitud de onda– lo que determinaba la energía de la radiación, se creía que con una intensidad suficiente de cualquier radiación podrían obtenerse fotoelectrones. Pero de nuevo los hechos contradecían totalmente estas previsiones, de manera que los científicos de principios del siglo xx se debatían entre adaptar la teoría, hasta entonces aceptada, a los nuevos descubrimientos, o crear una totalmente nueva. Sin embargo, Einstein sí fue capaz de dar una explicación convincente del fenómeno fotoeléctrico. En 1905 publicó tres ar tículos. En uno de ellos daba una polémica interpretación del efecto fotoeléctrico basada en la hipótesis matemática de Planck sobre la emisión discontinua de la radiación por par te de los sólidos y los líquidos. En ella se descar taba la teoría ondulatoria de la luz, la cual pasaba a considerarse de naturaleza corpuscular, y se admitía que la hipótesis de Planck de la discontinuidad de la energía no era un recurso matemático, sino la interpretación más coherente de los resultados experimentales. Según Einstein, la luz se compor taba como si estuviera constituida por par tículas. Llamó a cada una de estas par tículas quantum de radiación y, años más tarde, fotones. En su hipótesis, la energía de cada fotón depende únicamente de la frecuencia, ν, de la luz, y tiene por valor: E=hν En 1922, mientras Einstein viajaba por Japón impar tiendo conferencias, se le otorgó el Premio Nobel de Física de 1921, por su explicación del efecto fotoeléctrico. De nuevo la energía parecía estar cuantizada; con esta idea Einstein conseguía explicar per fectamente el efecto fotoeléctrico. Cuando se produce la interacción entre un fotón y el metal del cátodo, toda la energía de ese fotón es absorbida por un solo electrón. Par te de esta energía se utiliza para arrancar a ese electrón del metal al que está ligado, energía que recibe el nombre de función trabajo (W), que es característica de cada metal y que, por lo tanto, es constante. El resto de la energía del fotón incidente proporciona energía cinética al electrón arrancado. Así: hν= 1 2 m v máx +W 2 Estas interpretaciones de Einstein permiten explicar per fectamente el efecto fotoeléctrico allí donde la teoría ondulatoria de la luz falla. Por un lado, la 92 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 92 13/5/09 08:22:56 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 energía cinética máxima –y, en consecuencia, el potencial de frenado– no depende de la intensidad de la luz, sino únicamente de la frecuencia de la luz incidente. Obser va que, despejando la energía cinética de la ecuación anterior, obtenemos el valor máximo que puede alcanzar: E k máx = 1 2 m v máx =hν–W 2 Esta ecuación nos muestra que la Ek máx únicamente varía con la frecuencia –y, por lo tanto, con la energía– de los fotones. Cuando se aumenta la intensidad de la luz, se incrementa el número de fotones que interaccionan con el cátodo, pero no su energía. Experimentalmente se aprecia que la intensidad de saturación es proporcional a la intensidad de la radiación: a mayor número de interacciones entre fotones y electrones, mayor número de fotoelectrones emitidos. Por otro lado, también explica que el efecto fotoeléctrico no se produzca con todas las radiaciones, sino únicamente con aquellas que tengan una frecuencia mayor que la frecuencia umbral. Cuanto menor es la frecuencia del fotón, menor es su energía y, por lo tanto, también lo será la energía cinética de los fotoelectrones (recuerda que la energía W necesaria para arrancarlos del metal es siempre la misma, ya que esta solo depende del metal considerado). Así pues, podemos encontrar unos fotones de frecuencia νL que únicamente tengan energía para arrancar los electrones y no para proporcionarles velocidad. Esta frecuencia es la frecuencia umbral y, como Ek = 0, la ecuación se reduce a: h νL = W Al ser nula la velocidad de los fotoelectrones, estos no se desplazan hasta el ánodo y no se detecta el efecto fotoeléctrico. Evidentemente, cualquier otra radiación con una frecuencia menor a νL no podrá arrancar los electrones de sus átomos y, por lo tanto, tampoco podrá originar ninguna corriente eléctrica. e j e m pl o 1.¿Qué potencial debe aplicarse a un cátodo de sodio para que no se produzca corriente eléctrica al iluminarlo con una radiación de 420 nm? (La función de trabajo para el sodio es de 1,82 eV.) Cuando no hay corriente en el circuito, todos los fotoelectrones, incluidos los de energía cinética máxima, son repelidos por el campo eléctrico y no alcanzan el ánodo. El potencial que causa este fenómeno es el de detención, que obtenemos a par tir de la energía cinética máxima de los fotoelectrones. De acuerdo con la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico, h ν = Ek máx + W El primer término de la igualdad se calcula a par tir de la longitud de onda de la radiación y se puede expresar en eV para simplificar los cálculos posteriores: hc 1 eV hν= = 6,63 10 –34 J s λ 1,60 10 –19 J 3 10 8 ms –1 Como W = 1,82 eV, la energía cinética máxima valdrá: 420 m 109 nm 1m = 2,96 eV Ek máx = (2,96 – 1,82) eV = 1,14 eV Por lo tanto, el potencial que debe aplicarse para que no circule corriente en el circuito debe ser menor o igual a –1,14 V. 93 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 93 13/5/09 08:22:57 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 3 | Radiación electromagnética emitida y absorbida por los gases. Explicación de los espectros de los gases a b A mediados del siglo xix R. W. Bunsen estudió los espectros de emisión de diferentes sustancias en estado gaseoso. Para volatilizarlas introdujo pequeñas cantidades en la llama del mechero Bunsen, la cual, debido a la excelente combustión que la produce, alcanza temperaturas de hasta 1 800 °C y emite muy poca luz. El resultado es apreciable a simple vista con cier tas sustancias que emiten luz de un determinado color (Fig. 7). Si se analiza esta radiación mediante un prisma o un espectroscopio, se comprueba que su espectro no es continuo: en función de la sustancia estudiada, el espectro, llamado de emisión, está formado por una o varias frecuencias de luz que aparecen en forma de rayas (Fig. 8a). Además, cada sustancia proporciona su propio espectro, como si de una huella dactilar se tratase, permitiendo su identificación. 7. La llama azul de un mechero Bunsen adquiere otras coloraciones cuando se volatilizan en ella pequeñas cantidades de determinadas sustancias. En estos ejemplos se ha añadido sodio (a) y cobre (b). El fenómeno de la emisión de luz se debe a que, cuando algunos de los átomos volatilizados colisionan a alta velocidad en el interior de la llama, absorben energía. Se dice entonces que se encuentran en un estado excitado, estado que abandonan rápidamente al emitir energía en forma de luz y en todas direcciones. De este modo, los átomos se encuentran de nuevo en el estado energético inicial previo al choque, denominado estado fundamental. a Espectro de emisión Los gases absorben longi­tudes de onda determinadas. Es el llamado espectro de absorción, que coincide con el espectro de emisión. b Espectro continuo c 8. Las figuras muestran de manera simplificada uno de los métodos que se utilizan para obtener los espectros de emisión y de absorción de una sustancia. En el primer caso se analiza la luz emitida por la sustancia (a), mientras que para obtener el espectro de absorción se analiza la luz procedente de un foco luminoso intenso (b) que ha interaccionado con esa sustancia (c). Espectro de absorción 94 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 94 13/5/09 08:23:23 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 El modelo atómico clásico no explica los espectros de los gases. núcleo En el modelo de Rutherford, los electrones giran alrededor de las cargas positivas de modo que la atracción electrostática actúa como fuerza centrípeta y los electrones se mantienen unidos al átomo (Fig. 9). El mismo año que Ruther ford presentaba su modelo atómico, N. Bohr se incorporó a su laboratorio. Poco tiempo después, en 1923, publicó un modelo atómico que conciliaba los resultados experimentales de la absorción y emisión de radiación de los gases, con los de la estructura atómica deducida de los experimentos de Ruther ford. Pero para eso tuvo que descar tar algunos de los postulados de la física clásica y enunciar otros nuevos, guiándose con las apor taciones a la nueva física que hasta entonces habían hecho Planck y Einstein. Según la teoría electromagnética clásica, toda carga eléctrica en rotación emite radiación de una frecuencia igual a la frecuencia de su movimiento. Por ello, en el modelo atómico de Ruther ford los electrones deberían emitir radiación y, consecuentemente, perder energía. Esta pérdida haría que, casi instantáneamente, se precipitaran sobre el núcleo, describiendo una espiral. Pero nada de esto ocurre, ya que los átomos son estables. + electrón (-) 9. En el modelo atómico de Rutherford los electrones describen órbitas alrededor del núcleo, que ocupa una pequeña porción del volumen total del átomo. Bohr propuso lo siguiente: Los electrones solo pueden girar en unas órbitas concretas alrededor del núcleo y lo hacen sin emitir radiación, contradiciendo las ideas electromagnéticas clásicas. Por lo tanto, la energía de un electrón es constante mientras se mantiene en una órbita y, en consecuencia, está cuantizada: sólo puede tener los valores de energía correspondientes a cada órbita. El modelo atómico permite que los electrones se desplacen, que salten desde una órbita a otra. Si el salto es hacia una órbita más energética, deben absorber energía; en caso contrario, deben emitirla. El valor de la energía absorbida o cedida debe ser igual a la diferencia energética entre los estados final e inicial y, además, se debe transferir de una sola vez, como un quantum de radiación, o fotón, de energía h ν. Este compor tamiento se expresa mediante la ecuación: E = E final – E inicial = h ν El signo de E nos indica si el átomo absorbe (valor positivo) o cede energía (valor negativo). El átomo propuesto por Bohr explica los espectros de los gases, así como el efecto fotoeléctrico. Cada una de las rayas de los espectros de los gases corresponde a una transición electrónica concreta. Por otro lado, para que se produzca el efecto fotoeléctrico, un electrón debe absorber la energía necesaria para que en una única transición se separe del átomo. Esto solo ocurrirá cuando los fotones incidentes tengan como mínimo esa misma energía (en el caso de que sea mayor también se comunica velocidad al electrón separado). Con los años, este modelo atómico presentó algunos problemas que, de momento, se han solventado con teorías más complejas. Por ejemplo, en la actualidad las órbitas de los electrones ya no se consideran rígidas y per fectamente definidas. Pero cabe destacar que la aportación de Bohr fue crucial para establecer el concepto de cuantización de la energía en el ámbito de la estructura de la materia. 95 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 95 13/5/09 08:23:26 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 4 | La dualidad onda-partícula La explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico puso de manifiesto que, en general, las radiaciones se comportan como ondas durante su propagación y como partículas cuando interaccionan con la materia. En 1924 Louis de Broglie volvió a romper esquemas y en su tesis doctoral propuso que este comportamiento también se podía aplicar a las partículas materiales, es decir, que estas también podían considerarse como ondas. Dedujo la relación matemática entre las características de una partícula y las de su correspondiente onda a partir de la ecuación de la energía cuántica de un fotón y de la de su energía relativista: E =hν= hc λ y E=cp Donde p es la cantidad de movimiento del fotón. Combinando las dos ecuaciones, obtenemos que: hc h = c p; λ = λ p 10. Louis de Broglie recibió el Premio Nobel de Física en 1929 por las ideas presentadas en su tesis doctoral de 1924. Nadie hubiera pensado doce años antes que De Broglie, un joven aristócrata diplomado en política interior francesa del siglo xviii, podría tener una carrera tan extraordinaria en el campo de las ciencias. Las conversaciones con su hermano Maurice, licenciado en Física, le llevaron a reorientar sus intereses a los 20 años de edad. Aunque, en principio, estas igualdades son válidas para los fotones, De Broglie propuso que podían serlo para cualquier par tícula de masa m, que se moviese con velocidad, v y cuya cantidad de movimiento sería entonces p = m v. Por lo tanto: λ= h mv Si la llamada hipótesis de De Broglie es cierta, las propiedades ondulatorias de las partículas se podrían manifestar en experimentos de difracción e interferencia. Pero para realizarlos es necesario disponer de sistemas con rendijas o mallas comparables a la longitud de la onda. Las menores aberturas de esta clase que podemos encontrar en la naturaleza son las de los cuerpos con estructura cristalina. En ellos, las distancias entre los átomos son de, aproximadamente, 10–10 m y su estructura tridimensional es repetitiva. Utilizando este tipo de materiales, C. J. Davisson y L. H. Germer, por un lado, y G. P. Thomson, por otro, demostraron experimentalmente en 1927 el comportamiento ondulatorio de los electrones. En ambos casos se obtuvieron diagramas de inter ferencia de electrones que son muy similares a los que resultan en los fenómenos ondulatorios. Posteriormente, se han conseguido espectros de difracción con otras par tículas, como neutrones, protones, átomos de sodio y átomos de helio. Así, podemos decir que las par tículas se compor tan como si fuesen ondas. Cuerpo 11. Al disparar un cañón de electrones contra una fina hoja de grafito , los electrones la atraviesan siguiendo un comportamiento parecido al de la difracción. Este fenómeno propiamente ondulatorio muestra que los electrones se comportan como ondas y como partículas. De Broglie dedujo que la longitud de onda de los electrones es inversamente proporcional a su momento. Masa (Kg) Longitud de onda (m) Electrón 9,11 10–31 2,62 10–5 Protón 1,67 10–27 1,43 10–8 Molécula de yodo 2,11 10–25 1,13 10–10 Hemoglobina 1,08 10–22 2,21 10–13 Bacteria (E. coli) 2 10–15 1,19 10–20 Pelota de ping-pong 2,11 10–3 1,13 10–32 Cámara fotográfica 1 2,39 10–35 Coche 1 10–3 2,39 10–38 96 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 96 13/5/09 08:23:28 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 ¿Cómo es posible que no percibamos este compor tamiento en nuestro entorno? Fijémonos en la tabla de la página anterior, en la que se comparan las longitudes de onda de algunos cuerpos moviéndose a 100 km/h. Como puedes observar, la longitud de onda disminuye al aumentar la masa. Por ello, en estos casos, a par tir de la molécula de yodo, los sistemas poseen longitudes de onda demasiado cor tas para poder ser difractados. G. P. Thomson y C. J. Davisson obtuvieron conjuntamente el Premio Nobel de física en 1937 por su demostración del carácter ondulatorio de los elec­trones. Lo mismo ocurre en nuestro entorno: la masa y velocidad de los cuerpos que nos rodean causan que sus longitudes de onda sean demasiado pequeñas como para poder obser var en ellos cualquier carácter ondulatorio. Solo podremos apreciarlos en la escala atómica. 5 | El principio de incertidumbre En nuestro entorno macroscópico podemos describir el comportamiento de los cuerpos con mucha precisión. Por ejemplo, si observamos un coche que se mueve con velocidad constante y medimos su posición y velocidad en un instante determinado, podemos calcular su evolución posterior con toda seguridad. Eso no significa que no tengamos un margen de error, ya que toda medida tiene asociada un límite de precisión: si el tiempo se ha medido en segundos, no podemos esperar que los cálculos de las posiciones del coche se ajusten a la décima de segundo. Se trata, pues, de una limitación impuesta por la precisión de los instrumentos. Otra característica de nuestra escala de trabajo habitual es que podemos saber en qué modo la medición que realizamos altera al sistema estudiado. Por ejemplo, sabemos que la determinación de la velocidad y la posición del coche del ejemplo anterior no altera el movimiento del vehículo. Pero un termómetro puede alterar la temperatura del líquido en el que lo introducimos. En este último caso, podemos saber de qué manera afecta nuestro aparato de medición al resultado y, así, corregir el valor obtenido o utilizar aparatos de medida que afecten de manera insignificante al sistema estudiado. En la escala de trabajo de la física cuántica, todos los métodos de medida afectan al sistema estudiado e, inevitablemente, cambian el valor de alguna de sus variables. Por ejemplo, podemos determinar con precisión la posición de un electrón mediante un choque con un fotón al que luego visualizamos en un instrumento óptico. Pero, experimentalmente, se aprecia que el choque altera la velocidad de la par tícula (efecto Compton) y, por lo tanto, su cantidad de movimiento o momento lineal, p. Consecuentemente, no podemos calcular con exactitud cómo se moverá el electrón, sino únicamente indicar un intervalo de posiciones y de velocidades que puede tener. 12. Heisenberg (1901-1976) aplicó la teoría de matrices al estudio de la mecánica cuántica. La no conmutatividad del producto de matrices lo lleva a enunciar el principio de incertidumbre. En 1932 se le concedió el Premio Nobel de Física. Discípulo de Max Born, dirigió el intento nazi de conseguir la bomba atómica. En el mundo macroscópico no sucede lo mismo. Las masas que vemos son tan grandes en comparación con la energía apor tada por la luz, que los choques con los fotones no producen ninguna desviación apreciable en ellas. 97 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 97 13/5/09 08:23:29 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo En 1927 W. Heisenberg dedujo la relación entre la indeterminación de la posición, ∆x, y el momento lineal, ∆p, cuando se miden simultáneamente: ∆x ∆p > h 4π El principio de indeterminación indica que el producto de las incer tidumbres no puede ser menor a cier to valor. Veamos algunas de sus conse­ cuencias. p a) Obser va que, al disminuir la indeterminación, bien de la posición, bien del momento, aumenta la indeterminación de la otra variable (Fig. 13). Por ejemplo, si en un experimento la incertidumbre en la posición es muy pequeña (tiende a cero), la de p se incrementa muchísimo (tiende a infinito), ya que cuando ∆x se aproxima a 0, obtenemos: lim ∆p = lim ∆x →0 13. Gráfica de la relación entre ∆p y ∆x. El área delimitada por ella que no contiene al origen de coordenadas muestra las soluciones de la inecuación. ∆x →0 h =∞ 4 π ∆x b) Como el valor de h es muy pequeño, la incer tidumbre en los sistemas macroscópicos es inapreciable y solo dependerá de la precisión de las mediciones. Así, si en un instante concreto se ha determinado que un coche de 850 kg de masa circula a 25 m s–1 con una precisión del 2 %, podemos calcular la incer tidumbre en su posición tal como sigue: ∆p = precisión p = 2 850 kg 25 m s –1 = 425 kg m s –1 100 Por lo tanto: ∆x = El principio de incer tidumbre ha dado pie a numerosas implicaciones filosóficas presentadas inicialmente por los físicos contemporáneos al desarrollo de la física cuántica. Así, Heisenberg ya señaló que aquello que no es obser vable físicamente carece de significado científico, originando así una descripción probabilística del mundo atómico. Bohr llegó a aplicar el principio de indeterminación más allá de la Física. En un sentido general, planteó que si los humanos queremos ser espectadores del mundo real, no podemos par ti­ cipar en lo que en él ocurre, ya que entonces alteraremos aquello que queremos obser var. Por otro lado, tanto Planck como Einstein defendieron siempre un punto de vista determinista opuesto al indeterminista (probabilístico) derivado de la física cuántica. h 6,63 10 –34 J s = = 1,24 10 –37 m 4 π ∆p 4 π 425 kg m s –4 Esta indeterminación es muchísimo menor que, por ejemplo, el radio promedio de un átomo (aproximadamente, 3 10–10 m) y, por lo tanto, no implica alteración alguna en la posición del coche. c) El principio de incer tidumbre solo se manifiesta a nivel atómico, donde las masas son muy pequeñas. En el caso anterior, si en lugar de un coche, se trata de un electrón, obtenemos que: ∆x = h = 4 π ∆p 6,63 10 –34 J s 2 4 π 9,11 10 –31 kg 25 m s –1 100 = 1,16 10 –4 m El resultado nos indica que, al efectuar la medición de la velocidad, se ha alterado mucho la posición del electrón. El valor de ∆x nos muestra que puede estar en cualquier lugar de un inter valo de distancias, que abarca casi 400 000 veces el radio de un átomo. d) No se puede afirmar que las par tículas de la escala atómica tengan una posición y un momento lineal o cantidad de movimiento precisos en cada instante, ya que no se pueden medir exactamente. Esto se debe a la alteración del sistema que produce la propia medición. Por lo tanto, a esta escala debe abandonarse el modelo determinista que utilizamos a nivel macroscópico, puesto que no podemos predecir con exactitud cuál será la evolución de las par tículas. Por eso, se utiliza un modelo que describe su compor tamiento probable, basado en una interpretación estadística. 98 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 98 13/5/09 08:23:31 Física cuántica, relatividad y constitución del universo |3 Ciencia, técnica y sociedad Los microscopios electrónicos E l comportamiento de onda asociado a los electrones ha permitido construir microscopios en los que el haz de luz no está formado por ninguna de las radiaciones correspondientes al visible, sino que es un haz de electrones. En ellos, estas partículas se pueden acelerar hasta adquirir energías de más de 125 keV, de manera que, de acuerdo con De Broglie, sus longitudes de onda son menores a 0,0035 nm. Esta característica nos permite observar objetos que no podemos apreciar con el microscopio óptico ya que, a consecuencia de fenómenos de difracción, cuanto menor es la longitud de onda, menor es la distancia entre dos puntos que se puede observar (resolución). Debido al efecto de los campos eléctricos y magnéticos sobre los electrones, en los microscopios electrónicos se utilizan electroimanes para dirigir el haz en lugar de los sistemas ópticos convencionales. Hay, fundamentalmente, dos tipos de microscopios electrónicos: los de transmisión y los de barrido. En los de transmisión el haz pasa a través de la muestra y forma una imagen real sobre una pantalla fluorescente. La resolución que tienen es de unos 2 Å y alcanzan más de 600 000 aumentos. Pero estos microscopios no proporcionan buenas imágenes en el caso de objetos tridimensionales. Para conseguirlas es necesario utilizar los de barrido. En estos, el haz de electrones se concentra en un punto sobre la muestra (que se habrá recubierto con una capa muy fina de oro) y se desplaza por ella. La imagen se forma a partir de los electrones reflejados que son recogidos por un detector. En estos casos, la resolución es del orden del nanómetro y «solo» se alcanzan unos 200 000 aumentos. Entre otros campos, estos microscopios se utilizan con mucha frecuencia en diversas ramas de la Biología y la Medicina para determinar las estructuras de los seres vivos. Igualmente, son una valiosa herramienta en el terreno de la microelectrónica. Microscopio electrónico de transmisión. Este modelo tiene un voltaje máximo de aceleración de 125 kV, una resolución de 2,04 Å y alcanza los 600 000 aumentos. Imagen obtenida mediante microscopia electrónica de transmisión. En ella se muestran vesículas artificiales (liposomas), constituidas por varias membranas (líneas blancas), similares a las de las células. La barra indica una distancia de 200 nm. Fotografía de piel captada con un microscopio electrónico de barrido. La escala está indicada en la parte inferior, en la que la línea discontinua de puntos muestra una longitud de 200 μm. 99 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 99 13/5/09 08:23:37 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 6 | El movimiento relativo en física clásica y y’ u s o x o’ x’ r z z’ 14. Esquema representativo de dos sistemas de referencia, uno fijo, S, y otro móvil, S’, con movimiento rectilíneo y uniforme respecto al fijo. Cuando estudiamos el movimiento en mecánica clásica, en primer lugar, escogemos un sistema de referencia respecto al cual describimos las posiciones que el móvil ocupa en cada instante de tiempo. Muchas veces, hemos considerado que el mejor sistema para describir los movimientos en la mecánica newtoniana sería un sistema de referencia que estuviera en reposo absoluto, S (Fig. 14). Sin embargo, Galileo demostró que no es posible distinguir un sistema de referencia, S, de otro, S’, que se encuentre en movimiento uniforme respecto al primero. Supongamos por simplicidad, que el sistema considerado móvil se desplaza a una velocidad constante, r u , en la dirección del eje Ox, positivo. Si contamos el tiempo desde el momento en que los dos orígenes de coordenadas de ambos sistemas se encuentran en la misma posición, las coordenadas de un punto P a lo largo del tiempo, t, en el sistema fijo vendrán dadas por (x, y, z), mientras que en el sistema móvil serán (x’, y’, z’). La relación entre estas coordenadas será: x’ = x – u t, o x = x’ + u t’ y’ = y z’ = z Además, en los dos sistemas habrá transcurrido el mismo tiempo, luego: t’ = t Las cuatro anteriores ecuaciones reciben el nombre de transformación de Galileo. Encontraremos las relaciones entre las velocidades obser vadas en el sistema de referencia fijo y en el móvil aplicando derivadas respecto al tiempo a las tres primeras ecuaciones anteriores. El resultado será: vx’ = vx – u, o vx = vx’ + u, v y’ = v y v z’ = v z t’ = t O bien, escrito en forma vectorial: r r r v’ =v –u Y la aceleración en cada sistema de referencia estará relacionada con la del otro según la ecuación que obtengamos de derivar la de la velocidad: a x’ = a x a y’ = a y a z’ = a z Es decir: r r a’ = a Este resultado lleva a la conclusión siguiente: Si, para un sistema de referencia, S, se cumplen las leyes de Newton (que tratan sobre la aceleración de los cuerpos), para cualquier otro sistema de referencia, S’, con movimiento rectilíneo y uniforme con respecto a S, se cumplirán igualmente. Todos estos sistemas de referencia en los que se cumplen las leyes de la dinámica de Newton se denominan sistemas de referencia inerciales. Si dos sistemas de referencia son inerciales, el movimiento relativo de uno respecto al otro es siempre un movimiento de traslación rectilíneo y uniforme. 100 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 100 13/5/09 08:23:39 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 e j e m pl o 2.Dos barcas se mueven en un río con una corriente de agua de 3 m/s. Las dos barcas se propulsan con una velocidad de 5 m/s. Una de ellas va en dirección perpendicular a la corriente, mientras que la otra va en la misma dirección de la corriente. Describe las velocidades de las barcas respecto a dos sistemas de y y’ referencia, uno fijo en la orilla y el otro en movimiento con el agua del río. Halla los vectores velocidad de las barcas en ambos sisteu m m 3 s 3 s mas y en los dos posibles sentidos de movimiento de cada barca. Llamaremos u a la velocidad de arrastre del agua, que también será la del sistema móvil respecto al fijo. Designamos la velocidad de propulsión como vp. La velocidad resultante para cada barca en el río será la suma vectorial de su velocidad de propulsión más la velocidad de arrastre del r r agua: v p + u . Para que la dirección de una barca sea perpendicular a la corriente debe orientar su dirección de propulsión de manera que la suma r r v p1 + u , dé un vector perpendicular a la corriente (Fig. I). Para moverse en la misma dirección de la corriente basta con orientar la velocidad de propulsión paralela a la corriente del río. v1 m 5 s vp2 u v2 vp1 o s o’ s’ x x’ I. Esquema de la suma de velocidades cuando las barcas se mueven en un sentido. Esta suma de vectores r velocidad da la velocidad resultante v 1 respecto al sistema de referencia fijo en la orilla del río. r r En el sistema de referencia S, la velocidad forma un triángulo rectángulo con los vectores v p1 y u . Por lo tanto, su módulo se hallará: r v1 = r 2 r2 v p1 – u = (5 m/s)2 – (3 m/s)2 = 4 m/s En consecuencia, las velocidades en el sistema S serán: r vr = 4 j (m/s) 1 r r v 2 = 8 i (m/s) Para hallar las velocidades de las barcas respecto al sistema móvil, S’, bastará con aplicar la ecuación r r r deducida de la transformación de Galileo: v ’ = v – u . r r Teniendo en cuenta que: u = 3 i (m/s), obtenemos: r r vr ’ = –3 i + 4 j (m/s) 1 r r v 2 ’ = 5 i (m/s) Cuando las barcas se desplacen en sentido opuesto (Fig. II), podemos ver fácilmente que las velocidades en el sistema de referencia S serán: y r vr = –4 j (m/s) 1 r r v 2 = –2 i (m/s) u vp1 v 1 Y, respecto al sistema S’, tenemos: r r vr ’ = –3 i – 4 j (m/s) 1 r r v 2 ’ = –5 i (m/s) y’ vp2 v2 u o s o’ s’ x x’ II. Esquema de desplazamiento de las barcas en el otro sentido. 101 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 101 13/5/09 08:23:42 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 7 | La teoría especial de la relatividad Einstein propuso en 1905 sus dos leyes de la teoría especial de la relatividad, corroboradas por la teoría electromagnética y por la experiencia. Estas dos leyes resultan incompatibles para la mecánica newtoniana, por lo que tuvo que adaptarse a la teoría de la relatividad. Sus dos enunciados son los siguientes: • El llamado principio de relatividad, según el cual las descripciones de cualquier fenómeno realizadas por dos obser vadores inerciales con movimiento relativo uniforme son igualmente válidas. Las leyes de la física son las mismas para ambos. • La segunda ley afirma que la velocidad de la luz en el vacío es una constante universal. Esa velocidad es la misma para cualquier pareja de obser vadores inerciales con movimiento relativo (de uno respecto al otro) uniforme. Los postulados de la teoría de la relatividad restringida eran incompatibles con las leyes de la mecánica clásica y la transformación de Galileo no era aplicable. Hendrik Lorentz (1853–1928), físico holandés, propuso unas ecuaciones que se ajustaban a la constancia de la velocidad de la luz para la relación entre las descripciones de sistemas de referencia que se movieran a velocidad constante uno respecto al otro. Son las siguientes: x = γ ( x’ + u t’), y = y’ z = z’ x’ u t = γ t’ + 2 c Donde: 2 γ= u 1– c Todas estas ecuaciones constituyen la llamada transformación de Lorentz, Si bien también se la conoce como transformación de Lorentz-Einstein, puesto que fueron deducidas de forma independiente por los dos científicos. 102 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 102 13/5/09 08:23:43 DOCUMENTo Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 Un ejemplo de la transformación de Lorentz Podemos deducir las transformaciones que se deben aplicar para relacionar las velocidades de un móvil desde un sistema de referencia a otro, a par tir de la transformación de Lorentz-Einstein y calculando las componentes de la velocidad. Aplicando su definición, podemos obtener las ecuaciones siguientes: v x’ = vy vx – u vz ; v y’ = ; vz’ = u vx u v x’ u v x’ 1– γ 1 – γ 1 – 2 2 c c c2 Podemos ilustrar estas ecuaciones con un ejemplo. Supongamos que desde la Tierra obser vamos dos naves espaciales que se mueven en la misma dirección, pero en sentidos opuestos, ambas a la velocidad de 0,9 c. Averigua la velocidad de cada nave respecto a un sistema de referencia fijo en la otra nave. Para simplificar la resolución, escogeremos un sistema de referencia cuyo eje x coincida con la dirección del movimiento de ambas naves, según obser vamos en la figura. Así, las velocidades de las naves solo tendrán una componente no nula, la del eje x. v x’ = vx – u –0,9 c – 0,9 c –1,80 c = = = –0,9945 c –0,9 c (–0,9 c) u vx 1,81 1 – 1– c2 c2 y’’ 0,9 c v1 y’ y o’’ o x’’ x s’’ z’’ o’ v2 0,9 c x’ s’ z s z’ r Esquema del movimiento de las naves respecto a la Tierra. Llamaremos S al sistema de referencia de la Tierra, S’ al de la nave que se mueve hacia la derecha y S’’ al de la que lo hace hacia la izquierda. Las velocidades de las naves respecto a la Tierra serán u1 = 0,9 c y u2 = –0,9 c. Aplicamos la transformación de la velocidad para obtener la velocidad de la nave 2 respecto al sistema de referencia S’. Sustituyendo los valores vx = –0,9 c y u = 0,9 c en la ecuación, obtenemos: v x’ = vx – u –0,9 c – 0,9 c –1,80 c = = = –0,9945 c 0,9 c (–0,9 c) u vx 1,81 1– 1– c2 c2 Respecto al sistema de referencia S’’, para hallar la velocidad de la nave 1, habrá que sustituir vx por 0,9 c y u por –0,9 c en la ecuación: v x’ = vx – u 0,9 c + 0,9 c 1,80 c = = = 0,9945 c –0,9 c 0,9 c u vx 1,81 1 – 1– c2 c2 Efectivamente, la velocidad de cada nave respecto a la otra es inferior a la velocidad de la luz, y una es igual a la otra cambiada de signo, como era de esperar. 103 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 103 13/5/09 08:24:00 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 8 | La dilatación del tiempo Una de las consecuencias más sorprendentes de la teoría de la relatividad es la que prevé que el inter valo de tiempo entre dos sucesos que se producen en un mismo punto de un sistema de referencia es siempre más cor to que el intervalo de tiempo entre estos dos mismos sucesos medidos desde otro sistema de referencia en movimiento respecto al primero, para el cual los dos sucesos no se producirán en la misma posición. El tiempo medido en el sistema de referencia en el cual los sucesos se producen en la misma posición se llama tiempo propio, ∆tp. El inter valo de tiempo, ∆t, en otro sistema de referencia cualquiera, en movimiento uniforme respecto al primero, es siempre mayor que el tiempo propio. La relación entre estos inter valos de tiempo es la siguiente: ∆t = 1 v 2 1– c ∆t p = γ ∆t p Donde v es la velocidad del sistema de referencia en movimiento y c es la velocidad de la luz en el vacío. e j e m pl o 3.Un astronauta hizo un viaje espacial de ida y vuelta desde la Tierra. El tiempo empleado en ese vuelo ha sido de 4 días, medidos en un reloj del astronauta. Si el reloj de la Tierra ha calculado la duración del viaje en 4 días y 2 segundos, ¿cuál ha sido la velocidad de la nave? El tiempo medido por el reloj del astronauta ha sido: ∆t ’ = 4 días 86 400 s = 345 600 s 1 día El tiempo calculado en el reloj de la Tierra es de 4 días y 2 segundos: ∆t = 4 días + 2 s = 345 600 s + 2 s = 345 602 s Luego: γ= ν 2 ∆t 345 602 s 1 1 = = 1,000005787; 1 – = 2 = = 0,999988426 345 600 s ∆t ’ 1,0003472 γ c Finalmente: v = 1 – 0,999988426 = 0,0034020 La velocidad de la nave ha sido: v = 0,0034020 c = 0,0034020 3 108 m/s = 1,02 106 m/s El resultado no es un valor real, ya que no existe ninguna nave espacial capaz de moverse a esta velocidad. Este ejemplo sir ve, sin embargo, para ilustrar que la aplicación de la teoría de la relatividad a nuestras condiciones habituales apenas modifica los resultados de la teoría clásica de Newton. No obstante, sí es aplicable a la física de partículas subatómicas, en el dominio de velocidades cercanas a la de la luz en el vacío, c. 104 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 104 13/5/09 08:24:01 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 9 | La contracción de la longitud Cuando dos obser vadores inerciales, en movimiento relativo uniforme uno de otro, miden las dimensiones de un objeto, el obser vador en movimiento respecto al objeto obtendrá una medida menor de ese objeto en la dirección de la velocidad relativa del obser vador móvil. Es la denominada contracción de la longitud. Supongamos que un obser vador mide la longitud de una barra que se encuentra en reposo respecto a él y obtiene un valor L0. Otro obser vador inercial que se mueve en una dirección paralela a la barra, obtendrá una medida de esto, L’. La relación entre los valores de ambas medidas vendrá dada por la expresión: L’ = L0 γ Si γ es un factor mayor que la unidad, el obser vador en movimiento determina una longitud inferior para la barra orientada en la misma dirección de su movimiento. Tanto las dilataciones del tiempo como las contracciones de longitud se han obser vado en experiencias realizadas en centros de investigación con aceleradores de partículas, como el CERN (Centro Europeo de Investigación Nuclear), al comparar la vida media en reposo y la distancia recorrida por un tipo de par tículas denominadas muones. Una consecuencia de este hecho es que, si desde un sistema de referencia inercial se obser van dos sucesos simultáneos que se producen en dos posiciones distintas, cualquier otro sistema de referencia inercial, en movimiento relativo respecto al primero, no obser vará que los sucesos se produzcan simultáneamente. e j e m pl o 4.¿Cuál debería ser la velocidad de un sistema de referencia inercial para que determinara, para un objeto, una longitud del 75 % respecto a la longitud de ese objeto en reposo? Aplicando la relación de la contracción de longitudes, podemos obtener γ: γ= L0 L = L0 0,75 L0 = 1,33333333 2 v 1 1 1– = 2 = = 0,5625 γ 1,33333333 2 c Luego: v = c 1 – 0,5625 = 0,6614 Y: v = 0,6614 c = 0,6614 3 108 = 1,98 108 m/s El sistema de referencia debería ir a más del 66 % de la velocidad de la luz. 105 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 105 13/5/09 08:24:01 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 10 | La masa relativista Para las leyes de la mecánica de Newton, la masa es invariante; desde cualquier sistema de referencia un objeto tiene la misma masa. La teoría especial de la relatividad introduce una modificación de la masa, para que las ecuaciones de la dinámica del movimiento concuerden con esta teoría. Así, si llamamos m0 a la masa de un objeto en un sistema de referencia respecto al cual está en reposo, cuando ese objeto tenga una velocidad v respecto a un determinado sistema, su masa será: m = m v 2 1– c m0 = γ m0 Es decir, su masa en movimiento será mayor a la masa en reposo del objeto. La figura 15 muestra un gráfico con la variación de la masa en función de la velocidad del objeto material. mo 0 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 v/c 15. Variación de la masa relativista con respecto a la velocidad del objeto. Este resultado permite razonar por qué un objeto no puede alcanzar una velocidad mayor que la de la luz sin contravenir la segunda ley de la dinámica de Newton. Cuando un objeto está sometido a una fuerza constante, según la mecánica newtoniana el objeto tiene una aceleración constante. Desde este punto de vista, si mantenemos esta fuerza el tiempo suficiente, no hay límite para la velocidad que puede alcanzar el cuerpo. Veamos qué sucede con la aplicación de la variación de la masa propuesta por la teoría de la relatividad. La aplicación de una fuerza constante producirá una variación de la cantidad de movimiento del cuerpo sobre el que la fuerza actúa a lo largo del tiempo. Esa variación de la cantidad de movimiento no se deberá a un aumento proporcional de la velocidad del objeto, sino a que, a medida que la velocidad se acerque a la velocidad de la luz, el aumento de la cantidad de movimiento lineal del cuerpo se deberá, en una par te cada vez más impor tante, al aumento de la masa, expresado por la relación anterior. La masa tiende a infinito, a medida que la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz. La aceleración del objeto, con el aumento de la masa, será cada vez menor, de manera que, a velocidades muy grandes, la aceleración será prácticamente nula y su velocidad no podrá crecer más. La velocidad de la luz es el límite de velocidad para cualquier objeto material. En los casos más comunes, los de nuestro entorno habitual, las velocidades de los objetos son tan pequeñas que su masa sigue siendo prácticamente constante. Un experimento llevado a cabo por W. Bertozzi en 1964 en Estados Unidos, mediante electrones a los que se comunicaban energías cinéticas de hasta 15 MeV, demostró que la velocidad máxima alcanzada por esos electrones no rebasaba nunca la velocidad de la luz. Estos resultados constituyeron una nueva prueba, de gran impor tacia, para ratificar la validez de la teoría de la relatividad especial de Einstein; sobre todo, porque en los fenómenos obser vados se comunicaba a unas par tículas velocidades muy cercanas a la velocidad de la luz en el vacío. En la experiencia se producían las condiciones idóneas para aplicar la teoría de la relatividad. 106 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 106 13/5/09 08:24:03 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 e j e m pl o 5.En un experimento en el CERN se han observado muones que van a 299 850 km/s. ¿Cuál es el aumento de masa que tienen estas partículas, respecto a su masa en reposo? En este caso, calculamos primero γ: v 299 850 Km/s = = 0,9995 c 300 000 Km/s γ= 1 v 2 1– c = 1 1 – 0,9995 2 = 31,64 En consecuencia, la masa relativista de las par tículas valdría: m = γ m0 = 31,63 m0 Por lo tanto, el aumento de masa de estas par tículas respecto a su masa en reposo vale: ∆m = m – m0 = 30,63 m0 La masa de las partículas presenta un aumento de 30,63 veces la masa en reposo. 11 | La constitución del universo El universo puede definirse como todo lo existente físicamente hablando: el espacio y el tiempo, así como todas las formas de materia y de energía. El universo está gobernado por unas leyes físicas que deben ser válidas para todas las escalas de materia. El universo no es infinito y está formado por galaxias, cúmulos de galaxias y estructuras de mayor tamaño llamadas supercúmulos de galaxias. Obviamente, la distribución de materia no es uniforme en el universo. Esta se distribuye en galaxias, estrellas, planetas... Las galaxias son enormes agrupaciones de estrellas y otros cuerpos celestes. En el universo hay miles de millones de galaxias y en cada una de ellas podemos encontrar miles de millones de estrellas. En el centro de cada galaxia es donde se agrupa mayor número de estrellas. El movimiento en el interior de las galaxias se debe a la interacción gravitatoria. 16. Radioimagen de la galaxia El Triángulo. Se supone que todas las galaxias nacieron aproximadamente a la vez, si bien se ignora por qué hay galaxias distintas, por qué tienen el tamaño que tienen y por qué algunas forman cúmulos o supercúmulos. Las galaxias, según la clasificación de Hubble, pueden dividirse en elípticas, espirales e irregulares. Las galaxias elípticas son relativamente infrecuentes y tienen forma elíptica o circular en el cielo. Están formadas por estrellas viejas de más de quince mil millones de años. No contienen nubes de gas y polvo. Su tamaño es muy variable; pueden contener desde un millón hasta un billón de estrellas. 107 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 107 13/5/09 08:24:04 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo Galaxias cercanas Distancia (años-luz) Nubes de Magallanes 200 000 El Dragón 300 000 Osa Menor 300 000 El Escultor 300 000 El Fogón 400 000 Andrómeda 2 200 000 El Triángulo 2 700 000 Las galaxias espirales están formadas por un núcleo y unos brazos que forman una especie de espiral. Los hay de dos tipos: ordinarias y barradas. En las ordinarias los espirales salen del núcleo. En las barradas los brazos surgen de una barra que se extiende simétricamente hacia ambos lados del núcleo. Estas galaxias contienen entre mil millones y cientos de miles de millones de estrellas. La mayoria de las estrellas son viejas, aunque en los espirales se encuentran estrellas azules jóvenes, conjuntamente con nubes de gas y polvo. En estas galaxias la formación de estrellas tiene una estructura geométrica muy bien definida. 17. Galaxia espiral NGC-7424. 18. Andrómeda. Las galaxias irregulares son las más frecuentes y más pequeñas que las anteriores. Tienen una gran cantidad de estrellas jóvenes, nubes de gas y polvo. No poseen núcleo y la formación estelar ocurre de forma caótica y desordenada. Galaxias espirales Sa Sb Sc Galaxias lenticulares E0 E4 E7 S0 Galaxias elípticas SBa SBb SBc Galaxias espirales barradas 19. Diapasón de Hubble, donde se expone una clasificación de las galaxias. Hubble era un astrónomo norteamericano que en 1925 presentó los resultados observados en el Mount Wilson, cerca de Los Ángeles. Las galaxias E0-7 son galaxias elípticas y el número indica la excentricidad de la elipse (0 es prácticamente redonda y 7, muy aplanada). Las estrellas se distribuyen de forma uniforme. Las galaxias Sa-c y SBa-c son espirales en las que el número creciente determina la definición de los brazos. En general, no hay una postura unitaria entre los astrónomos acerca de la estructura global del universo. Las últimas teorías parecen dar la razón a los que postulan la existencia de unos filamentos cósmicos formados por densas hileras de galaxias a escala supercumular con grandes vacíos intermedios. La Vía Láctea es la galaxia en la que se halla situado el sistema solar con nuestro planeta. Es una galaxia espiral de brazos difusos. Se estima que está compuesta por unos doscientos mil millones de estrellas. 108 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 108 13/5/09 08:24:08 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 Los cuerpos celestes más importantes son las estrellas. Las estrellas son enormes esferas de gas cuya brillantez se debe a reacciones nucleares en su interior. En estas reacciones, los átomos más ligeros se unen para formar otros más pesados, liberando energía. Las estrellas no son estables; su núcleo se contrae continuamente, colapsándose cuando se agotan los materiales que provocan las reacciones nucleares. Una estrella puede mantenerse activa unos veinte millones de años. Los distintos tipos de estrellas, los pulsares o los agujeros negros son estrellas en diferentes fases de su desarrollo, cuya evolución depende de su masa. Las estrellas de masa intermedia, como nuestro Sol, transmutan hidrógeno en helio en las fases iniciales de su desarrollo. Después se transforman en una gigante roja, para acabar su ciclo transformándose en una enana blanca. En una gigante roja el hidrógeno se ha consumido totalmente y el núcleo queda formado por helio. Este diminuto núcleo caliente se ve rodeado por un envoltorio de gas a altísimas temperaturas. Pólux y Alfa Cruz son ejemplos de este tipo de estrellas. Las enanas blancas son estrellas posteriores a la fase de gigante roja, muy difíciles de detectar. Su tamaño es, aproximadamente, el de la Tierra y su masa es algo inferior a la del Sol, con lo que su densidad es del orden de de una tonelada por centímetro cúbico. Paulatinamente, las enanas blancas se van enfriando, manteniendo su volumen, mutando su color al amarillo, al pardo y, finalmente, al negro. Algunas de ellas pueden formar un sistema estelar binario con otra estrella (una gigante roja, por ejemplo). Una enana blanca acaba en un cataclismo estelar que desarrolla una energía equivalente a la explosión de millares de bombas de hidrógeno. Las estrellas de masa pequeña tienen una vida tan larga que solo puede hablarse de su evolución desde un punto de vista teórico. Las estrellas de masa mayor tienen una vida más corta, ya que las reacciones nucleares de su interior son muy rápidas. Paulatinamente, estas se convier ten en una supergigante roja, cuyo núcleo colapsa en un agujero negro o explota en una supernova, convir tiéndose en una estrella de neutrones. Estas estrellas están compuestas principalmente por neutones, como su propio nombre indica. Un pulsar es una estrella de neutrones que emite radiación electromagnética pulsante periódica. Un agujero negro es un región del espacio-tiempo con una concentración de masa tan grande que la interacción gravitatoria que provoca no deja escapar ninguna par tícula, ni tan siquiera la luz. 20. Cástor y Pólux en la constelación de Géminis. Las enanas marrones fueron descubier tas en 1996. Son estrellas de baja temperatura mucho menos masivas que el Sol. 21. Pulsar. 109 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 109 13/5/09 08:24:09 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 12 | La formación del universo Los trabajos de Friedman (1922) y Lemaître (1927) utilizaban la teoría de la relatividad para demostrar que el universo se halla en constante movimiento. Hubble demostró que galaxias lejanas a la Vía Láctea se distanciaban de nosotros de manera constante, como si el universo estuviera expandiéndose. Finalmente, en 1948 George Gamow recogió todas estas ideas para plantear que el origen del universo se debía a una gran explosión. El big bang es el modelo científico que mejor explica el inicio del universo tal y como lo conocemos. Es el comienzo del espacio y del tiempo, y presupone un estallido de una singularidad que da origen a todo lo existente. Las evidencias que apoyan esta teoría son: • Al obser var las galaxias lejanas, la luz que emiten se desplaza hacia longitudes de onda mayores (corrimiento hacia el rojo), lo que, conociendo el funciomiento del efecto Doppler, invita a pensar que estas galaxias se están alejando de manera continua, lo que invalida la idea de un universo estático. • El descubrimiento de la radiación de fondo por Penzias y Bell confirmaba la hipótesis formulada por la teoria del big bang al respecto. 22. El espectro ultravioleta del quásar 3C273 muestra el corrimiento hacia el rojo, que se explica por el efecto Doppler de un universo en expansión. • La teoría del big bang predice unas proporciones entre distintos isótopos de helio e hidrógeno en el universo que han resultado ser, aproximadamente, iguales a las reales. Ninguna otra teoría explica la abundancia de elementos ligeros. Sin ser la única, sí parece que la teoría del big bang es la que cuenta con más respaldo de los experimentos y mediciones realizados por la comunidad científica hasta la actualidad. 13 | El futuro del universo Escala del universo 23. Fondo cósmico de microondas en el año 2003. El mapa indica que la edad del universo es de 13,7 billones de años, y también que el universo se expande. Los colores revelan la temperatura del universo en todas las direcciones. big rip n ció Energía oscura constante big crunch era cel a desaceleración big bang presente futuro Tiempo Hay diferentes teorías sobre el posible destino del universo: • El big crunch. Según esta teoría, si la expansión del universo va desacelerándose hasta que la gravedad termine por frenarla, este terminará por retraerse sobre sí mismo hasta colapsarse de nuevo, reduciéndose a un punto. Posteriormente podría formarse otro universo, dando lugar a un universo pulsante. • El big rip. Las galaxias se separarían entre sí. Después, la gravedad no podría mantener la cohesión de las galaxias, desmoronándose los sistemas planetarios, así como las estrellas y los planetas. Finalmente, los atomos quedarían destruidos. Algunos autores aseguran que el universo podría mantener una expansión indefinida sin que se produjera este desgarramiento. No son estas las únicas teorías acerca del destino final del universo. La comunidad científica no ha logrado ponerse totalmente de acuerdo acerca de qué teoría se dibuja como la más probable, si bien el big rip parece ser la teoría que goza de más aceptación, y la NASA ha presentado evidencias que abogan por la expansión indefinida del universo. 24. Destino del universo. 110 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 110 13/5/09 08:24:12 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 RESUMEN En física cuántica, la energía no puede tener cualquier valor, sino unos valores determinados que, además, son múltiplos de uno fundamental. Todos los sistemas de referencia con movimiento rectilíneo y uniforme se denominan sistemas de referencia inerciales. El valor de la energía tiene que ser directamente proporcional a la frecuencia de la radiación y se determina a través de la hipótesis de Planck: El principio de relatividad afirma que las descripciones de cualquier fenómeno realizadas por dos obser vadores inerciales con movimiento relativo uniforme son igualmente válidas. Las leyes de la física son las mismas para ambos. E=hν El efecto fotoeléctrico cumple la expresión: E k máx 1 = m v máx = h v – W 2 donde W es el potencial de frenado, que vale: h νL = W La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal. La longitud, el tiempo o la masa son magnitudes no invariantes en la física relativista: ∆t = donde νL es la frecuencia umbral. El modelo cuántico explica la emisión y absorción de radiación electromagnética por par te de los gases. El valor de la energía absorbida o cedida debe ser igual a la diferencia energética entre los estados final e inicial y, además, se debe transferir de una sola vez: E = E final – E inicial = h ν La hipótesis de De Broglie refleja las propiedades ondulatorias de la materia: λ = h m ν En la escala de trabajo de la física cuántica, todos los métodos de medida afectan al sistema estu­ diado e, inevitablemente, cambian el valor de al­guna de sus variables. Heisenberg dedujo la re­lación entre la indeterminación de la posición, ∆x, y el momento lineal, ∆p, cuando son medidos simultáneamente: ∆x ∆p 1 L’ = m = ∆t p = γ ∆t p v 2 1– c L0 1 v 2 1– c γ m0 = γ m0 El universo es todo lo existente físicamente hablando: el espacio y el tiempo, así como todas las formas de materia y de energía. El big bang es el modelo científico que explica mejor el inicio del universo. Es el comienzo del espacio y del tiempo, y presupone un estallido de una singularidad que da origen a todo lo existente. h 4π Contenido básico de la unidad en formato hipermedia, en el CD. 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 111 111 13/5/09 08:24:13 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo ACTIVIDADES Física cuántica 1 ¿Es posible calentar cualquier sólido o líquido hasta la temperatura necesaria para que emita radiación visible? ¿Por qué? 2 ¿Por qué al conectar a 6 V una bombilla que indica 12 V, emite una luz anaranjada? 3 Calcula la energía mínima (en julios) correspondiente a una radiación electromagnética que tiene una longitud de onda de 1 200 µm. 4 Indica cómo varía la energía de un fotón al considerar las diferentes longitudes de onda que forman parte de la luz visible. Razona tu respuesta. 5 Calcula aproximadamente la potencia de la radiación emitida por cada metro cuadrado de superficie de la piel humana, del Sol y de la Tierra en nuestras latitudes. La temperatura de la superficie del Sol es de unos 5 700 K. 6 ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación emitida con la máxima intensidad desde la superficie del Sol? ¿A qué color corresponde? 7 En el interior de un horno de una fundición se ha introducido hierro sólido. Al cabo de cierto tiempo se observa que adquiere una tonalidad rojiza y, posteriormente, después de fundirse, un color blanco. Indica y justifica los fenómenos que han tenido lugar. 8 Las estrellas se pueden clasificar en función de su tamaño y color. Así, por ejemplo, encontramos denominaciones tales como gigante azul y gigante roja. Sabiendo que las indicaciones cromáticas hacen referencia al color con que las percibimos, calcula las temperaturas aproximadas de sus respectivas super ficies. Considera que el espectro visible abarca desde 380 nm a 740 nm. 9 Al entrar en una habitación a temperatura ambiente encendemos una lámpara. Indica, razonándolo, la temperatura que tienen los siguientes objetos: a)el filamento de la bombilla que hay en la lámpara. b)el cristal azul de un jarrón que hay en una estantería. c)una hoja de papel blanca que está encima de una mesa. d)la tinta roja de un bolígrafo. 10 ¿Cuál es el valor de la constante de Planck en eV? Efecto fotoeléctrico 11 Calcula la longitud de onda de un fotón que tiene una energía de 3,89 eV. ¿Qué nombre recibe este tipo de radiación? 12 Calcula la longitud de onda umbral para el sodio, sabiendo que la función de trabajo tiene un valor de 1,82 eV. 13 Se ilumina un electrodo de potasio de una célula fotoeléctrica con una luz de 580 nm. Sabiendo que la función de trabajo para este metal vale 2,20 eV, calcula la velocidad máxima de los electrones que se emitan. 14 ¿Qué frecuencia tiene la radiación incidente en un cátodo de potasio (W = 2,20 eV) si el potencial de frenado es de 1,3 V? Los espectros de los gases 15 En el rubí y la esmeralda, las pequeñas impurezas de Cr3+ hacen que sean materiales con fluorescencia. En ambos, la transición electrónica que la origina corresponde a un salto entre dos niveles cuyas energías difieren en 1,77 eV. ¿De qué color es la luz que emiten? 16 En el espectro de emisión del átomo de sodio hay dos líneas correspondientes a radiaciones de color amarillo de 589,6 nm y 589,1 nm causadas por transiciones electrónicas hasta el estado fundamental. ¿Qué diferencia de energía, en eV, hay entre los dos niveles excitados correspondientes? 17 En el átomo de hidrógeno, la energía de un electrón en el estado fundamental es de –13,6 eV. a)Calcula la energía y la longitud de onda del fotón que permite que salte a un nivel energético de –1,51 eV. b)¿Cuántos fotones de una radiación de 205,2 nm de longitud de onda absorberá para realizar la misma transición? c)¿Qué energía se necesita para ionizar el átomo? 112 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 112 13/5/09 08:24:14 Física cuántica, relatividad y constitución del universo | 3 dificultad: SENcILLA media ALTA 18 Las transiciones electrónicas en el átomo de hidrógeno que originan emisión en el visible corresponden a saltos desde los niveles de energía –1,51 eV; –0,85 eV; –0,54 eV y –0,38 eV. ¿Cuál de las siguientes radia­ ciones será absorbida por el hidrógeno: 521 nm, 486 nm o 410 nm? 19 Indica la longitud de onda de un electrón acelerado en un campo eléctrico cuya diferencia de potencial es de 100 V. 20 En un mal ser vicio, un jugador de tenis lanza la pelota a 190 km/h, dirigida directamente hacia la red. a)Calcula la longitud de onda de la pelota (supón su velocidad constante y su peso de 56 g). ¿Se producirá la difracción de la pelota en la red? ¿Por qué? b)Calcula qué aberturas aproximadas debería tener la red para obser var algún fenómeno ondulatorio de la pelota a esa velocidad. c)Calcula la masa que debería tener pe­lota a esa velocidad para obser var efecto ondulatorio con la red que hay la pista (supón que las aber turas son 1 cm de lado). Masa de la Luna: 7,34 1022 kg. El movimiento relativo en física clásica La dualidad onda-partícula un error de unos 30 cm. Suponiendo que esta imprecisión se debía únicamente a las limitaciones establecidas por Heisenberg, determina la indeterminación originada en la velocidad de nuestro satélite. la un en de 21 De acuerdo con su modelo atómico, Bohr calculó las diferentes órbitas electrónicas para el hidrógeno. La primera de ellas tiene un radio de 0,053 nm y el electrón se mueve a 2,18 108 cm/s. a)Calcula la longitud de onda asociada al electrón en esta órbita. b)¿Cuántas longitudes de onda del electrón caben en ella? El principio de incertidumbre 22 Si en un experimento se determina la posición de un electrón en un átomo con una indeterminación de 0,007 nm, calcula la incer tidumbre en la velocidad del electrón. 23 En 1969 se determinó, mediante telemetría láser, la distancia de la Tierra a la Luna con 24 Dos barcas se desplazan por un río desde un punto A una distancia L y luego regresan al punto de partida. El río lleva una corriente de 3 m/s. Cada barca se impulsa con una velocidad de 5 m/s. Una de las barcas se desplaza en la dirección de la corriente, mientras que la otra lo hace en dirección perpendicular. Calcula el tiempo empleado por cada barca en su recorrido, si se alejan de A una distancia de L = 40 m. La teoría de la relatividad 25 Dos relojes están per fectamente sincronizados en la Tierra. Cuando uno de los relojes viaja en una nave a una velocidad de 0,6 c, ¿adelantará o retrasará respecto al reloj de la Tierra? ¿Cuánto valdrá el período del reloj en movimiento respecto al de la Tierra? 26 Deduce la contracción de longitudes L = L0/γ que experimenta un objeto de longitud L0, medida en un sistema de referencia respecto al que se encuentra en reposo, cuando esa magnitud se mide en otro que se mueve a velocidad constante en una dirección paralela a la longitud del objeto a par tir de la transformación de Lorentz-Einstein. 27 Un cometa viaja a 400 000 km/h. ¿Cuál será la longitud de la cola del cometa, medida desde la Tierra, respecto a la longitud medida desde un sistema de referencia que viaje junto al cometa? 28 Un astronauta que se mueve a una velocidad de 0,4 c respecto a la Tierra, determina la longitud de un tren, estacionado en una vía paralela a la dirección de la velocidad de la nave. El resultado obtenido es de 200 m. ¿Cuál es la longitud del tren medida en la Tierra? 113 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 113 13/5/09 08:24:16 3 | Física cuántica, relatividad y constitución del universo 29 Las dimensiones de un triángulo rectángulo son 3 m, 4 m y 5 m. Si tomamos estas medidas desde un sistema de referencia que se desplaza en una dirección paralela al lado de 4 m a una velocidad de 0,6 c, ¿cuáles serán las nuevas dimensiones del triángulo? 30 En la par te alta de la atmósfera, a unos 9 000 m de la super ficie del mar, se forman muones con una velocidad de 0,998 c respecto a un obser vador en la Tierra. Esos muones tienen una vida media, en reposo, de unos 2 µs. Explica cómo es posible que muchos de estos muones lleguen al nivel del mar: a)desde el punto de vista de un sistema de referencia que se mueve con los muones. b)desde el punto de vista de un obser vador en la Tierra. 31 Dos naves espaciales se mueven en la misma dirección y sentidos opuestos a velocidades de 0,7 c y 0,5 c, respectivamente. Calcula la velocidad de cada nave respecto a un sistema de referencia fijo en la otra. 32 En una nave espacial que se mueve a 0,4 c respecto a la Tierra se realiza un experimento del movimiento de una pequeña partícula. Desde el sistema de referencia de la nave se determina que la par tícula ha realizado un desplazamiento de 10 cm, en una dirección paralela a la nave, en un tiempo de 2 s. Calcula la velocidad de la par tícula respecto a la nave y respecto a un sistema de referencia situado en la Tierra con el eje x paralelo a la velocidad de la nave. ¿Cómo se modificarían las respuestas si el desplazamiento de la par tícula se hubiese producido en una dirección perpendicular a la del movimiento de la nave? 33 Un determinado objeto tiene una masa de 40 kg, cuando su velocidad es de 0,4 c. ¿Cuál es su masa en reposo? 34 Calcula la masa de un muón que se mueve a una velocidad de 0,9994 c, si su masa en reposo es de 1,881 10–28 kg. 35 ¿Cuál es la energía total de un electrón que lleva una velocidad de 0,2 c si su masa en reposo es de 9,11 10–31 kg? 36 Un electrón tiene una energía cinética de 15 MeV. ¿Cuál es la velocidad de este electrón? Datos: masa en reposo del electrón: m0 = 9,11 10–31 kg; carga del electrón: e = –1,602 10–19 C. 37 Un protón tiene una masa en reposo de 1,67 10–27 kg. ¿Cuál será la masa relativista de un protón cuya energía cinética es de 1 880 MeV? Expresa el resultado en MeV y en unidades del SI. 38 ¿Qué cantidad de masa debería conver tirse en energía para poder elevar la temperatura de 1 litro de agua desde 20 °C hasta 80 °C? Dato: la capacidad calorífica específica del agua es 4,18 kJ/(kg K). 114 087-114_U3.FIS.2BCH.CAS.indd 114 13/5/09 08:24:17