1.1 Representación de los sistemas eléctricos de potencia

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
TESIS
“PROPUESTA DE MATERIAL DIDÁCTICO
PARA LA EXPERIENCIA EDUCATIVA DE
CORTOCIRCUITO Y FLUJOS DE CARGA”
Que para obtener el título de:
INGENIERO MECÁNICO ELECTRICISTA
PRESENTA:
ANSELMO RUIZ TLAPA
XALAPA, VER.
FEBRERO 2010
CORTOCIRCUITO Y FLUJOS DE CARGA
Agradecimientos
El primer contacto social que tiene el ser humano es con la familia,
generalmente es la base de nuestra formación como ser social y de nuestra conducta.
Gracias a la familia que tengo soy como soy
Gracias a mi padre que me inculco los valores para poder convivir con la
personas con respeto y en armonía; el que siempre está recalcando que me supere, el
que me brinda consejos a cada momento, gracias.
Gracias a mi madre por que siempre ha estado cuando se le necesita y
escuchando con ese amor de madre, gracias.
Gracias a mis hermanos que directa e indirectamente me han ayudado a ser
más abierto, a pensar de otra forma, a escuchar otras opiniones, gracias.
Agradezco a mi director de tesis el
Dr. Alfredo Ramírez Ramírez, a mis
sinodales el Mtro. Walter L. Saiz González y el Mtro. Simón Leal Ortiz por sus
observaciones.
UV
FIME
CORTOCIRUITO Y FLUJOS DE CARGA
CONTENIDO
Introducción
Agradecimientos
Unidad 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
1
1.1 Representación de los sistemas eléctricos de potencia
1
1.1.1 Análisis por fase
2
1.1.2 Diagrama unifilar
3
1.1.3 Diagrama de impedancia y reactancia
11
1.1.4 Relación de transformación
13
1.2 Sistema por unidad
14
1.3 Cambio de base del sistema por unidad
16
1.3.1 Especificación de líneas de transmisión
17
1.3.2 Especificaciones de voltajes
17
1.4 Topologías de redes
1.4.1 Conexiones de los sistemas eléctricos de potencia
20
1.5 Formación de la matriz de admitancias
21
1.6 Análisis nodal de redes eléctricas
23
1.7 Formación de la matriz de admitancias por transformaciones singulares
25
1.7.1 Matriz de incidencia elemento-nodo 𝐴
25
1.7.2 Matriz de incidencia nodal (o de Bus) A
26
1.7.3 Matrices primitivas de red
26
1.7.4 Matriz de admitancias por transformaciones singulares
28
1.7.5 Matrices de admitancias e impedancias nodal (o de Bus )
29
Unidad 2 Análisis de fallas en un sistema eléctricos
2.1 Fallas simétricas
31
32
2.1.1 Fenómenos transitorios en circuitos R-L en serie
33
2.1.2 Cortocircuito trifásico en una máquina síncrona sin carga
34
2.1.2.1 Generador síncrono
35
2.1.2.2 Motor síncrono
36
2.1.3 Cortocircuito trifásicos en sistemas de potencia
UV
18
37
2.1.3.1 Componentes simétricas
38
2.1.3.2 Reactancias de secuencia
41
2.1.3.3 Diagramas de secuencia
42
2.1.3.4 Red de secuencia de la falla trifásica
45
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CORTOCIRUITO Y FLUJOS DE CARGA
2.1.3.5 Análisis de cortocircuito en sistemas de potencia
2.1.4 Selección de interruptores y fusibles
2.2 Fallas asimétricas
48
50
2.2.1 Representación del sistema
50
2.2.2 Falla de línea a tierra (monofásica a tierra)
51
2.2.2.1Condiciones para falla de línea a tierra
2.2.3 Falla de línea a línea (bifásica)
2.2.3.1 Condiciones de falla para falla de línea a línea
2.2.4 Falla de doble línea a tierra (bifásica a tierra)
2.2.4.1 Condiciones para falla de doble línea a tierra
2.2.5 matrices de impedancia de secuencia de bus
Unidad 3 Cálculo de flujos de carga
3.1 Solución de ecuaciones algebraicas
3.1.1 Soluciones directa de ecuaciones algebraicas lineales: Eliminación
de Gauss
3.1.2 Soluciones iterativas de ecuaciones algebraicas lineales: Jacobi y
Gauss-Seidel
51
53
53
54
54
56
59
59
60
61
3.1.2.1 Método iterativo de Jacobi
61
3.1.2.2 Método iterativo de Gauss
63
3.1.3 Soluciones iterativas de ecuaciones algebraicas no lineales:
Newton-Raphson
3.2 El problema de flujos de potencia
3.2.1 Solución de flujos de potencia mediante el método de Gauss-Seidel
64
66
69
3.2.1.1 Factor de aceleración
70
3.2.1.2 Buses de voltaje controlado (Bus generador)
70
3.2.2 Solución de flujos de potencia mediante el método de NewtonRaphson
71
3.2.3 Control de flujos de potencia
73
3.2.3.1 Control del primo-motor y de la excitación de
generadores
3.2.3.2 Conexión de los bancos de capacitores en derivación,
reactores en derivación y sistemas estáticos en Vars
3.2.3.3 Control de transformadores de regulación y con
cambiador de derivación
UV
45
73
74
75
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CORTOCIRUITO Y FLUJOS DE CARGA
Unidad 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
4.1 Controles de los sistemas de potencia
76
76
4.1.1 Control de voltaje de generación
77
4.1.2 Control del gobernador de la turbina
78
4.1.3 Control de la carga-frecuencia (CCF)
80
4.1.4 Despacho económico
81
4.1.4.1 Efecto de las restricciones y las pérdidas de transmisión
4.1.4.2 Coordinación de despacho económico con control de
carga-frecuencia (CCF)
4.1.4.3 Otros tipos de unidades
4.1.5 Flujos de potencia óptimos
4.2 Estabilidad transitoria
84
85
86
86
87
4.2.1 Ecuación de oscilación
87
4.2.2 Modelo de máquina síncrona simplificado y equivalentes del
sistema
90
4.2.3 Criterio de las áreas iguales
91
4.2.4 Integración numérica de la ecuación de oscilación
95
4.2.5 Estabilidad de varias máquinas
97
4.2.6 Métodos de diseño para mejorar la estabilidad transitoria
100
Problemas resueltos
103
Conclusión
142
Bibliografía
UV
FIME
CORTOCIRCUITO Y FLUJOS DE CARGA
Introducción
El 4 de septiembre de 1882, cuando Thomas A. Edison abre la Estación de Pearl
Street en la ciudad de Nueva York, marca el inicio de la industria eléctrica. Después de esto
la industria eléctrica creció enormemente debido tanto a los logros tecnológicos como a la
creatividad de la ingeniería.
Hoy en día los sistemas eléctricos de potencia son muy complejos y no se diga de
las metodologías para analizarlos de forma que logren un nivel de precisión aceptable y
proporcionen una base sólida de conocimientos teóricos acerca del comportamiento de los
sistemas de potencia, así como de los elementos que lo componen (generadores, motores,
transformadores, líneas de transmisión, etc.).
Este material como material didáctico, que se propone seguir el programa de la
experiencia educativa de cortocircuito y flujos de carga, contiene información básica acerca
de la forma en que se representan los sistemas de potencia para análisis determinados, de
los sistemas de potencia en los momentos de un disturbio; se da una noción general acerca
del estudio de flujos de carga como de una introducción al estudio de estabilidad de los
sistemas de potencia, estos 2 últimos se analizan mayormente por medio de programas
computacionales (que no entran en el contenido de este material), debido a los extensos
cálculos que implican dichos estudios, por lo que se abordaran de forma general, pero con
información que pretende ser de gran utilidad para el estudiante de los sistemas de potencia.
En la unidad 1 se abordan las representaciones de los sistemas de potencia, sus
elementos constituyentes, etc., se expondrá la simbología normalizada utilizada que los
representa. Se describe las características de un diagrama unifilar y su conformación y la
forma en que facilita y simplifica sistemas muy grandes. En lo que respecta a la unidad 2 se
estudian los sistemas de potencia bajo condiciones de fallas simétricas y asimétricas, así
como el procedimiento para analizarlos. La solución de ecuaciones algebraicas, lineales o
no lineales, analizadas por los métodos iterativos de Gauss-Seidel y de Newton-Raphson
como base para el cálculo de flujos de potencia, es el objetivo de la unidad 3. En la unidad
4, se estudian los efectos que provoca un disturbio dado (cortocircuito, sobrecargas, etc.) en
los sistemas de potencia, la inestabilidad y la forma de volver a la estabilidad.
Por último se encuentra un compendio de problemas resueltos de forma que ayuden
a comprender la mayoría de los temas tratados en el material.
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
1
UNIDAD 1
CARACTERÍSTICAS
DE
SISTEMAS
ELÉCTRICOS
POTENCIA.
LOS
DE
Introducción
Los sistemas de potencia cuentan con una gran variedad de elementos con el fin de
transportar la energía eléctrica, empezando por los generadores siguiendo con los
transformadores, que dividen el sistema en diferentes secciones a niveles de voltajes
diferentes, después las líneas de transmisión llegando a los puntos de consumo.
En los últimos años dichos sistemas han crecido de forma acelerada, tanto dentro de
éstos como de las conexiones con sistemas de potencia vecinos. Por ello, se deben de
conocer con detalle las técnicas utilizadas para la representación, análisis y desarrollo de los
sistemas de potencia de una forma clara, simplificada y que sea lo más completa posible.
Los temas siguientes tienen la finalidad de brindar las herramientas necesarias para
lograr los objetivos antes mencionados.
1.1
Representación de los sistemas eléctricos de potencia
Debemos de tener en cuenta las estrategias que existen para lograr simplificaciones
en la representación de sistemas eléctricos de potencia, como lo son el análisis por fase y el
UV
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
2
diagrama unifilar, sin embargo no se deben olvidar las restricciones que existen al aplicar
estas metodologías.
A continuación se hará mención del análisis por fase y la conformación que debe
tener un diagrama unifilar, su utilidad, ventajas y limitantes.
1.1.1 Análisis por fase
El análisis por fase es un procedimiento que se lleva a cabo solo para sistemas
trifásicos balanceados y que permite la gran ventaja de simplificar el análisis del sistema
completo. Por definición, un sistema trifásico balanceado es aquel en el cual los voltajes
generados son iguales en magnitud y frecuencia, pero con un defasamiento de 120º
eléctricos en ángulo de fase, este voltaje se aplica a impedancias igualmente balanceadas lo
que producirá corrientes iguales.
El sistema trifásico mostrado en la Figura 1.1a tiene una fuente de excitación y
carga perfectamente balanceada, de igual forma cuenta con impedancias, tanto en serie
como en paralelo, conectados a las tres fases, balanceadas también; la línea punteada,
imaginaria, conectará a la fuente con la carga a través de un hilo neutro que no llevará
corriente siempre y cuando el sistema se encuentre perfectamente balanceado. En el análisis
de sistemas trifásicos, por lo general, se omite al considerarse que cumplen con la
condición planteada.
Este sistema anterior puede ser representado con gran exactitud y de forma mucho
más sencilla por una sola de sus fases, esto se visualiza en la figura 1.1b
a)
b)
Figura 1-1 a) Sistema trifásico balanceado. b) Representación monofásica del sistema
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
3
Al representar el sistema de forma monofásica los cálculos se simplifican, solo se
debe de tener en cuenta que, para tener el resultado del sistema completo, es decir, de las
otras dos fases, los valores obtenidos del análisis monofásico serán exactamente iguales en
magnitud con la única diferencia del defasamiento de 120º eléctricos, como ya se
mencionó.
Se debe tener mucho cuidado de que no se pierda el balance en el sistema, al ocurrir
esto el modelo de representación monofásica queda invalidado inmediatamente y deberán
aplicarse estrategias diferentes para el análisis.
1.1.2 Diagrama unifilar
Un diagrama unifilar muy importante para analizar sistemas eléctricos de forma
fácil y rápida. Tiene la finalidad de mostrar la unión de los distintos elementos de forma
clara y práctica para modelar un sistema completo. El objetivo de un diagrama unifilar es
representar los diferentes elementos que componen un sistema eléctrico de potencia, así
como, proveer los datos más representativos de los dispositivos involucrados en el sistema
representado. Ya se vió que un sistema trifásico balanceado se puede representar de forma
monofásica; se puede simplificar aun más el circuito al quitar el hilo neutro y cambiando
los circuitos equivalentes de los elementos del circuito por símbolos normalizados. A este
diagrama simplificado de un sistema eléctrico se le conoce como diagrama unifilar o de
una línea; no se muestran los parámetros del circuito y las líneas de transmisión se
representan mediante una sola línea entre dos terminales.
Para una mayor comprensión de lo que es un diagrama unifilar véase la
representación del sistema eléctrico mostrado en la figura 1.1 por medio de su diagrama
unifilar. Véase la Figura 1.2.
Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de eléctrico de la figura 1.1
En la figura 1.3 se muestra la representación del diagrama unifilar de un sistema de
potencia compuesto por un generador, transformador, una línea de transmisión y una carga
estática.
Figura 1.3 Sistema de potencia
En la figura 1.4 se muestra la representación del sistema de potencia anterior, en
donde cada componente de éste es reemplazado por su circuito equivalente.
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
Generador
Transformador
Línea de
transmisión
4
Carga
estática
Figura 1.4 Sistema de potencia de forma trifásica
Representando el sistema anterior por su modelo monofásico. Véase la Figura 1.5.
Generador
Línea de
transmisión
Transformador
Carga
estática
Figura 1.5 Sistema de la figura 1.4 de forma monofásica
Por último en la Figura 1.6 se muestra el diagrama sustituyendo los circuitos
equivalentes de los elementos del sistema por sus símbolos normalizados.
Generador
Transformador
Línea de
transmisión
Carga
estática
Figura 1.6 Diagrama unifilar del sistema de la figura 1.5
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
5
Algunos símbolos normalizados usados en los sistemas de potencia son:
Identificación
Símbolo
Explicación
Transformador
Representa varios transformadores del tipo
lleno de líquido hasta el tipo seco. Se imprime
habitualmente la información adicional al lado
del símbolo indicando las conexiones de
devanado, tensiones primario/secundarios,
impedancia y características nominales en KVA
o MVA.
Interruptor de circuito
removible/removible
Representa normalmente un interruptor de
circuito removible de 5kV y más.
Posición de interruptor
de circuito
removible/removible
futuro
Representa una estructura equipada para aceptar
un interruptor de circuito en el futuro (se
conoce habitualmente como provisiones).
Interruptor de circuito no
removible
Representa un interruptor de circuito de baja
tensión.
Interruptor de circuito
removible/removible
Representa un interruptor de circuito de baja
tensión removible.
Interruptor de
desconexión
Representa un interruptor en aplicaciones de
baja o alta tensión (se muestra en posición
abierta).
Fusible
Representa fusibles de baja tensión y potencia.
Barra colectora
Representa una barra colectora de baja y alta
tensión.
Transformador de
Corriente
Representa transformadores de corriente
montados en equipo ensamblado. Se muestra
una relación de 4000A a 5A.
Transformador de
Potencial
Representa transformadores de potencial
habitualmente montados en equipo ensamblado.
Se muestra una relación de 480V a 120V.
Tierra
Representa un punto de conexión a tierra.
Batería
Representa una batería en un paquete de equipo.
Motor
Representa un motor que se muestra también
con una “M” dentro del círculo. Información
adicional del motor se imprime habitualmente
al lado del símbolo, como por ejemplo la
potencia, rpm y tensión.
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
6
Contacto normalmente
abierto
Puede representar un contacto simple o un
interruptor mono-polo en posición abierta para
control de motor.
Contacto normalmente
cerrado
Puede representar un contacto simple o un
interruptor de un polo en posición cerrada para
control de motor.
Luz Piloto
La letra indica el color. El color indicado es
rojo.
Relevador de sobrecarga
Protege un motor en caso de una sobrecarga.
Capacitor
Representa varios capacitores.
Amperímetro
Una letra se muestra habitualmente para indicar
el tipo de medidor. (A = amperímetro, V =
voltímetro, etc.).
Relevador de protección
contra sobre-corriente
instantánea
El número del dispositivo indica el tipo de
relevador (50 = corriente instantánea, 59 =
sobretensión, 86 = bloqueo, etc.).
Generador de
Emergencia
El símbolo se muestra frecuentemente en
combinación con un interruptor de
transferencia.
Interruptor con fusible
El símbolo es una combinación de un fusible y
un interruptor en posición abierta.
Control de medidor de
Baja tensión
El símbolo es una combinación de un contacto
normalmente abierto (interruptor), relevador de
sobrecarga, motor y dispositivo de desconexión.
Arrancador de motor de
media tensión
El símbolo es una combinación de un fusible
removible, un contacto normalmente abierto
(interruptor) y motor.
Centro de Medidor
Una serie de símbolos circulares que
representan medidores habitualmente montados
en un gabinete común.
Centro de carga o tablero
Un interruptor que representa un dispositivo
principal y otros interruptores que representan
circuitos de alimentación habitualmente en un
gabinete común.
Conmutador de
transferencia
Conmutador de transferencia de tipo interruptor
de circuito (izquierda) o bien conmutador de
transferencia de tipo no interruptor de circuito
(derecha).
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
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Transformador de
corriente con
amperímetro conectado
El instrumento conectado podría ser un
instrumento diferente o bien varios
instrumentos diferentes identificados por la
letra.
Relevadores protectores
conectados a un
transformador de
corriente
Los números de dispositivo indican los tipos de
relevadores conectados, por ejemplo:
67 = Sobrecorriente direccional
51 = Sobrecorriente temporal.
Notas
1. Algunos dispositivos, especialmente dispositivos más nuevos, pueden no tener
símbolos universalmente aceptados. Estos dispositivos pueden ser representados de
varias maneras, habitualmente es un asunto de elección personal. En algunos casos,
el símbolo es acompañado por una descripción verbal. Ejemplos de esta situación
son :
2. En numerosos casos, el mismo símbolo puede representar varios componentes. Se
distinguen habitualmente entre ellos por letras o números, por ejemplo:
y
que representan, respectivamente, un motor, un medidor de
watt-hora, un amperímetro y un relevador protector de sobrecorriente.
3. Símbolos universalmente aceptados tienen frecuentemente información adicional
proporcionada cerca. Esto distingue símbolos similares entre ellos. Los siguientes
ejemplos son típicos:
Identifica el interruptor de circuito removible
representado por el símbolo como un interruptor de
1200 amperes.
Identifica el interruptor de circuito fijo representado por
el símbolo como un interruptor tri-polar de 225 amperes.
Indica que el transformador representado por el símbolo
está conectado “Delta-Y.”
Designación de dispositivos por número de acuerdo a la codificación ANSI.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
UV
Elemento principal.
Relé de tiempo retardado para arranque o cierre.
Relé de entrelace o verificación.
Contactor principal.
Elemento de parar.
Interruptor de arranque.
Interruptor de ánodo.
Elemento de desconexión de la fuente de control.
Elemento reversible.
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
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10. Switch de secuencia unitaria.
11. Aplicación futura.
12. Elemento de sobrevelocidad.
13. Elemento de velocidad síncrona.
14. Elemento de baja velocidad.
15. Elemento de correspondencia de velocidad o frecuencia.
16. Aplicación futura.
17. Switch de descarga o de conexión en shunt.
18. Elemento de aceleración o de desaceleración.
19. Contactor de transición entre el arranque y marcha.
20. Válvula operada eléctricamente.
21. Relevador de distancia (Relevador de impedancia)
21x Relevador auxiliar del 21.
22. Interruptor de circuito igualador.
23. Elemento de control de temperatura.
24. Aplicación futura.
25. Elemento de sincronización o para verificar sincronización.
26. Elemento de aparato térmico.
27. Relevado de bajo voltaje.
28. Aplicación futura
29. Contactor de aislamiento
30. Relé anunciador
31. Elemento de excitación separada.
32. Relevador de potencia direccional.
33. Switch de posiciones
34. Switch de secuencia operado por motor.
35. Elemento de operación de escobillas o para conectar en cortocircuito los anillos
deslizantes.
36. Elemento de polaridad.
37. Relé de baja potencia o baja corriente.
38. Elemento de protección de chumacera.
39. Aplicación futura.
40. Relé de pérdida campo.
40x Relevador auxiliar del 40.
41. Interruptor de campo.
42. Interruptor de marcha.
43. Elemento selector de transferencia manual.
44. Relé de arranque de secuencia unitaria.
45. Aplicación futura.
46. Relé de corriente para fase inversa o de balance de fases.
46x Relé auxiliar del 46.
47. Relé de voltaje de secuencia de fase.
48. Relé de secuencia incompleta.
49. Relé térmico de transformador o de máquina.
49G Relé de temperatura (Generador).
49Gx Relé auxiliar del 49G.
49T Relé de temperatura (Transformador).
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
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49Tx Relé auxiliar del 49T.
50. Relé de sobrecorriente instantánea.
51. Relevador de sobrecorriente de tiempo (C.A.).
51x Relé auxiliar del 51.
51N Relé de sobrecorriente (Neutro).
51Nx Relé auxiliar del 51N.
52. Interruptor de corriente alterna.
53. Relé de excitador o de generador (C.D.).
54. Interruptor de C.D. de alta velocidad.
55. Relé de factor de potencia.
56. Relé de aplicación de campo.
57. Elemento de cortocircuito o de conexión a tierra.
58. Relé de falla para rectificador de potencia.
59. Relé de sobrevoltaje.
59G Relé de sobrevoltaje (Instantáneo).
59Gx Relé auxiliar del 59G.
60. Relé de voltaje balanceado.
61. Relé de corriente balanceada.
62. Relé de tiempo retardado para arranque o apertura.
63. Relé de presión de líquido o de gas, de nivelo de flujo (Buchholz).
64. Relé de protección a tierra.
64F Relé de tierra del campo.
64G Relé de tierra para el estator del generador (Voltaje).
64Gx Relé auxiliar del 64G.
65. Gobernador ó Distribuidor Turbina.
66. Elemento de aceleración intermitente.
67. Relevador direccional de sobrecorriente (C.A.).
67N Relé direccional de tierra.
67Nx Relé auxiliar del 67N.
68. Relé de bloqueo.
69. Dispositivo de opción.
70. Reóstato operado eléctricamente.
71. Aplicación futura.
72. Interruptor de corriente directa.
73. Contactor de resistor de carga.
74. Relé de alarma.
75. Mecanismo de cambio de posición.
76. Relé de sobrecarga de corriente directa.
77. Transmisor de pulsaciones.
78. Relé de medición de ángulo de fase o pérdida de sincronismo.
79. Relé de recierre (C.A.).
80. Aplicación futura.
81. Relé de frecuencia.
82. Relé de recierre (C.D.).
83. Relé de transferencia o de control selectivo automático.
84. Mecanismo de operación.
85. Relé receptor de carrier o hilo piloto ó equipo de protección por ondas portadoras.
UV
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
10
86. Relé auxiliar de bloqueo ó relé auxiliar del 87.
87. Relevador de protección diferencial.
88. Motor auxiliar o grupo de motor generador.
89. Switch de línea ó cuchilla.
90. Elemento de regulación.
90V Regulador de tensión.
91. Relé de voltaje direccional.
92. Relé de voltaje y de potencia direccional.
93. Contactor de cambio de campo.
94. Relé de disparo.
95 al 99. Utilizado en aplicaciones específicas o instalaciones individuales no asignadas en
las funciones 1 al 94.
AM
Amperímetro.
AMCD Amperímetro de CD.
B
Bloqueo.
CSIN Conmutador de sincronización.
CVM Conmutador de cambio de fases para voltímetro.
E
Operación eléctrica local.
EX
Excitador principal.
G
Generador.
M
Motor.
P
Pararrayos.
PO
Protección contra ondas de tensión.
RD
Resistencia de descarga.
RES
Resistor.
RFM Frecuencímetro registrador.
RTI
Registrador de temperatura.
RVM Voltímetro registrador.
RVARM
Vármetro registrador.
RWM Wattmetro registrador.
VARM Vármetro indicador de CA.
VM
Voltímetro indicador de CA.
WHM Watthorímetro de CA.
WM
Wattímetro indicador de CA.
CAM Conmutador de cambio de fases para amperímetro.
IT
Indicador de temperatura
VMCD Voltímetro de CD.
PMG Generador de imanes permanentes.
MT
Medidor de tiempo de servicio.
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UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
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1.1.3 Diagrama de impedancia y reactancias
Ya conocemos la representación de un sistema eléctrico en un diagrama unifilar,
este nos ayudará, como ya se dijo, a realizar los cálculos que se necesiten, dependiendo el
análisis que se le vaya a hacer al sistema, de una forma más práctica.
Inmediatamente después debemos representar el diagrama unifilar en un diagrama
de impedancias, esto es sustituyendo los elementos del sistema por sus circuitos
equivalentes y teniendo cuidado en referirlos a un mismo nivel de voltaje; el diagrama de
impedancias o de reactancias es utilizado principalmente para realizar estudios de flujos de
carga y cálculos de cortocircuitos en el sistema.
El sistema eléctrico que se muestra en la figura 1.7 se representará con los circuitos
equivalentes de los diferentes elementos que lo componen figura 1.8
1
T1
T2
M
Carga B
2
Carga A
Figura 1.7 Sistema de potencia
Carga A
Generador
1y2
Línea de transmisión
T1
Carga B
T2
Gen 3
Figura 1.8 Circuitos equivalentes de los elementos que componen al sistema de la figura 1.7
Para la formación de un diagrama de impedancias y reactancias se deben tomar en
consideración a los siguientes parámetros:
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
12
Estudio de cargas



Las cargas en atraso se representan con una resistencia y una reactancia
inductiva en serie.
No se incluyen las impedancias limitadoras de corriente (los neutros de los
generadores - tierra) ya que en condiciones balanceadas no fluye corriente a
tierra, y los neutros de los generadores están al mismo potencial que el
sistema.
En el circuito equivalente del transformador la rama de admitancia en
paralelo se omite, debido a que la corriente de magnetización es
insignificante a comparación con la corriente a plena carga.
Estudio de cortocircuito





En la mayoría de los casos se ignora la resistencia de las máquinas giratorias,
transformadores y líneas de transmisión, ya que ésta es muy pequeña a
comparación de la reactancia. (Aunque se ignore el valor de la R los
resultados suelen ser muy satisfactorios)
Las máquinas giratorias si suministran corrientes de cortocircuito cuando se
presenta una falla, por lo tanto se tomaran en cuenta para el diseño de
cortocircuito.
Las cargas que no involucran maquinaria rotatoria tiene un efecto mínimo en
la corriente durante una falla, por lo tanto se ignoran.
Motores de inducción, si es para el cálculo inmediatamente después de que
ocurre una falla, si se deben de tomar en cuanta, y se representan por una
fem generada en serie con una reactancia inductiva; si el cálculo se hace
unos pocos ciclos después entonces se ignoran.
Las ramas de admitancias en paralelo de los transformadores y líneas de
transmisión se omiten.
Al sistema eléctrico de la figura 1.7, se le supuso un análisis de cortocircuito, en
donde se tomaron en cuenta las consideraciones señaladas anteriormente. La representación
del diagrama de reactancia simplificado se muestra en la figura 1.9.
T1
E1
E2
Línea de
transmisión T2
E3
Figura 1.9 Diagrama de reactancias simplificado del sistema de la figura 1.7
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
13
Recuérdese que estamos analizando un sistema trifásico balanceado, por lo tanto se
analizaran impedancias para corrientes balanceadas, a este tipo de diagramas se les suele
denominar como diagrama monofásico de secuencia positiva.
1.1.4 Relación de transformación
Un transformador, como ya se sabe, cambia la relación entre el voltaje y corriente y
debido a esto cambia también la impedancia aparente de un elemento. Para realizar un
análisis correcto a un sistema de potencia se debe de tener mucho cuidado en las
reactancias de los diferentes elementos, ya que debido a los cambios de voltaje que
provocan los transformadores, las reactancias se deben referir a un mismo nivel de voltaje,
ya sea al de alta o al de baja tensión, lo importante es que todas las reactancias sean
referidas al mismo nivel de tensión.
Para calcular la impedancia referida a alta tensión se debe aplicar la siguiente
expresión:
𝑍𝐴𝑇=𝑍𝐵𝑇
𝑉𝐴𝑇 2
(1.1)
𝑉𝐵𝑇
Para calcular la impedancia referida al lado de baja tensión solo se despeja de la
fórmula a ZBT:
𝑍𝐵𝑇=𝑍𝐴𝑇
𝑉𝐵𝑇 2
(1.2)
𝑉𝐴𝑇
En el caso de transformadores trifásicos con conexiones Y - Y y  -  y que estén
compuestos por tres transformadores monofásicos, la relación de transformación será igual
a la que tenga el transformador monofásico. En los casos en donde la conexión del
transformador es Y -  o  - Y la relación de transformación cambia un poco. Se analizará
el siguiente caso para ejemplificar lo antes dicho.
En la figura 1.10 se muestra un transformador trifásico con una conexión  - Y.
13.8 KV
115 KV
66.4 KV
a)
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
14
13.8 KV
115 KV
7.97 KV
66.4 KV
b)
Figura 1-10 a) Transformador trifásico formado por tres transformadores monofásicos. b)
Cambiando la  en Y.
Aplicando la relación de transformación a los valores de fase:
𝑎 𝑇1 =
7.97
= 0.12
66.4
Utilizando los valores de línea:
𝑎 𝑇1 =
7.97
= 0.12
66.4
Se aprecia que en la conexión  - Y la relación de transformación es la misma,
siempre y cuando se utilicen valores de línea o valores de fase. Entonces se deduce que sin
importar si la conexión es  - Y o Y la relación será la misma, tomando los valores
correctos ya sean de línea o de fase.
1.2
Sistema por unidad
El valor por unidad (p.u.) de cualquier cantidad es la relación que existe entre
dicha cantidad y un valor base elegido arbitrariamente.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑢 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑏𝑎𝑠𝑒
(1.3)
Existe otra expresión de los parámetros eléctricos y esta es en valores en por ciento
que no es más que 100 veces el valor por unidad.
Si escogemos un valor de voltaje base de 13.2 KV, los respectivos valores en p.u. y
en por ciento de un voltaje de 66 KV serían 5 p.u. y 500% respectivamente
En los sistemas eléctricos, el voltaje nominal de las líneas y de los distintos equipos
es siempre conocido, por lo que es muy conveniente seleccionar al voltaje como valor base.
Con esto se debe tener en cuenta que al seleccionar un voltaje arbitrario en cualquier punto
del sistema, todos los demás voltajes existentes deberán relacionarse con éste por la
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
15
relación de transformación de los distintos transformadores presentes. Lo cual da como
resultado diversos valores de voltaje base y como consecuencia habrá tantas impedancias y
corrientes bases como voltajes base tenga el sistema
La potencia como valor base no tiene esta restricción y como también es una
cantidad conocida en los equipos, es recomendable utilizarla como valor base.
En cuanto a la diferencia que existe al tomar valores trifásicos o monofásicos se
exponen las siguientes ecuaciones.
Para valores monofásicos:
Se escoge: KVABASE
Se conoce: KVBASE
𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸 =
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 =
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 =
𝐾𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000 𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000
=
𝐾𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
2
2
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
∗ 1000
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
∗ 1000
=
𝐾𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
𝑀𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000
𝐾𝑉 2
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 = 𝑀𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐵𝐴𝑆𝐸
(1.4)
Para valores trifásicos
Se escoge: KVABASE
Se conoce: KVBASE
La potencia es trifásica y el voltaje es de línea.
𝐾𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 = 3𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸 =
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸
3𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000
3
3
=
=
𝐾𝑉𝐴
𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐵𝐴𝑆𝐸
3𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 =
UV
𝐾𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
3
3𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000
𝐾𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 =
16
2
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑆𝐸
∗ 1000
𝑀𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 ∗ 1000
𝐾𝑉 2
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 = 𝑀𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
(1.5)
𝐵𝐴𝑆𝐸
Se obtiene como resultado la misma ecuación, no importando la utilización de
valores monofásicos o trifásicos, esa es una de las grandes ventajas de utilizar valores base.
El voltaje, la corriente, los kilovoltamperes y la impedancia están relacionados de tal
manera que la selección de los valores base para cualquiera dos de ellos determina la base
de los dos restantes: las siguientes fórmulas relacionan las diferentes cantidades:
𝐾𝑉𝐴 1𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝐴 = 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒
𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 ,𝑉𝐿𝑁
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, Ω =
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, Ω =
(1.7)
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 ,𝐴
𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 ,𝐾𝑉 𝐿𝑁 2 ×1000
(1.8)
𝐾𝑉𝐴 1𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, Ω =
(𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 ,𝐾𝑉 𝐿𝑁 )2
(1.9)
𝑀𝑉𝐴 1𝜙
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝐾𝑊1𝜙 = 𝐾𝑉𝐴1𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑀𝑊1𝜙 = 𝑀𝑉𝐴1𝜙 𝑏𝑎𝑠𝑒
1.3
(1.6)
𝑏𝑎𝑠𝑒 ,𝐾𝑉 𝐿𝑁
(1.10)
(1.11)
Cambio de base del sistema por unidad
En el sistema por unidad se debe de tener cuidado en el cambio de base de los
diferentes componentes del sistema a niveles diferentes de voltaje producidos por los
transformadores. A menudo la impedancia de un componente se expresa en por unidad
sobre una base diferente de la seleccionada. Como se verá más adelante, en un estudio de
cortocircuito, algunas cantidades de los componentes deberán ser referidos a distintos
valores base. Por lo tanto debemos conocer cómo podemos hacer este cambio.
Primero debemos de tener en cuenta la representación de la impedancia en p.u.:
𝑍pu = 𝑍
𝑍Ω
(1.12)
𝐵𝐴𝑆𝐸
Y sabemos que:
𝐾𝑉
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸 = 𝑀𝑉𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸
2
𝐵𝐴𝑆𝐸
UV
(1.13)
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
17
Sustituyendo (1.13) en (1.12) resulta:
𝑍𝑝𝑢 = 𝑍Ω
𝑀𝑉𝐴 𝐵𝐴𝑆𝐸
(1.14)
𝐾𝑉 𝐵𝐴𝑆𝐸 2
Esta ecuación se expresa en un valor de la impedancia dada, y otro para la misma
impedancia pero con un nuevo valor base:
𝑍𝑝𝑢 (𝑑𝑎𝑑𝑎 ) = 𝑍Ω
𝑍𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑍Ω
𝑀𝑉𝐴 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 )
𝐾𝑉 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 ) 2
(1.15)
𝑀𝑉𝐴 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 )
𝐾𝑉 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) 2
(1.16)
Igualando las ecuaciones (1.15) y (1.16), debido a que el valor óhmico debe ser el
mismo, no importando la base, nos resulta
𝑍𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) =
𝐾𝑉 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 )
𝑍𝑝𝑢 (𝑑𝑎𝑑𝑎 ) 𝐾𝑉
𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 )
2
𝑀𝑉𝐴 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 )
𝑀𝑉𝐴 𝐵𝐴𝑆𝐸 (𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 )
(1.17)
1.3.1 Especificación de líneas de transmisión.
Para convertir la impedancia en ohms de una línea de transmisión en impedancia
por unidad, es necesario determinar la impedancia base del circuito. Para ello, se elige una
potencia base para todo el sistema y el voltaje base será el voltaje conocido relacionado a la
línea. La impedancia en por unidad se deduce de la expresión:
𝑍𝑝𝑢 =
𝑍𝑂𝐻𝑀𝑆
𝑍Ω
=
𝑍𝐵𝐴𝑆𝐸
𝐾𝑉𝐵2
𝑀𝑉𝐴𝐵
𝑍𝑝𝑢 = 𝑍Ω
𝑀𝑉𝐴 𝐵
𝐾𝑉𝐵2
(1.18)
1.3.2 Especificaciones de los voltajes
Al moverse a través de un transformador, la tensión base cambia en proporción a las
tensiones nominales de dicho transformador. Entonces se tiene la siguiente relación:
𝐾𝑉 𝐵𝐴𝑇
𝐾𝑉 𝐵𝐵𝑇
𝐾𝑉
= 𝐾𝑉 𝐴𝑇
𝐵𝑇
(1.19)
En donde 𝐾𝑉𝐴𝑇 y 𝐾𝑉𝐵𝑇 son los valores nominales del transformador.
En la siguiente tabla se presentan valores promedio acerca de los motores ahí
señalados, con el fin de brindar una herramienta para cuando no se cuenta con la
información necesaria para poder calcular los parámetros de las maquinas eléctricas.
Valores típicos de las impedancias de motores y el rango de KVA usados
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
18
Cuando no se conocen los valores exactos
Motor de inducción
Motor síncrono con FP = 0.8
Motor síncrono con FP = 1.0
Tipo de motor
1hp = 1 KVA
1hp = 1 KVA
1hp = 0.8 KVA
𝑋𝑑"
Motores síncronos
2 - 6 polos
8 - 14 polos
16 polos o más
0.15
0.20
0.28
Motor de inducción, usualmente medio voltaje
Todos los demás, 50 hp y más
Por debajo de 50 hp, usualmente bajo voltaje
1.4
0.167
0.167
0.167
Topología de las redes
Un sistema de potencia cuenta con muchos elementos, todos localizados de forma
determinada; existen modelos en los cuales se establece el sistema eléctrico en alguna
forma especial, las cuales sirven como base para el diseño y análisis de las redes.
Una red eléctrica se puede manipular de varias formas sin afectar la red original, lo
único que se modifica es la forma o también llamada grafica con la cual se representa.
Véase la figura 1.11
a
c
b
d
a)
b)
Figura 1.11. a) Circuito eléctrico. b) Gráficas del circuito eléctrico
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
19
A este tipo de gráficas se les suele llamar gráficas planas debido a que se pueden
dibujar en una hoja de papel sin que sus líneas se crucen. Se deben de conocer varios
conceptos para poder hacer la representación de un circuito eléctrico de forma correcta.
Se le conoce como rama de un circuito a cada una de las líneas que contiene
determinado circuito eléctrico; el circuito de la figura 1.11a) tiene 6 ramas. A las uniones
de tres o más ramas se le conoce como nodo, representados en la figura anterior por a, b, c,
d; a la unión de solo dos ramas se le conoce como nodo simple, éstos regularmente no se
contabilizan.
Una malla se define como cualquier trayectoria cerrada en un circuito eléctrico
(figura 1.12), se dividen en dos tipos:


Malla elemental: también llamadas retículas, no contienen ninguna otra malla.
Mallas abiertas o principales: contiene una o más mallas elementales, también
reciben el nombre de lazos.
Malla
Elemental
Malla Principal
Figura 1.12 Circuito eléctrico con 2 mallas elementales y una
principal.
Subgráfica y árbol: la subgráfica se forma cuando al elegir, para un análisis del
circuito eléctrico, no se toman todas las ramas existentes en el circuito como se muestra en
la figura 1.13; el árbol es una subgráfica de gran importancia para analizar un circuito
eléctrico y tiene las siguientes características:



Contiene todos los nodos de la red original.
Contiene n-1 ramas.
No tiene trayectorias cerradas.
Figura 1.13 Distintos arboles de una red de 4 nodos
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
20
Hablando ya de los sistemas de potencia que es el motivo de este material se
encuentran circuitos eléctricos con muchas conexiones entre sus distintos elementos, dentro
de las cuales las más comunes son las mencionadas a continuación.
1.4.1 Conexiones de los sistemas eléctricos de potencia
Sistema en anillo: Este tipo de conexión ofrece la ventaja de que cuando se llega a sacar de
servicio alguna sección del sistema se siguen alimentando las cargas por vías alternas, con
esto se le da mayor flexibilidad al alimentar los circuitos por dos caminos. La desventaja
que se presenta en este tipo de conexión es que cuando se llega a abrir el anillo por
mantenimiento las corrientes que fluirán hacia los interruptores será mayor véase la Figura
1.14.
CARGA
CARGA
CARGA
CARGA
G
Figura 1.14 Sistema en anillo
Sistema troncal radial: Se presentan cuando no se interconectan con otros sistemas,
cuando la fuente de alimentación proviene de un solo lugar, sin importar que sean líneas
paralelas. En este sistema un generador con una línea de calibre uniforme o variable
alimenta varias cargas situadas a lo largo de una ruta. Las líneas forman un "árbol" que
nace en el generador. La apertura de una línea lleva consigo la interrupción de la energía en
una o varias de las cargas. Este sistema se representa en la figura 1.15.
CARGA
G
CARGA
CARGA
CARGA
Figura 1.15 Sistema troncal radial
Sistema de enlace: Cuando no solo es un generador el que suministra si no que puede
haber uno o más de respaldo, que en cierto momento podrían sustituir a otra fuente de
energía. Véase la figura 1.16
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
21
G1
CARGA
CARGA
G2
Figura 1.16 Sistema de enlace
Estos sistemas son solo algunos de las conexiones utilizadas dentro de los sistemas
eléctricos, habiendo un sinfín de muchas más conexiones que dependerán entre otras cosas
de la necesidad que se requiera.
1.5
Formación de la matriz de admitancias
El método de la matriz de impedancias permite determinar la corriente de falla de
todos los elementos y los voltajes existentes en cada bus después de que la falla ocurrió. El
método consiste en lo siguiente:
Primeramente se debe tener el diagrama unifilar del sistema a analizar ya con las
reactancias referidas al valor base elegido. En este diagrama se deben poner los valores de
las impedancias (reactancias) como valores de admitancias (susceptancias). Con estos
valores ya podemos formar la matriz de admitancias de la siguiente forma:
1) Admitancias propias: Los elementos que formarán la diagonal principal, se calculan
sumando todas las admitancias de los elementos unidos al bus a analizar.
2) Admitancias mutuas: serán las admitancias equivalentes de los elementos existentes
entre un par de buses considerados. La matriz de admitancias de bus siempre es
simétrica, su orden lo determina el número de buses del sistema, todas las
admitancias propias tienen signo negativo y todas las admitancias mutuas signo
positivo.
La imagen de la Figura 1.17 muestra un sistema eléctrico con tres buses, veremos el
procedimiento para formar la matriz de admitancias.
Bus 1
G1
LT12
Bus 2
T1
T2
LT13
G2
LT23
Bus 3
Figura 1.17 Sistema de potencia compuesto por 3 buses.
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
22
El diagrama de impedancias del sistema anterior se muestra en la figura 1.18.
Bus 1
Bus 2
Xb
Xa
Xe
Xd
Xc
Bus 3
Figura 1.18 Sistema representado por sus impedancias.
Como lo dicta el procedimiento, cambiamos los valores de las impedancias en
valores de admitancias, esto es:
𝑌𝑎 =
1
𝑋𝑎
𝑌𝑏 =
Bus 1
1
1
1
𝑌𝑐 =
𝑌𝑑 =
𝑋𝑏
𝑋𝑐
𝑋𝑑
𝑌𝑒 =
1
𝑋𝑒
Bus 2
Yb
Ya
Ye
Yc
Yd
Bus 3
Figura 1.19 Sistema eléctrico representado por sus admitancias.
Como se verá más adelante por análisis de nodos la matriz de admitancias queda de
la siguiente forma:
𝑌11
𝒀𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 = 𝑌21
𝑌31
𝑌12
𝑌22
𝑌32
𝑌13
𝑌23
𝑌33
(1.20)
Sustituyendo los valores correspondientes a cada admitancia de bus obtenemos:
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
23
𝒀𝟏𝟏 = 𝑌𝑎 + 𝑌𝑏 + 𝑌𝑐 𝒀𝟐𝟐 = 𝑌𝑏 + 𝑌𝑑 + 𝑌𝑒
𝒀𝟏𝟐 = 𝑌21 = −𝑌𝑏
𝒀𝟐𝟑 = 𝑌32 = −𝑌𝑑
𝒀𝟏𝟑 = 𝑌31 = −𝑌𝑐
𝒀𝟑𝟑 = 𝑌𝑐 + 𝑌𝑑
La matriz queda de la siguiente forma:
𝒀𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 =
1.6
𝑌𝑎 + 𝑌𝑏 + 𝑌𝑐
−𝑌𝑏
−𝑌𝑐
−𝑌𝑏
𝑌𝑏 + 𝑌𝑑 + 𝑌𝑒
−𝑌𝑑
−𝑌𝑐
−𝑌𝑑
𝑌𝑐 + 𝑌𝑑
Análisis nodal de redes eléctricas
Como ya se mencionó, un nodo es la unión de 3 o más ramas de un circuito
eléctrico. Al analizar un circuito eléctrico por medio de las leyes de corriente de Kirchhoff
y las ecuaciones que resultan en los nodos se pueden realizar metodologías para resolver los
circuitos de una forma mucho más fácil y rápida.
Para demostrar lo anterior véase la figura 1.20.
2
Yb
Ye
Yd
Yf
Yc
4
3
1
Ya
I3
Yg
0
I4
Figura 1.20 Circuito de 4 Buses y con dos fuentes de corriente y las respectivas admitancias
de los elementos de éste.
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en cada uno de los nodos del circuito,
quedarían las ecuaciones siguientes.
Nodo 1:
𝑉1 − 𝑉3 𝑌𝑐 + 𝑉1 − 𝑉2 𝑌𝑑 + 𝑉1 − 𝑉4 𝑌𝑓 = 0
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
24
Nodo 2:
𝑉2 − 𝑉3 𝑌𝑏 + 𝑉2 − 𝑉1 𝑌𝑑 + 𝑉2 − 𝑉4 𝑌𝑒 = 0
Nodo 3:
𝑉3 𝑌𝑎 + 𝑉3 − 𝑉2 𝑌𝑏 + 𝑉3 − 𝑉1 𝑌𝑐 = 𝐼3
Nodo 4:
𝑉4 𝑌𝑔 + 𝑉4 − 𝑉1 𝑌𝑓 + 𝑉4 − 𝑉2 𝑌𝑒 = 𝐼4
Al ordenar las ecuaciones anteriores se tiene:
Nodo 1:
𝑉1 𝑌𝑐 + 𝑌𝑑 + 𝑌𝑓 − 𝑉2 𝑌𝑑 − 𝑉3 𝑌𝑐 − 𝑉4 𝑌𝑓 = 0
Nodo 2:
−𝑉1 𝑌𝑑 + 𝑉2 (𝑌𝑏 + 𝑌𝑑 + 𝑌𝑒 ) − 𝑉3 𝑌𝑏 − 𝑉4 𝑌𝑒 = 0
Nodo 3:
−𝑉1 𝑌𝑐 − 𝑉2 𝑌𝑏 + 𝑉3 𝑌𝑎 + 𝑌𝑏 + 𝑌𝑐 = 𝐼3
Nodo 4:
−𝑉1 𝑌𝑓 − 𝑉2 𝑌𝑒 + 𝑉4 (𝑌𝑒 + 𝑌𝑓 + 𝑌𝑔 ) = 𝐼4
Teniendo estas cuatro ecuaciones, una ecuación para el nodo de referencia no
proporcionaría información adicional, se puede resolver, con los métodos requeridos, para
los diferentes voltajes 𝑽𝟏 , 𝑽𝟐 , 𝑽𝟑 , 𝑽𝟒 . Entonces, se entiende que el número de ecuaciones
que se necesitan para resolver un circuito eléctrico será el número de nodos n menos uno.
Ecuaciones
independientes = 𝑛 − 1
de nodo
De esta forma encontramos la representación común que tienen las ecuaciones
planteadas anteriormente y que hacen el cálculo de forma más práctica, a parte como se
verá más adelante, será de gran utilidad para los cálculos de corto circuito.
𝑌11
𝑌21
𝑌31
𝑌41
𝑌12
𝑌22
𝑌32
𝑌42
𝑌13
𝑌23
𝑌33
𝑌43
𝑌14
𝑌24
𝑌34
𝑌44
𝑉1
𝐼1
𝑉2
𝐼
= 2
𝑉3
𝐼3
𝑉4
𝐼4
A la matriz de admitancias generalmente se le conoce como Y de barra:
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
𝒀𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑌11
𝑌21
=
𝑌31
𝑌41
𝑌12
𝑌22
𝑌32
𝑌42
25
𝑌13
𝑌23
𝑌33
𝑌43
𝑌14
𝑌24
𝑌34
𝑌44
(1.21)
A este procedimiento también se le conoce con el nombre de formación por
inspección de la matriz de admitancias.
1.7
Formación de la matriz
transformaciones singulares
de
admitancias
por
Cuando los elementos que componen un sistema no están acoplados en forma de
impedancia, las matrices de red se generan normalmente por inspección. En caso contrario,
es necesaria la utilización de otras metodologías, dentro de las que destaca la denominada:
Transformaciones singulares. Para este método es necesaria la obtención de las matrices
de incidencia, que describirán mediante ceros y unos la conectividad de los elementos hacia
componentes de la red (nodos, malla y ramas).
Características: si el elemento no incide al componente se le asigna un cero y si es
incidente un uno, se le agregara un (-) que dependerá del sentido de éste.
1.7.1 Matriz de incidencia elemento-nodo 𝑨
La incidencia de los elementos en un sistema hacia los nodos se muestra en la
matriz de incidencia elemento-nodo 𝐴, los elementos de esta matriz se determinan como
sigue:
𝑎𝑖𝑗 = 1 si el i-ésimo elemento está conectado al nodo j y sale de él.
𝑎𝑖𝑗 = -1 si el i-ésimo elemento está conectado al nodo j y llega a él.
𝑎𝑖𝑗 = 0 si el i-ésimo elemento no es incidente al nodo j.
La dimensión de la matriz 𝐴 es de (𝑒 × 𝑛), en donde e es el número de elementos y
n el número de nodos. Véase el sistema de la figura 1.11a) con la diferencia de que sus
ramas están orientadas como se ve en la figura 1.21.
2
2
3
5
1
1
4
0
3
6
Figura 1.21 Sistema con ramas orientadas y con sus
respectivos elementos
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
A=
n
e
1
2
3
4
5
6
0 1
1 -1
0 1
0 0
1 0
1 0
0 -1
26
2 3
0 0
-1 0
-1 1
0 -1
-1 0
0 1
1.7.2 Matriz de incidencia nodal (o de Bus) A
Cualquier nodo de un sistema conectado puede ser elegido como de referencia, pero
se sugiere el neutro para una red de secuencia positiva ó negativa y la tierra física para la
red de secuencia cero. Entonces las variables de los otros nodos, referidos como barras o
buses, pueden ser medidas con respecto a la referencia asignada. La matriz obtenida de 𝐴
eliminando la columna correspondiente al nodo de referencia es la matriz de incidencia
elemento-barra A (elemento-bus) la cual será llamada “matriz de incidencia nodal”.
Las dimensiones de esta matriz es de 𝑒 × (𝑛 − 1) y su rango 𝑛 − 1 = 𝑏, donde b es
el número de ramas en el sistema. Seleccionando al nodo como el de referencia para el
sistema de la figura 1.18 la matriz de incidencia nodal A es la siguiente.
n
A=
e 1
1 -1
2 1
3 0
4 0
5 0
6 -1
2 3
0 0
-1 0
-1 1
0 -1
-1 0
0 1
1.7.3 Matrices primitivas de red
Las representaciones alternativas de un componente de la red se muestran en la
figura (2.22).
Ep
p
𝑧𝑝𝑞
𝑒𝑝𝑞
𝑖𝑝𝑞
Eq
q
𝑣𝑝𝑞 = 𝐸𝑝 − 𝐸𝑞
a)
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
𝑗𝑝𝑞
Ep
p
𝑦𝑝𝑞
𝑖𝑝𝑞
𝑖𝑝𝑞 + 𝑗𝑝𝑞
27
Eq
q
𝑣𝑝𝑞 = 𝐸𝑝 − 𝐸𝑞
b)
Figura 1.22 Representaciones de un componente de red. a)
Modelo de impedancia. b) Modelo de admitancia
Las relaciones tensión corriente pueden ser expresadas en función de equivalentes
Thévenin o Norton, las variables utilizadas son:
𝑣𝑝𝑞 : Voltaje a través del elemento p-q
𝑒𝑝𝑞 : Fuente de voltaje en serie con el elemento p-q
𝑖𝑝𝑞 : Corriente a través del elemento p-q
𝑗𝑝𝑞 : Fuente de corriente paralelo del elemento p-q
𝑧𝑝𝑞 : Impedancia propia del elemento p-q
𝑦𝑝𝑞 : Admitancia propia del elemento p-q
Cada elemento tiene dos variables 𝑣𝑝𝑞 e 𝑖𝑝𝑞 . En estado estable, estas variables y los
parámetros de los elementos 𝑧𝑝𝑞 y 𝑧𝑝𝑞 son números reales para circuitos en corriente
directa y complejos para circuitos con corriente alterna. Las ecuaciones de comportamiento
para el elemento en forma de impedancia y admitancia respectivamente son:
𝑣𝑝𝑞 + 𝑒𝑝𝑞 = 𝑧𝑝𝑞 𝑖𝑝𝑞
(1.22)
𝑖𝑝𝑞 + 𝑗𝑝𝑞 = 𝑦𝑝𝑞 𝑣𝑝𝑞
(1.23)
La fuentes de corriente y voltaje empleados en cada representación se relacionan
mediante:
𝑗𝑝𝑞 = −𝑦𝑝𝑞 𝑒𝑝𝑞
(1.24)
Una red primitiva se define como un conjunto de elementos no conectados.
Expresando las variables como fasores y los parámetros como matrices en las ecuaciones
(1.22), (1.23). Las ecuaciones de comportamiento en forma de impedancia y admitancia
quedan como siguen:
𝑣+𝑒 = 𝑧 𝑖
(1.25)
UV
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
𝑖+𝑗 = 𝑦 𝑣
28
(1.26)
1.7.4 Matriz de admitancias por transformaciones singulares
El comportamiento de una red interconectada se describe mediante n-1 ecuaciones
independientes, donde n es el número de nodos.
En notación matricial:
𝐸𝐵𝑈𝑆 = 𝑍𝐵𝑈𝑆 𝐼𝐵𝑈𝑆
(1.27)
ó en modelo de admitancia
𝐼𝐵𝑈𝑆 = 𝑌𝐵𝑈𝑆 𝐸𝐵𝑈𝑆
(1.28)
Donde:
𝐸𝐵𝑈𝑆 :
Vector de voltajes nodales (de bus) con respecto al de
referencia.
𝐼𝐵𝑈𝑆 :
Vector de corriente.
𝑍𝐵𝑈𝑆 :
Matriz de impedancias de bus, son impedancias equivalentes de
Thévenin y de transferencia
𝑌𝐵𝑈𝑆 :
Matriz de admitancias nodales (de bus), de cortocircuito y de
transferencia
En el modelo de referencia de ramas, el comportamiento de la red interconectada
esta descrita por b ecuaciones de rama, en donde b es el número de ramas. En notación
matricial las ecuaciones de comportamiento son:
𝐸𝑅𝐴 = 𝑍𝑅𝐴 𝐼𝑅𝐴
(1.29)
𝐼𝑅𝐴 = 𝑌𝑅𝐴 𝐸𝑅𝐴
(1.30)
Donde:
𝐸𝑅𝐴 :
Vector de voltajes a través de las ramas.
𝐼𝑅𝐴 :
Vector de corriente a través de las ramas.
𝑍𝑅𝐴 :
Matriz de impedancias de rama, son impedancias de circuito
abierto y de transferencia.
𝑌𝑅𝐴 :
Matriz de admitancias nodales (de bus), de cortocircuito y de
transferencia de las ramas de la red.
En el modelo de referencia de mallas, el comportamiento de la red interconectada
esta descrita por l ecuaciones independientes de malla donde l es el número de enlaces
(uniones) o mallas básicas. Las relaciones tensión corriente son:
𝐸𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 = 𝑍𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 𝐼𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴
UV
(1.31)
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
𝐼𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 = 𝑌𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 𝐸𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴
29
(1.32)
Donde:
𝐸𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 : Vector de voltajes de malla básicas.
𝐼𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 :
Vector de corrientes de malla básicas.
𝑍𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 : Matriz de impedancias de malla básica.
𝑌𝑀𝐴𝐿𝐿𝐴 :
Matriz de admitancias de malla.
1.7.5 Matrices de admitancia e impedancia nodal (de bus o de barra)
La matriz de admitancia nodal 𝑌𝐵𝑈𝑆 puede ser obtenida mediante la matriz de
incidencia nodal A para relacionar las variables y parámetros de la red primitiva a
cantidades de bus (nodales) de la red interconectadas. La ecuación de comportamiento de la
red primitiva:
𝑖−𝑗 = 𝑦 𝑣
(1.33)
Al multiplicar por la traspuesta de A (At) a la ecuación (1.33) se obtiene:
At 𝑖 − At 𝑗 = At 𝑦 𝑣
(1.34)
Dado que la matriz A muestra la incidencia de los elementos a los buses, At es un
vector en el que cada elemento es la suma algebraica de las corrientes de los elementos de
la red que terminan en un bus. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de corrientes, la suma
algebraica de las corrientes en una barra es cero, esto es:
At 𝑖 = 0
(1.35)
Simultáneamente At 𝑗 nos da la suma algebraica de las corrientes hacia las barras y
es equivalente al vector de corrientes representativas de cada barra.
𝐼𝐵𝑈𝑆 = At 𝑗
(1.36)
Sustituyendo las ecuaciones (1.35) y (1.36) en la ecuación (1.34) se obtiene:
𝐼𝐵𝑈𝑆 = At 𝑦 𝑣
(1.37)
∗
La potencia compleja en la red es el producto (𝐼𝐵𝑈𝑆
)𝑡 𝐸𝐵𝑈𝑆 y la de potencias en la
∗ 𝑡
red primitiva es (𝑗 ) 𝑣. Estas potencias deben ser iguales, esto es, la transformación de
variables de potencia debe respetar el balance energético de la red, por lo tanto:
∗
(𝐼𝐵𝑈𝑆
)𝑡 𝐸𝐵𝑈𝑆 = (𝑗∗ )𝑡 𝑣
UV
(1.38)
FIME
UNIDAD 1 Características de los sistemas eléctricos de potencia
30
Calculando el conjugado transpuesto de la ecuación (1.36)
∗
(𝐼𝐵𝑈𝑆
)𝑡 = (𝑗∗ )𝑡 𝐴∗
(1.39)
A es real por lo que.
𝐴∗ = 𝐴
También
∗
(𝐼𝐵𝑈𝑆
)𝑡 = (𝑗∗ )𝑡 𝐴
(1.40)
Sustituyendo la ecuación (1.40) en la ecuación (1.38)
(𝑗∗ )𝑡 𝐴 𝐸𝐵𝑈𝑆 = (𝑗∗ )𝑡 𝑣
(1.41)
Dado que esta ecuación es válida para todos los valores de j se deduce que:
𝐴 𝐸𝐵𝑈𝑆 = 𝑣
(1.42)
Sustituyendo la ecuación (1.42) en la ecuación (1.37)
𝐼𝐵𝑈𝑆 = At 𝑦 𝐴 𝐸𝐵𝑈𝑆
(1.43)
Sabemos que la ecuación de comportamiento de la red
𝐼𝐵𝑈𝑆 = 𝑌𝐵𝑈𝑆 𝐸𝐵𝑈𝑆
(1.44)
Por analogía en (1.43) y (1.44)
𝑌𝐵𝑈𝑆 = At 𝑦 𝐴
La matriz de incidencia nodal A es singular por lo tanto
transformación singular de 𝑦
At 𝑦 𝐴 es una
La matriz de impedancia nodal (𝑍𝐵𝑈𝑆 ) puede ser obtenida mediante:
𝑍𝐵𝑈𝑆 = 𝑌𝐵𝑈𝑆 −1 = At 𝑦 𝐴
UV
−1
(1.45)
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
31
UNIDAD 2.
ANALISIS DE FALLAS EN UN
SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA
Introducción
Un sistema de potencia tiene la finalidad, como ya se menciono en la unidad
anterior, de transportar la energía eléctrica desde el punto de generación hasta el punto de
consumo, cualquier evento que impida este flujo normal de la corriente y que además pueda
ocasionar desperfectos en los diferentes elementos del sistema, como pueden ser los
generadores, motores, transformadores, las mismas líneas de transmisión, y demás, llevará
por nombre falla del sistema.
Una falla se puede presentar como la unión de dos o más conductores que
normalmente operan con una diferencia de potencial debido a un accidente o al
rompimiento de un aislamiento. Se dividen en dos categorías: Fallas simétricas, llamadas
así porque no se presenta desbalanceo entre las fases, solo se presenta esta condición en la
falla trifásica que es la que se tratara en esta unidad. La falla trifásica es la menos común
pero es la más importante, se explicará más adelante el por qué, comparada con los otros
tipos de falla conocidas como fallas asimétricas, en las fallas asimétricas si produce
desbalanceo entre las diferentes fases del sistema y pueden ser de tres tipos: falla línea a
tierra, falla doble línea y falla doble línea a tierra.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
32
En un cortocircuito se presentan valores anormales de los voltajes y corrientes;
habrá una entrega de energía a las diferentes cargas conectadas al sistema, probablemente
deficiente en un área muy extensa sin mencionar los efectos de calentamiento, magnéticos y
de arco que llegan a dañar los instrumentos y demás elementos interconectados en los
sistemas eléctricos.
Un cortocircuito tiene tres características importantes que son:
1) Fuentes que tienen reactancias variables con el
tiempo
y
que
producen
corrientes de corto circuito.
2) Componentes con reactancias constantes que limitan la magnitud de la corriente de
cortocircuito.
3) Interruptores y fusibles que interrumpen el flujo de la corriente de cortocircuito.
La finalidad que tiene un estudio de cortocircuito es calcular la magnitud de la
corriente de falla, el primer objetivo será obtener la impedancia total en el punto en donde
simularemos una falla, ya que son las impedancias de los transformadores, generadores,
motores, reactores, cables barras, conductores, fusibles, limitadores de corriente y
cualesquiera otras impedancias del circuito las que limitaran la corriente de cortocircuito.
Este valor de impedancia permitirá obtener la magnitud de la corriente de falla. Otra de las
razones importantes que conlleva calcular la corriente de cortocircuito es que debido a esto
podemos determinar la capacidad adecuada de las protecciones, éstas deben resistir e
interrumpir de forma eficiente y segura la corriente máxima de corto circuito. Las
corrientes que circulan en un sistema inmediatamente después de la falla no es igual a la
corriente unos cuantos ciclos después, Para la elección correcta de un interruptor se deben
de conocer estas diferencias en la corriente de cortocircuito, tanto la corriente
inmediatamente después de la falla, como la corriente a la cual el interruptor debe
funcionar.
Sobra decir que un correcto estudio de cortocircuito representara mayor seguridad
tanto para los elementos del sistema, evitando daños graves, como para el personal que
labora en las industrias.
2.1 FALLAS SIMETRICAS
La falla trifásica se presentara cuando las tres fases del sistema entren en contacto
en un solo punto con una impedancia cero; como ya se menciono en la introducción de este
tema, la falla trifásica no produce ningún desfasamiento entres las fases del sistema, debido
a esta condición también reciben el nombre de falla simétrica trifásica. Este tipo de falla
es la menos común, apenas ocupa aproximadamente el 5 % en cuanto a la presencia que
tienen en los sistemas eléctricos, sin embargo, generalmente son en las que la magnitud de
la corriente de cortocircuito alcanza valores muy altos en comparación con las fallas
asimétricas y esto la hace ser la base en el cálculo de fallas en sistemas industriales y
comerciales.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
33
2.1.1 FENOMENOS TRANSITORIOS DE CIRCUITOS R-L EN SERIE
Considere el circuito mostrado en la figura 2.1 que contiene valores constantes de
resistencia y reactancia, cuando se le aplica un voltaje de CA con magnitud
𝑉𝑀á𝑥 sen 𝜔𝑡+∝ donde t=0 en el instante de aplicar el voltaje. Por lo tanto ∝ determina la
magnitud del voltaje cuando se cierra el circuito. Entonces ∝ = 0 cuando el voltaje
instantáneo es cero y va creciendo en sentido positivo cuando se aplica al cerrar el
interruptor. En el momento en que el voltaje alcanza su valor instantáneo máximo positivo
∝ = 𝜋/2.
L
R
E
i
Interruptor
Figura 2.1 Circuito eléctrico con una fuente de voltaje en
serie con una resistencia y una inductancia
Aplicando la LVK para el circuito anterior nos queda la siguiente ecuación:
𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
=𝑣
𝑑𝑡
Sustituyendo el valor de v = 𝑉𝑀á𝑥 sen 𝜔𝑡+∝ entonces nos queda:
𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
= 𝑉𝑀á𝑥 sen 𝜔𝑡+∝
𝑑𝑡
La solución de esta ecuación es:
𝑖=
En donde 𝑍 =
𝑉𝑚 á𝑥
𝑍
sen 𝜔𝑡+∝ −𝜃 − eRt /L sen α − θ
𝑅 2 + 𝜔𝐿
2
(2.1)
y 𝜃 = tan−1 𝜔𝐿/𝑅
Como se ve, el primer termino del circuito varia sinusoidalmente con el tiempo, el
segundo término es aperiódico y decae exponencialmente con una constante de tiempo de
L/R.
𝑉𝑚 á𝑥
𝑍
sen 𝜔𝑡+∝ −𝜃
(2.2)
La ecuación (2.2) representa una corriente alterna simétrica de frecuencia 𝑓 =
𝜔/2𝜋. Es el valor de estado estable de la corriente en un circuito RL para un voltaje
aplicado. Véase la figura 2.2
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
34
i
t
Figura 2.2 Corriente simétrica de CA
El segundo término
−
𝑉𝑚 á𝑥
𝑍
eRt /L sen α − θ
(2.3)
se le llama componente de CD de la corriente que causa que la corriente de cortocircuito
sea asimétrica y disminuya con el tiempo, esta aparecerá cuando el valor de estado estable
no es cero en t = 0, con el fin de satisfacer la condición física de corriente cero en el
instante de cerrar el interruptor. Esta componente se muestra en la figura 2.3
i
Decrece con la relación L/R
t
Figura 2.3 Componente de CD de la corriente de
corto circuito.
Se observa que cuando α − θ = 0 o α − θ = π el valor de la componente de CD no existe.
Y cuando α − θ = ±π/2 la componente de CD alcanza su valor inicial máximo que será
igual al valor de la componente sinusoidal. La componente de CD puede ir desde 0 hasta
𝑉𝑚á𝑥 / 𝑍 y dependerá del valor instantáneo del voltaje cuando el circuito se cierra y de su
factor de potencia.
2.1.2 CORTOCIRCUITO TRIFÁSICO EN UNA MÁQUINA SÍNCRONA SIN
CARGA
Los efectos que produce un cortocircuito en una máquina síncrona son similares a
los que ocurren cuando se aplica un voltaje de CA en sus terminales, solo que existen
algunas diferencias que lo hacen un poco más complejo
En el momento en que se origina una falla en las terminales de un alternador, la
corriente en función del tiempo adquiere valores diferentes y llega a estabilizarse después
de determinado tiempo, estas variaciones en la amplitud de la onda son de gran importancia
para el cálculo de cortocircuito
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
35
Se debe de conocer el comportamiento de la corriente de falla, por ejemplo, al elegir
un interruptor no solo se debe de tomar en cuenta la corriente que soporta bajo condiciones
normales, sino la corriente máxima a la cual éste deja de funcionar y con esto evitar la
destrucción de los distintos elementos conectados al sistema eléctrico al aislar una falla, etc.
2.1.2.1 Generador síncrono
Cuando ocurre un cortocircuito en las terminales de una máquina síncrona, la
corriente de falla adquiere su valor máximo y va disminuyendo unos ciclos después, hasta
alcanzar un estado permanente. Esto se debe a la interacción que se presenta entre la
corriente de cortocircuito y la armadura de la máquina síncrona y la forma en que afecta al
flujo que genera el voltaje en la máquina.
Para comprender mejor los efectos de lo anterior véase la figura 2.4, en donde la
componente de CD de la corriente de corto circuito fue suprimida del oscilograma.
Figura 2.4 Oscilograma de un alternador con sus terminales
cortocircuitadas
Los valores que toma la corriente de corto circuito nos servirán para calcular
términos útiles para un estudio de corto circuito.
La distancia o-c que se muestra en la figura (2.4) es la amplitud máxima que alcanza
la corriente de corto circuito y se presenta inmediatamente después de la falla llamada
corriente subtransitoria 𝑰′′. Debido a que se desprecia la componente de CD de la
corriente de falla y se considera el valor rms de la componente de CA se le conoce también
como corriente rms simétrica inicial. Esta corriente tiene una duración desde el instante en
que ocurre la falla hasta aproximadamente hasta 0.1 s (6 ciclos en un sistema de 60 Hz).
Con este valor rms de la corriente subtransitoria y el voltaje en vacio 𝐸𝐺 del
alternador se puede calcular la reactancia subtransitoria con la siguiente relación:
𝑋′′𝑑 =
UV
𝐸𝐺
𝐼′′
(2.4)
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
36
La amplitud de la onda de corriente de falla que comprende la distancia o-b se le
conoce como corriente transitoria 𝑰′, con una duración que va aproximadamente desde
0.1 s a 2 s (de 6 a 120 ciclos); con este valor se obtiene una nueva magnitud de la reactancia
de la maquina síncrona llamada reactancia transitoria y se expresa:
𝑋′𝑑 =
𝐸𝐺
𝐼′
(2.5)
La distancia o-c corresponde al valor de la corriente llamada corriente sostenida o
estable 𝑰, y esta dura aproximadamente de los 2 s en adelante (> 120 ciclos); con este valor
de la corriente de corto circuito y el voltaje 𝐸𝐺 se calcula la reactancia síncrona expresada
con la siguiente relación:
𝑋𝑑 =
𝐸𝐺
𝐼
(2.6)
Nótese que los valores pico o máximos de las distintas corrientes de corto circuito
se deben multiplicar por el factor 0.707 para obtener su valor rms.
Como se puede observar la reactancia de un generador aumenta con el tiempo, y
como consecuencia la corriente de falla tiende a disminuir; los valores mínimos de 𝑋′′𝑑 y
𝑋′𝑑 son de gran importancia para calcular la máxima corriente de corto circuito posible; el
valor de la reactancia síncrona rara vez se utiliza, ya que la mayoría de los interruptores y
fusibles operan mucho antes de que se alcancen las condiciones de estado estable.
2.1.2.2 Motores síncronos
Cuando se presenta una falla, un motor puede suministrar tanta corriente de corto
circuito como un generador debido a que en el momento de una falla se presenta una caída
de voltaje en el sistema, el motor deja de tomar energía del sistema y continua su rotación
por la inercia de la carga, que no deja disminuir la velocidad instantáneamente; con la
inercia de la carga y con la excitación de su campo que se mantiene funcionará como un
primo motor proporcionando corriente de cortocircuito.
La magnitud de la corriente de cortocircuito debida a los motores síncronos, también
depende:
 De la capacidad del motor en hp.
 Voltaje nominal.
 Reactancia de los motores; subtransitoria, transitoria y síncrona, así como de la

UV
Reactancia del sistema hasta el punto de falla.
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
37
2.1.3 CORTOCIRCUITOS TRIFÁSICOS EN SISTEMAS DE POTENCIA
Ya se menciono la importancia que tiene el conocer la magnitud de la corriente de
cortocircuito, esta magnitud dependerá de las diferentes fuentes de potencia eléctrica
conectadas al sistema a analizar, de sus reactancias y de las reactancias del sistema hasta el
punto de falla. Entre estas fuentes de corto circuito se encuentran las propiamente dichas
maquinas síncronas, sistemas de suministro público y motores de inducción; los
transformadores no son fuente de corriente de cortocircuito, ya que solo cambian los
niveles de voltaje y corriente.
El sistema de suministro público: Los generadores remotos del sistema público
son una fuente de corriente de cortocircuito que se obtiene a través de un transformador de
suministro. Los generadores de la compañía suministradora generalmente son remotos
partiendo de la planta industrial. La corriente con la que se contribuye a un cortocircuito a
la planta remota parece ser un pequeño incremento en la corriente de carga en los grandes
generadores de la estación generadora, y esta contribución de corriente tenderá a
permanecer constante, Figura 2.5a). Por tal motivo, el sistema de suministro público se
representa en la planta con un solo valor de impedancia equivalente referida al punto de
conexión.
Máquinas Síncronas: Los generadores síncronos son las fuentes que más pueden
aportar corriente al punto de falla, aunque también dependen de su cercanía eléctrica al
punto de falla.
En una máquina síncrona lo que proporciona la energía magnética para dar como
salida energía en CA como potencia reactiva es un campo magnético de CD; un
cortocircuito desestabiliza el voltaje en las terminales de la máquina síncrona esto hará que
el regulador trate de corregir el cambio en el voltaje en las terminales e incrementará el
voltaje de campo por lo tanto. Figura 2.5 b) y c).
Motor de inducción: El comportamiento que adquiere un motor de inducción
durante una falla es muy parecido al del motor síncrono solo que con algunas variantes, el
flujo de campo del motor de inducción se produce por la inducción del estator y no por el
devanado de campo de CD. Debido a que este flujo disminuye rápidamente después de la
falla, la aportación del motor de inducción disminuye con rapidez y desaparece por
completo después de unos pocos ciclos. Figura 2.5 d)
En este tipo de motor, no hay aportación de corriente de falla en estado estacionario,
y por lo tanto, a los motores de inducción se les asigna sólo un valor de reactancia
subtransitoria.
Sistemas de alumbrado: No proporcionan corrientes de cortocircuito es por ello
que no se les menciona como aportadores de corrientes de falla.
A la suma de todas las fuentes de corriente de corto circuito se le conoce como
corriente total simétrica. Figura 2.5 e).
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
38
a)
b)
c)
d)
e)
Figura 2.5 Fuentes de corriente de corto circuito y
corriente total simétrica.
Como se verá más a delante la mayoría de las fallas suelen ser asimétricas y existe
una metodología para la resolución de éstas llamada método de las componentes simétricas
realizado en 1918 por C. L. Fortescue, desde entonces este método a adquirido gran
importancia ya que describe los fallos asimétricos en sistemas de transmisión, que pueden
ser cortocircuitos, impedancias entre líneas, impedancias de una o dos líneas a tierra o
conductores abiertos. A continuación se expone dicha metodología.
2.1.3.1 Componentes simétricas
La aplicación de esta metodología surge por el hecho de que no todas las fallas van
a ser simétricas, esto es, como se dijo anteriormente, que no producen desequilibrio entre
las fases del sistema. Las fallas de línea a tierra, doble línea y doble línea a tierra van a
producir un desfasamiento entre sus fases, por lo tanto no son tan fáciles de analizar. Para
esto, el método de las componentes simétricas dicta lo siguiente: un sistema
desequilibrado de fasores, ya sean voltajes o corrientes, se pueden convertir en tres sistemas
equilibrados de fasores que reciben el nombre de componentes de secuencia positiva,
negativa y cero.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
39
Secuencia positiva: La tres fases están separadas 120º entre sí y con la misma
magnitud, tienen la misma secuencia de fases.
Secuencia negativa: La tres fases están separadas 120º entre sí y con la misma
magnitud, pero con la secuencia de fases invertida con respecto al sistema original.
Secuencia cero: Se compone de tres vectores con la misma magnitud y sin
desfasamiento entre las fases.
Vc1
Vb2
Vb0
Va0
120°
Vc0
120°
Va1
120°
Va2
120°
120
°
120°
Vb1
Vc2
a)
b)
c)
Figura 2.6 Componentes de secuencia. a) Secuencia positiva. b) Secuencia negativa. c) Secuencia cero.
La suma de las tres componentes forma el fasor completo de cada fase.
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2
𝑉𝐵 = 𝑉𝑏0 + 𝑉𝑏1 + 𝑉𝑏2
(2.7)
𝑉𝐶 = 𝑉𝑐0 + 𝑉𝑐1 + 𝑉𝑐2
Vb0
VA
Va1
VB
Vc0
VC
Va0
Va2
Vc1
Vb2
Vb1
Vc2
Figura 2.7 Conformación de los fasores completos de cada fase
Véase el siguiente análisis para comprender la conformación de los fasores
asimétricos. Para simplificar el desarrollo de este análisis introduciremos el operador a y
éste se representa como:
𝑎 = 1∠120°
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
40
Entonces se observa que:
𝑎2 = 1∠240°
𝑎 = 1∠360° = 1∠0° = 1
3
Sabiendo esto, para simplificar aun más el análisis, se pueden referir las ecuaciones
(2.7) a la fase A.
𝑉𝑏1 = 𝑎2 𝑉𝑎1 𝑉𝑐1 = 𝑎𝑉𝑎1
𝑉𝑏2 = 𝑎𝑉𝑎2
𝑉𝑐2 = 𝑎2 𝑉𝑎2
𝑉𝑏0 = 𝑉𝑎0
𝑉𝑐0 = 𝑉𝑎0
Entonces podemos escribir las ecuaciones (2.7) como sigue.
𝑉𝐴 = 𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2
𝑉𝐵 = 𝑉𝑎0 + 𝑎2 𝑉𝑎1 + 𝑎𝑉𝑎2
(2.8)
𝑉𝐶 = 𝑉𝑎0 + 𝑎𝑉𝑎1 + 𝑎2 𝑉𝑎2
Para las corrientes se obtiene de igual forma sus ecuaciones de secuencias.
𝐼𝐴 = 𝐼𝑎0 + 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2
𝐼𝐵 = 𝐼𝑎0 + 𝑎2 𝐼𝑎1 + 𝑎𝐼𝑎2
(2.9)
𝐼𝐶 = 𝐼𝑎0 + 𝑎𝐼𝑎1 + 𝑎2 𝐼𝑎2
Estas ecuaciones servirán para poder calcular los voltajes y corrientes, presentes en
una falla asimétrica, de las fases del sistema.
Ahora expresando las ecuaciones anteriores de forma matricial, obtenemos la
siguiente forma:
𝑉𝐴
1
𝑉𝐵 = 𝑎2
𝑉𝐶
𝑎
1
𝑎
𝑎2
1 𝑉𝑎0
1 𝑉𝑎1
1 𝑉𝑎2
(2.10)
Si despejamos a 𝑉𝑎0 , 𝑉𝑎1 , 𝑉𝑎2 de la ecuación (2.10), nos queda de la siguiente forma:
𝑉𝑎0
1
1
𝑉𝑎1 = 1
3
𝑉𝑎2
1
1
𝑎
𝑎2
1
𝑎2
𝑎
𝑉𝐴
𝑉𝐵
𝑉𝐶
(2.11)
Esta forma muestra como descomponer tres fasores asimétricos en sus componentes
simétricas. Entonces para cada secuencia tenemos:
𝑉𝑎0 =
UV
1
3
𝑉 𝐴 + 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶
(2.12)
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
𝑉𝑎1 =
1
𝑉𝑎2 =
1
3
3
41
𝑉𝐴 + 𝑎 𝑉𝐵 + 𝑎2 𝑉𝐶
(2.13)
𝑉𝐴 + 𝑎2 𝑉𝐵 + 𝑎𝑉𝐶
(2.14)
De la misma forma se pueden obtener los fasores de las corrientes:
𝐼𝑎0 =
1
𝐼𝑎1 =
1
𝐼𝑎2 =
1
3
3
3
𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶
(2.15)
𝐼𝐴 + 𝑎𝐼𝐵 + 𝑎2 𝐼𝐶
(2.16)
𝐼𝐴 + 𝑎2 𝐼𝐵 + 𝑎𝐼𝐶
(2.17)
De la ecuación (2.15)
𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 3𝐼𝑎0
Esta es la corriente que circula por el hilo neutro.
Debido a esto se pueden conocer o bien las cantidades de fase al tener las
componentes simétricas o conocer las componentes simétricas al tener las cantidades de
fase.
2.1.3.2 Reactancias de secuencia
Maquinas síncronas
En un análisis de cortocircuito, se deberán tomar las reactancias correspondientes a
cada secuencia. Para la secuencia positiva se tomarán las reactancias subtransitoria de los
elementos que conformen el sistema, y se designan como X1. En las máquinas síncronas
sus reactancia síncrona, transitoria y subtransitoria son para esta misma secuencia, la
positiva; para las reactancias de secuencia negativa (X2) es la reactancia subtransitoria
excepto para generadores con rueda hidráulica sin devanado amortiguador; para la
secuencia cero (X0), las reactancias son menores que las de secuencia positiva y negativa.
Transformadores
Para los transformadores es la misma reactancia para todas las secuencias, con
excepción de que en la secuencia cero los transformadores trifásicos del tipo con núcleo,
esto es cuando se hacen las conexiones para bloquear la corriente de secuencia cero; si la
terminal neutra no está conectada a tierra las corrientes de secuencia cero no fluyen, por lo
tanto la X0 se considera infinita. En los casos en que la corriente de secuencia cero si puede
fluir se considera X0 = X1.
En los transformadores influyen varias cosas para poder tomar en cuenta el valor de
sus reactancias, estas características se verán más adelante.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
42
Líneas de transmisión y conductores
En las líneas de transmisión y conductores las reactancias de secuencia positiva y
negativa se consideran iguales (X1 = X2), para la secuencia cero, debido a que la corriente
de ésta retorna vía la tierra por el cable aéreo de tierra, la reactancia de secuencia cero es
mayor que la positiva y negativa. En los cables también X0 > X1= X2, debido a que la
separación entre los conductores de salida y de retorno es mayor en el circuito de secuencia
cero que en los de secuencia positiva y negativa.
Es importante hacer notar que las componentes para cada secuencia originan caídas
de voltaje de la misma secuencia y son independientes de las corrientes de otra secuencia.
2.1.3.3 Diagramas de secuencia
Como se señalo anteriormente, las corrientes correspondientes a cada secuencia no
influye en las demás por lo tanto se necesitará de tres diagramas de redes en las cuales se
introducirán solo los elementos correspondientes a cada secuencia.
En la secuencia positiva se tomarán los valores de las reactancias de secuencia
positiva de los generadores, transformadores y líneas de transmisión, así como los voltajes
de los generadores; los generadores están diseñados para suministrar voltajes trifásicos
balanceados, por esta razón solo se toman en cuenta para la secuencia positiva.
Para un generador con conexión a tierra mostrado en la figura 2.8a) su diagrama de
secuencia positiva se ve en la figura 2.8 b). En donde 𝑍𝑎 = 𝑍𝑏 = 𝑍𝑐 = 𝑍1 .
Ia
Za
Z1
Ea
Zn
Ea
Eb
Zc
Ec
Zb
Ic
a)
I1
V1
Ib
b)
Figura 2.8 a) Generador sin carga conectado en estrella y con conexión a tierra. b) Red de secuencia positiva del
generador sin carga.
Para la secuencia negativa sencillamente se quita el voltaje generado y se deja solo
su reactancia, generalmente ésta es la misma que en la de la secuencia positiva, existen
diferencias pero son muy pequeñas por lo cual se excluyen.
En la secuencia cero existen algunas características: las corrientes de secuencia cero
para cada fase de un generador en estrella deben fluir a través de la impedancia Zn, por lo
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
43
tanto para obtener la caída de voltaje correcta, la impedancia Zn se debe multiplicar por 3 y
el diagrama resulta como lo muestra la figura 2.9.
3 ∗ 𝑍𝑛 + 𝑍0
I0
V0
Figura 2.9 Diagrama de secuencia cero de
un generador de la figura 2.8a)
Algunas otras conexiones para la secuencia cero según la conexión del generador se
muestran a continuación
Figura 2.10 Red de secuencia cero de un generador según su conexión.
Para los transformadores y líneas de transmisión el diagrama es el mismo para las
secuencias positivas y negativas y se muestra en la figura 2.11.
Z1
I1
Z2
V1
a)
I2
V2
b)
Figura 2.11 Red de secuencias para líneas y transformadores. a) Secuencia positiva. b) Secuencia negativa
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
44
Como las corrientes de secuencia cero son un conjunto de vectores monofásicos y
puesto que deben fluir por un hilo neutro a tierra; en los equipos que no tienen neutro, como
las conexiones en delta, o que simplemente no tiene una conexión entre el neutro y la tierra,
no va a existir el flujo de la corriente de la secuencia cero.
La representación que tendrán los transformadores para la secuencia cero dependerá
de la conexión que éste tenga entre sus devanados primario y secundario. Véase la tabla 2.1
siguiente que muestra varias combinaciones para los transformadores y de qué forma se
representara en el diagrama de secuencia cero.
Tabla 2.1 Conexiones para secuencia positiva, negativa y cero de un
transformador dependiendo de su conexión. H: Alta tensión; L: Baja tensión
Teniendo en cuenta todas estas herramientas necesarias para analizar una falla de
forma correctas, a continuación se muestra el análisis de una falla trifásica balanceada y las
características que tiene así como las condiciones que debe de cumplir.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
45
2.1.3.4 Red de secuencia de la falla trifásica
En este momento nos ocuparemos solo de la falla simétrica trifásica, después de un
paréntesis se dará enfoque a las fallas asimétricas y sus características, dicho esto,
considérese en la figura una representación de la falla trifásica en donde las tres fases están
unidas en un solo punto.
𝜑𝐴
Ia
𝜑𝐵
Ib
𝜑𝐶
Ic
Para una falla trifásica simétrica las redes de secuencia negativa y cero se excluyen del
análisis, por lo tanto en el diagrama de secuencia positiva solo se incluirán las reactancias
de secuencia positiva y los voltajes generados. Tomemos como ejemplo el sistema de la
figura 2.12 en donde se supone una falla simétrica trifásica en el bus 2.
2
1
T1
T2
L.T.
G
M
Falla
CARGA
Figura 2.12 Sistema de potencia con un generador, transformador elevador, línea de
transmisión, transformador reductor y una carga estática
Al tomar solo las reactancias de secuencia positiva y el voltaje generado debido a G
la red de secuencia positiva queda como lo muestra la figura 2.13:
Eg1
XG1
XT1
XLN1
XT2
XM1
Falla
Figura 2.13 Red de secuencia positiva del sistema de la figura 2.12
Condiciones de la falla trifásica balanceada.
Como se trata de una falla balanceada se observa que:
𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 0
𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 + 𝑉𝑐 = 0
2.1.3.5 Análisis de corto circuito en sistemas de potencia
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
46
Primero que nada se debe de realizar el diagrama unifilar que se vaya a analizar,
introduciendo la información de las fuentes de corriente de falla presentes en el sistema, las
impedancias de los diferentes elementos importantes como lo son los transformadores,
máquinas síncronas, motor de inducción, líneas de transmisión, en fin todos los elementos
que influyan de forma importante en la determinación de la corriente de cortocircuito.
Ya se había mencionado la importancia que tiene la selección apropiada de un valor
base en KVA que nos pueda simplificar los cálculos lo mejor posible; es muy
recomendable usar como valor base la de los transformadores ya que son estos los que
dividen al sistema en diferentes niveles de voltaje y estarán presentes en los elementos que
lo constituyen.
Teniendo los valores correctos de reactancias de los elementos se debe de trazar el
diagrama de reactancias, éstas ya deben de estar convertidas a sus valores bases y
cambiándolas, si es necesario, por la relación de transformación, a el valor base
seleccionado.
Con los valores de las reactancias perfectamente referidas al valor base que
seleccionamos se puede efectuar el análisis de la red para calcular la corriente de corto
circuito, para esto se pueden utilizar dos metodologías:


Por teorema de Thévenin
Por la matriz de impedancia de bus
Por medio del teorema de Thévenin que dicta:
"Para un par de terminales, una red activa lineal puede ser sustituida por una fuente
generadora de voltaje y una impedancia en serie con dicha fuente".
El objetivo de dicho teorema es, ya que se tienen todas las reactancias, integrarlas
en una única reactancia equivalente que será la de Thévenin 𝑋𝑇𝐻 , para esto se deben de
poner todas las fuentes de voltaje en cortocircuito, pero manteniendo sus impedancias
internas; ésta se pone en serie con la fuente generadora de voltaje 𝑉𝐹 presente entre las
terminales elegidas y la corriente de cortocircuito. simplemente se calcula por la relación
siguiente:
𝑉
𝐼𝑐𝑐3𝜑 = 𝑋 𝐹
𝑇𝐻
(2.18)
Tal vez un inconveniente importante que tiene esta metodología es que si se quiere
simular la falla en otro punto se debe de hacer la reducción desde el principio; teniendo un
sistema grande para el cálculo de la corriente de falla en cada bus se necesitara de un
análisis nuevo y esto lo hace un tanto laborioso; el análisis por la matriz de impedancia de
bus tiene la ventaja de que al conformarla se podrá llegar a calcular las corriente de corto
circuito en cada bus del sistema sin necesidad de recalcular la reactancia equivalente de
Thévenin.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
47
La conformación de la matriz de admitancias se vio en la sección 1.5, aquí veremos
cómo se forma a partir de ésta la matriz de impedancias o también llamada Z de barra,
véase el análisis siguiente.
La forma de la ecuación (1.17) se puede simplificar de la siguiente forma:
𝑌𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑉 = 𝐼
(2.19)
−1
𝑉 = 𝑌𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎
𝐼
(2.20)
Entonces la ecuación adquiere la forma:
𝑉 = 𝐼𝑍𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎
∆𝑉1
𝐼1
∆𝑉2
𝐼2
=
𝐼3
∆𝑉3
𝐼4
∆𝑉4
𝑍11
𝑍21
𝑍31
𝑍41
𝑍12
𝑍22
𝑍32
𝑍42
(2.21)
𝑍13
𝑍23
𝑍33
𝑍43
𝑍14
𝑍24
𝑍34
𝑍44
(2.22)
El símbolo ∆ es para representar los cambios en los voltajes durante la falla. Se
observa que solo debemos de calcular la inversa de la matriz de admitancias para poder
obtener la matriz de impedancias de barra.
Cuando se obtiene la Z de barra se pueden calcular los voltajes y corrientes
deseadas; suponiendo una falla en el bus 3 es decir:
∆𝑉1
0
∆𝑉2
0
=
𝑉𝑓
𝐼𝑓´´
∆𝑉4
0
𝑍11
𝑍21
𝑍31
𝑍41
𝑍12
𝑍22
𝑍32
𝑍42
𝑍13
𝑍23
𝑍33
𝑍43
𝑍14
𝑍24
𝑍34
𝑍44
(2.23)
La ecuación que resulta para el cálculo de la corriente de falla es la siguiente:
𝑉
𝐼𝑓´´ = 𝑍 𝑓
22
(2.24)
De forma más general para una falla que ocurre sobre una barra k de un sistema
eléctrico se tiene:
𝑉
𝐼𝑓´´ = 𝑍 𝑓
𝑘𝑘
(2.25)
Si se desprecian las corrientes de carga prefalla, se pueden encontrar los valores de
voltaje para cualquier barra n durante la falla como sigue:
𝑉𝑗 = 𝑉𝑓 − 𝑍𝑗𝑘 𝐼𝑓´´
(2.26)
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
48
Sustituyendo el valor de 𝐼𝑓´´ en la ecuación anterior nos queda:
𝑉𝑗 = 𝑉𝑓 −
𝑍𝑗𝑘
𝑍𝑘
𝑉𝑓
(2.27)
2.1.4 SELECCIÓN DE INTERRUPTORES Y FUSIBLES
En un sistema de potencia es muy importante la selección adecuada de los
dispositivos que en un memento dado protegerán a los diferentes elementos constituyentes
de dicho sistema. Es por esto que toma gran relevancia un estudio de corto circuito hecho
de forma lo más correcta posible en donde se calcularán las corrientes inmediatas después
de la falla y que los interruptores deben soportar, así como las corrientes que se presentan
varios ciclos después que, como se verá más adelante, serán las más importantes para dicha
selección.
Entonces tenemos los siguientes factores a considerar para una correcta selección de
los interruptores.

La capacidad momentánea: será la corriente máxima que el interruptor deberá
soportar, así como los esfuerzos térmicos y mecánicos producidos por ésta y en
donde el interruptor deberá permanecer cerrado, esto generalmente ocurre en el
primer medio ciclo de la falla.

La capacidad de interrupción: la corriente total cuando los contactos del
interruptor se separan para aislar la falla; este tiempo puede estar entre 4 y 6 ciclos
después de la falla, dependerá del tipo de interruptor.
Para el cálculo de la corriente momentánea se debe tener cuidado en que la corriente
en la que nos hemos enfocado hasta ahora, la corriente de cortocircuito. simétrica, se le ha
quitado su componente de CD, al agregar este valor la corriente de cortocircuito, después
de que ocurre la falla, es mayor; van a existir multiplicadores que ayudan a calcular de
forma más exacta la corriente real de cortocircuito. En el primer medio ciclo de la falla,
estos multiplicadores convierten los amperes (rmc) simétricos calculados en amperes (rmc)
asimétricos, incluyendo la componente de CD.
Para la capacidad de interrupción, se determinará la magnitud de la corriente de
corto circuito en el momento en que los contactos se separan, en las plantas industriales
generalmente se usan interruptores de 8 ciclos. Esta capacidad de interrupción se especifica
en kilovoltamperes o megavoltamperes expresados:
Corriente que el interruptor debe
Los kilovolts de la barra a la cual
3 × el interruptor está conectado × ser capaz de interrumpir cuando
los contactos se abren
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
49
Los interruptores de diferentes velocidades se clasifican por sus tiempos nominales
de interrupción, este tiempo se contabiliza desde el momento en que se energiza el circuito
de disparo y la extinción del arco en una operación de apertura de contactos, véanse la
figura 2.14.
Inicio del
corto circuito
Separación de
los contactos de
arqueo primarios
Energización del
circuito de disparo
Extinción del arco
en los arcos primarios
Tiempo
Tiempo de interrupción
Retraso del
disparo
Tiempo de
apertura
Tiempo del
arqueo
Tiempo de separación
de los contactos
Figura 2.14 Definición de tiempo de interrupción dada en el estándar ANSI/IEEE C3.37.0101979
Antes de este periodo está el tiempo de retraso de disparo, que generalmente se
supone de ½ ciclo para que los relevadores operen.
Existen cuatro restricciones que se deben de considerar para una correcta elección
de un interruptor de potencia.
UV

Voltaje de operación: el diseño máximo en KV y es el voltaje más alto a la
frecuencia nominal para la cual se diseña el interruptor.

Corriente momentánea: corriente máxima asimétrica (rmc) a la cual el interruptor
permanece cerrado y resiste los esfuerzos mecánicos producidos por la corriente de
cortocircuito, incluyendo las corrientes de corto circuito de todas las fuentes y las
componentes de CD. Se presenta en el primer medio ciclo después del inicio de la
falla.
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
50

Los MVA de interrupción: Es el producto de los KV a los cuales opera el
interruptor por el valor de la corriente de corto circuito en kiloamperios que debe
interrumpir por 3 .

La capacidad máxima de interrupción: corriente máxima (rmc) que el interruptor
puede interrumpir sin importar que tan bajo sea el voltaje.
Para el cálculo de fallas asimétricas, como anteriormente se menciona, se necesita
de las redes de secuencia positiva, negativa y cero, debido a que se presentan voltajes en las
diferentes secuencias y se deben de hacer uso de los diagramas respectivos a cada
secuencia.
2.2 FALLAS ASIMETRICAS
Las fallas asimétricas son las más frecuentes en los sistemas de potencia, pueden ser
de línea a tierra (monofásica a tierra), que en ocasiones llega a superar en cuanto a la
magnitud de la corriente de corto circuito a la falla trifásica, de línea a línea (bifásica) o de
doble línea a tierra (bifásica a tierra).
El método de las componentes simétricas (visto en el subtema 2.1.3) es apto para
poder obtener los valores de corrientes de falla y los voltajes en cualquier parte del sistema;
cualquier falla asimétrica produce que circulen corrientes desbalanceadas en el sistema.
2.2.1 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA
Para poder aplicar las redes de secuencia se deben de tomar en cuenta las siguientes
consideraciones:
1. El sistema de potencia opera en condiciones balanceadas de estado estable antes
de que ocurra la falla. Por tanto, las redes de secuencia cero, positiva y negativa
están desacopladas antes de que ocurra la falla. Durante las fallas asimétricas las
redes se interconectan sólo en la ubicación de la falla.
2. Se desprecia la corriente de carga de prefalla. Como resultado, los voltajes
internos de secuencia positiva de las máquinas son iguales al voltaje de prefalla
𝑉𝐹 . Por tanto. El voltaje de prefalla en cada bus de la red de secuencia positiva
es igual a 𝑉𝐹 .
3. Se desprecian las resistencias de devanados del transformador y las admitancias
serie.
4. Se desprecian las resistencias serie de líneas de transmisión y las admitancias en
derivación.
5. Se desprecian la resistencia, saliencia y saturación de armadura de la máquina
síncrona.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
51
6. Se desprecian las impedancias de cargas no rotatorias.
7. Se desprecian los motores de inducción (en particular los motores con capacidad
nominal de 50 hp o menos) o se representan de la misma manera que las
máquinas síncronas.
Obviamente estas suposiciones se hacen para hacer mas practico en análisis pero en
la práctica no es prudente hacerlo en todos los casos. En adelante se presentan los análisis
para las fallas asimétricas: monofásicas, bifásicas y bifásicas a tierra
2.2.2 FALLA DE LÍNEA A TIERRA (MONOFÁSICA A TIERRA)
Este tipo de falla es la que ocurre con más frecuencia, aproximadamente entre un
70% y 80% de las falla en líneas de transmisión son fallas de línea a tierra.
𝜑𝐴
IfA
VfA
𝜑𝐵
IfB
𝜑𝐶
IfC
Figura 2.15 Representación de una falla monofásica a tierra (línea a
tierra)
2.2.2.1 Condiciones para falla de línea a tierra
Las condiciones que se deben presentar en una falla monofásica son:
𝐼𝑓𝐵 = 0
;
𝐼𝑓𝐶 = 0
𝑉𝑓𝐴 = 0
;
Sabiendo estos valores y aplicando las componentes simétricas tenemos:
𝐼𝑓𝑎 0
1 1 1
𝐼𝑓𝑎 1 = 1 𝑎
3
𝐼𝑓𝑎 2
1 𝑎2
𝐼𝑓𝐴
0
0
1
𝑎2
𝑎
Resolviendo lo anterior se llega a:
𝐼𝑓𝑎0 = 𝐼𝑓𝑎1 = 𝐼𝑓𝑎2 =
𝐼𝑓𝐴
3
(2.28)
Por lo tanto se tiene que 𝐼𝑓𝐴 = 3(𝐼𝑓𝑎 1 )
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
52
Ahora aplicando las componentes simétricas a los voltajes:
0
1
𝑉𝑓𝐵 = 1
𝑉𝑓𝐶
1
1
𝑎2
𝑎
𝑉𝑓𝑎 0
𝑉𝑓𝑎 1
𝑉𝑓𝑎 2
1
𝑎
𝑎2
De donde obtenemos que 𝑉𝐴 = 𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 = 0
La forma en que la corrientes 𝐼𝑓𝑎 0 , 𝐼𝑓𝑎 1 , 𝐼𝑓𝑎 2 sean iguales es cuando se conectan en
serie las redes de secuencia positiva, negativa y cero como se muestra en la figura 2.16.
𝑋1
𝐸𝑓𝑎 1
+
𝐼𝑓𝑎1
𝑉𝑓𝑎 1
−
𝑋2
+
𝐼𝑓𝑎2
𝑉𝑓𝑎 2
−
𝑋0
+
𝐼𝑓𝑎0
𝑉𝑓𝑎 0
−
Figura 2.16 Redes de secuencia conectadas en serie para
el caso de la falla monofásica a tierra
Al tener las redes de secuencia conectadas de esta forma obtenemos la expresión de
𝐼𝑓𝑎 0 = 𝐼𝑓𝑎 1 = 𝐼𝑓𝑎 2 = 𝑋
𝐸𝑓𝑎 1
1 +𝑋2 +𝑋0
(2.29)
Sustituyendo (2.29) en la ecuación (2.28) obtenemos la expresión para calcular la
corriente de corto circuito de una falla de línea a tierra y es
3(𝐸𝑓𝑎 1 )
𝐼𝑓𝐴 = 𝑋
1 +𝑋2 +𝑋0
UV
(2.30)
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
53
2.2.3 FALLA DE LÍNEA A LÍNEA (BIFÁSICA)
En la mayoría de los sistemas trifásicos las corrientes de falla de línea a línea llegan
aproximadamente al 87% de la falla trifásica.
𝜑𝐴
IfA
𝜑𝐵
IfB
𝜑𝐶
IfC
Figura 2.17
Representación de la falla de línea a línea
2.2.3.1 Condiciones para falla de línea a línea
Las condiciones que se deben presentar en una falla bifásica son:
𝐼𝑓𝐴 = 0
;
𝐼𝑓𝐶 = −𝐼𝑓𝐵
;
𝑉𝑓𝐵 = 𝑉𝑓𝐶
Aplicando componentes simétricas a las corrientes con la información anterior nos
queda:
𝐼𝑓𝑎 0
1
𝐼𝑓𝑎 1 = 1 1
3
𝐼𝑓𝑎 2
1
1
𝑎
𝑎2
1
𝑎2
𝑎
0
𝐼𝑓𝐵
−𝐼𝑓𝐵
(2.31)
Y resolviendo obtenemos
𝐼𝑓𝑎 0 = 0
𝐼𝑓𝑎 1 = −𝐼𝑓𝑎 2
(2.32)
Aplicando componentes simétricas a los voltajes, introduciendo la información
anterior nos queda:
𝑉𝑓𝑎 0
1 1 1
𝑉𝑓𝑎 1 = 1 𝑎
3
𝑉𝑓𝑎 2
1 𝑎2
1
𝑎2
𝑎
𝑉𝑓𝐴
𝑉𝑓𝐵
𝑉𝑓𝐵
Nos queda
𝑉𝑓𝑎 1 = 𝑉𝑓𝑎 2
(2.33)
Como 𝐼𝑓𝑎 0 = 0 y debido a que la red de secuencia cero no cuenta con fuentes de
secuencia cero y no se tiene conexión a tierra, para el análisis de una falla de línea a línea se
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
54
omite la red de secuencia cero y la conexión que satisface las ecuaciones anteriores. La
representación de las conexiones que tendrían las redes de secuencia quedaría como indica
la figura 2.18.
𝑋1
𝐼𝑓𝑎 1
𝐸𝑓𝑎 1
𝑋2
+
𝐼𝑓𝑎 2
𝑉𝑓𝑎 1
−
+
𝑉𝑓𝑎 2
−
Figura 2.18 Conexión de las redes de secuencia positiva y negativa para falla de
línea a línea
La expresión de la corriente de corto circuito se deduce de la figura y es la siguiente:
𝐼𝑓𝑎 1 = −𝐼𝑓𝑎 2 =
𝐸𝑓𝑎 1
(2.34)
𝑋1 +𝑋2
2.2.4 FALLA DE DOBLE LÍNEA A TIERRA (BIFÁSICA A TIERRA)
Estas fallas también es importante analizarlas ya que en ocasiones son capaces de
producir las máximas corrientes de corto circuito.
𝜑𝐴
IfA
𝜑𝐵
IfB
𝜑𝐶
IfC
Figura 2.19 Representación de falla de doble línea a tierra
2.2.3.1 Condiciones para falla de doble línea a tierra
Las condiciones que se deben presentar en una falla bifásica a tierra son:
𝐼𝑓𝑎 0 = 0
;
𝑉𝑓𝐵 = 𝑉𝑓𝐶 = 0
Aplicando componentes simétricas a las corrientes
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
0
1
𝐼𝑓𝐵 = 1
𝐼𝑓𝐶
1
1
𝑎2
𝑎
1
𝑎
𝑎2
55
𝐼𝑓𝑎 0
𝐼𝑓𝑎 1
𝐼𝑓𝑎 2
De la cual se obtiene
𝐼𝑓𝐴 = 𝐼𝑓𝑎 0 + 𝐼𝑓𝑎 1 + 𝐼𝑓𝑎 2 = 0
𝐼𝑓𝐵 = 𝐼𝑓𝑎 0 + 𝑎2 𝐼𝑓𝑎 1 + 𝑎𝐼𝑓𝑎 2
𝐼𝑓𝐶 = 𝐼𝑓𝑎 0 + 𝑎𝐼𝑓𝑎 1 + 𝑎2 𝐼𝑓𝑎 2
Aplicando componentes simétricas a los voltajes
𝑉𝑓𝑎 0
1 1 1
𝑉𝑓𝑎 1 = 1 𝑎
3
𝑉𝑓𝑎 2
1 𝑎2
𝑉𝑓𝐴
0
0
1
𝑎2
𝑎
Realizando las multiplicaciones se tiene
𝑉𝑓𝑎 0 = 𝑉𝑓𝑎 1 = 𝑉𝑓𝑎 2 =
𝑉𝑓𝐴
(2.35)
3
En la figura 2.20 se muestra la conexión de las redes de secuencia de tal forma que
satisfacen lo anterior.
𝑋1
𝐸𝑓𝑎 1
𝐼𝑓𝑎 1
𝑋2
+
+
𝐼𝑓𝑎 2
𝑉𝑓𝑎 1
𝑉𝑓𝑎 2
−
−
𝑋0
𝐼𝑓𝑎 2
+
𝑉𝑓𝑎 0
−
Figura 2.20 Conexión de las redes de secuencia para falla de doble línea a tierra.
De la figura obtenemos la reactancia equivalente
𝑋𝑒𝑞 =
𝑋2 ×𝑋0
𝑋2 +𝑋0
+ 𝑋1
(2.36)
Por lo tanto la corriente 𝐼𝑓𝑎 1 es igual a:
𝐼𝑓𝑎 1 =
UV
𝐸𝑓𝑎 1
𝑋 2 ×𝑋 0
+𝑋1
𝑋 2 +𝑋 0
(2.37)
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
56
2.2.5 MATRICES DE IMPEDANCIA DE SECUENCIA DE BUS
Para cada red de secuencia se construye la gráfica y se forma la respectiva matriz
𝒁𝑩𝑼𝑺 . Véase el siguiente análisis.
1
2
T
3
B
Falla
A
CARGA
Figura 2.21 Sistema de potencia
Aquí se muestran las redes de secuencia positiva, negativa y cero para el sistema
anterior.
𝑋𝐴1
𝑋𝑇1
1
𝑋𝐿1
𝑋𝐵1
2
3
a)
𝑋𝐴2
1
𝑋𝐿2
𝑋𝑇2
𝑋𝐵2
2
3
b)
1
𝑋𝐴0
𝑋𝑇𝑂
3𝑋𝑁
3𝑋𝑁
𝑋𝐶0
𝑋𝐿0
3𝑋𝑁
2
3
c)
Figura 2.22 Redes de secuencia. a) Red de secuencia positiva. b)
Secuencia negativa. c) Secuencia cero.
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
57
De los diagramas anteriores podemos conformar las gráficas que representarían a las
diferentes secuencias. Las ramas de secuencia positiva y negativa son iguales.
0
2
1
1
3
4
2
3
La gráfica de secuencia cero es la siguiente
0
1
3
2
4
2
1
3
La formación que de las matrices basadas en las gráficas de un sistema determinado
se hacen como se describió las características de la matriz de incidencia nodal A (sección
1.8).
De forma general las matrices para las redes de secuencia son las siguientes:
𝑍011 𝑍012 … 𝑍01𝑚
0
𝑍𝐵𝑈𝑆
=
𝑍021 𝑍022 … 𝑍02𝑚
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
𝑍31 𝑍32 … 𝑍3𝑚
𝑍111 𝑍112 … 𝑍11𝑚
1
𝑍𝐵𝑈𝑆
=
𝑍021 𝑍022 … 𝑍02𝑚
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
𝑍31 𝑍32 … 𝑍3𝑚
UV
FIME
UNIDAD 2 Análisis de fallas en un sistema eléctrico de potencia
58
𝑍211 𝑍212 … 𝑍21𝑚
2
𝑍𝐵𝑈𝑆
=
𝑍221 𝑍222 … 𝑍22𝑚
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
…
𝑍31 𝑍32
𝑍3𝑚
De la definición de la matriz de impedancia 𝒁𝑩𝑼𝑺 , los términos de la diagonal
principal 𝒁𝑩𝑼𝑺 , 𝒁𝑩𝑼𝑺 , 𝒁𝑩𝑼𝑺 representan las impedancias entre el bus p y el bus de
referencia. Véanse las siguientes figuras.
Barra de referencia
Red de
Secuencia positiva
1
𝑍𝑃𝑃
p
Barra de referencia
Red de
Secuencia negativa
2
𝑍𝑃𝑃
p
Barra de referencia
Red de
Secuencia cero
0
𝑍𝑃𝑃
p
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
59
UNIDAD 3.
CÁLCULO DE FLUJOS DE CARGA
3.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Como se puede inferir de toda la información de la que se ha hecho mención
anteriormente, en un sistema de potencia vamos a encontrarnos con un sinfín de elementos
interconectados, ya sean ramas, que por lo general las constituyen las líneas de transmisión,
nodos y enlaces que son la estructura básica de dichos sistemas.
Al aumentar la demanda del servicio eléctrico debido al desmesurado crecimiento
demográfico, dichos sistemas tienen que cubrir esta demanda teniendo como resultado la
expansión y el aumento de los elementos constituyentes de los sistemas de potencia y por
ende los análisis, ya sean de cortocircuito o de flujos de carga, se tornan mucho más
complicados, teniendo que emplear computadoras digitales y desarrollar metodologías para
poder operarlas y llegar a una aplicación de forma eficiente.
Los estudios de flujos de potencia, que es lo concerniente a esta unidad, arrojan
información que es de gran importancia para tener una referencia del sistema así como una
posible planeación y diseño de la expansión futura de éste. Un estudio de flujos de carga
tiene como principales objetivos los siguientes:



UV
Flujo en KW ó KVAR en las ramas de una red.
Tensión en los buses.
Efecto del rearreglo de circuitos e incorporación de nuevos circuitos de carga.
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga





60
Efectos de pérdidas temporales de generación o de circuitos de transmisión sobre las
cargas del circuito.
Condiciones óptimas de operación del sistema y de distribución de cargas.
Minimizar pérdidas.
Influencia del cambio de tamaño en los conductores.
Posición óptima del cambiador de derivaciones de los transformadores.
Este tipo de estudio no se limita solo al análisis del mecanismo que controla el flujo
de potencia a través de las mallas, sino también a ofrecer respuestas en cuanto a la
selección óptima de la configuración del flujo.
Para esto, se tendrán que ocupar diferentes técnicas referentes a métodos numéricos:


Método de Gauss-Seidel
Método de Newton-Raphson
En seguida se darán a conocer los procedimientos que conforman los métodos
anteriores así como su aplicación y permiten las soluciones que demanda un análisis de
flujos de carga.
3.1.1 SOLUCIONES DIRECTAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS
LINEALES: ELIMINACIÓN DE GAUSS
El siguiente método que se describirá tendrá por objetivo obtener la solución de
ecuaciones lineales de forma regresiva, esto es, calculando la última incógnita y en base a
esta se irán calculando las siguientes. Véase el siguiente análisis:
Se tiene un sistema de ecuaciones lineales como el siguiente
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑁 𝑥𝑁 = 𝑦1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑁 𝑥𝑁 = 𝑦2
⋮
⋮
⋮
𝑎𝑁1 𝑥1 + 𝑎𝑁2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑁𝑁 𝑥𝑁 = 𝑦𝑁
Representando el sistema de ecuaciones anterior de forma matricial
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑁1
𝑎12
𝑎22
𝑎𝑁2
… 𝑎1𝑁
… 𝑎2𝑁
⋮
… 𝑎𝑁𝑁
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
⋮ = ⋮
𝑦𝑁
𝑥𝑁
(3.1)
o bien
𝐴 𝑥 = 𝑦
La solución de 𝑥 es fácil cuando la forma matricial de las ecuaciones lineales es una
matriz triangular superior con elementos distintos de cero en la diagonal principal, si no
fuera el caso, existe un procedimiento para transformarla en una ecuación equivalente con
una matriz triangular superior, éste se presenta a continuación:
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
61
1) La transformación de la matriz se llevara a cabo en N-1 pasos. Se utiliza la primera
ecuación para eliminar 𝑥1 de las demás ecuaciones. Es decir, la ecuación 1 se
multiplica por 𝑎𝑛1 /𝑎11 y luego se resta de la ecuación n, para n = 2,3,…, N.
Aplicando el paso 1 a (3.1) se tiene
𝑎11
0
⋮
0
𝑎12
…
𝑎1𝑁
𝑎22 − 𝑎 𝑎12
…
𝑎 21
𝑎
⋮
…
𝑎 21
11
𝑎𝑁2 − 𝑎 21 𝑎12
11
𝑎2𝑁 − 𝑎 𝑎1𝑁
11
⋮
𝑎
𝑎𝑁𝑁 − 𝑎 21 𝑎1𝑁
11
𝑦1
𝑥1
𝑎
𝑦2 − 𝑎 21 𝑦1
𝑥2
11
⋮ =
⋮
𝑎
𝑥𝑁𝑁
𝑦𝑁 − 𝑎 21 𝑦1
(3.2)
11
Entonces la ecuación 3.2 queda de la siguiente forma
𝑎11
(1)
𝑎12
(1)
… 𝑎1𝑁
0
⋮
0
𝑎22
… 𝑎2𝑁
⋮
(1)
… 𝑎𝑁𝑁
(1)
(1)
𝑎2𝑁
(1)
(1)
(1)
𝑦1
𝑥1
(1)
𝑥2
𝑦2
=
⋮
⋮
𝑥𝑁
(1)
𝑦𝑁
(3.3)
2) En el paso 2 se utiliza la segunda ecuación en (3.3) para eliminar 𝑥2 de las demás
ecuaciones; la ecuación 2 se multiplica por 𝑎𝑛2 /𝑎22 y luego se resta de la ecuación
n, para n = 3, 4,…, N. Aplicando el paso 2 la ecuación (3.3) queda de esta forma
𝑎11
(2)
𝑎12
(2)
… 𝑎1𝑁
0
⋮
0
0
… 𝑎2𝑁
⋮
(2)
… 𝑎𝑁𝑁
0
(2)
(2)
(1)
𝑦1
𝑥1
(1)
𝑥2
𝑦2
=
⋮
⋮
𝑥𝑁
(1)
𝑦𝑁
(3.4)
Durante el paso k se empieza 𝐴(𝑘−1) 𝑥 = 𝑦 (𝑘−1) . La primera k de estas ecuaciones,
(𝑘−1)
ya triangularizada, se deja sin cambio. También la ecuación k se multiplica por 𝐴𝑛𝑘 /
(𝑘−1)
𝐴𝑘𝑘 y luego se resta de la ecuación n, para 𝑛 = 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, … , 𝑁.
Después de (N - 1) pasos, se llega a la ecuación equivalente 𝐴(𝑁−1) 𝑥 = 𝑦 (𝑁−1) ,
donde 𝐴(𝑁−1) es triangular superior.
3.1.2 SOLUCIONES ITERATIVAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS
LINEALES: JACOBI Y GAUSS-SEIDEL
3.1.2.1 Método iterativo de Jacobi.
Dado un sistema de ecuaciones como el mostrado a continuación
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
62
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑁 … 𝑎1𝑁
𝑏1
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑁 … 𝑎1𝑁
𝑏2
𝑏3 = 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑁 … 𝑎1𝑁
…. …. …. ….
.
…. …. …. ….
.
𝑏𝑁
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑁 … 𝑎1𝑁
𝑥1
𝑥2
𝑥3
.
.
𝑥𝑁
Y representándolo de la siguiente forma
𝑎11 𝑥1 = 𝑏1 − 0 − 𝑎12 𝑥2 − ⋯ − 𝑎1𝑁 𝑥𝑁
… … … … … ..
𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 − 0 − ⋯ − 𝑎2𝑁 𝑥𝑁
… … … … … ..
𝑎𝑁𝑁 𝑥𝑁 = 𝑏𝑁 − 𝑎𝑁1 𝑥1 − 𝑎𝑁2 𝑥2 − ⋯ 0
(3.5)
Este conjunto de ecuaciones puede ser escrito en forma matricial si se descompone
la matriz A en la suma de tres matrices (una triangular inferior con ceros en la diagonal, una
diagonal y una triangular superior con ceros en la diagonal). A=L+D+U. De la igualdad
original correspondiente al sistema lineal Ax=b se puede entonces obtener:
(L+D+U)x=b
Dx=b-(L+U) x
(3.6)
Esta última forma indica que el vector x puede ser obtenido a partir de un estimado
inicial del mismo vector x. Esta forma, conocida como forma implícita, permite obtener en
forma iterativa una aproximación cada vez mejor del vector x solución del sistema lineal.
Para diferenciar las etapas sucesivas de cálculo del vector x, se le suele indicar el orden de
la iteración como superíndice. La expresión anterior se transforma entonces en:
𝒙(𝑘+1) = 𝑫−1 (𝒃 − (𝑳 + 𝑼)𝒙𝑘 )
(3.7)
Siendo la matriz D una matriz diagonal, su inverso se obtiene simplemente
reemplazando el termino de la diagonal por su propio inverso (1/𝑎𝑖𝑖 ). En cuanto a la
operación del cálculo propiamente dicho, su expresión es:
(𝑘+1)
𝒙𝑖
(𝑘 )
𝒃𝑖 − 𝑛𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗
=
𝑗 ≠1
𝑎 𝑖𝑗
(3.8)
El resultado por este método no es muy práctico ya que el número de iteraciones
que se requieren es considerable. En cuanto a convergencia, una condición suficiente (pero
no necesaria) e que la matriz A inicial sea diagonalmente dominante. Esta condición se
cumple si:
𝑎𝑖𝑖 >
𝑛
𝑗 =1
𝑗 ≠𝑖
𝑎𝑖𝑗 𝑎
(3.9)
Estos sistemas lineales pueden llegar a converger aun si todas sus líneas no cumplen
con este requisito.
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
63
3.1.2.2 Método iterativo de Jacobi (Gauss)
Dado un sistema de ecuaciones
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
Despejando a 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3
1
𝑥1 = 𝑎
11
1
𝑥2 = 𝑎
22
1
𝑥3 = 𝑎
33
𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3
(3.10)
𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 + 𝑎23 𝑥3
(3.11)
𝑏3 − 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2
(3.12)
Para comenzar con las iteraciones y de acuerdo a lo que dicta la metodología de
Gauss se deberán asignar valores iniciales al lado derecho de la ecuación; para el caso de
las ecuaciones anteriores los valores 𝑥1𝑘 , 𝑥2𝑘 y 𝑥3𝑘 se sustituirán para 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,
respectivamente, en donde el superíndice k indica la iteración correspondiente.
1
𝑥1𝑘+1 = 𝑎
11
1
𝑥2𝑘+1 = 𝑎
22
1
𝑥3𝑘+1 = 𝑎
33
𝑏1 − 𝑎12 𝑥2𝑘 + 𝑎13 𝑥3𝑘
(3.13)
𝑏2 − 𝑎21 𝑥1𝑘 + 𝑎23 𝑥3𝑘
(3.14)
𝑏3 − 𝑎31 𝑥1𝑘 + 𝑎32 𝑥2𝑘
(3.15)
Con el valor nuevo obtenido para 𝑥1 , 𝑥2 y 𝑥2 que serian 𝑥1𝑘+1 , 𝑥2𝑘+1 , 𝑥3𝑘+1 se
sustituirían de nuevo y seguir con las iteraciones necesarias para llegar lo más aproximado
posible al resultado deseado. Una variante de este método y que se caracteriza por la
sustitución inmediata de los valores calculados a las ecuaciones subsecuentes es el llamado
método de Gauss-Seidel.
Las ecuaciones quedarían de la siguiente forma
(1)
𝑥1
(1)
1
=𝑎
1
𝑥2 = 𝑎
(1)
22
1
𝑥3 = 𝑎
UV
11
33
(0)
(0)
(1)
(0)
(1)
(1)
𝑏1 − 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3
𝑏2 − 𝑎21 𝑥1 + 𝑎23 𝑥3
𝑏3 − 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2
(3.16)
(3.17)
(3.18)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
64
Se continúa el procedimiento hasta que se cumplan las siguientes condiciones de
finalización:
𝑥 1𝑘 +1 −𝑥 11
𝑥 11
=𝜀
(3.19)
Donde 𝜀 es un nivel de tolerancia especificado.
En donde al comienzo de la iteración para 𝑥1 se suponen valores iniciales, el cálculo de este
valor se sustituye inmediatamente para calcular a 𝑥2 , y par calcular 𝑥3 se sustituyen los
(1)
(1)
valores calculados de 𝑥1 , 𝑥2 , o sea, 𝑥1 , 𝑥2 . Esto se repite hasta alcanzar un valor
aproximado al deseado.
Una condición suficiente para la convergencia del método de Gauss-Seidel es que
𝑚á𝑥
𝐾
1
𝐴𝑘𝑘
𝑛
𝑗 ≠1
𝐴𝑘𝑗
<1
(𝑘 = 1,2, … , 𝑛)
(3.20)
3.1.3 SOLUCIONES ITERATIVAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS
NO LINEALES: NEWTON-RAPHSON
Un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales en forma de matriz está dado por
𝑓1 (𝑥)
𝑓 (𝑥)
𝑓 𝑥 = 2
=𝑦
⋮
𝑓𝑁 (𝑥)
(3.21)
Donde y y x son N vectores y f(x) es un vector N de funciones. Sean y y f(x), y se
desea resolver para x. Los métodos iterativos anteriores, se pueden ampliar a ecuaciones no
lineales como sigue. Reescribiendo la ecuación (3.21).
0 = 𝑦 − 𝑓(𝑥)
(3.22)
Sumando Dx a ambos lados de la ecuación (3.22), donde D es una matriz cuadrada
invertible de N × N.
𝐷𝑥 = 𝐷𝑥 + 𝑦 − 𝑓(𝑥)
(3.23)
Premultiplicando por 𝐷 −1
𝑥 = 𝑥 + 𝐷−1 𝑦 − 𝑓(𝑥)
(3.24)
Los valores viejos de 𝑥(𝑖) se utilizan en el lado derecho de la ecuación (3.24) para
generar los nuevos valores 𝑥(𝑖 + 1) en el lado izquierdo.
𝑥(𝑖 + 1) = 𝑥(𝑖) + 𝐷−1 𝑦 − 𝑓 𝑥(𝑖)
(3.25)
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
65
Para ecuaciones lineales, 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑥 y la ecuación (3.25) se reduce a
𝑥 𝑖 + 1 = 𝑥 𝑖 + 𝐷−1 𝑦 − 𝐴𝑥 𝑖
= 𝐷−1 𝐷 − 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐷−1 𝑦
(3.26)
Para ecuaciones no lineales, se deben especificar la matriz D en la ecuación (3.25).
Un método para especificar D, llamado Newton-Raphson, se basa en el siguiente
desarrollo en serie de Taylor de 𝑓(𝑥) respecto a un punto de operación 𝑥0 .
𝑑𝑓
𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑑𝑥
𝑥 − 𝑥0 …
(3.27)
𝑥=𝑥 0
Haciendo caso omiso de los términos de orden superior en la ecuación (3.27) y
despejando a x.
−1
𝑥 = 𝑥0 +
𝑑𝑓
𝑦 − 𝑓 𝑥0
𝑑𝑥
(3.28)
𝑥=𝑥 0
El método de Newton-Raphson sustituye 𝑥0 por el valor viejo 𝑥(𝑖) y por x por el
nuevo valor 𝑥 𝑖 + 1 en la ecuación (3.28) de modo que
𝑥(𝑖 + 1) = 𝑥(𝑖) + 𝐽−1 (𝑖) 𝑦 − 𝑓 𝑥(𝑖)
(3.29)
Donde:
𝑑𝑓
𝐽 𝑖 = 𝑑𝑥
=
𝑥=𝑥(𝑖)
𝜕𝑓1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
⋯
…
𝜕𝑓1
𝜕𝑥 𝑁
𝜕𝑓2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑓2
⋮
⋮
⋮
⋮
𝜕𝑓 𝑁
𝜕𝑓 𝑁
𝜕𝑥 2
⋯
𝜕𝑓 𝑁
𝜕 𝑥1
𝜕𝑥 𝑁
(3.30)
𝜕𝑥 𝑁 𝑥=𝑥(𝑖)
La matriz 𝐽 𝑖 de N × N, cuyos elementos son las derivadas parciales mostradas en
(3.30), se llama matriz jacobiana. El método de Newton-Raphson es similar al de GaussSeidel, excepto porque D en la ecuación (3.25) se sustituye por 𝐽 𝑖 en la ecuación (3.29).
La ecuación (3.29) contiene la matriz inversa 𝐽−1 . En lugar de calcular 𝐽−1 , (3.29) se
puede reescribir como sigue
𝐽 𝑖 ∆𝑥 𝑖 = ∆𝑦(𝑖)
(3.31)
Donde:
∆𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑖 + 1 − 𝑥(𝑖)
UV
(3.32)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
66
Y:
∆𝑦 = 𝑦 − 𝑓 𝑥(𝑖)
(3.33)
Para cada iteración se completan los cuatro pasos siguientes
Paso 1
Calcular ∆𝑦(𝑖) de la ecuación (3.33).
Paso 2
Calcular 𝐽(𝑖) de la ecuación (3.30).
Paso 3
Por medio de la eliminación de Gauss y la sustitución hacia atrás se
resuelve la ecuación (3.31) para ∆𝑥(𝑖).
Paso 4
Calcular 𝑥(𝑖 + 1) de la ecuación (3.32).
3.2 EL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA
Como se justificará más adelante, lo primero que se debe calcular son los voltajes en
todos los buses del sistema (nodos) así como sus ángulos de fase; primero que nada se debe
formular un modelo matemático confiable del sistema. El modelo debe describir
adecuadamente las relaciones entre voltajes y potencias en el sistema interconectado,
después formular las restricciones de potencia y voltaje que deben ser aplicadas a los nodos
del sistema; teniendo todo esto se efectuará el cálculo numérico de las ecuaciones de flujos
de potencia que deberán estar sujetas a restricciones establecidas. Estos cálculos deben
proporcionar, con suficiente exactitud, los valores de voltaje en todos los nodos; finalmente
se calculan los flujos de potencia en todos los elementos de la red
Dado que las condiciones operativas normalmente son balanceadas, para la
solución de un análisis de flujos de carga basta una representación monofásica. Se deben de
considerar varios aspectos al realizar un análisis de flujos de potencia, dentro de los más
importantes tenemos los siguientes:

Se debe de tener presente la variación de la carga en todo momento, como se sabe la
demanda de energía varía con respecto a la necesidad de lo usuarios, por lo tanto la
generación debe ser igual a la demanda en todo momento; la generación del sistema
debe adaptarse continuamente prediciendo a corto plazo la variación de la carga,
cambiando consecuentemente la configuración de los flujos de potencia a lo largo
de la red.

Las líneas de transmisión tienen límites de cargabilidad por lo tanto debemos de
tener cuidado en el momento de operar estos enlaces cerca de los sus límites
térmicos o de estabilidad.
Se deben de mantener los voltajes de algunos buses dentro del sistema en rangos
muy reducidos, esto se puede lograr al tener localizadas fuentes de reactivos de la
red.


UV
Al analizar solo una pequeña área de un gran sistema de potencia (subsistema) es
necesario supervisar adecuadamente los elementos que sirven como enlace entre
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
67
sectores de gran sistema interconectado para controlar los niveles de intercambio de
energía entre las aéreas.


Al ocurrir una falla se deben de prever los sectores que posiblemente se podrían
aislar como resultado de la intervención de protecciones, esto se puede minimizar
por medio de una adecuada estrategia de flujos de prefalla (aumentar límites de
estabilidad).
Este tipo de análisis de flujos de potencia son vitales para determinar los estados de
operación, en la planeación de nuevos sistemas o para el crecimiento y
fortalecimiento de los ya existentes.
Solución de flujos de potencia
El nombre del método se definirá solo en función de cómo éste resuelva las
ecuaciones que surjan del análisis de flujos de potencia, ya que estas ecuaciones las arroja
un solo método en común; es el más usado en estos análisis y es en bases a nodos o también
llamado método de admitancia nodal; este método está basado en el empleo de
ecuaciones de nodo para corriente y de la potencia compleja S para un nodo. El proceso de
solución es iterativo y normalmente no se requiere de inversión de matrices.
Para el análisis de flujos de carga se deben de determinar tres tipos de buses:
Bus compensador: es necesario seleccionar este bus debido a que sirve para
proveer la potencia real y reactiva para alimentar las pérdidas y el balance reactivo
de transmisión, debido que se desconocen hasta que se obtiene la solución final. En
este bus se especifican la magnitud de voltaje y el ángulo de fase.
Bus de generación: En este tipo de buses se especifican la magnitud del voltaje y
potencia real, ya que estas cantidades son físicamente controlables.
Bus de carga: En estos se especifican las potencias real y reactiva, el bus en el cual
hay una demanda de energía
En necesario señalar que no importando el bus éstos tienen cuatro cantidades
asociadas a ellos que son: potencia activa, potencia reactiva, magnitud de voltaje y ángulo
de fase, conociendo dos de ellas se pueden conocer las otras dos.
De las ecuaciones utilizadas en el análisis de flujos de potencia se verá la
procedencia de éstas mediante el siguiente análisis:
Como se mencionó, las ecuaciones provienen del método de admitancia nodal;
utilizando 𝑌𝐵𝑈𝑆 las ecuaciones nodales para la red del sistema de potencia se pueden
escribir como sigue
𝐼 = 𝑌𝐵𝑈𝑆 𝑉
UV
(3.34)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
68
Donde 𝐼 es el vector N de las corrientes de las fuentes inyectadas en cada bus y V es
el vector N de los voltajes de bus.
La potencia compleja entregada al bus k es
𝑆𝑘 = 𝑉𝑘 𝐼𝑘∗
(3.35)
𝑃𝑘 + 𝑗𝑄𝑘 = 𝑉𝑘 𝐼𝑘∗
(3.36)
Donde 𝐼𝑘 es la corriente del bus k que se obtiene de la relación matricial
𝐼𝐵𝑈𝑆 = 𝑌𝐵𝑈𝑆 𝑉𝐵𝑈𝑆
𝐼1
𝑌11 𝑌12
𝐼2
𝑌
𝑌22
= 21
𝐼𝑘
𝑌𝑘1 𝑌𝑘2
𝐼𝑁
𝑌𝑁1 𝑌𝑁2
𝑌1𝑘 𝑌1𝑁
𝑌2𝑘 𝑌2𝑁
𝑌𝑘𝑘 𝑌𝑘𝑁
𝑌𝑁𝑘 𝑌𝑁𝑁
𝑉1
𝑉2
𝑉𝑘
𝑉𝑁
Desarrollando para la fila k
𝐼𝑘 = 𝑌𝑘1 𝑉1 + 𝑌𝑘1 𝑉1 + … + 𝑌𝑘𝑘 𝑉𝑘 + … + 𝑌𝑘𝑁 𝑉𝑁
Simplificando lo anterior
𝐼𝑘 =
𝑁
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛
(3.37)
Esto para j ≠ k
Sustituyendo la ecuación (3.37) en la ecuación (3.36)
𝑃𝑘 + 𝑗𝑄𝑘 = 𝑉𝑘∗
Con la siguiente notación
𝑁
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛
𝑉𝑛 = 𝑉𝑛 𝑒 𝑗 𝛿 𝑛
(3.38)
(3.39)
𝑌𝑘𝑛 = 𝑌𝑘𝑛 𝑒 𝑗 𝜃 𝑘𝑛 = 𝑌𝑘𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑛 + 𝑗𝑌𝑘𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑘𝑛 = 𝐺𝑘𝑛 + 𝑗𝐵𝑘𝑛
(3.40)
Sustituyendo estos valores, la ecuación (3.36) queda de la siguiente forma
𝑃𝑘 + 𝑗𝑄𝑘 = 𝑉𝑘∗
𝑁
𝑗(𝛿𝑘 −𝛿𝑛 −𝜃𝑘𝑛 )
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 𝑒
(3.41)
Tomando las artes real e imaginaria de la ecuación anterior
𝑃𝑘 = 𝑉𝑘
𝑄𝑘 = 𝑉𝑘
UV
𝑁
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 cos(𝛿𝑘 −𝛿𝑛
𝑁
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 sen(𝛿𝑘 −𝛿𝑛
− 𝜃𝑘𝑛 )
− 𝜃𝑘𝑛 )
(3.42)
𝑘, 𝑛 = 1,2, … , 𝑁
(3.43)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
69
3.2.1 SOLUCION DE FLUJOS DE POTENCIA MEDIANTE EL
METODO DE GAUSS-SEIDEL
Después de tener las ecuaciones resultantes del método en base al análisis nodal
nodos (admitancia nodal 𝑌𝐵𝑈𝑆 ) se verá la resolución de éstas por medio de iteraciones,
básicamente los siguientes pasos son los que se deben de seguir para realizarlo de forma
correcta.
1) Formar los parámetros de las ecuaciones de voltaje en cada bus.
2) Fijar el máximo cambio de tensión y probar para el nodo compensador.
3) Resolver para el nodo k con la ecuación correspondiente.
4) Calcular el error entre el voltaje calculado y el valor que se estableció
previamente, y probar para el máximo cambio de voltaje. Si se desea se puede
aplicar el factor de aceleración.
5) Con el último valor de voltaje para el nodo k calcular los flujos en las líneas.
Supóngase un sistema de cuatro buses, como bus compensador se toma al 1y los cálculos
empezaran con el bus 2. Si 𝑃2 y 𝑄2 son las potencias real y reactiva que entran a la red en el
bus 2 se obtiene de la ecuación (3.38) con k = 2; j = 1 y N = 4
𝑃2 −𝑗 𝑄2
𝑉2∗
= 𝑌21 𝑉1 + 𝑌22 𝑉2 + 𝑌23 𝑉3 + 𝑌24 𝑉4
(3.44)
Al despejar el valor de 𝑉2 se tiene
1
𝑃2 −𝑗 𝑄2
22
𝑉2∗
𝑉2 = 𝑌
− 𝑌21 𝑉1 + 𝑌23 𝑉3 + 𝑌24 𝑉4
(3.45)
La misma forma tienen las ecuaciones para los voltajes de los buses 3 y 4. Para
comenzar propiamente con el método de Gauss-Seidel, las iteraciones comenzarán con el
(1)
(1)
cálculo de 𝑉2 . Para el cálculo de 𝑉2 los valores del lado derecho de la ecuación son
especificaciones fijas o estimaciones iniciales.
(1)
𝑉2
1
=𝑌
22
𝑃2 −𝑗 𝑄2
(0)∗
𝑉2
(0)
− 𝑌21 𝑉1 + 𝑌23 𝑉3
(0)
+ 𝑌24 𝑉4
(3.46)
(1)
El valor de 𝑉2 y 𝑉2 no serán iguales, esto se logrará con un buen grado de
exactitud mediante algunas iteraciones más.
(1)
Teniendo el valor de 𝑉2 , se sustituye en la ecuación para el bus 3
(1)
𝑉3
UV
1
=𝑌
33
𝑃3 −𝑗 𝑄3
(0)∗
𝑉3
(1)
− 𝑌31 𝑉1 + 𝑌32 𝑉2
(0)
+ 𝑌34 𝑉4
(3.47)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
70
(1)
Y a su vez, el valor calculado de 𝑉3
voltaje en el bus 4
(1)
𝑉4
1
=𝑌
44
𝑃4 −𝑗 𝑄4
(0)∗
𝑉4
se sustituirá en la ecuación para el cálculo del
(1)
− 𝑌41 𝑉1 + 𝑌42 𝑉2
(1)
+ 𝑌43 𝑉3
(3.48)
Este es el seguimiento que se mantendrá hasta que la diferencia entre los valores
calculados y los reales sean aceptables. Entonces la forma general del voltaje calculado en
cualquier bus k de un sistema de N buses será:
𝑉𝑘𝑖 =
1
𝑌𝑘𝑘
𝑃𝑘 −𝑗 𝑄𝑘
(𝑖−1)∗
𝑉𝑘
(𝑖)
𝑘−1
𝑗 =1 𝑌𝑘𝑗 𝑉𝑗
−
−
(𝑖−1)
𝑁
𝑗 =𝑘+1 𝑌𝑘𝑗 𝑉𝑗
(3.49)
En donde t es el número de la iteración en turno.
3.2.1.1 Factor de aceleración
Se puede reducir el número de iteraciones requeridas si la corrección en el voltaje
de cada bus se multiplica por alguna constante que incremente la cantidad de corrección
para que el voltaje sea más cercano al valor al que se está aproximando, a este valor se le
(1)
conoce como factor de aceleración. Véase la siguiente ecuación en donde 𝑉2,𝑎𝑐 es el valor
acelerado de la primera iteración de 𝑉2 .
(1)
(0)
(1)
(0)
(0)
𝑉2,𝑎𝑐 = 1 − 𝑎 𝑉2 + 𝑎𝑉2 = 𝑉2 + 𝑎 𝑉2 1 − 𝑉2
(3.50)
La ecuación general para el valor acelerado del bus k durante la iteración i está dada
por:
(𝑖)
(𝑖−1)
𝑉𝑘,𝑎𝑐 = 1 − 𝑎 𝑉𝑘,𝑎𝑐
(𝑖)
(𝑖−1)
+ 𝑎𝑉𝑘,𝑎𝑐 = 𝑉𝑘,𝑎𝑐
(𝑖−1)
𝑖
+ 𝑎 𝑉𝑘,𝑎𝑐
− 𝑉𝑘,𝑎𝑐
(3.51)
3.2.1.2 Buses de voltaje controlado (Bus generador)
En este tipo de bus las componentes real e imaginaria del voltaje para cada iteración
se encuentran calculando primeramente un valor para la potencia reactiva. De la ecuación
(3.38).
𝑄𝑘 = −𝐼𝑚 𝑉𝑘∗ 𝑁
(3.52)
𝑗 =1 𝑌𝑘𝑗 𝑉𝑗
Que tiene la expresión algorítmica equivalente
(𝑖−1)∗
𝑄𝑘𝑖 = −𝐼𝑚 𝑉𝑘
𝑘−1
𝑗 =1 𝑌𝑘𝑗
𝑉𝑗𝑖∗ +
(𝑖−1)∗
𝑁
𝑗 =𝑘 𝑌𝑘𝑗 𝑉𝑗
(3.53)
En donde Im quiere decir la “parte imaginaria de” y los superíndices indican la
iteración apropiada. La potencia reactiva 𝑄𝑘𝑖 se evalúa por medio de la ecuación (3.53) para
los mejores valores previos de voltaje en los buses, y éste valor se sustituye en la ecuación
(3.49) para encontrar un nuevo valor de 𝑉𝑘𝑖 . Entonces los componentes de la nueva 𝑉𝑘𝑖 se
multiplican por la relación de la magnitud constante especificada, 𝑉𝑘 con la magnitud de
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
71
𝑉𝑘𝑖 encontrada por medio de la ecuación (3.49). El resultado es el voltaje complejo
corregido de la magnitud especificada.
3.2.2 SOLUCION DE FLUJOS DE POTENCIA MEDIANTE EL
METODO DE NEWTON-RAPHSON
Las ecuaciones (3.42) y (3.43) son de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), para resolver las
ecuaciones provenientes de un análisis nodal, se definirán primero los vectores x, y y f.
𝑃2
⋮
𝑃𝑁
𝑃
𝑦=
=
𝑄
𝑄2
⋮
𝑄𝑁
𝛿2
⋮
𝛿𝑁
𝛿
𝑥=
=
𝑉2
𝑉
⋮
𝑉𝑁
𝑃2 (𝑥)
⋮
𝑃(𝑥)
𝑃𝑁 (𝑥)
𝑓(𝑥) =
=
𝑄(𝑥)
𝑄2 (𝑥)
⋮
𝑄𝑁 (𝑥)
(3.54)
Donde
V, P y Q: están en por unidad
𝛿: están e radianes
Se omiten los datos del bus compensador 𝛿1 y 𝑉1 porque ya se conocen.
𝑦𝑘 = 𝑃𝑘 = 𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑉𝑘
𝑁
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 cos(𝛿𝑘 −𝛿𝑛
𝑦𝑘+𝑁 = 𝑄𝑘 = 𝑄𝑘 𝑥 = 𝑉𝑘 𝑁
𝑛=1 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 sen 𝛿𝑘 −𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛
La matriz jacobiana de 3.30 tiene la forma
𝐽=
UV
𝐽1
𝐽2
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
⋯
𝜕𝛿𝑁
𝜕𝛿2
⋮
𝜕𝑃𝑁
𝜕𝑃𝑁
⋯
𝜕𝛿2
𝜕𝛿𝑁
𝜕𝑃2
𝜕𝑃2
⋯
𝜕𝑉𝑁
𝜕𝑉2
⋮
𝜕𝑃𝑁
𝜕𝑃𝑁
⋯
𝜕𝑉2
𝜕𝑉𝑁
𝜕𝑄2
𝜕𝑄2
⋯
𝜕𝛿2
𝜕𝛿𝑁
⋮
𝜕𝑄𝑁
… 𝜕𝑄𝑁
𝜕𝛿2
𝜕𝛿𝑁
𝐽3
𝜕𝑄2
𝜕𝑄2
⋯
𝜕𝑉2
𝜕𝑉𝑁
⋮
𝜕𝑄𝑁
… 𝜕𝑄𝑁
𝜕𝑉2
𝜕𝑉𝑁
𝐽4
− 𝜃𝑘𝑛 )
(3.55)
𝑘, 𝑛 = 1,2, … , 𝑁 (3.56)
(3.57)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
72
La ecuación anterior se divide en cuatro bloques. Las derivadas parciales de cada
bloque, obtenidas de las ecuaciones (3.55) y (3.56) se dan en la tabla 3.1
Tabla 3.1 Elementos de la matriz jacobiana
𝑛≠𝑘
𝐽1𝑘𝑛 =
𝜕𝑃𝑘
= 𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 sen(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝜕𝛿𝑛
𝐽2𝑘𝑛 =
𝜕𝑃𝑘
= 𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑛 cos(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝜕𝑉𝑛
𝐽3𝑘𝑛 =
𝜕𝑄𝑘
= −𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 cos(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝜕𝛿𝑛
𝐽4𝑘𝑛 =
𝜕𝑄𝑘
= 𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑛 sen(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝜕𝑉𝑛
𝐽1𝑘𝑘
𝑛=𝑘
𝐽2𝑘𝑘
𝜕𝑃𝑘
=
= −𝑉𝑘
𝜕𝛿𝑘
𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 sen(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝑛=1
𝑛≠𝑘
𝜕𝑃𝑘
=
= 𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑘 cos 𝜃𝑘𝑘 +
𝜕𝑉𝑘
𝐽3𝑘𝑘 =
𝐽4𝑘𝑘
𝑁
𝜕𝑄𝑘
= 𝑉𝑘
𝜕𝛿𝑘
𝑁
𝑁
𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 cos(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝑛 =1
𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 cos(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝑛=1
𝑛≠𝑘
𝜕𝑄𝑘
=
= −𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑘 sen 𝜃𝑘𝑘 +
𝜕𝑉𝑘
𝑁
𝑌𝑘𝑛 𝑉𝑛 sen(𝛿𝑘 − 𝛿𝑛 − 𝜃𝑘𝑛 )
𝑛=1
𝑘, 𝑛 = 12,3, … , 𝑁
Se dictan a continuación los cuatro pasos del método de Newton-Raphson al
problema de flujos de potencia.
Paso 1
Utilice las ecuaciones (3.55) y (3.56) para calcular
∆𝑦 𝑖 =
UV
∆𝑃(𝑖)
𝑃 − 𝑃 𝑥(𝑖)
=
∆𝑄(𝑖)
𝑄 − 𝑄 𝑥(𝑖)
(3.58)
Paso 2
Utilizar las ecuaciones de la tabla 3.1 para calcular la matriz
Jacobiana.
Paso 3
Por medio de la eliminación de Gauss y la sustitución hacia atrás
resuelva.
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
𝐽1(𝑖)
𝐽3(𝑖)
Paso 4
73
𝐽2(𝑖)
∆𝛿(𝑖)
∆𝑃(𝑖)
=
∆𝑉(𝑖)
∆𝑄(𝑖)
𝐽4(𝑖)
(3.59)
Calcular
𝛿(𝑖)
∆𝛿(𝑖)
𝛿 𝑖+1
=
+
(3.60)
𝑉(𝑖)
∆𝑉(𝑖)
𝑉 𝑖+1
Empezando con 𝑥(0), el procedimiento continua hasta que se obtiene la
convergencia o hasta que el número de iteración supera un máximo especificado.
𝑥 𝑖+1 =
3.2.3 CONTROL DE FLUJOS DE POTENCIA
Para poder controlar los flujos de potencia de algún sistema se pueden utilizar los
siguientes medios



Control del primo-motor y de excitación de generadores.
Conexión de los bancos de capacitores en derivación, reactores en derivación y
sistemas estáticos en VARs.
Control de transformadores de regulación y con cambiador de derivación.
3.2.3.1 Control del primo-motor y de excitación de generadores.
Un incremento en la potencia del primo-motor da como resultado un aumento en la
potencia real (P) en el bus de voltaje constante al que está conectado el generador. Para
entender mejor esto véase el siguiente análisis.
Considérese la representación del generador con su equivalente de Thévenin de la
figura 3.1. En donde 𝑉𝑡 es el voltaje en las terminales del generador, 𝐸𝑔 es el voltaje de
excitación, 𝛿 es el ángulo de la potencia y 𝑗𝑋𝑔 es la reactancia síncrona de secuencia
positiva.
𝑗𝑋𝑔
+
𝑖
+
𝑉𝑡 = 𝑉𝑡 ∠0°
𝐸𝑔 = 𝐸𝑔 ∠𝛿
−
−
Figura 3.1 Generador equivalente de Thévenin
Vemos que la corriente del generador es
𝑖=
UV
𝐸𝑔 e jδ −𝑉𝑡
𝑗𝑋 g
(3.61)
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
74
La potencia compleja entregada por el generador es
𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑉𝑡 𝐼 ∗ = 𝑉𝑡
𝐸𝑔 e −jδ −𝑉𝑡
−𝑗𝑋 g
=
𝑉𝑡 𝐸𝑔 cos δ+sen δ −𝑗𝑉𝑡 2
𝑋g
Separando las potencias real e imaginaria
𝑉𝑡 𝐸𝑔
𝑃 = 𝑅𝑒 𝑆 = 𝑋 𝑠𝑒𝑛 𝛿
(3.62)
(3.63)
g
𝑉
𝑄 = 𝐼𝑚 𝑆 = 𝑋𝑡 𝐸𝑔 cosδ − 𝑉t
(3.64)
g
La ecuación (3.63) justifica lo antes dicho, se ve que a medida que el ángulo de
potencia se incrementa la potencia real P aumenta. Cuando el primo-motor incrementa la
entrada de potencia al generador y éste mantiene su voltaje de excitación constante, se
incrementará del rotor. También hay una disminución en la salida de potencia reactiva Q,
que viene dada por la ecuación (3.64), peor cuando 𝛿 < 15° el incremento de P es mucho
mayor que la disminución de Q. La ecuación (3.64) muestra que la salida de potencia
reactiva se incrementa cuando aumenta el voltaje de excitación 𝐸𝑔 . Cuando aumenta la
salida excitatriz del generador mientras se mantiene constante la potencia del primo-motor,
la corriente del rotor crece. A medida que aumenta la corriente del rotor el voltaje de
excitación 𝐸𝑔 también aumenta, lo cual da como resultado un aumento en la salida de
potencia reactiva Q.
3.2.3.2 Conexión de los bancos de capacitores en derivación, reactores en derivación y
sistemas estáticos en Vars.
En la figura 3.2 se ilustra el efecto de añadir un banco de capacitores en derivación a
un bus del sistema de potencia.
𝑗𝑋𝑇𝐻
+
𝐸𝑇𝑕
−
𝑅𝑇𝐻
SW
+
𝑉𝑡
𝐼𝑐
C
−
Figura 3.2 Circuito equivalente con un banco de capacitores
El sistema se modela mediante su equivalente de Thévenin antes de que se cierre el
interruptor SW el voltaje de bus es igual a 𝐸𝑇𝐻 . Después de que se conecta el banco,
cuando el interruptor SW se cierra, la corriente del capacitor 𝐼𝑐 adelanta 90º al voltaje del
bus 𝑉𝑡 . El diagrama fasorial (figura 3.3) muestra que 𝑉𝑡 > 𝐸𝑇𝐻 cuando se cierra SW.
UV
FIME
UNIDAD 3 Cálculo de flujos de carga
𝐼𝑐
75
𝑗𝑋𝑇𝑕 𝐼𝑐
𝐸𝑇𝑕
𝑅𝑇𝑕 𝐼𝑐
𝑉𝑡
Figura 3.3 Diagrama fasorial cuando SW se cierra
Añadir un banco de capacitores en derivación a un bus de carga equivale a agregar
una carga reactiva negativa, ya que un capacitor absorbe potencia reactiva negativa.
3.2.3.3 Control de transformadores de regulación y con cambiador de derivación.
Éstos se emplean para controlar los voltajes de bus así como los flujos de potencia
reactiva en las líneas a las que están conectados. También se pueden controlar los ángulos
de voltaje de bus así como los flujos de potencia real por medio de transformadores
reguladores del ángulo de fase.
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
76
UNIDAD 4.
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE
ESTABILIDAD
DE
SISTEMAS
ELÉCTRICOS DE POTENCIA.
4.1 CONTROLES DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA
El objetivo que cumplen los controles de los sistemas de potencia es mantener la
estabilidad cuando ocurre algún disturbio en dichos sistemas, se entiende que un sistema es
estable cuando todas sus máquinas permanecen en sincronismo o en paso, por lo tanto se
deduce que la inestabilidad será lo contrario, es decir, el sistema es inestable cuando alguna
o algunas de las máquinas salen de sincronismo o de paso.
El concepto de estabilidad es aplicable a sistemas eléctricos de corriente alterna y se
pueden dividir en tres casos:



Estabilidad en estado transitorio (periodo de tiempo de 0 a 1 s)
Estabilidad en estado dinámico (periodo de tiempo de 1 a 300 s)
Estabilidad en estado permanente (periodo de tiempo mayor a 300 s)
Los controles automáticos que se tratan a continuación se hacen en condiciones
normales de operación.
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
77
4.1.1 Control de voltaje de generación
En los sistemas de potencia los generadores están sujetos a cambios bruscos de la
carga, ya sea que aumente o disminuya, como también a condiciones transitorias; para que
los generadores operen de manera óptima y recuperen su estabilidad dependerán
principalmente de reguladores automáticos de voltaje que proporcionarán una señal hacia la
fuente de excitación para poder ajustar el voltaje en las terminales del generador.
Una variación de la carga influirá directamente en el voltaje de las terminales del
generador, al ocurrir esto se deben tomar las medidas necesarias para ajustar la excitación y
así regresar al voltaje terminal deseado. La figura 4.1 muestra una malla de control con
retroalimentación.
GENERADOR
Vt
CONTROL
Efd
AUXILIAR
REGULADOR
DE
VOLTAJE
EXCITADOR
Figura 4.1 Control de voltaje terminal
La organización IEEE desarrolló diagramas de flujo simplificados de varios tipos de
excitadores de sistemas de control de voltaje de generador, a continuación, en la figura 4.2,
se muestra uno de estos diagramas de flujo.
𝑉𝑟𝑒𝑓 +
−
𝑉𝑡
∆𝑉
Regulador
de voltaje
1
𝑇𝑟 𝑠 + 1
𝑉𝑟 +
−
Excitador
𝐾𝑒
𝑇𝑒 𝑠 + 1
𝐸𝑓𝑑
Generador
𝑉𝑡
Compensador
de estabilización
𝑘𝑐 𝑠
𝑇𝑟 𝑠 + 1
Figura 4.2 Diagramas de bloques simplificado para un controlador de voltaje de generación
Como se observa en la figura 4.1 el voltaje de campo 𝐸𝑓𝑑 que es la salida del
excitador y que está representado por 𝐾𝑒 /(𝑇𝑒 𝑠 + 1), se aplica al devanado de campo del
generador y su función es ajustar el voltaje en las terminales de la máquina síncrona. La
señal de entrada del excitador proviene de la salida del regulador de voltaje 𝑉𝑟 que está
comparada con el voltaje 𝐸𝑓𝑑 que pasa por el compensador de estabilización, éste mejora la
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
78
respuesta dinámica del excitador al reducir el sobrepaso; el voltaje 𝑉𝑡 se compara con el
voltaje de referencia 𝑉𝑟𝑒𝑓 , a esta diferencia se le conoce como señal de error del voltaje ∆𝑉
y que es la señal de entrada para el regulador de voltaje.
Para que un regulador de voltaje se considere eficiente debe cubrir con, por lo
menos, las siguientes características:



Regulación.
Respuesta a circuito abierto.
Estabilidad en estado permanente y respuesta transitoria.
Es importante hacer notar que, debido a los diferentes componentes que intervienen
en un sistema de control de voltaje de generación, la respuesta de éstos no será instantánea,
por ello habrá una diferencia entre la señal que indica el ajuste y el voltaje deseado ya
ajustado.
4.1.2 Control del gobernador de la turbina
La frecuencia del generador es una señal de control aproximada para gobernar la
potencia mecánica de la turbina, a continuación se justifica dicha afirmación.
La ecuación que describe el movimiento del rotor de una máquina síncrona es la
siguiente:
𝐽 ∝= 𝑇𝑎 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑒
(4.1)
En donde ∝ es la aceleración angular y también puede expresarse como la segunda
𝑑2𝜃
derivada del ángulo de posición angular: 𝑑𝑡 2𝑚 ; J es el momento de inercia; el par de
aceleración total 𝑇𝑎 es igual al producto del momento de inercia por la aceleración angular
o también es el desbalance entre el par mecánico (𝑇𝑚 ) y el eléctrico 𝑇𝑒 ; el par eléctrico
𝑇𝑒 corresponde a la potencia neta de entrehierro en la máquina, toma en cuenta la
potencia de salida total del generador más la perdidas 𝐼 2 𝑅 en el devanado de la armadura;
el par 𝑇𝑚 es el par mecánico o de la flecha proporcionado por el primomotor; se considera
que el para mecánico 𝑇𝑚 y el eléctrico 𝑇𝑒 son positivos para un generador sincrónico.
Ahora, si la carga del sistema se incrementara el par 𝑇𝑒 del turbogenerador
aumentaría para suministrar el incremento de carga mientras que 𝑇𝑚 de la turbina
permanece constante. De tal forma que el turbogenerador desacelera y la velocidad del
rotor disminuye a medida que se libera la energía cinética almacenadas en las unidades
turbogeneradoras debido a sus masas giratorias, para suministrar el incremento de carga y,
como para las máquinas síncronas la velocidad del rotor es proporcional a la frecuencia
eléctrica 𝑓 del generador, es evidente que tiene una relación directa para controlar el
gobernador de la turbina.
La relación de frecuencia a potencia de régimen permanente para el control del
gobernador de la turbina es:
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
1
∆𝑝𝑚 = ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑅 ∆𝑓
79
(4.2)
En donde
∆𝑝𝑚 :
∆𝑝𝑟𝑒𝑓 :
𝑅:
∆𝑓:
Es el cambio en la salida de potencia mecánica de la turbina.
Es el cambio en un ajuste de potencia de referencia.
Constante de regulación (valor estándar de R = 0.05 p.u.)
Es el cambio de frecuencia.
Cuando ocurre un cambio de carga eléctrica, el rotor del turbogenerador acelera o
desacelera y la frecuencia experimenta una perturbación transitoria. En condiciones de
operación normales, la aceleración del rotor se vuelve cero en algún momento y la
frecuencia alcanza un nuevo régimen permanente.
La gráfica de la ecuación (4.2) se muestra en la figura 4.3.
Ajuste ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 para dar
f=1.0 p.u. a 𝑝𝑚 =1.0 p.u.
1.04
∆𝑓
1.03
∆𝑃𝑚
1.02
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −𝑅 = ∆𝑝 = −0.04 𝑝. 𝑢.
𝑚
∆𝑓
1.01
1.00
0.6
0.2
0.4
0.8
1.0
Salida de potencia
mecánica de la turbina (p.u.)
0.99
0.98
Ajuste ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 para dar
f=1.0 p.u. a 𝑝𝑚 =0.5 p.u.
o.97
Figura 4.3 Relación de frecuencia-potencia de régimen permanente para un gobernador de turbina
Como se muestra en la gráfica la constante R es igual al negativo de la pendiente de
las curvas de ∆𝑓 contra ∆𝑝𝑚 las unidades de R son Hz/MW cuando ∆𝑓 se expresa en Hz y
∆𝑝𝑚 en MW; si se expresan las variables anteriores en por unidad R se expresará de igual
forma.
Para el caso anterior la ecuación nos serviría para calcular la relación de frecuenciapotencia de régimen permanente para un solo gobernador de turbina, para calcular esta
magnitud en un sistema en donde se encuentran varias unidades turbogeneradoras
interconectadas, la expresión quedaría como sigue
∆𝑝𝑚 = ∆𝑝𝑚1 + ∆𝑝𝑚2 + ∆𝑝𝑚3 + ⋯
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
80
De la ecuación (4.2) tenemos que:
1
1
+ + ⋯ ∆𝑓
𝑅1 𝑅1
∆𝑝𝑚 = ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 1 + ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 2 + ⋯ −
Y como la ∆𝑓 es la misma para cada unidad
∆𝑝𝑚 = ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 −
1
𝑅1
1
+ 𝑅 + ⋯ ∆𝑓
1
(4.3)
Definiendo a 𝛽 como la característica de respuesta de frecuencia de área y se
expresa
𝛽=
1
𝑅1
1
+𝑅 +⋯
1
(4.4)
La ecuación (4.3) finalmente queda de la siguiente forma:
∆𝑝𝑚 = ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝛽∆𝑓
(4.5)
La ecuación (4.5) será la relación de frecuencia a potencia de régimen permanente
del área. Cuando todas las unidades turbogeneradoras tienen el mismo valor de R por
unidad con base en sus propias capacidades nominales, entonces cada unidad comparte los
cambios de potencia total en proporción a sus capacidades.
4.1.3 Control de la carga-frecuencia (CCF)
Los principales objetivos que perseguirá un estudio de control de carga-frecuencia
son dos:


Después de un cambio de carga, cada área debe ayudar a hacer cero el error de
frecuencia de régimen permanente ∆𝑓.
Cada área debe mantener en su valor programado el flujo de potencia neto de líneas
de enlace que salen del área, a fin de que ésta absorba sus propios cambios de carga.
Existe la presencia de un error de frecuencia de régimen permanente ∆𝑓 cuando el
cambio en el ajuste de referencia del gobernador de la turbina ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 es cero; el método que
a continuación se expone cumple con los dos objetivos.
Se calcula el error de control de área (ECA) de la siguiente forma:
𝐸𝐶𝐴 = 𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 − 𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 ,𝑝𝑟𝑜 𝑔 + 𝑩𝑓 𝑓 − 60
= ∆𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 + 𝑩𝑓 ∆𝑓
UV
(4.6)
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
81
En donde
∆𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 : Desviación del flujo de potencia neto que salen del área.
𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 ,𝑝𝑟𝑜𝑔 : Valor programado del flujo de potencia neto que salen
del área.
𝑩𝑓 : Constante de sesgo (bias) de la frecuencia
∆𝑓: Desviación de la frecuencia de área respecto de su valor
programado (60Hz)
El cambio en el lenguaje de potencia de referencia ∆𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖 de cada gobernador de
turbina que opera bajo control de carga-frecuencia es proporcional a la integral del error de
cada área.
∆𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖 = −𝐾𝑖
𝐸𝐶𝐴 𝑑𝑡
(4.7)
La constante 𝐾𝑖 es la ganancia del integrador. El signo menos indica que si la
frecuencia de área o el flujo de potencia neto de líneas de enlace que salen del área es bajo,
es decir, si el ECA es negativo, entonces el área debe incrementar su generación.
En base al valor obtenido de la ecuación (4.6) para el ECA se verá el porcentaje que
proporcionará cada unidad turbogeneradora. Las señales de aumentar o disminuir a los
turbogeneradores se hacen a intervalos de tiempo discretos de dos o más segundos a fin de
ajustar las posiciones de ajuste de la potencia de referencia. A medida que se acumulan las
señales, se logra la acción integral de la ecuación.
Cuando ocurre un cambio de carga en cualquier área, se puede obtener una nueva
operación de régimen permanente solo después que la salida de potencia de cada
turbogenerador interconectado alcanza un valor constante. Esto ocurre cuando todos los
ajustes de potencia de referencia se ubican en cero, esto es solo cuando ∆𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 y ∆𝑓 son
cero. Por lo tanto, en régimen permanente se satisfacen los dos objetivos principales del
control de carga-frecuencia.
4.1.4 Despacho económico
Un sistema interconectado, para lograr un análisis de forma fácil y práctica, se suele
dividir en áreas, y de éstas, tener en cuenta las unidades generadoras. El principal objetivo
del despacho económico es elegir la salida de la potencia real de cada unidad generadora
controlada en un área para satisfacer una carga determinada y así minimizar los costos de
operación totales de dicha área.
Para la conformación del despacho económico solo se tendrán en cuenta los costos
que tienen relación directa con la potencia de la unidad determinada, y por lo tanto los que
pueden ser controlados con una estrategia de operación. Por ejemplo: los costos de la
instalación de la unidad o el de mantenimiento no se toma en cuenta, suelen ser costos fijos
independientes de la producción de la potencia de la unidad generadora.
En la figura 4.4 se muestra el costo de operación 𝐶𝑖 de una unidad generadora de
combustible fósil contra su salida de potencia real 𝑃𝑖 . Como el costo de combustible guarda
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
82
estrecha relación con la salida de potencia será la parte principal del costo variable de
operación.
Figura 4.4 Costo de operación de la unidad contra la salida de
potencia real
Generalmente a 𝐶𝑖 se expresa en BTU/h y no tanto en $/h, debido a que para el
primero es una medida relativamente constante durante el tiempo de vida de la unidad y
para la segunda puede variar mes a mes o día a día. Para convertir los BTU/h en $/BTU se
multiplica la entrada en BTU/h de combustible por el costo del combustible $/BTU.
En la figura 4.5 se muestra el costo de operación incremental de la unidad 𝑑𝐶𝑖 /𝑑𝑃𝑖
contra la salida 𝑃𝑖 , que es la pendiente o derivada de la curva de 𝐶𝑖 contra 𝑃𝑖 de la figura
4.4. Cuando 𝐶𝑖 consiste solo en los costos de combustible entonces 𝑑𝐶𝑖 /𝑑𝑃𝑖 es la relación
de la entrada de energía incremental del combustible en BTU a la salida de energía
incremental en kWh, a esta relación se le da el nombre de gasto de calor incremental.
Referente a las gráficas a menudo para trabajo analítico, las curvas reales se aproximan a
líneas rectas.
La relación 𝑑𝐶𝑖 /𝑑𝑃𝑖 se puede convertir a $/kWh al multiplicar el gasto de calor
incremental en BTU/ kWh por el costo del combustible $/BTU.
Figura 4.5 Costo de operación incremental de la unidad contra la
salida de potencia real
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
83
Hasta ahora solo se ha contemplado el costo de operación de una sola unidad
generadora, como ya se dijo anteriormente en un área existen varias unidades generadoras
interconectadas para encontrar el costo variable total 𝐶𝑇 de operación de las unidades que
forman parte del estudio del despacho económico es igual a:
𝐶𝑇 =
𝑁
𝑖=𝑖
𝐶𝑖 = 𝐶1 (𝑃1 ) + 𝐶2 (𝑃2 ) + ⋯ + 𝐶𝑁 (𝑃𝑁 )
$/h
(4.8)
Aquí 𝐶𝑖 no solo toma en cuenta el costo de combustible si no todos los que tienen
relación con la potencia de salida.
PT es igual a la demanda de carga total en el área despreciando las pérdidas de
transmisión, o sea:
𝑃1 + 𝑃2 + ⋯ + 𝑃𝑁 = 𝑃T
(4.9)
PT se puede considerar constante debido a que los cambios en la demanda de la
carga son relativamente pequeños, esto se hace de 2 a 10 minutos.
Al contar con la información anterior ya se pueden determinar las salidas de las
unidades P1, P2,…, PN que minimicen el CT, que es el objetivo del despacho económico. Un
criterio para encontrar los valores de P1, P2,…, PN es que todas las unidades en despacho
económico deben operar a igual costo de operación incremental, el siguiente análisis
confirma lo dicho: una unidad está operando a un costo de operación incremental mayor
que el de las otras unidades. Si la salida de potencia de esa unidad se reduce y transfiere a
unidades con menores costos de operación incrementales, entonces disminuye el costo de
operación total CT. Al reducir la salida de la unidad con el mayor costo incremental da
como resultado una mayor reducción de costo que el incremento de costo de añadir la
misma reducción de salida a las unidades con menores costos incrementales. Por lo tanto
las unidades deben operar al mismo costo de operación incremental (criterio de despacho
económico). Entonces:
𝑑𝐶1
𝑑𝑃1
𝑑𝐶
𝑑𝐶
= 𝑑𝑃2 = ⋯ = 𝑑𝑃𝑁
2
(4.10)
𝑁
Existe otra forma, el valor mínimo de C T ocurre cuando la diferencial total dCT es
cero. Es decir
𝑑𝐶𝑇 =
𝜕𝐶𝑇
𝜕𝑃1
𝜕𝐶
𝜕𝐶
𝑑𝑃1 + 𝜕𝑃𝑇 𝑑𝑃2 + ⋯ + 𝜕𝑃 𝑇 𝑑𝑃𝑁 = 0
2
𝑁
(4.11)
Usando la ecuación (4.8), la ecuación (4.11) se convierte en
𝜕𝐶
𝜕𝐶
𝜕𝐶
𝑑𝐶𝑇 = 𝜕𝑃1 𝑑𝑃1 + 𝜕𝑃2 𝑑𝑃2 + ⋯ + 𝜕𝑃𝑁 𝑑𝑃𝑁 = 0
1
2
𝑁
(4.12)
Y suponiendo que PT es constante, la diferencial de la ecuación 4.9 es
𝑑𝑃1 + 𝑑𝑃2 + ⋯ + 𝑑𝑃𝑁 = 0
(4.13)
Multiplicando la ecuación (4.13) por 𝜆 y restando de la ecuación (4.12) tenemos
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
𝜕𝐶1
𝜕𝑃1
− 𝜆 𝑑𝑃1 +
𝜕𝐶2
𝜕𝑃2
− 𝜆 𝑑𝑃2 + ⋯ +
𝜕𝐶𝑁
𝜕𝑃𝑁
− 𝜆 𝑑𝑃𝑁 = 0
84
(4.14)
Se observa que cuando lo que está entre paréntesis es igual a cero se satisface la
ecuación anterior, entonces:
𝑑𝐶1
𝑑𝑃1
𝑑𝐶
𝑑𝐶
= 𝑑𝑃2 = ⋯ = 𝑑𝑃𝑁 = 𝜆
2
(4.15)
𝑁
4.1.4.1 Efecto de las restricciones y las pérdidas de transmisión
Cada unidad generadora tiene sus límites, ni debe operar por encima de su
capacidad como por debajo de algún valor mínimo.
𝑃𝑖𝑚 í𝑛 < 𝑃𝑖 < 𝑃𝑖𝑚 á𝑥
𝑖 = 1, 2, … , 𝑁
(4.16)
Otras restricciones pueden ser


Se pueden restringir algunas salidas de las unidades para que no se
sobrecarguen ciertas líneas de transmisión u otros equipos.
En condiciones climáticas adversas, se podría limitar la generación
en algunas unidades para reducir las emisiones.
Las medidas a tomar para agregar estas condiciones a la solución del despacho
económico son: si una o más unidades alcanzan sus valores límite, entonces éstas se
mantienen en sus límites y las demás operan a igual costo incremental de operación 𝜆. El
costo incremental de operación del área es igual a la 𝜆 común para las unidades que están
en sus límites.
En cuanto a las pérdidas por transmisión, las unidades pueden encontrarse lejos del
centro de carga, ocasionando que las pérdidas sean muy grandes y por lo tanto reducir su
salida mientras las demás unidades la aumenten.
Al introducir las pérdidas por transmisión en la solución del despacho económico la
ecuación (4.9) se convierte en
𝑃1 + 𝑃2 + ⋯ + 𝑃𝑁 − 𝑃𝐿 = 𝑃T
(4.17)
En donde 𝑃𝐿 son las pérdidas de transmisión totales en el área. Generalmente 𝑃𝐿 no
es constante, sino depende de las salidas de las unidades P1, P2,…, PN, por lo tanto la
ecuación (4.17) queda como sigue
𝑑𝑃1 + 𝑑𝑃2 + ⋯ + 𝑑𝑃𝑁 −
𝜕𝑃 𝐿
𝜕𝑃1
𝜕𝑃
𝜕𝑃
𝑑𝑃1 + 𝜕𝑃𝐿 𝑑𝑃2 + ⋯ + 𝜕𝑃 𝐿 𝑑𝑃𝑁 = 0
2
𝑁
(4.18)
Multiplicando la ecuación 4.18 por 𝜆 y restándola de 4.12 nos queda
𝑑𝐶1
𝜕𝑃𝐿
𝑑𝐶2
𝜕𝑃𝐿
+𝜆
− 𝜆 𝑑𝑃1 +
+𝜆
− 𝜆 𝑑𝑃2
𝑑𝑃1
𝜕𝑃1
𝑑𝑃2
𝜕𝑃1
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
+⋯+
𝑑𝐶𝑁
𝑑𝑃𝑁
𝜕𝑃
+ 𝜆 𝜕𝑃 𝐿 − 𝜆 𝑑𝑃𝑁 = 0
85
(4.19)
𝑁
La ecuación se satisface cuando cada término entre paréntesis es igual a cero, es
decir
𝑑𝐶1
𝜕𝑃𝐿
+𝜆
−𝜆 =0
𝑑𝑃1
𝜕𝑃1
O bien
𝜆=
𝑑𝐶𝑖
𝑑𝑃𝑖
𝐿𝑖 =
𝑑𝐶𝑖
𝑑𝑃𝑖
1
𝑖 = 1, 2, … , 𝑁
𝜕𝑃𝐿
𝜕𝑃𝑖
1−
(4.20)
Cada unidad que no está a un valor límite opera de tal forma que su costo de
operación incremental 𝑑𝐶𝑖 /𝑑𝑃𝑖 multiplicado por el factor de penalización 𝐿𝑖 es el mismo.
Cuando las pérdidas de transmisión son insignificantes, 𝜕𝑃𝐿 /𝜕𝑃𝑖 = 0, 𝐿𝑖 = 1 y la ecuación
(4.20) se reduce a (4.15)
4.1.4.2 Coordinación de despacho económico con control de cargafrecuencia (CCF)
Al tener de referencia los valores deseados, tanto los que arroja el despacho
económico como los resultados del CCF tienen relación directa con los gobernadores de las
turbinas, ya que por medio de éste se podrá influir directamente en la producción de
potencia de la unidad generadora. Véase la figura 4.5.
Despacho económico
para la unidad i
Rendimiento real
de la unidad
Programa
de frecuencia
𝑓𝑠
-
Sesgo
𝐵𝑓
+
+
ACE
𝐾1𝑖
Porción de
ECA para la
unidad
+
Frecuencia
de área
𝑓
𝑃𝑖
+
𝑃𝑖𝐷
-
-
+
Señal de
error
𝐾3𝑖
Señales de
aumento o
disminución
para el ajuste de
la potencia de
referencia del
Limites gobernador
de la turbina i
+
A otras unidades
controladas
𝑃𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 +
Flujo neto de línea
de enlace que sale
del área
𝐾2𝑖
𝑃𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 ,𝑝𝑟𝑜𝑔
+
𝑃𝑖𝐷 Potencia de despacho
económico total
𝑃𝑖 Generación
real total
Figura
UV 4.5 Control automático de generacion
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
86
En donde
𝐾1𝑖 = Proporcional del ECA compartido por la unidad i
𝐾2𝑖 = Proporción de la desviación de carga total compartida por la unidad i
𝐾3𝑖 = Ganancia de control para la unidad i
Primero que nada tenemos el error de frecuencia de régimen permanente ∆𝑓 y que a
su vez se compara con la ∆𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 pasando antes por 𝑩𝑓 , como se vió en el subtema (4.1.3)
y que da el error de control de área 𝐸𝐶𝐴 = ∆𝑝𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒 + 𝐵𝑓 ∆𝑓 y este a las distintas
unidades en una porción 𝐾1𝑖 de ECA. Después se tiene la potencia que se obtuvo del
despacho económico 𝑃𝑖𝐷 comparada con la potencia de generación total 𝑃𝑖 y se le
asigna a la unidad i una porción 𝐾2𝑖 (𝑃𝑖𝐷 − 𝑃𝑖 ). Lo mismo sucede con la desviación de la
generación real respecto de la generación deseada de la unidad i y 𝑃𝑖𝐷 − 𝑃𝑖 y se asigna a
la unidad i. Esta señal en donde intervienen tanto el CCF como los resultados arrojados por
el despacho económico se multiplica por la ganancia de control 𝐾3𝑖 determinará las señales
de aumento o disminución que se envían al gobernador de la turbina de cada unidad i
controlada; esta señal, en la práctica, se transmite a intervalos de entre 2 a 10 segundos. En
cambio, las salidas deseadas de potencia de las unidades generadoras determinadas a través
del despacho económico se actualizan a intervalos más lentos: de 2 a 10 minutos.
4.1.4.3 Otros tipos de unidades
En los análisis anteriores solo se tomaron en cuenta a las unidades que utilizan
combustible fósil, a continuación se da una breve información acerca de otras unidades en
donde varía la fuente de generación.
Unidad nuclear: para las unidades nucleares los costos fijos, ya sean de instalación o
mantenimiento, van a ser altos, sin embargo, como el costo combustible nuclear no es alto,
los costos referentes a la operación son bajos. Por lo tanto los ajustes de potencia de
referencia de los gobernadores de turbinas para las unidades nucleares se mantienen
constantes al rendimiento nominal. Esto hace que no participen tanto en el CCF como en la
conformación del despacho económico.
Unidad hidráulica de rebombeo: es una forma de almacenamiento de energía en carga
ligera y recortar picos de carga. Operarán como motores o generadores síncronos
dependiendo el nivel de carga; opera como motor síncrono durante las horas de carga baja
para bombear agua a una mayor altura; opera como generador síncrono en las horas de
carga máxima, el agua se libera y empiezan a suministrar energía. Para mejorar la
operación económica del área se logra cuando se bombea agua durante las horas de máxima
carga cuando 𝜆 es alta.
4.1.5 Flujos de potencia óptimos
En la actualidad se deben de coordinar el despacho económico con los flujos de
carga. Esta afirmación proviene de los inconvenientes que provoca basarse solo en los
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
87
resultados que arroja el despacho económico, debido a que se ignoran los límites que se
imponen cada vez con mayor frecuencia de los elementos que componen en lo que es la
etapa de transmisión. Cada línea de transmisión y transformador tienen un límite en la
cantidad de potencia que pueden transmitir lo cual impone límites como resultados de
consideraciones térmicas, de voltaje o estabilidad.
Por lo tanto, a los resultados que arroje el despacho económico se les debe
complementar con los límites que poseen todos los elementos que componen los sistemas
de transmisión.
4.2 ESTABILIDAD TRANSITORIA
Supóngase a un sistema en estado estable que sufre algún disturbio provocando la
pérdida de sincronismo en algunas de las máquinas o en todas, si al ocurrir ese disturbio se
logra una nueva condición de operación en estado estable adecuada se dice que el sistema
es transitoriamente estable. La estabilidad transitoria se relaciona con trastornos mayores,
como la pérdida de generación, operaciones de desconexión de líneas, fallas y cambios de
carga repentinos. Después de una perturbación, las frecuencias de la máquina síncrona
experimentan desviaciones transitorias de la frecuencia síncrona (60Hz) y cambian los
ángulos de potencia de la máquina.
El objetivo de estudiar la estabilidad transitoria es determinar si las máquinas
regresarán o no a una frecuencia síncrona con nuevos ángulos de potencia de estado
permanente. También son de gran interés los valores de los cambios en los flujos de
potencia y voltajes de nodo.
Para simplificar los estudios de estabilidad transitoria se recomiendan las
simplificaciones siguientes:

Se consideran solo sistemas trifásicos balanceados y de igual forma las
perturbaciones deben ser balanceadas. Solo se utilizan redes de secuencia positiva.

Las desviaciones de las frecuencias de la máquina a partir de la frecuencia síncrona
(60 Hz) son pequeñas y las corrientes de desajuste de CD y las armónicas se
ignoran. Por lo tanto, la red de líneas de transmisión, los transformadores y las
impedancias de carga son en esencia estáticos, en tanto que los voltajes, corrientes y
potencias se calculan a partir de ecuaciones de flujos de potencia algebraicas.
A continuaciones se presentan las herramientas necesarias para lograr un análisis de
un estudio de estabilidad transitoria.
4.2.1 Ecuación de oscilación
El movimiento del rotor, en una unidad generadora, está determinado por la
ecuación de rotación de Newton. Esta ecuación describe el par aplicado a un objeto y su
aceleración angular resultante y se expresa de la siguiente forma:
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
𝐽𝛼(𝑡) = 𝑇𝑎 (𝑡)
88
(4.21)
En donde 𝑇𝑎 es el par neto (Nm); 𝛼 es la aceleración angular resultante (rad/s2); el
termino J cumple la misma función que el de la masa en un objeto en movimiento lineal, y
se le conoce como momento de inercia. Sabiendo que el proceso dinámico de rotores se
origina del desbalance entre el par mecánico (Tm) y el eléctrico (Te), también en N/m,
entonces 𝑇𝑎 es el desbalance entre el par mecánico y el eléctrico de esta manera la ecuación
(4.21) se puede escribir como sigue
𝐽𝛼 𝑡 = 𝑇𝑚 (𝑡) − 𝑇𝑒 (𝑡) = 𝑇𝑎 𝑡
Pero a 𝛼 es igual a
𝛼𝑚 𝑡 =
𝑑𝜔 𝑚 𝑡
=
𝑑𝑡
𝑑 2 𝜃𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡 2
(4.22)
(4.23)
A su vez
𝜔𝑚 𝑡 =
𝑑𝜃𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡
(4.24)
En donde 𝜔𝑚 es la velocidad angular del rotor (rad/s); 𝜃𝑚 es la posición angular del
rotor con respecto a los ejes estacionarios en rad.
Generalmente la posición angular del rotor se mide con respecto a una referencia
girando a velocidad síncrona.
𝜃𝑚 𝑡 = 𝜔𝑚𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝛿𝑚 (𝑡)
(4.25)
Donde 𝜔𝑚𝑠𝑖𝑛 es la velocidad angular síncrona del rotor en rad/s; 𝛿𝑚 posición
angular del rotor con respecto a la referencia de rotación síncrona en rad.
Al utilizar las ecuaciones (4.23) y (4.25), la ecuación (4.22) queda de la forma
𝐽
𝑑 2 𝜃𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡 2
=𝐽
𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡 2
= 𝑇𝑚 (𝑡) − 𝑇𝑒 (𝑡) = 𝑇𝑎 𝑡
(4.26)
Por conveniencia se recomienda utilizar potencias en vez de pares así como por
unidad en lugar de unidades reales. Multiplicando la ecuación (4.26) por 𝜔𝑚 𝑡 y
dividiendo entre Snominal la capacidad nominal trifásica en volt-amperes del generador
𝐽 𝜔𝑚 𝑡
𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑑𝑡 2
=
𝜔 𝑚 𝑡 𝑇𝑚 (𝑡)−𝜔 𝑚 𝑡 𝑇𝑒 (𝑡)
=
𝑝 𝑚 (𝑡)−𝑝 𝑒 (𝑡)
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑆𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑡 − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑡 = 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. 𝑡 (4.27)
𝑃𝑚𝑝 .𝑢. es la potencia mecánica que suministra el primo-motor menos las pérdidas
mecánicas (p.u.) y 𝑃𝑒𝑝 .𝑢. es la entrega de potencia eléctrica del generador más las pérdidas
eléctricas (p.u.).
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
89
También introducimos un concepto nuevo, es conveniente trabajar con una
constante normalizada llamada constante de inercia H y se define como
H=
energia cinética almacenada a velocidad síncrona
capacidad del generador en volt − amperes
1
= 𝑆2
2
𝐽 𝜔 𝑚𝑠𝑖𝑛
𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
(joules/VA o por unidad − segundos)
(4.28)
La constante H tiene la ventaja de que queda dentro de un intervalo estrecho, por lo
general entre 1 y 10 p.u.-s, en tanto que J varía ampliamente, lo cual depende las
dimensiones y el tipo de unidad generadora.
Al despejar J de la ecuación (4.28) y sustituirla en (4.27) se transforma en
𝜔
2𝐻 𝜔 𝑚2
𝑡 𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
𝑚𝑠𝑖𝑛
𝑑𝑡 2
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑡 − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑡 = 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. 𝑡
(4.29)
Definiendo a la velocidad angular en por unidad
𝜔𝑚 𝑡
𝜔𝑝.𝑢. 𝑡 = 𝜔
𝑚𝑠𝑖𝑛
(4.30)
𝑡
La ecuación (4.29) queda de la forma
2𝐻
𝜔 𝑚𝑠𝑖𝑛
𝜔𝑝.𝑢. (𝑡)
𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡 2
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑡 − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑡 = 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. 𝑡
(4.31)
Para un generador síncrono con P polos, la aceleración angular eléctrica 𝛼, la
frecuencia eléctrica 𝜔 en radianes y el ángulo de potencia 𝛿 son
𝑃
𝛼 𝑡 = 2 𝛼𝑚 (𝑡)
(4.32)
𝜔 𝑡 = 𝜔𝑚 (𝑡)
(4.33)
𝛿 𝑡 = 2 𝛿𝑚 (𝑡)
(4.34)
𝑃
2
𝑃
De igual forma, la frecuencia eléctrica síncrona en radianes es
𝑃
𝜔𝑠𝑖𝑛 = 2 𝜔𝑚𝑠𝑖𝑛
(4.35)
Y la frecuencia eléctrica por unidad es
𝜔 𝑡
𝜔𝑝.𝑢. 𝑡 = 𝜔
𝑚𝑠𝑖𝑛
2
= 𝑃2
𝑃
𝜔 (𝑡)
𝜔 𝑠𝑖𝑛
𝜔 (𝑡)
= 𝜔𝑚
𝑚𝑠𝑖𝑛
(4.36)
Usando (4.34) a (4.36) la ecuación (4.31) se transforma en
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
2𝐻
𝜔 𝑠𝑖𝑛
𝜔𝑝.𝑢. (𝑡)
𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
90
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑡 − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑡 = 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. 𝑡
𝑑𝑡 2
(4.37)
A esta forma final del análisis expuesto se le conoce como ecuación de oscilación
en p.u., y el al ecuación fundamental para determinar la dinámica del rotor en estudios de
estabilidad transitoria. Esta ecuación diferencial de segundo orden se puede expresar por
medio de dos ecuaciones de primer orden. Al derivar la ecuación (4.25) y usar las
ecuaciones (4.24) y (4.33) a (4.35) obtenemos
𝑑𝛿 𝑚 (𝑡)
= 𝜔 𝑡 − 𝜔𝑠𝑖𝑛
Y al sustituir la ecuación (4.38) en la (4.37) nos queda
(4.38)
𝑑𝑡
2𝐻
𝜔 𝑠𝑖𝑛
𝜔𝑝.𝑢. (𝑡)
𝑑𝜔 (𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑡 − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑡 = 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. 𝑡
(4.39)
4.2.2 Modelo de máquina síncrona simplificado y equivalentes
del sistema
Para estudios de estabilidad transitoria los generadores o máquinas síncronas
grandes se representan, por lo general, por su reactancia transitoria de eje directo en serie
con una fuente de potencia de voltaje constante como se muestra en la figura 4.6. La
resistencia de armadura de las máquinas síncronas grandes por lo común es despreciable.
Este tipo de simplificación se presenta cuando el tiempo de análisis no sobrepasa el
segundo después del disturbio o perturbación.
𝑗𝑋𝑑′
𝐼
E′
+
+
E′= E′∠𝛿
𝑉𝑡
-
𝑗𝑋𝑑′
𝛿
𝐼
𝑉𝑡
Figura 4.6 Diagrama simplificado
de una máquina síncrona. a) Diagrama del circuito. b) Diagrama
fasorial.
a)
b)
La modelación se fundamenta en las siguientes suposiciones:
1. Las fallas desbalanceadas se analizan en términos de componentes
simétricas.
2. El efecto de las variaciones de velocidad sobre el voltaje generado
es despreciado (𝜔𝑝.𝑢. = 1), por lo tanto el par es igual a la potencia.
3. Los efectos de saturación se desprecian. Este fenómeno es muy
importante cuando se modelan los sistemas de excitación
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
91
4. El par mecánico Tm = Pm se supone constante para el periodo de
análisis. Por lo tanto no se considera la acción del gobernador.
Comenzando con la simplificación, los generadores están conectados por medio de
líneas de transmisión a un sistema (o sistemas), ya que pueden estar conectados incluso con
sistemas de otros países, que contiene transformadores, cargas y otras máquinas; el sistema
se representa como un nodo infinito detrás de una reactancia de sistema. Un nodo o bus
infinito es una fuente de voltaje ideal que mantiene constantes la magnitud del voltaje, la
fase y la frecuencia.
Véase la figura 4.7, en donde se presenta un generador síncrono simplificado
conectado al sistema representado por una fuente de voltaje Vbus y una reactancia X. En
donde Vbus y fase 0º son constantes. El ángulo de fase 𝛿 del voltaje interno de la máquina es
el ángulo de potencia de la máquina con respecto con respecto al nodo infinito.
𝑗𝑋𝑑′
𝑝𝑒
𝑗𝑋
+
+
E′∠𝛿
+
𝑉𝑏𝑢𝑠 ∠0°
𝑉𝑡
-
-
Generador
síncrono
Equivalente
de sistema
Figura 4.7 Generador síncrono conectado a un equivalente de sistema
La potencia real que entregara el generador será igual a
𝑝𝑒 =
En donde 𝑋𝑒𝑞 = 𝑋𝑑′ + 𝑋
𝐸´𝑉𝑏𝑢𝑠
𝑋𝑒𝑞
𝑠𝑒𝑛 𝛿
(4.40)
Durante las perturbaciones transitorias tanto el voltaje del generador E′ como el
Vbus se consideran constantes en la ecuación, por lo tanto la 𝑝𝑒 es una función sinusoidal
del ángulo de potencia de la máquina 𝛿.
4.2.3 Criterio de las áreas iguales
Existen diversos métodos para determinar si un sistemas es estable o inestable, la
forma más común es la resolución de las ecuaciones diferenciales no lineales de oscilación
por medio de técnicas de integración numérica, utilizando computadoras digitales; esto se
debe a la complejidad de los sistemas a analizar, que cuentan con máquinas interconectados
con otras máquinas de otros sistemas, por lo que arrojas muchas ecuaciones.
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
92
Para resolver problemas en los cuales haya una simplificación de los sistemas por
analizar, sin alterar de forma importante la exactitud de las soluciones, existe un método
gráfico llamado de áreas iguales. Este se aplica tanto a los sistemas que comprenden una
máquina-bus infinito como a dos máquinas que interactúan entre sí. Es importante recordar
que este procedimiento define la estabilidad o inestabilidad del sistema simplificado
durante la primera oscilación, aproximadamente 1 s.
Antes de desarrollar esta metodología se deben de considerar las siguientes
suposiciones:
1. La potencia mecánica se mantiene constante. No se considera la
respuesta del gobernador de la unidad.
2. El voltaje transitorio 𝐸 ´ detrás de la reactancia transitoria 𝑋𝑑´ se
considera constante. No se toma en cuenta el sistema de
excitación.
3. El ángulo mecánico del rotor, coincide con el ángulo de fase del
voltaje transitorio 𝐸 ´ .
4. Los pares amortiguamiento son despreciados. Es decir, no se toma
en cuenta la fricción mecánica, ni los efectos de los devanados
amortiguadores.
El criterio de las áreas iguales
Este criterio está basado en conceptos de energía acelerante y desacelerante del rotor
del turbogenerador, para el siguiente análisis véase la figura 4.8 que muestra las curvas de
la potencia eléctrica 𝑝𝑒 y la potencia mecánica 𝑝𝑚 contra el ángulo de potencia 𝛿.
𝑃e (𝑝. 𝑢. )
𝑃máx⁡
𝑝e = 𝑃máx⁡𝑠𝑒𝑛𝛿
c
A2
𝑝m1⁡
b
c
d
A1
𝑝m0⁡
0
a
𝛿0
𝛿1 𝛿2
𝜋/2
𝛿3
𝜋
Figura 4.8 Curvas de pe y pm versus δ
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
93
En condiciones estables se sabe que 𝑝𝑒 = 𝑝𝑚𝑜 , 𝛿 = 𝛿0 , por lo tanto la velocidad a la
que se encuentra la unidad es a velocidad síncrona. Al simular una perturbación en t=0 que
provoque un aumento en la potencia mecánica, se observa lo siguiente: debido a la inercia
del rotor, la posición de éste no puede cambiar de forma instantánea, por lo tanto se
presentan dos condiciones
𝛿𝑚 0+ = 𝛿𝑚 0− = 𝛿0 ;
𝑝𝑒 0+ = 𝑝𝑒 0−
Entonces: 𝑝𝑚 0+ = 𝑝𝑚1 y este a su vez es mayor que 𝑝𝑒 0+ por lo tanto como
𝜔𝑝.𝑢. = 1 𝑝. 𝑢 y despejando a
𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡 2
𝑑 2 𝛿 𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡 2
𝜔 𝑠𝑖𝑛
=
2𝐻
en la ecuación (4.37) se transforma en
𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑡 − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑡
= 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. 𝑡
(4.41)
𝑑 2 𝛿 (0+ )
𝑚
Se observa que la aceleración 𝑑𝑡
es positiva y el rotor comienza a acelerarse,
2
por lo tanto 𝛿 se incrementa. Entonces el ángulo cambia, aumenta a 𝛿1 , en este preciso
momento se presenta que 𝑝𝑚1 = 𝑝𝑒 , y esto hace que la aceleración disminuya hasta llegar a
𝑑2𝛿
cero 𝑑𝑡 2𝑚 = 0. Pero debido a la aceleración que lleva el rotor, ésta sobrepasa su punto de
operación estable final. Entonces la magnitud de 𝛿 sobrepasa a 𝛿1 , lo que da cómo
resultado una 𝑝𝑚 menor que la 𝑝𝑒 , y regresando a la ecuación (4.41) se observa que ocurre
una desaceleración del rotor. Desacelera hasta que 𝛿 llegue a un valor máximo 𝛿2 y luego
oscila de regreso hacia 𝛿1 . Como no se considera ningún tipo de amortiguamiento mecánico
o eléctrico, el rotor oscilará entre los punto a-e y e-a. Claro que ésta es una restricción que
se supuso al inicio, en la realidad si se cuenta con amortiguadores que solo permitirán que
el punto final de operación en estado estable 𝛿1 .
Con el análisis anterior se puede sacar la siguiente conclusión: un sistema será
estable si la energía acelerante es contrarrestada con una cantidad igual de energía pero
desacelerante, antes de que la máquina vuelva a acelerarse positivamente. Si no se cumple
lo anterior se dice que el sistema es inestable.
A continuación se observa el análisis para deducir el criterio de áreas iguales para
una máquina conectada a un bus infinito, en donde se supone que 𝜔𝑝.𝑢. = 1 𝑝. 𝑢.
La ecuación (4.37) queda de la forma siguiente:
2𝐻 𝑑 2 𝛿
𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑡 2
Si se multiplica por
𝑑𝛿
𝑑𝑡
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢.
(4.42)
la ecuación (4.42) se transforma en
𝑑𝛿
2𝐻 𝑑 2 𝛿
𝑑𝑡
𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑡 2
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢.
𝑑𝛿
𝑑𝑡
(4.43)
Y dado que
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
𝑑𝛿 𝑑 2 𝛿
𝑑 𝑑𝛿
2
=
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 𝑑𝑡
La ecuación (4.43) queda de la siguiente forma
𝐻
𝑑𝛿 2
𝑑
𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑡
94
2
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢.
𝑑𝛿
𝑑𝑡
(4.44)
Al multiplicar la ecuación (4.44) por 𝑑𝑡 e integrando desde 𝛿0 = 𝛿
𝛿
𝛿0
𝐻
𝜔 𝑠𝑖𝑛
𝑑
O bien
𝑑𝛿 2
𝐻
𝜔 𝑠𝑖𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝛿 2
𝑑𝑡
=
𝛿
𝛿0
=
𝛿
𝛿0
𝛿
𝛿0
𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿
(4.45)
𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿
(4.46)
𝑑𝛿
La integración empieza en 𝛿0 donde 𝑑𝑡 = 0 y continua hasta una 𝛿 arbitraria.
Cuando 𝛿 alcanza su valor máximo, llamado 𝛿2 , 𝑑𝛿/𝑑𝑡 se hace cero nuevamente. Por lo
tanto, el primer miembro de la ecuación (4.46) es igual a cero cuando 𝛿 = 𝛿2 y se
transforma en
𝛿2
𝛿0
𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿 = 0
(4.47)
Para visualizar mejor el criterio de las áreas iguales separamos la ecuación (4.47) en
área positiva (aceleración) y negativa (desaceleración) y nos queda
𝛿1
𝛿
𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿 + 𝛿 2 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿 = 0
(4.48)
𝛿
0
1
En donde la integración desde 𝛿0 hasta 𝛿1 comprende el área A1 de la figura (4.8) y
la integración que comprende de 𝛿1 a 𝛿2 corresponde a el área A2, por lo tanto
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 (𝑨𝟏 ) = 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆( 𝑨𝟐 )
O bien
𝛿1
𝛿0
𝑝𝑚𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑒𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿 =
𝛿2
𝛿1
𝑝𝑒𝑝 .𝑢. − 𝑝𝑚𝑝 .𝑢. 𝑑𝛿
(4.49)
De forma más precisa, utilizando la gráfica de la figura (4.8).
𝛿1
𝛿0
𝑝𝑚1 − 𝑝𝑒 𝑑𝛿 =
𝛿2
𝛿1
𝑝𝑒 − 𝑝𝑚1 𝑑𝛿
Entonces, la propiedad que se debe cumplir para que un sistema se considere estable
es la siguiente:
𝛿 𝑀 á𝑥
𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝛿 = 0
(4.50)
𝛿
0
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
95
Debido a las constantes de tiempo relacionadas con las propiedades del primomotor, que son del orden de segundos, no ocurren cambios repentinos en la potencia
mecánica.
4.2.4 Integración numérica de la ecuación de oscilación
Una segunda opción para analizar sistemas grandes y verificar si es estable o
inestable, es la integración de las ecuaciones de oscilación para cada máquina.
Dada una ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=𝑓 𝑥
(4.51)
A continuación se presentara el método de Euler en donde se mostrará la resolución
de la ecuación de oscilación; con el método de Euler, se supone que la pendiente es
constante en todo el intervalo ∆𝑡 véase la figura 4.9.
Figura 4.9 Método de Euler
Primero que nada ∆𝑡 es el incremento de paso de integración. Si se calcula la
pendiente en el principio del intervalo de integración a partir de la ecuación (4.51), tenemos
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑓 𝑥𝑡
El nuevo valor 𝑥𝑡+∆𝑡 es igual a
𝑥𝑡+∆𝑡 = 𝑥𝑡 + ∆𝑥 = 𝑥𝑡 +
(4.52)
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
∆𝑡
(4.53)
Se logra una mayor exactitud en los valores si se calcula la pendiente tanto al principio
como al final del intervalo, y luego se determina el promedio de ambas pendientes. Con
este ajuste el método adquiere el nombre de método de Euler modificado y se ilustra en la
figura 4.10.
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
96
Figura 4.10 Método de Euler modificado
Cálculo de la pendiente al inicio del intervalo. Con la ecuación (4.51) se calcula un
valor preliminar 𝑥
𝑑𝑥
𝑥 = 𝑥𝑡 + 𝑑𝑡𝑡 ∆𝑡
(4.54)
Y a continuación se calcula su pendiente
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=𝑓 x
(4.55)
Entonces se calcula el nuevo valor usando la pendiente promedio
𝑥𝑡+∆𝑡 = 𝑥𝑡 +
𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑥
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2
∆𝑡
(4.56)
Al aplicar el método de Euler modificado para calcular la frecuencia de máquina 𝜔
y el ángulo de potencia 𝛿. Ya sea que 𝑥 sea 𝛿 o 𝜔, los valores anteriores en el inicio del
intervalo se denotan por 𝛿𝑡 y 𝜔𝑡 . De las ecuaciones (4.38) y (4.39), las pendientes en el
inicio del intervalo son
𝑑𝛿 𝑡
= 𝜔𝑡 − 𝜔𝑠𝑖𝑛
(4.57)
𝑑𝑡
𝑑𝜔 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑝 𝑎𝑝 .𝑢 .𝑡 𝜔 𝑠𝑖𝑛
2𝐻𝜔 𝑝 .𝑢 .𝑡
(4.58)
En donde 𝑝𝑎𝑝 .𝑢.𝑡 es la aceleración por unidad calculada en 𝛿 = 𝛿1 y 𝜔𝑝.𝑢.𝑡 =
𝜔𝑡 /𝜔𝑠𝑖𝑛 . Al aplicar la ecuación (4.54), se encuentra que los valores preliminares son
𝛿 = 𝛿𝑡 +
𝑑𝛿 𝑡
𝑑𝑡
∆𝑡
(4.59)
𝑑𝜔
𝜔 = 𝜔𝑡 + 𝑑𝑡 𝑡 ∆𝑡
(4.60)
Utilizando nuevamente las ecuaciones (4.38) y (4.39) se calculan las pendientes en
𝛿 y 𝜔.
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
𝑑𝛿
𝑑𝑡
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝜔 − 𝜔𝑠𝑖𝑛
=
97
(4.61)
𝑝 𝑎𝑝 .𝑢 .𝑡 𝜔 𝑠𝑖𝑛
(4.62)
2𝐻𝜔 𝑝 .𝑢 .
En donde 𝑝𝑎𝑝 .𝑢. es la potencia de aceleración por unidad calculada en 𝛿 = 𝛿 y
𝜔𝑝.𝑢. = 𝜔/𝜔𝑠𝑖𝑛 . Al aplicar la ecuación (4.56), los nuevos valores al final del intervalo son
𝛿𝑡+∆𝑡 = 𝛿𝑡 +
𝑑𝛿𝑡 𝑑𝛿
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2
∆𝑡
(4.63)
𝑑𝜔 𝑡 𝑑𝜔
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜔𝑡+∆𝑡 = 𝜔𝑡 +
∆𝑡
(4.64)
2
Este procedimiento dado por las ecuaciones (4.57) a (4-63) empieza en t=0 con
valores iniciales especificados 𝛿0 y 𝜔0 y continua en forma iterativa hasta t=T, un tiempo
final especificado. Los cálculos se realizan mejor si se utiliza una computadora digital.
4.2.5 Estabilidad de varias máquinas
Además de analizar la resolución de las ecuaciones de oscilación para problemas de
estabilidad donde hay varias máquinas se deben de calcular las potencias de salida de las
máquinas para una red general.
Véase la figura 4.11 en donde se muestra un sistema de potencia de N buses con M
máquinas síncronas. Las máquinas se representan con su sistema simplificado, visto en la
´
sección 4.2.2, y los voltajes internos de cada máquina se denotan con 𝐸1´ , 𝐸2´ , … , 𝐸𝑀
. Las
terminales de las M máquinas están conectadas a los buses de un sistema designados con
G1, G2, …, GM en la figura 4.11. Todas las cargas se modelan como admitancias
constantes.
´
𝑗𝑋𝑑1
G1
´
𝑗𝑋𝑑2
𝐸´1 ∠𝛿1
G2
𝐸´2 ∠𝛿2
´
𝑗𝑋𝑑3
Sistema de potencia de N
buses en el que se incluyen
los nodos terminales de las
máquinas G1, G2, …, GM.
Las líneas, transformadores
y cargas se representan
mediante
admitancias
constantes
GM
𝐸´𝑀 ∠𝛿𝑀
Figura 4.11 Esquema de un sistema de potencia de N buses para estudiar la estabilidad transitoria
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
98
Las ecuaciones nodales para esta red son
𝒀𝟏𝟏
𝒀𝑻𝟏𝟐
Donde
𝒀𝟏𝟐 𝑽
𝟎
=
𝒀𝟐𝟐 𝑬
𝑰
(4.65)
𝑉1
𝑉2
𝑽=
es el vector N de los voltajes de nodo
⋮
𝑉𝑁
(4.66)
𝐸1´
´
𝑬 = 𝐸2 es el vector M de los voltajes de las máquinas
⋮
´
𝐸𝑀
(4.66)
𝐼1
𝐼
𝑰= 2
⋮
𝐼𝑀
es el vector M de las corrientes de las máquinas
(estas son fuentes de corriente)
𝒀𝟏𝟏
𝒀𝑻𝟏𝟐
𝒀𝟏𝟐 Es una matriz de admitancias
𝒀𝟐𝟐 de (N+M) x (N+M)
(4.67)
(4.68)
La matriz de admitancias en la ecuacion (4.68) se particiona según los N buses del
sistema y los M buses internos de las máquinas como sigue:
𝒀𝟏𝟏 es (N x N)
𝒀𝟏𝟐 es (N x M)
𝒀𝟐𝟐 es (M x M)
En 𝒀11 se incluyen las admitancias de la carga y las impedancias invertidas de los
generadores. Es decir, si una carga está conectada a un bus n, entonces la admitancia de esa
´
carga se añade al elemento 𝒀11𝑛𝑛 de la diagonal. Además 1/𝑗𝑋𝑑𝑛
se suma al elemento
𝒀11𝐺𝑛𝐺𝑛 de la diagonal.
𝒀22 es una matriz diagonal de las impedancias invertidas de generador, es decir,
1
𝑗𝑋 𝑑´ 1
𝒀22 =
𝟎
1
𝑗𝑋 𝑑´ 2
𝟎
⋱
(4.69)
1
´
𝑗𝑋 𝑑𝑀
Asimismo, el km-ésimo elemento de 𝒀12 es
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
1
´
𝑗𝑋 𝑑𝑛
𝒀12 =
0
Si k = Gn y m = n
99
(4.70)
En otras circunstancias
Podemos escribir la ecuacion (4.65) como dos ecuaciones separadas:
𝒀𝟏𝟏 𝑽 + 𝒀𝟏𝟐 𝑬 = 𝟎
(4.71)
𝒀𝑻𝟏𝟐 𝑽 + 𝒀𝟐𝟐 𝑬 = 𝑰
(4.72)
Si se supone que se conoce E, entonces la ecuación (4.71) es una ecuación lineal en
𝑽 que se resuelve mediante iteraciones o por eliminación de Gauss, aplicando el método
iterativo de Gauss-Seidel la k-ésima componente de V es
𝑉𝑘 (𝑖 + 1) = 𝑌
1
11 𝑘𝑘
−
𝑀
𝑛=1 𝑌12𝑘𝑛 𝐸𝑛
−
𝑘−1
𝑛=1 𝑌11𝑘𝑛 𝑉𝑛
(𝑖 + 1) −
𝑁
𝑛=𝑘+1 𝑌11𝑘𝑛 𝑉𝑛 (𝑖)
(4.73)
Después de que se calcula 𝑽, las corrientes de las máquinas se obtienen de la
ecuación (4.72), es decir:
𝐼1
𝐼2
𝑰=
= 𝒀𝑻𝟏𝟐 𝑽 + 𝒀𝟐𝟐 𝑬
(4.74)
⋮
𝐼𝑀
Entonces la entrega de potencia, eléctrica (real) de la máquina n es
𝑝𝑒𝑛 = 𝑅𝑒 𝐸𝑛 𝐼𝑛∗
𝑛 = 1, 2, … , 𝑀
(4.75)
Sabiendo esto ya se puede plantear la metodología para resolver un problema de estabilidad
transitoria. Para esto se resuelven las ecuaciones de oscilación de las máquinas a analizar
así como las ecuaciones algebraicas anteriores de flujos de potencia que representan a la
red. Los pasos a seguir son los siguientes:
1. Corra un programa de flujos de potencia antes de la falla para calcular los voltajes
del bus iniciales 𝑉𝑘 , 𝑘 = 1, 2, … , 𝑁, corrientes actuales iniciales de la máquina 𝐼𝑛 y
entrega de potencia eléctrica inicial de las máquinas 𝑝𝑒𝑛 , 𝑛 = 1, 2, … , 𝑀. Establezca
las entregas de potencia mecánica de las máquinas, 𝑝𝑚𝑛 = 𝑝𝑒𝑛 y las frecuencias
iniciales de las máquinas, 𝜔𝑛 = 𝜔𝑠𝑖𝑛 . Calcule las admitancias de carga.
2. Determine los voltajes internos de la máquina.
´
𝐸𝑛 = 𝐸𝑛 ∠𝛿𝑛 = 𝑉𝐺𝑛 + 𝑗𝑋𝑑𝑛
𝑛 = 1, 2, … , 𝑀
3. Calcule Y11. Modifique la matriz de admitancias de bus de flujos de potencia (N X
N) añadiendo las admitancias de carga y las impedancias invertidas del generador.
4. Calcules Y22 a partir de la ecuación (4.69) y Y12 de la (4.70).
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
100
5. Establezca el tiempo en t = 0
6. ¿Hay una operación de “switcheo”, cambio en la carga, cortocircuito o cambio en la
información? En el caso de una operación de conexión/desconexión de elementos o
cambio en la carga, modifique la matriz de admitancias de bus. Su hay un
cortocircuito, establezca el voltaje de falla del bus en cero.
7. Con
los
voltajes
internos
de
la
máquina
𝐸𝑛 = 𝐸𝑛 ∠𝛿𝑛 , 𝑛 = 1, 2, … , 𝑀 con los valores de 𝛿𝑛 en el tiempo t, calcule las
potencia eléctricas de las máquinas 𝑝𝑒𝑛 en el tiempo t a partir de las ecuaciones
(4.73) a (4.75).
8. Mediante 𝑝𝑒𝑛 calculada en el paso 7 y os valores de 𝛿𝑛 y 𝜔𝑛 en el tiempo t,
determine las estimaciones preliminares de los ángulos de potencia 𝛿𝑛 y las
velocidades de la máquina 𝜔𝑛 en el tiempo 𝑡 + ∆𝑡 de las ecuaciones (4.57) a
(4.60).
9. Mediante 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛 ∠𝛿𝑛 , 𝑛 = 1, 2, … , 𝑀, determine las estimaciones preliminares de
las potencias eléctricas de las máquinas 𝑝𝑒𝑛 en el tiempo 𝑡 + ∆𝑡 a partir de las
ecuaciones (4.73) a (4.75).
10. Mediante 𝑝𝑒𝑛 calculada en el paso 9, así como 𝛿𝑛 y 𝜔𝑛 determinadas en el paso 8,
calcule las estimaciones finales de los ángulos de potencia 𝛿𝑛 y las velocidades de
la máquina 𝜔𝑛 en el tiempo 𝑡 + ∆𝑡 a partir de las ecuaciones (4.61) a (4.64).
11. Establezca el tiempo 𝑡 = 𝑡 + ∆𝑡 . Deténgase si 𝑡 ≥ 𝑇. De lo contrario regrese al
paso 6.
4.2.6 Métodos de diseño para mejorar la estabilidad transitoria
Existen diversas maneras para garantizar la estabilidad transitoria o mejorarla que se
han desarrollado a lo largo de estos últimos años. Hay los llamados “controles discretos
suplementarios”, este término se aplica a un tipo particular de control que se usa con el
objeto de lograr que un sistema de potencia tienda a una condición de operación estable
después de haber sufrido un disturbio.
Características principales
UV

Acción de control discreto, es decir, no ejercen una acción continua sobre las
unidades generadoras como lo hacen los gobernadores de velocidad o
reguladores de voltaje.

Modifican la respuesta transitoria del sistema para mantener el sincronismo.
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
101

Ejercen su acción de control sobre cualquier componente del sistema de
potencia.

Generalmente, la utilización de estos controles resulta más económico que
robustecer la red eléctrica mediante la adición de líneas de transmisión.
A continuación se mencionan algunos tipos de estos dispositivos sin profundizar
demasiado ya que el objetivo de este tema es conocerlos de forma general.
Frenado automático: Se denomina “frenado automático” al control suplementario que
consiste en incorporar una carga en las terminales del generador, con objeto de corregir el
desbalance temporal entre la potencia mecánica y la eléctrica del grupo turbina generador,
producido por la presencia de una falla. Se aplican generalmente a centrales generadoras
débilmente interconectadas al sistema de potencia, en las que al ocurrir una falla en las
líneas de transmisión, se presenta un severo desbalance de potencia, que puede provocar
pérdida de sincronismo.
Apertura y recierre monopolar: este control se ha aplicado en diversos sistemas de
potencia de Europa desde los años sesentas. El funcionamiento de este control se basa en
que la mayoría de las fallas que ocurren en los sistemas de transmisión son de fase a tierra,
y éstas tienen naturaleza transitoria.
Control discreto de los sistemas de excitación: Estos sistemas se caracterizan por su alta
ganancia y un tiempo de respuesta pequeño; estos dispositivos permiten modificar el
comportamiento del sistema aún en la primera oscilación de potencia después que se ha
presentado un disturbio.
El control discreto adiciona una señal al excitador de voltaje que anticipa su
accionamiento, con ello se busca la participación activa del excitador para corregir la
condición de disturbio y recobrar con mayor prontitud la estabilidad del sistema.
La simulación de la operación del control requiere que se cuente con una representación del
generador que incluya los cambios en los encadenamientos de flujo y el respectivo control
de voltaje, también se debe contar con la lógica del control adicional al modelado del
excitador.
Separación controlada: Como su nombre lo indica el objetivo de este tipo de control es
separar el sistema de potencia cuando se considera que la falla provocará la pérdida de
sincronismo; la acción de dividir el sistema en áreas eléctricas busca lograr el sincronismo
en cada una de estas áreas.
Este control produce desbalances de potencia en cada una de las áreas cuando sus
enlaces se operan con carga, para esto se requiere entonces establecer estrategias
coordinadas para encontrar el balance de potencia en cada área por la desconexión de
generación o la acción del esquema de corte de carga por baja frecuencia buscando siempre
minimizar el efecto del disturbio.
Inserción de capacitor serie: La función de este tipo de controlador es disminuir la
distancia eléctrica en un sistema de transmisión para evitar la pérdida de sincronismo. La
UV
FIME
UNIDAD 4 Introducción al estudio de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia
102
presencia de fallas en sistemas de transmisión poco mallados, representa un desbalance de
potencia grande; cuando se libera la falla, el cambio de topología presenta un nuevo
disturbio que puede llevar al sistema a condiciones de operación inestable.
El control reduce la distancia eléctrica y con ello la magnitud de la perturbación que
se refleja en las desviaciones angulares de los generadores, aumentando la posibilidad de
recobrar la condición estable.
Disparo de generación: Es utilizado como control de emergencia para evitar la pérdida de
sincronismo de un grupo de generadores. En su aplicación se considera apropiado
desconectar una o varias unidades generadoras y evitar con esta acción un problema de
estabilidad generalizado, aún cuando esta acción crea un desbalance de potencia en el
sistema. Este control se aplicará en centros de generación remotos donde el sistema de
transmisión se opera en su límite de estabilidad. En estas condiciones al ocurrir una
contingencia, es factible la desintegración del sistema si no se ejecutan acciones correctivas
de emergencia.
UV
FIME
Problemas resueltos
103
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.
Dibuje el diagrama unifilar del sistema de potencia que cuenta con los siguientes elementos:
un generador (G1) de 20 MVA, 6.9 KV, 𝑋 ´´ = j0.15 p.u. conectado a un transformador (T1)elevador
de 25 MVA, 6.9∆/115y KV, X= 10%, éste se conecta a una línea de transmisión a 115 KV, X= j180
conectada a su vez a un transformador (T2)reductor compuesto por tres unidades monofásicas a 10
MVA, 75/7.5 KV, X= j10% conectado a un generador (G2) de 30 MVA, 13.8 KV, 𝑋 ´´ = j0.15 p.u.
Justo a la mitad de la línea de transmisión de 115 KV se encuentra una barra que está conectada a
un transformador (T3) reductor de 12 MVA, 6.9∆/115y KV, X= 10%, que se conecta a un generador
(G3) de 10 MVA, 6.9 KV, 𝑋 ´´ = j0.15 p.u. Inclúyanse los interruptores de circuito.
También efectué lo siguiente:
a) Diagrama de reactancias.
b) Diagrama de reactancias referidas a una base de 30 MVA y 6.9 KV en el
circuito del generador 1.
Solución:
Diagrama unifilar
G1
20 MVA
6.9 KV
𝑋 ´´= j0.15 p.u.
115 KV
L1
j100 Ω
T1
L2
j100 Ω
T3
25 MVA
6.9/115 KVA
𝑋 = j10%
10 MVA
75/7.5 KVA
𝑋 = j10%
12 MVA
115/6.9 KVA
𝑋 = j10%
p.u.
10 MVA
6.9 KV
𝑋 ´´= j0.15 p.u.
G2
T2
30 MVA
13.8 KV
𝑋 ´´= j0.15 p.u.
G3
p.u.
a) Diagrama de reactancias
j0.1
j100 Ω
Ω
j0.15
G1
j0.1
j100 Ω
j0.1
Ω
j0.15
J0.15
G3
G2
b) Diagrama de reactancias referidas a una base de 30 MVA y 6.9 KV en el circuito del
generador 1.
Primero se deben de referir los voltajes hacia el generador
UV
FIME
Problemas resueltos
104
Entonces con los valores base de: 30 MVA y 6.9 KV
Con la ecuación (1.19) refiriendo el valor base de baja tensión al de alta:
𝐾𝑉𝐵𝐴𝑇 = 𝐾𝑉𝐵𝐵𝑇
𝐾𝑉𝐴𝑇
= 6.9
𝐾𝑉𝐵𝑇
115
= 115𝐾𝑉
6.9
Este valor ahora lo referimos al lado de baja del generador (G2)
𝐾𝑉𝐵𝐺2 = 𝐾𝑉𝐵𝐴𝑇
𝐾𝑉𝐵𝑇
= 115
𝐾𝑉𝐴𝑇
7.5
= 11.5KV
75
Y ahora lo mismo pero hacia el lado de baja del generador (G3)
𝐾𝑉𝐵𝐺3 = 𝐾𝑉𝐵𝐴𝑇
𝐾𝑉𝐵𝑇
= 115
𝐾𝑉𝐴𝑇
6.9
= 6.9KV
115
Solo falta referir todas las reactancias a los nuevos valores base por medio de la ecuación
(1.17).
Generador (G1)
6.9
6.9
2
𝑋𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.15
30
= 𝑗0.225 𝑝. 𝑢.
20
6.9
6.9
2
𝑋𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.1
30
= 𝑗0.12 𝑝. 𝑢.
25
Transformador (T1)
Línea de transmisión (L1)
Utilizando la ecuación (1.18)
𝑍𝑝𝑢 = 𝑗100𝛺
30
115
𝑍𝑝𝑢 = 𝑗100𝛺
30
115
𝑋𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.1
75
115
13.8
11.5
2
𝑋𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.15
30
= 𝑗0.216 𝑝. 𝑢.
30
115
115
2
𝑋𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.1
30
= 𝑗0.25 𝑝. 𝑢.
12
6.9
6.9
2
𝑋𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.15
30
= 𝑗0.45 𝑝. 𝑢.
10
Línea de transmisión (L2)
Transformador (T2)
Generador (G2)
Transformador (T3)
Generador (G3)
UV
2
= 𝑗0.227 𝑝. 𝑢.
2
= 𝑗0.227 𝑝. 𝑢.
2
30
= 𝑗0.128 𝑝. 𝑢.
10
FIME
Problemas resueltos
105
El diagrama quedaría ya con sus nuevos valores de la siguiente forma:
j0.12
j0.227
7
j0.225
j0.227
j0.25
j0.128
7
j0.216
j0.45
G1
G3
G2
6
Problema 2.
Forme la matriz de admitancias del siguiente sistema en donde se muestran los valores de
las impedancias:
2
𝑋𝑏 = j0.5
𝑋𝑐 = j0.4
𝑋𝑎 = j0.2
1
3
𝑋𝑑 = j0.2
𝑋𝑒 = j0.25
G2
G1
Solución
Ahora se deben poner los valores de las impedancias como valores de admitancias.
1
1
=
= 𝑗5
𝑋𝑎 𝑗0.2
1
1
=
= 𝑗2
𝑋𝑏 𝑗0.5
1
1
=
= 𝑗2.5
𝑋𝑐 𝑗0.4
1
1
=
= 𝑗5
𝑋𝑑 𝑗0.2
1
1
=
= 𝑗4
𝑋𝑒 𝑗0.25
2
𝑌𝑏 = j2
𝑌𝑎 = j5
𝑌𝑐 = j2.5
1
3
𝑌𝑑 = j5
G1
UV
𝑌𝑒 = j4
G2
FIME
Problemas resueltos
106
Sabemos que la forma general de la YBarra es la presentada en la ecuación (1.20)
𝑌11
𝑌𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝑌21
𝑌31
𝑌12
𝑌22
𝑌32
𝑌13
𝑌23
𝑌33
(1.20)
Y sabemos que
𝒀𝟏𝟏 = 𝑌𝑎 + 𝑌𝑏 + 𝑌𝑑
𝒀𝟏𝟐 = 𝑌21 = −𝑌𝑎
𝒀𝟏𝟑 = 𝑌31 = −𝑌𝑏
𝒀𝟐𝟐 = 𝑌𝑎 + 𝑌𝑐
𝒀𝟐𝟑 = 𝑌32 = −𝑌𝑐
𝒀𝟑𝟑 = 𝑌𝑏 + 𝑌𝑐 + 𝑌𝑒
Sustituyendo los valores correspondientes en (1.20)
𝑌𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 =
𝑗5 + 𝑗2 + 𝑗5
−𝑗5
−𝑗2
−𝑗5
𝑗5 + 𝑗2.5
−𝑗2.5
−𝑗2
−𝑗2.5
𝑗2 + 𝑗2.5 + 𝑗4
Efectuando las sumas correspondientes YBarra queda finalmente como sigue:
𝑗12
𝒀𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 = −𝑗5
−𝑗2
−𝑗5
𝑗7.5
−𝑗2.5
−𝑗2
−𝑗2.5
𝑗8.5
Problema 3.
Al cerrar un interruptor, se aplica un voltaje alterno de 60 Hz que tienen un valor rms de
100 V a un circuito serie R-L. La resistencia es de 15 Ω y la inductancia es de 0.12 H.
a) Encuentre el valor de la componente de cd de la corriente al cerrar el interruptor, si el valor
instantáneo de voltaje es de 50 V es ese instante.
b) ¿Cuál es el valor instantáneo de voltaje que produciría la componente máxima de cd de la
corriente cuando se cierra el interruptor?
c) ¿Cuál es el valor instantáneo de voltaje que resultará en ausencia de cualquier componente
de cd de la corriente al cerrar el interruptor?
d) Encuentre la corriente instantánea a 0.5, 1.5 y 5.5 ciclos posteriores, si se cierra el
interruptor cuando el voltaje instantáneo es cero.
Solución:
Datos:
𝑓=
Vrms =
R=
L=
XL =
Z=
60Hz
100 V
15 Ω
0.12 H
(377)(0.12) = 45.24 Ω
41.66∠71.66º
El voltaje máximo es igual a:
𝑉𝑚á𝑥 = 2 100 = 141.42 𝑉
UV
;
𝜃 = 71.66°
FIME
Problemas resueltos
107
a) En el momento de cerrar el interruptor (t = 0)
𝑉 = 𝑉𝑚á𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛼
50 = (141.42)𝑆𝑒𝑛 𝛼
Por lo tanto: 𝛼1 = 20.7°; o también 𝛼2 = 180° − 20.7° = 159.3°
Utilizando la ecuación (2.3)
𝑖𝐶𝐷 = −
𝑉𝑚á𝑥 𝑅𝑡 /𝐿
𝑒
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝜃
𝑍
Sustituyendo valores
𝑖𝐶𝐷 = −
𝑖𝐶𝐷 = −
141.42 (0)
𝑒 𝑠𝑒𝑛 20.7° − 71.66°
47.66
141.42 (0)
𝑒 𝑠𝑒𝑛 159.3° − 71.66°
47.66
= 2.30 𝐴
= −2.96 𝐴
b) Para que 𝑖𝐶𝐷 sea máxima se requiere que: 𝛼 − 𝜃 = 90° ó 270°, entonces 𝛼 adquiere los
siguientes valores:
𝛼1 = 161.66°
𝛼2 = 341.66°
Para calcular el valor del voltaje instantáneo
𝑉 = 141.42𝑆𝑒𝑛 161.66° = 44.5 𝑉
𝑉 = 141.42𝑆𝑒𝑛 341.66° = −44.5 𝑉
c) Para que 𝑖𝐶𝐷 = 0 se debe de cumplir que: 𝛼 − 𝜃 = 0°, por lo tanto 𝛼1 = 71.66° ó bien
𝛼2 = 180° − 71.66° = 251.66°.
𝑉 = 141.42𝑆𝑒𝑛 71.66° = 134.24 𝑉
𝑉 = 141.42𝑆𝑒𝑛 252.66° = −134.24 𝑉
d) Para 0.5 ciclos:
Entonces:
0.5
= 8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔.
60
𝜔𝑡 = 377 8.33 𝑥 −3 = 3.14 𝑟𝑎𝑑 = 180°
Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.1)
𝑖=
𝑖(8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔 .) =
𝑉 𝑚 á𝑥
𝑍
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡+∝ −𝜃 − 𝑒 𝑅𝑡 /𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝜃
141.42
𝑠𝑒𝑛 180° − 71.66° − 𝑒 15
47.66
8.33 𝑥 −3 /0.12
(2.1)
𝑠𝑒𝑛 −71.66°
𝑖(8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔 .) = 3.81 𝐴
Para 1.5 ciclos:
UV
FIME
Problemas resueltos
108
1.5
= 0.025 𝑠𝑒𝑔.
60
Entonces:
𝜔𝑡 = 377 0.025 = 9.425 𝑟𝑎𝑑 = 180°
𝑖(8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔 .) =
141.42
𝑠𝑒𝑛 180° − 71.66° − 𝑒 15
47.66
0.025 /0.12
𝑠𝑒𝑛 −71.66°
𝑖(8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔 .) = 2.94 𝐴
Para 5.5 ciclos:
5.5
= 0.917 𝑠𝑒𝑔.
60
Entonces:
𝜔𝑡 = 377 0.917 = 345.709 𝑟𝑎𝑑 = 180°
𝑖(8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔 .) =
141.42
𝑠𝑒𝑛 180° − 71.66° − 𝑒 15
47.66
0.917 /0.12
𝑠𝑒𝑛 −71.66°
𝑖(8.33 𝑥 −3 𝑠𝑒𝑔 .) = 2.94 𝐴
Problema 4.
Determinar las corrientes de cortocircuito trifásicas en los buses del sistema eléctrico
mostrado a continuación
CIA. SUMINISTRADORA
13.2 KV, 3F, 3H
PCC = 250 MVA
13.2 KV
1
Valores base: 1000 MVA, 13.2 KV
Para fines prácticos: 1 Hp = 1 KVA.
T1
1000 KVA
13.2 KV-440/254V
Z=5%
440 V
M1
5 Hp
X = 25 %
2
M2
200 Hp
X = 25 %
M3
200 Hp
X = 25 %
M4
M5
100 Hp
X = 25 %
100 Hp
X = 25 %
T2
45 KVA
440 V-220/127V
Z=3%
220 V
3
Alumbrado
a) Por el método de Thévenin
b) Emplear el método de ZBUS
Solución:
UV
FIME
Problemas resueltos
109
Referimos los valores de los voltajes a los valores base determinados. Utilizando la
ecuación (1.19) nos queda:
𝐾𝑉𝐵𝐵𝑇1 = 13.2
𝐾𝑉𝐵𝐵𝑇2 = . 44
. 44
= 440 𝑉
13.2
. 22
= 220 𝑉
. 44
Ahora referimos las reactancias de los distintos elementos que conforman el sistema a sus
nuevos valores base.
Debido a que no cambiaron los voltajes a los cuales se encontraban los elementos solo se
toman en cuenta las MVA en la ecuación (1.17)
1
= 𝑗0.004 𝑝. 𝑢.
250
1
𝑋𝑇1(𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.05
= 𝑗0.05 𝑝. 𝑢.
1
1
𝑋𝑀1 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.05
= 𝑗50 𝑝. 𝑢.
0.005
1
𝑋𝑀2 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.25
= 𝑗1.25 𝑝. 𝑢.
.2
1
𝑋𝑀3 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.25
= 𝑗1.25 𝑝. 𝑢.
.2
1
𝑋𝑀4 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.25
= 𝑗2.5 𝑝. 𝑢.
.1
1
𝑋𝑀5 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 = 𝑗0.25
= 𝑗2.5 𝑝. 𝑢.
.1
1
𝑋𝑇2(𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 𝑗0.03
= 𝑗0.667 𝑝. 𝑢.
0.045
𝑋𝑠𝑖𝑠𝑡 . =
El diagrama de reactancias se muestra a continuación:
j0.004
1
j0.05
2
j50
j1.25
M1
M2
j2.5
j2.5
j1.25
M3
M4
j0.667
M5
3
UV
FIME
Problemas resueltos
110
a) Método de Thévenin: falla en el Bus 1
j0.004
Falla
1
j0.05
2
j50
j1.25
M1
M4
M3
M2
j2.5
j2.5
j1.25
j0.667
M5
3
Las reactancias de los motores están en paralelo, la reactancia equivalente que resulta de
éstas esta en serie con la del transformador (T1). La reactancia del transformador (T2) no se toma
en cuenta debido a que por ahí no hay aportación de corriente de cortocircuito.
La reactancia equivalente total resulta de:
𝑋𝑒𝑞1 = 𝑗0.05 + 𝑗0.413 = 𝑗0.463 𝑝. 𝑢.
j0.004
𝑋𝑇𝐻 =
j0.05
𝑗0.463 × 𝑗0.004
= 𝑗0.004 𝑝. 𝑢.
𝑗0.463 + 𝑗0.004
La corriente de falla viene dada por la ecuación:
j0.413
𝐼𝑓´´ =
𝐼𝑓´´ =
𝑉𝑓
𝑍𝑇𝐻
1∠0°
= −𝑗250 𝑝. 𝑢.
𝑗0.004
Tenemos que la corriente de base es igual a:
𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸 =
1000
3(13.2)
= 43.74 𝐴
La corriente real es por lo tanto
𝐼𝑓 = 250 43.74 = 10 935 𝐴
UV
FIME
Problemas resueltos
111
Falla en el Bus 2
La reactancia equivalente total resulta de:
𝑋𝑒𝑞1 = 𝑗0.05 + 𝑗0.004 = 𝑗0.054 𝑝. 𝑢.
j0.004
𝑋𝑇𝐻 =
Falla
j0.05
𝑗0.054 × 𝑗0.413
= 𝑗0.048 𝑝. 𝑢.
𝑗0.054 + 𝑗0.413
La corriente de falla viene dada por la ecuación:
j0.413
𝐼𝑓´´ =
1∠0°
= −𝑗20.83 𝑝. 𝑢.
𝑗0.048
La corriente real es igual a:
𝐼𝑓 = 20.83 43.74 = 911.1 𝐴
Falla en el Bus 3
La reactancia equivalente total resulta de:
𝑋𝑇𝐻 =
j0.054
𝑗0.054 × 𝑗0.413
= 𝑗0.048 𝑝. 𝑢.
𝑗0.054 + 𝑗0.413
𝑋𝑒𝑞1 = 𝑗0.048 + 𝑗0.667 = 𝑗0.715 𝑝. 𝑢.
j0.413
j0.667
Falla
La corriente de falla viene dada por la ecuación:
𝐼𝑓´´ =
1∠0°
= −𝑗1.4 𝑝. 𝑢.
𝑗0.715
La corriente real es igual a
𝐼𝑓 = 1.4 43.74 = 61.236 𝐴
b) Método de ZBUS
Primero que nada se deben poner los valores de las reactancias como valores de
admitancias.
Esto es:
1
= 𝑗250
𝑗0.004
1
= 𝑗20
𝑗0.05
1
= 𝑗0.02
𝑗50
1
= 𝑗0.8
𝑗1.25
1
1
=
= 𝑗0.4
𝑋𝑒 𝑗2.5
El diagrama de admitancias queda como sigue:
UV
FIME
Problemas resueltos
112
𝑗250
1
j20
2
𝑗0.02
j0.8
M1
M4
M3
M2
j0.4
j0.4
j0.8
j1.5
M5
3
Se procede a conformar la matriz de YBARRA
𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 =
𝑗250 + 𝑗20
−𝑗20
0
−𝑗20
𝑗20 + 𝑗2.42 + 𝑗1.5
−𝑗1.5
0
−𝑗1.5
𝑗1.5
Y finalmente
𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
𝑗270
−𝑗20
=
0
−𝑗20
𝑗23.92
−𝑗1.5
0
−𝑗1.5
𝑗1.5
Para obtener la matriz inversa de YBARRA o que es lo mismo la ZBARRA existen diversos
procedimientos uno de ellos el de cofactores, que es el que a continuación se va a desarrollar:
−1
La ecuación que dicta la obtención de 𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
es:
−1
𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
= 𝑍𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 =
𝐴𝑑𝑗 𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 (𝐶)
𝐷𝑒𝑡𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
Primero se calculara la matriz cofactora de YBARRA:
𝑗23.92 −𝑗1.5
= 𝑗33.63
−𝑗1.5
𝑗1.5
−𝑗20
0
−1 2+1
= 𝑗30
−𝑗1.5 𝑗1.5
−𝑗20
0
−1 3+1
= 𝑗30
𝑗23.92 −𝑗1.5
−1
1+1
−1
1+2
−1
2+2
−1
3+2
−𝑗20 −𝑗1.5
= 𝑗30
0
𝑗1.5
𝑗270
0
= 𝑗405
0
𝑗1.5
𝑗270
0
= 𝑗405
−𝑗20 −𝑗1.5
−1
1+3
−1
2+3
−1
3+3
−𝑗20 𝑗23.92
= 𝑗30
0
−𝑗1.5
𝑗270 −𝑗20
= 𝑗405
0
−𝑗1.5
𝑗270 −𝑗20
= 𝑗6058.4
−𝑗20 𝑗23.92
La matriz cofactora de YBARRA queda como sigue
UV
FIME
Problemas resueltos
113
𝑗33.63
𝑗30
𝑗30
𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 (𝐶) =
𝑗30
𝑗405
𝑗405
𝑗30
𝑗405
𝑗6058.4
La adjunta de 𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 (𝐶) es exactamente igual a ésta debido a las propiedades de la matriz:
𝐴𝑑𝑗𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 (𝐶) =
𝑗33.63
𝑗30
𝑗30
𝑗30
𝑗405
𝑗405
𝑗30
𝑗405
𝑗6058.4
El determinante de YBARRA es:
𝑗270 × 𝑗23.92 × 𝑗1.5 − −𝑗1.5 × −𝑗1.5 × 𝑗270 + −𝑗20 × −𝑗20 × 𝑗1.5
= 𝑗8480.1
Según determina la ecuación
−1
𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
= 𝑍𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 =
𝑗33.63
𝑗30
𝑗30
𝑗0.004
−1
𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
= 𝑍𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 = 𝑗0.0035
𝑗0.0035
𝑗30
𝑗30
𝑗405
𝑗405
𝑗405 𝑗6058.4
𝑗8480.1
𝑗0.0035
𝑗0.048
𝑗0.048
𝑗0.0035
𝑗0.048
𝑗714
Para calcular las corrientes de cortocircuito en los diferentes buses solo aplicamos la
ecuación (2.25)
𝐼𝑓´´ =
´´
𝐼𝑓𝐵𝑢𝑠
1 =
´´
𝐼𝑓𝐵𝑢𝑠
2 =
𝑉𝑓
𝑍𝑘𝑘
1∠0°
= −𝑗250 𝑝. 𝑢.
𝑗0.004
1∠0°
= −𝑗20.83 𝑝. 𝑢.
𝑗0.048
´´
𝐼𝑓𝐵𝑢𝑠
3 =
1∠0°
= −𝑗1.4 𝑝. 𝑢.
𝑗0.714
Se observa que son los mismos resultados obtenidos por el método de Thévenin.
UV
FIME
Problemas resueltos
114
Problema 5.
Un generador de 25 000 KVA, 13.8 KV, con 𝑋𝑑´´ = j0.15 % se conecta a través de un
transformador a una barra que alimenta cuatro motores idénticos, como se muestra en la figura
siguiente. La reactancia subtransitoria 𝑋𝑑´´ de cada motor es de 20 % sobre una base de 5 000 KVA y
6.9 KV. Los valores nominales trifásicos del transformador son 25 000 KVA, 13.8/6.9 KV, con una
reactancia de dispersión de 10 %. El voltaje de barra en los motores es 6.9 KV cuando ocurre una
falla trifásica en el punto P. Determine para la falla especificada:
a) La corriente subtransitoria en la falla.
b) La corriente subtransitoria en el interruptor A.
c) La corriente subtransitoria en el interruptor B
M
G
M
M
M
A
P
Solución:
a) Para una base de 25 000 KVA y 13.8 KV en el circuito del generador, tenemos que
referir el voltaje al lado de baja, al de los motores, entonces con la ecuación (1.19)
tenemos que
𝐾𝑉𝐵𝐵𝑇 = 𝐾𝑉𝐵𝐴𝑇
𝐾𝑉𝐵𝑇
= 13.8
𝐾𝑉𝐴𝑇
6.9
= 6.9 𝐾𝑉
13.8
Con el nuevo valor base del voltaje referimos las reactancias de los motores a éste por
medio de la ecuación (1.17)
𝑍𝑝𝑢 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 ) = 0.20
6.9
6.9
2
25 000
= 1.0 𝑝. 𝑢.
5 000
El diagrama de reactancias del sistema queda de la siguiente forma:
j1.0
j1.0
j0.15
j0.10
j1.0
j1.0
2
1
P
Para una falla en P:
𝑉𝑓 = 1.0∠0° 𝑝. 𝑢.
;
𝑍𝑇𝐻 = 𝑗0.125 𝑝. 𝑢.
La corriente subtransitoria de falla es igual a:
UV
FIME
Problemas resueltos
115
𝐼𝑓´´ =
1.0∠0°
= −𝑗0.8 𝑝. 𝑢.
𝑗0.125
La corriente base en el circuito de 6.9 KV es
𝐼𝐵𝐴𝑆𝐸 =
25 000
3 × 6.9
= 2090 𝐴
Por lo tanto la corriente real es igual a:
𝐼𝑓´´ = 8 × 2090 = 16 720 𝐴
b) A través del interruptor A, llega la contribución desde el generador y tres de los cuatro
motores. El generador contribuye con una corriente de
−𝑗0.8 ×
0.25
= −4.0 𝑝. 𝑢.
0.50
Cada motor contribuye con el 25 % de la corriente de falla restante o sea, con –j1.0 p.u. A
través del interruptor A.
𝐼 ´´ = −𝑗4.0 + 3 −𝑗1.0 = −𝑗7.0 𝑝. 𝑢.
O
7 × 2090 = 14 630 𝐴
Problema 6.
El diagrama unifilar de un sistema de potencia trifásico se ilustra a continuación.
1
3
L1-3
G1
765 KV
X1 = 𝑋2 = 40 Ω
𝑋0 = 100 Ω
T1
2
1000 MVA
15 KV
X1 = 𝑋2 = 0.18 𝑝. 𝑢.
𝑋0 = 0.07 𝑝. 𝑢.
L1-2
1000 MVA
15/765 KV
X = 0.10 𝑝. 𝑢.
L2-3
765 KV
X1 = 𝑋2 = 40 Ω
𝑋0 = 100 Ω
765 KV
X1 = 𝑋2 = 50 Ω
𝑋0 = 150 Ω
1000 MVA
765/15 KV
X = 0.10 𝑝. 𝑢.
T2
G2
UV
T3
500 MVA
765/15 KV
X = 0.12 𝑝. 𝑢.
T4
750 MVA
765/15 KV
X = 0.11 𝑝. 𝑢.
G3
500 MVA
13.8 KV
X1 = 𝑋2 = 0.15 𝑝. 𝑢.
𝑋0 = 0.05 𝑝. 𝑢.
𝑋𝑛 = 0.05 𝑝. 𝑢.
G4
750 MVA
13.8 KV
X1 = 0.30 𝑝. 𝑢.
𝑋2 = 0.40 𝑝. 𝑢.
𝑋0 = 0.10 𝑝. 𝑢.
1000 MVA
15 KV
X1 = 𝑋2 = 0.20 𝑝. 𝑢.
𝑋0 = 0.10 𝑝. 𝑢.
FIME
Problemas resueltos
116
Para el sistema anterior dibuje los diagramas de reactancias de secuencia cero, positiva y
negativa con una base de 1000 MVA, 765 KV en la zona de la línea 1-2. Desprecie los
defasamientos del transformador.
Solución:
Cambio de los voltajes
15
765
15
765
15
765
15
765
𝐾𝑉𝐵𝐺1 = 765
𝐾𝑉𝐵𝐺2 = 765
𝐾𝑉𝐵𝐺3 = 765
𝐾𝑉𝐵𝐺3 = 765
= 15 𝐾𝑉
= 15 𝐾𝑉
= 15 𝐾𝑉
= 15 𝐾𝑉
Referir las reactancias a los nuevos valores base:
Generador (G1)
𝑋1 = 𝑋2 = 𝑗0.18
15
15
1000
= 𝑗0.18 𝑝. 𝑢.
1000
15
15
2
𝑋0 = 𝑗0.07
1000
= 𝑗0.07 𝑝. 𝑢.
1000
15
15
2
𝑋 = 𝑗0.1
1000
= 𝑗0.1 𝑝. 𝑢.
1000
Transformador (T1)
Línea de transmisión (L1-3)
1000
= 𝑗0.068 𝑝. 𝑢.
765 2
𝑋1 = 𝑋2 = 𝑗40𝛺
𝑋0 = 𝑗100𝛺
1000
= 𝑗0.171 𝑝. 𝑢.
765 2
Línea de transmisión (L1-2)
1000
= 𝑗0.085 𝑝. 𝑢.
765 2
𝑋1 = 𝑋2 = 𝑗50𝛺
𝑋0 = 𝑗150𝛺
1000
= 𝑗0.256 𝑝. 𝑢.
765 2
Línea de transmisión (L2-3)
1000
= 𝑗0.068 𝑝. 𝑢.
765 2
𝑋1 = 𝑋2 = 𝑗40𝛺
𝑋0 = 𝑗100𝛺
Transformador (T2)
𝑋 = 𝑗0.1
UV
2
15
15
1000
= 𝑗0.171 𝑝. 𝑢.
765 2
2
1000
= 𝑗0.1 𝑝. 𝑢.
1000
FIME
Problemas resueltos
117
Generador (G2)
2
15
15
𝑋1 = 𝑋2 = 𝑗0.2
1000
= 𝑗0.2 𝑝. 𝑢.
1000
15
15
2
𝑋0 = 𝑗0.1
1000
= 𝑗0.1 𝑝. 𝑢.
1000
15
15
2
𝑋 = 𝑗0.12
1000
= 𝑗0.24 𝑝. 𝑢.
500
Transformador (T3)
Generador (G3)
𝑋1 = 𝑋2 = 𝑗0.15
13.8
15
2
1000
= 𝑗0.25 𝑝. 𝑢.
500
13.8
15
2
𝑋0 = 𝑗0.05
1000
= 𝑗0.085 𝑝. 𝑢.
500
13.8
15
2
𝑍𝑛 = 𝑗0.05
1000
= 𝑗0.085 𝑝. 𝑢.
500
3𝑍𝑛 = 3 𝑗0.085 = 𝑗0.255 𝑝. 𝑢.
Transformador (T4)
2
𝑋 = 𝑗0.11
15
15
𝑋1 = 𝑗0.3
13.8
15
13.8
15
2
𝑋2 = 𝑗0.4
1000
= 𝑗0.53 𝑝. 𝑢.
750
13.8
15
2
𝑋0 = 𝑗0.1
1000
= 𝑗0.13 𝑝. 𝑢.
500
Generador (G4)
1000
= 𝑗0.147 𝑝. 𝑢.
750
2
1000
= 𝑗0.4 𝑝. 𝑢.
750
Con estos valores ya podemos conformar los diagramas de reactancias de secuencia cero,
positiva y negativa
Secuencia cero
𝑗0.171
𝑗0.24
𝑗0.1
𝑗0.256
𝑗0.171
𝑗0.085
𝑗0.07
𝑗0.1
𝑗0.147
𝑗0.255
𝑗0.13
𝑗0.1
UV
FIME
Problemas resueltos
118
Secuencia positiva
𝑗0.068
𝑗0.1
𝑗0.068
𝑗0.085
𝑗0.24
𝑗0.18
𝑗0.1
𝑗0.147
G1
𝑗0.53
𝑗0.25
G1
𝑗0.2
G1
G1
Secuencia negativa
𝑗0.068
𝑗0.1
𝑗0.085
𝑗0.068
𝑗0.24
𝑗0.18
𝑗0.1
𝑗0.2
𝑗0.147
𝑗0.25
𝑗0.4
Problema 7.
Calcule las corrientes de cortocircuito en p.u. y real en el bus 2 del problema 6 para una
falla:
a) Línea a tierra.
b) Línea a línea.
c) Doble línea a tierra
Solución:
A continuación se calculan los equivalentes de Thévenin de cada una de las redes de
secuencia vistas desde el bus 2, que es en donde se encuentra la falla.

UV
Equivalente de Thévenin para la red de secuencia cero
FIME
Problemas resueltos
119
𝑗0.171
𝑗0.1
𝑗0.24
Falla
𝑗0.256
𝑗0.171
𝑗0.085
𝑗0.07
𝑗0.1
𝑗0.147
𝑗0.255
𝑗0.13
𝑗0.1
Convirtiendo la delta en estrella
𝑍13
1
3
𝑗0.171
𝑍1
𝑍13 ∙ 𝑍12
𝑗0.171 ∙ 𝑗0.256
=
= 𝑗0.073
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.171 + 𝑗0.256 + 𝑗0.171
𝑍2 =
𝑍12 ∙ 𝑍32
𝑗0.256 ∙ 𝑗0.171
=
= 𝑗0.073
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.171 + 𝑗0.256 + 𝑗0.171
𝑍3 =
𝑍13 ∙ 𝑍32
𝑗0.171 ∙ 𝑗0.171
=
= 𝑗0.049
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.171 + 𝑗0.256 + 𝑗0.171
𝑍3
𝑍12 𝑍2
𝑗0.256
𝑍32
𝑗0.171
2
𝑗0.1
𝑍1 =
1
3
𝑋𝑒𝑞1 = 𝑗0.1 + 𝑗0.073 + 𝑗0.073 = 𝑗0.246
𝑗0.049
𝑗0.073
𝑗0.073
𝑋𝑇𝐻0 =
𝑗0.246 𝑗0.1
= 𝑗0.071 𝑝. 𝑢.
𝑗0.246 + 𝑗0.1
2
𝑗0.1
El circuito equivalente para la red de secuencia cero es:
𝑋𝑇𝐻0 = 𝑗0.071
𝐼𝑓0
+
𝑉0
−
UV
FIME
Problemas resueltos

120
Equivalente de Thévenin para la red de secuencia positiva
1
3
𝑗0.068
𝑗0.1
Falla
𝑗0.085
2
𝑗0.24
𝑗0.068
𝑗0.18
𝑗0.1
𝑗0.147
G1
𝑗0.53
𝑗0.25
G1
𝑗0.2
G1
G1
Convirtiendo la delta en estrella
𝑍13
1
3
𝑗0.068
𝑍1
𝑍3
𝑍12 𝑍2
𝑗0.085
𝑍1 =
𝑍13 ∙ 𝑍12
𝑗0.068 ∙ 𝑗0.085
=
= 𝑗0.026
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.068 + 𝑗0.085 + 𝑗0.068
𝑍2 =
𝑍12 ∙ 𝑍32
𝑗0.085 ∙ 𝑗0.068
=
= 𝑗0.026
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.068 + 𝑗0.085 + 𝑗0.068
𝑍3 =
𝑍13 ∙ 𝑍32
𝑗0.068 ∙ 𝑗0.068
=
= 𝑗0.021
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.068 + 𝑗0.085 + 𝑗0.068
𝑍32
𝑗0.068
2
𝑗0.28
1
3
𝑗0.49
𝑗0.021
𝑗0.026
𝑗0.677
𝑗0.026
2
𝑗0.3
De la figura anterior calculamos la 𝑍𝑇𝐻
𝑋𝑒𝑞1 = 𝑗0.28 + 𝑗0.026 = 𝑗0.306
𝑋𝑒𝑞2 = 𝑗0.021 +
𝑗0.677 𝑗0.49
= 𝑗0.28
𝑗0.677 + 𝑗0.49
Y estas quedan en paralelo
𝑋𝑒𝑞2 =
𝑗0.306 𝑗0.28
= 𝑗0.146
𝑗0.306 + 𝑗0.28
Quedando en serie con la reactancia de 𝑗0.026
UV
FIME
Problemas resueltos
121
𝑋𝑒𝑞3 = 𝑗0.146 + 𝑗0.026 = 𝑗0.172
𝑗0.172
𝑗0.172 𝑗0.3
= 𝑗0.109 𝑝. 𝑢.
𝑗0.172 + 𝑗0.3
𝑋𝑇𝐻 =
2
𝑗0.3
El circuito equivalente para la red de secuencia positiva es:
𝑋𝑇𝐻1 = 𝑗0.109
+
+
𝐼𝑓1
𝑉1
𝑉𝑓
−

−
Equivalente de Thévenin para la red de secuencia negativa
1
3
𝑗0.068
𝑗0.1
Falla
𝑗0.085
2
𝑗0.068
𝑗0.24
𝑗0.18
𝑗0.1
𝑗0.147
G1
𝑗0.4
𝑗0.25
G1
𝑗0.2
G1
G1
Convirtiendo la delta en estrella
𝑍13
1
𝑍1
𝑍3
𝑍12 𝑍2
𝑗0.085
𝑍1 =
𝑍13 ∙ 𝑍12
𝑗0.068 ∙ 𝑗0.085
=
= 𝑗0.026
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.068 + 𝑗0.085 + 𝑗0.068
𝑍2 =
𝑍12 ∙ 𝑍32
𝑗0.085 ∙ 𝑗0.068
=
= 𝑗0.026
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.068 + 𝑗0.085 + 𝑗0.068
𝑍3 =
𝑍13 ∙ 𝑍32
𝑗0.068 ∙ 𝑗0.068
=
= 𝑗0.021
𝑍13 + 𝑍12 + 𝑍32
𝑗0.068 + 𝑗0.085 + 𝑗0.068
𝑍32
𝑗0.068
2
UV
3
𝑗0.068
FIME
Problemas resueltos
122
𝑗0.28
1
3
𝑗0.49
𝑗0.021
𝑗0.026
𝑗0.547
𝑗0.026
2
𝑗0.3
De la figura anterior calculamos la 𝑍𝑇𝐻
𝑋𝑒𝑞1 = 𝑗0.28 + 𝑗0.026 = 𝑗0.306
𝑋𝑒𝑞2 = 𝑗0.021 +
Y estas quedan en paralelo
𝑋𝑒𝑞2 =
𝑗0.547 𝑗0.49
= 𝑗0.279
𝑗0.547 + 𝑗0.49
𝑗0.306 𝑗0.279
= 𝑗0.146
𝑗0.306 + 𝑗0.279
Quedando en serie con la reactancia de 𝑗0.026
𝑋𝑒𝑞3 = 𝑗0.146 + 𝑗0.026 = 𝑗0.172
𝑗0.172
2
𝑋𝑇𝐻 =
𝑗0.172 𝑗0.3
= 𝑗0.109 𝑝. 𝑢.
𝑗0.172 + 𝑗0.3
𝑗0.3
El circuito equivalente para la red de secuencia negativa es:
𝑋𝑇𝐻2 = 𝑗0.109 𝑝. 𝑢.
𝐼𝑓2
+
𝑉2
−
a) Para una falla de línea a tierra la conexión de los tres diagramas equivalentes de
Thévenin de las diferentes redes de secuencia se conectan en serie como se muestra a
continuación.
UV
FIME
Problemas resueltos
123
𝑋𝑇𝐻1 = 𝑗0.109
+
+
𝐼𝑓𝑎 1
𝑉𝑎1
𝑉𝑓
−
−
𝑋𝑇𝐻2 = 𝑗0.109 𝑝. 𝑢.
+
𝐼𝑓𝑎 2
𝑉𝑎2
−
𝑋𝑇𝐻0 = 𝑗0.071
+
𝐼𝑓𝑎 0
𝑉𝑎0
−
Calculamos la corriente de cortocircuito de la fase 𝑎
𝐼𝑓𝑎 0 = 𝐼𝑓𝑎 1 = 𝐼𝑓𝑎 2 =
𝐼𝑓𝑎 1 =
𝑉𝑓
𝑋𝑇𝐻1 + 𝑋𝑇𝐻2 + 𝑋𝑇𝐻0
1∠0°
= −𝑗3.46 𝑝. 𝑢.
𝑗0.109 + 𝑗0.109 + 𝑗0.071
Entonces el valor de la corriente de cortocircuito del sistema trifásico es:
𝐼𝑓𝐴 = 3 𝐼𝑓𝑎 1 = 3 −𝑗3.46 = −𝑗10.38 𝑝. 𝑢.
La corriente base es igual a:
𝐼𝐵 =
1000
3 . 765
= 754.71𝐴
Entonces:
𝐼𝑅𝑓 = 10.38 754.71 = 7833.9 𝐴
b) Para una falla de línea a línea las conexiones de las redes de secuencia son:
UV
FIME
Problemas resueltos
124
𝑋𝑇𝐻2 = 𝑗0.109 𝑝. 𝑢.
𝑋𝑇𝐻1 = 𝑗0.109
+
+
𝐼𝑓𝑎 1
𝐼𝑓𝑎 2
𝑉𝑎1
𝑉𝑓
−
+
𝑉𝑎2
−
−
La corriente de cortocircuito de la fase 𝑎
𝐼𝑓𝑎 1 = −𝐼𝑓𝑎 2 =
𝐼𝑓𝑎 1 = −𝐼𝑓𝑎 2 =
𝑉𝑓
𝑋𝑇𝐻1 + 𝑋𝑇𝐻2
1∠0°
𝑗0.109 + 𝑗0.109
= −𝑗4.59 𝑝. 𝑢.
Calculo de las corrientes de corto circuito en A, B, C.
Por medio de la metodología de las componentes simétricas tenemos que:
𝐼𝑓𝐴 = 𝐼𝑎0 + 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2
𝐼𝑓𝐴 = 0 + −𝑗4.59 + 𝑗4.59 = 0
𝐼𝑓𝐵
𝐼𝐵 = 𝐼𝑎0 + 𝑎2 𝐼𝑎1 + 𝑎𝐼𝑎2
= 0 + 1∠240° 4.59∠ − 90° + 1∠120° 4.59∠90° = 7.95∠180°
𝐼𝑓𝐶
𝐼𝐶 = 𝐼𝑎0 + 𝑎𝐼𝑎1 + 𝑎2 𝐼𝑎2
= 0 + 1∠120° 4.59∠ − 90° + 1∠240° 4.59∠90° = 7.95∠0°
Entonces:
𝐼𝑓𝐶 = −𝐼𝑓𝐵 = 7.95 𝑝. 𝑢.
La corriente real es:
𝐼𝑅𝑓 = 7.95 754.71 = 6 000 𝐴
c) Para una falla de doble línea a tierra las conexiones de las redes de secuencia se
presentan a continuación.
𝑋𝑇𝐻2 = 𝑗0.109 𝑝. 𝑢.
𝑋𝑇𝐻1 = 𝑗0.109
+
𝑉𝑓
−
UV
𝐼𝑓𝑎 1
+
𝑉𝑎1
−
𝐼𝑓𝑎 2
+
𝑉𝑎2
𝑋𝑇𝐻0 = 𝑗0.071
𝐼𝑓0
+
𝑉𝑎0
−
−
FIME
Problemas resueltos
125
De la figura se observa que:
𝐼𝑓𝑎 1 =
𝐼𝑓𝑎 1 =
𝑉𝑓
𝑋𝑇𝐻2 × 𝑋𝑇𝐻0
+ 𝑋𝑇𝐻1
𝑋𝑇𝐻2 + 𝑋𝑇𝐻0
1∠0°
= −𝑗6.6 𝑝. 𝑢.
𝑗0.109 × 𝑗0.071
+ 𝑗0.109
𝑗0.109 + 𝑗0.071
Debido a la conexión en paralelo de las tres redes de secuencia
𝑉𝑎1 = 𝑉𝑎2 = 𝑉𝑎0 = 1∠0° − −𝑗6.58
𝑗0.109 = 0.283 𝑝. 𝑢.
𝑉𝑎2 = −𝐼𝑓𝑎 2 𝑋𝑇𝐻2
Entonces:
𝐼𝑓𝑎 2 = −
𝑉𝑎2
0.283
=−
= 𝑗2.6 𝑝. 𝑢.
𝑋𝑇𝐻2
𝑗0.109
Lo mismo para el voltaje 𝑉𝑎0
𝐼𝑓𝑎 0 = −
𝑉𝑎0
0.283
=−
= 𝑗4 𝑝. 𝑢.
𝑋𝑇𝐻0
𝑗0.071
Las corrientes las obtenemos por la metodología de las componentes simétricas.
𝐼𝐴 = 𝐼𝑎0 + 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2
𝐼𝐴 = 𝑗4 + −𝑗6.6 + 𝑗2.6 = 0
𝐼𝐵 = 𝐼𝑎0 + 𝑎2 𝐼𝑎1 + 𝑎𝐼𝑎2
𝐼𝐵 = 4∠90° + 1∠240° 6.6∠ − 90° + 1∠120° 2.6∠90° = 9.97∠143.02° 𝑝. 𝑢.
𝐼𝐶 = 𝐼𝑎0 + 𝑎𝐼𝑎1 + 𝑎2 𝐼𝑎2
𝐼𝐵 = 4∠90° + 1∠120° 6.6∠ − 90° + 1∠240° 2.6∠90° = 9.97∠36.98° 𝑝. 𝑢.
La corriente que fluye hacia la tierra es
𝐼𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 9.97∠143.02° + 9.97∠36.98° = 11.99∠90° 𝑝. 𝑢.
La corriente real es igual a:
𝐼𝑅𝑓 = 11.99 754.71 = 9 049 𝐴
UV
FIME
Problemas resueltos
126
Problema 8.
Utilice la eliminación de gauss para triangularizar
5
1
4
7
1 𝑥1
1 𝑥2 = 0
1
5 𝑥3
−2
1
3
Solución:
Hay (N-1) = 2 pasos de eliminación de Gauss.
Paso 1: Se multiplica la ecuación 1 por
multiplica la ecuación 1 por
𝐴31
𝐴11
=
4
5
𝐴21
𝐴11
=
1
5
y se resta de la ecuación 2, igualmente se
y se resta de la ecuación 3. Entonces la matriz quedaría como
sigue:
5
0
0
−2
−7/5
−23/5
𝑥1
7
1
−4/5 𝑥2 = 7/5
23/5
−21/5 𝑥3
(1)
Paso 2: Ahora se multiplica la ecuación 2 por
5
0
0
−2
−7/5
0
𝐴32
(1)
𝐴22
=
23
7
y se resta de la ecuación 3.
𝑥1
1
7
−4/5 𝑥2 = 7/5
11/7 𝑥3
0
Ya se pueden resolver las ecuaciones.
11
𝑥 =0
7 3
7
4
7
− 𝑥2 − 𝑥3 =
5
5
5
𝑥3 = 0
𝑥2 = −1
5𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 7
𝑥1 = 1
Problema 9.
(0)
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Jacobi. Empiece con 𝑥1 ,
(0)
𝑥2 = 0 y continúe hasta que la ecuación (3.19) se cumpla con 𝜀 = 10−4 .
10
2
6
5 𝑥1
=
3
9 𝑥2
Solución:
Las ecuaciones del sistema son
10𝑥1 + 5𝑥2 = 6
2𝑥1 + 9𝑥2 = 3
Siguiendo el procedimiento que llega a las ecuaciones (3.10), (3.11), despejamos a 𝑥1 y 𝑥2 .
UV
FIME
Problemas resueltos
127
1
6
6 − 5𝑥20 =
= 0.60000
10
10
1
3
= 3 − 2𝑥10 = = 0.33333
9
9
𝑥10 =
𝑥20
Este procedimiento se sigue encontrando los siguientes valores:
𝑖
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝑥1𝑖
0
0.600000
0.43334
0.50000
0.48148
0.48889
0.48683
0.48766
0.48743
0.48752
0.48749
𝑥2𝑖
0
0.33333
0.20000
0.23704
0.22222
0.22634
0.22469
0.22515
0.22496
0.22502
0.22500
El criterio de convergencia se satisface en la décima iteración, puesto que
𝑥1𝑖+1 − 𝑥1𝑖
𝑥1𝑘
𝑥2𝑖+1 − 𝑥2𝑖
𝑥2𝑖
=
=
𝑥110 − 𝑥19
𝑥19
𝑥210 − 𝑥29
𝑥29
= 6.2 × 10−5 < 𝜀
= 8.9 × 10−5 < 𝜀
Problema 10.
Utilizando el método de Gauss-Seidel resuelva nuevamente el problema 9.
Solución:
Para 𝑥1 se calcula igual que en el problema 9
𝑥10 =
1
6
6 − 5𝑥20 =
= 0.60000
10
10
La diferencia es que ahora es te valor nuevo de 𝑥1 se sustituye inmediatamente para el
cálculo de 𝑥2 .
𝑥20 =
𝑥20 =
1
3 − 2𝑥10
9
1
3 − 2 0.60000
9
= 0.20000
El procedimiento se repite hasta cumplir la condición de 𝜀 = 10−4
i
0
1
2
3
4
5
6
𝑥1𝑖
0
0.600000
0.50000
0.48889
0.48765
0.48752
0.48750
𝑥2𝑖
0
0.20000
0.22222
0.22469
0.22497
0.22500
0.22500
Como se muestra con esta metodología se llega a la convergencia es 6 iteraciones.
UV
FIME
Problemas resueltos
128
Problema 11.
Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales
𝑥1 + 𝑥2
15
=
𝑥1 𝑥2
50
4
9
𝒙 𝟎 =
resuelva por el método de Newton-Raphson empezando con 𝒙(𝟎) y continúe hasta satisfacer
𝜀 = 10 .
−4
Solución:
Usando la ecuación (3.30) con 𝑓1 = 𝑥1 + 𝑥2 y 𝑓2 = 𝑥1 𝑥2 ,
−1
𝐽 𝑖
−1
Sustituyendo a 𝐽 𝑖
=
𝜕𝑓1
𝜕𝑓1 −1
𝜕𝑥 1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2 𝑥=𝑥(𝑖)
1
= 𝑖
𝑥2
1
𝑥1𝑖
−1
𝑥 1𝑖
=
−1
−𝑥 2𝑖
1
𝑥 1𝑖 −𝑥 2𝑖
en la ecuación (3.29)
(𝑖+1)
𝑥1
=
(𝑖+1)
𝑥2
𝑥1𝑖
𝑥1𝑖
𝑖 +
𝑥2
−𝑥2𝑖
−1 15 − 𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖
1
50 − 𝑥1𝑖 𝑥2𝑖
𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖
Al separar la ecuación anterior en dos ecuaciones nos queda:
(𝑖+1)
𝑥1
(𝑖+1)
𝑥2
= 𝑥1𝑖 +
= 𝑥2𝑖 +
𝑥1𝑖 15 − 𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖 − 50 − 𝑥1𝑖 𝑥2𝑖
−𝑥2𝑖
15 −
𝑥1𝑖
𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖
− 𝑥2𝑖 + 50 − 𝑥1𝑖 𝑥2𝑖
𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖
Los cálculos sucesivos se muestran en la siguiente tabla
i
0
1
2
3
4
𝑥1𝑖
4
5.20000
4.99130
4.99998
5.00000
𝑥2𝑖
9
9.80000
10.00870
10.00002
10.00000
Como se muestra por medio de esta metodología este ejemplo converge en 4 iteraciones.
Problema 12
Realice el problema 11 por medio de los pasos que se mencionan en la sección 3.1.3.
Solución:
4−9
Paso 1 ∆𝑦 0 = 𝒚 − 𝒇 𝒙(𝟎) = 15 − 4 9 = 2
14
50
1
Paso 2 𝑱 0 = 𝑥 0
2
UV
1
𝑥10
=
1
9
1
4
FIME
Problemas resueltos
129
Paso 3 Utilizando ∆𝑦 0 𝑦 𝑱 0 , la ecuación (3.31) se convierte en
1
9
1 ∆𝑥1 0
4 ∆𝑥2 0
=
2
14
Con la eliminación de Gauss se multiplica la ecuación 1 por
𝑱𝟐𝟏
𝑱𝟏𝟏
= 9 y se le resta de
2, entonces la matriz queda de la forma:
1
0
1 ∆𝑥1 0
−5 ∆𝑥2 0
=
2
−4
Resolviendo por sustitución hacia atrás:
∆𝑥2 0 =
−4
= 0.8
−5
∆𝑥1 0 = 2 − 0.8 = 1.2
Paso 4 𝒙 1 = 𝒙 0 + ∆𝒙 0 =
4
1.2
5.2
+
=
9
0.8
9.8
Como se aprecia es el mismo resultado que en el problema 11 para 𝒙 1 .
Problema 13.
En la siguiente imagen se muestra el diagrama unifilar de un sistema de potencia sencillo. Los
generadores están conectados en las barras 1 y 2, mientras las cargas se indican en las cuatro barras.
Los valores base para el sistema de transmisión son 100 MVA y 230 KV. Los datos de líneas de la
tabla 1 dan las impedancias serie en por unidad y las susceptancias de carga de la línea para los
circuitos equivalentes nominales 𝜋 de las cuatro líneas identificadas por las barras en las que
terminan. Los datos de barras en la tabla 2 enlistan los valores para P, Q y V en cada barra. Los
valores de la Q de la carga se calculan a partir de los valores P correspondientes bajo el supuesto de
un factor de potencia de 0.85. Los valores programados totales, 𝑃𝑖,𝑝𝑟𝑜𝑔 y 𝑄𝑖,𝑝𝑟𝑜𝑔 , son negativos en
las barras de carga 2 y 3. No se especifica la 𝑄𝑔𝑖 generada donde la magnitud del voltaje es
constante. En la columna de voltajes, los valores para las barras de carga son estimaciones de inicio
plano. La magnitud de voltaje 𝑉1 y el ángulo 𝛿1 de la barra de compensación, así como la
magnitud 𝑉4 en la barra 4, se mantienen constantes en los valores que se enlistan. Se hace un
estudio de flujos de potencia por el método de Gauss-Seidel. Encuentre el valor de V2 para la
primera iteración suponiendo que los cálculos iterativos comienzan en la barra 2.
Abedul
Olmo
1
2
3
4
Pino
Arce
UV
Sistema para el problema 13
FIME
Problemas resueltos
130
Tabla 1datos de líneas para el problema 13
Serie Y=Z-1
Serie Z
Línea, de
barra a
barra
1-2
1-3
2-4
3-4
R
p.u.
0.01008
0.00744
0.00744
0.01272
X
p.u.
0.05040
0.03720
0.03720
0.06360
G
p.u.
3.815629
5.169561
5.169561
3.023705
B
p.u.
-19.078144
-25.847809
-25.847809
-15.118528
Y en paralelo
Mvar
Totales de
R
carga
p.u.
10.25
0.05125
7.75
0.03875
7.75
0.03875
12.75
0.06375
Tabla 2 Datos de barras para el problema 13
Generación
Carga
Barra P, MW Q, Mvar P, MW Q, Mvar
1
̶
̶
50
30.99
2
0
0
170
105.35
3
0
0
200
123.94
4
318
̶
80
49.58
V, p.u.
1.00 0º
1.00 0º
1.00 0º
1.02 0º
Observaciones
Barra de compensación
Barra de carga (inductiva)
Barra de carga (inductiva)
Voltaje controlado
Solución:
El sistema de Ybarra mostrado en la tabla 3 se construye a partir de los datos de líneas dados
en la tabla 1. Por ejemplo, los elementos fuera de la diagonal que no son cero, Y21 y Y24, están
asociados con la barra 2 y son iguales a los negativos de sus respectivas admitancias de línea.
𝑌21 = − 3.815629 − 𝑗19.078144 ;
𝑌24 = −(5.169561 − 𝑗25.847809)
Como Y22 es la suma de todas las admitancias que se conectan a la barra 2, incluso las susceptancias
en paralelo para la carga de las líneas 2-1 y 2-4, se tiene
𝑌22 = −𝑌21 + 𝑗0.05125 + −𝑌24 + 𝑗0.03875 = 8.985190 − 𝑗44.835953
Tabla 3 Matriz de admitancias de barra para el problema 13
No.
de Barra
1
2
3
4
UV
1
2
3
4
8.95190
-3.815629
-5.169561
0
-j44.835953 +j19.078144 +j25.847809
-3.815629
8.95190
0
-5.169561
+j19.078144 -j44.835953
+j25.847809
-5.169561
0
8.193267
3.023705
+j25.847809
-j40.863838 +j15.118528
0
-5.169561
3.023705
8.193267
+j25.847809 +j15.118528 -j40.863838
FIME
Problemas resueltos
131
La sustitución en la ecuación (3.46) da el voltaje en por unidad
(1)
𝑉2
=
1 −7 + 𝑗1.0535
− 1.00 −3.815629 + 𝑗19.078144 − 1.02(−5.169561 + 𝑗25.847809)
𝑌22 1.0 + 𝑗0.0
=
=
1
−7 + 𝑗1.0535 + 9.088581 − 𝑗45.442909
𝑌22
7.388581 − 𝑗44.389409
8.985190 − 𝑗44.835953
= 0.983564 − 𝑗0.032316
Aplicamos el factor de aceleración en la barra 2 para la primera iteración, tenemos el valor
(1)
acelerado 𝑉2,𝑎𝑐 que se define por la siguiente ecuación
(1)
(0)
𝑉2,𝑎𝑐 = 𝑉2
(0)
+ 𝑎 𝑉2 1 − 𝑉2
Con un factor de aceleración de 1.6 queda de la siguiente forma
(1)
𝑉2,𝑎𝑐 = 1 + 1.6
0.983564 − 𝑗0.032316 − 1
= 0.973703 − 𝑗0.051706 𝑝. 𝑢.
Este valor lo sustituimos en la ecuación que calcula el voltaje en la barra 3. El valor para la
primera iteración es:
(1)
𝑉3,𝑎𝑐 = 0.953949 − 𝑗0.066708 𝑝. 𝑢.
La barra 4 por tratarse de una barra de voltaje controlado se calcula primero la potencia
reactiva por medio de la ecuación (3.53)
(1)
(0)
𝑄4 = −𝐼𝑚 𝑉4
(1)
(1)
(0)
𝑌42 𝑉2,𝑎𝑐 + 𝑌43 𝑉3,𝑎𝑐 + 𝑌44 𝑉4
Al sustituir valores
(1)
𝑄4 = −𝐼𝑚 1.02 −5.169561 + 𝑗25.847809 0.973703 − 𝑗0.051706
+ −3.023705 + 𝑗15.118528 0.953949 − 𝑗0.066708
+ 8.193267 − 𝑗40.863838 1.02
= −𝐼𝑚 1.02 −5.573064 + 𝑗40.059396 + 8.193267 − 𝑗40.863838 1.02
(1)
𝑄4 = 1.654151 𝑝. 𝑢.
(1)
Con este valor se calcula 𝑉4
(1)
𝑉4
(1)
1 𝑃4,𝑝𝑟𝑜𝑔 − 𝑗𝑄4
(1)
(1)
=
− 𝑌42 𝑉2,𝑎𝑐 + 𝑌43 𝑉3,𝑎𝑐
(0)∗
𝑌44
𝑉
4
(1)
𝑉4
UV
=
1
2.38 − 1.654151
— −5.573066 + 𝑗40.059398
8.193267 − 𝑗40.863838
1.02 − 𝑗0.0
FIME
Problemas resueltos
132
=
7.906399 − 𝑗41.681115
= 1.017874 − 𝑗0.010604 𝑝. 𝑢.
8.193267 − 𝑗40.863838
(1)
Por lo tanto 𝑉4
es igual a 1.017929 y así, se debe corregir la magnitud para que sea 1.02,
(1)
𝑉4,𝑐𝑜𝑟𝑟 =
1.02
1.017874 − 𝑗0.010604
1.017929
= 1.019945 − 𝑗0.010625 𝑝. 𝑢.
(1)
En este ejemplo se encuentra que 𝑄4 es 1.654151 p.u. en la primera iteración. Si la
generación de potencia reactiva en la barra 4 estuviera limitada a un valor menor de 1.654151 p.u.,
(1)
entonces, se debería usar el valor límite especificado para 𝑄4 y en este caso, la barra 4 podría
considerarse como de carga dentro de esta iteración. La misma estrategia se usa dentro de cualquier
otra iteración en la que se violen los límites de Q del generador.
Problema 14.
En la figura siguiente se ilustra un diagrama unifilar para un sistema de potencia de cinco
buses. Los datos de entrada se dan en las tablas 4, 5 y 6. Como se muestra en la tabla 4, el bus 1, al
cual está conectado un generador, en e l bus compensador. El bus 3, al cual están conectados un
generador y una carga, es un bus de voltaje controlado. Los buses 2, 4 y 5 son buses de carga.
Observe que las cargas en los buses 2 y 3 son inductivas, puesto que Q2 = -QL2 = -0.7 y –QL3 = -0.1
son valores negativos.
B1
T1
400 MVA
1 15/345 KV 5
B51
T2
800 MVA
345/15 KV
B3
B41
Línea 3
345 KV
50 mi
400 MVA
15 KV
345 KV Línea 2
100 mi
520 MW
800 MVA
15 KV
B42
B52
3
Línea 1 345 KV
200 mi
B21
B22
40 Mvar
80 MW
2
280 Mvar
800 MW
Sistema para el problema 14
UV
FIME
Problemas resueltos
133
Tabla 4 Datos de entrada para el problema 14
Bus
1
2
3
4
5
Tipo
Oscilante
De carga
De
tensión
De carga
De carga
V
p.u.
1.0
1.05
𝜹
grados
0
-
PG
p.u.
0
5.2
QG
p.u.
0
-
PL
p.u.
0
8.0
0.8
QL
p.u.
0
2.8
0.4
QGmáx
p.u.
4.0
QGmín
p.u.
-2.8
-
-
0
0
0
0
0
0
0
0
-
-
Tabla 5 Datos de entrada de la línea para el problema 14
Bus a bus
2-4
2-5
4-5
R´
p.u.
0.0090
0.0045
0.00225
X´
p.u.
0.100
0.050
0.025
G´
p.u.
0
0
0
B´
p.u.
1.72
0.88
0.44
MVA
Máximo
p.u.
12.0
12.0
12.0
Tabla 6 Datos de entrada del trasformador para el problema 14
Bus a bus
1-5
3-4
R
p.u.
X
p.u.
GC
p.u.
Bm
p.u.
0.00150
0.00075
0.02
0.01
0
0
0
0
MVA
Máximo
p.u.
6.0
10.0
Posición
TAP
Máximo
p.u.
-
Determine la dimensión de la matriz jacobiana para el sistema de potencia mostrado.
También calcule ∆P2(0) en el lapso 1 y J124(0) en el paso 2 de la primera iteración del método de
Newton-Raphson. Suponga ángulos de fase iniciales de cero grados y magnitudes de voltaje
iniciales de 1.0 p.u. (excepto V3 = 1.05).
Solución:
Puesto que hay N = 5 buses, las ecuaciones (3.55) y (3.56) constituyen 2(N-1) = 8
ecuaciones, para las cuales J(i) tiene dimensión 8 × 8. Sin embargo, hay un bus de voltaje
controlado, el bus 3. Por consiguiente, V3 y la ecuación para Q3(x) se podrían eliminar, J(i)
reducida a una matriz de 7 × 7.
Del paso 1 y la ecuación (3.55),
∆𝑃2 0 = 𝑃2 − 𝑃2 𝑥 = 𝑃2 − 𝑉2 0 𝑌21 𝑉1 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 0 − 𝛿1 0 − 𝜃21
+𝑌22 𝑉2 𝑐𝑜𝑠 −𝜃22 + 𝑌23 𝑉3 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 0 − 𝛿3 0 − 𝜃23
+𝑌24 𝑉4 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 0 − 𝛿4 0 − 𝜃24
+𝑌25 𝑉5 𝑐𝑜𝑠 𝛿2 0 − 𝛿5 0 − 𝜃25
∆𝑃2 0 = −0.8 − 1.0 28.5847(1.0)cos⁡
(84.624°)
+9.95972(1.0)cos⁡
(−95.143°)
UV
FIME
Problemas resueltos
134
+19.9159(1.0)cos⁡
(−95.143°)
= −0.8 − −2.89 × 10−4 = −7.99972 𝑝. 𝑢.
Del paso 2 y J1dado en la tabla 3.1,
𝐽124 0 = 𝑉2 (0)𝑌24 𝑉4 𝑠𝑒𝑛 𝛿2 0 − 𝛿4 0 − 𝜃24
= 1.0 9.95972 (1.0)𝑠𝑒𝑛 −95.143°
= −9.91964 𝑝. 𝑢.
Problema 15.
Un sistema de potencia de 60 Hz interconectado consiste en un área con tres unidades
turbogeneradoras con capacidades nominales de 1000, 750 y 500 MVA, respectivamente. La
constante de regulación de cada unidad es R = 0.05 p.u. con base en su propia capacidad.
Al inicio cada unidad está operando a la mitad de su capacidad, cuando de repente la carga
del sistema se incrementa en 200 MW. Determine a) la característica de respuesta de frecuencia de
área 𝛽 p.u. con un sistema de 1000 MVA, b) la caída de régimen permanente en la frecuencia de
área y c) el incremento en la salida de potencia mecánica de la turbina de cada unidad. Suponga que
el ajuste de potencia de referencia de cada unidad turbogeneradora permanece constante. Desprecie
las pérdidas y la dependencia que la carga tiene en la frecuencia.
Solución:
a) Las constantes de regulación se convierten a p.u. sobre la base del sistema por medio de
𝑅𝑝.𝑢.𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 = 𝑅𝑝.𝑢.𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 )
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 )
Obtenemos
𝑅1𝑝.𝑢.𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 = 𝑅1𝑝.𝑢.𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 = 0.05 𝑝. 𝑢.
𝑅2𝑝.𝑢.𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 = 0.05
1000
= 0.06667 𝑝. 𝑢.
750
𝑅3𝑝.𝑢.𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 = 0.05
1000
= 0.10 𝑝. 𝑢.
550
Usando la ecuación (4.4),
𝛽=
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
= 45.0 𝑝. 𝑢.
𝑅1 𝑅2 𝑅3 0.05 0.06667 0.10
b) Despreciando las pérdidas y la dependencia de la carga en la frecuencia, el incremento
de régimen permanente en la potencia mecánica total de la turbina es igual al
incremento de carga, 200 MW o 0.20 p.u. Usando la ecuación (4.5) con ∆𝑝𝑟𝑒𝑓 = 0,
∆𝑓 =
−1
−1
∆𝑝𝑚 =
𝛽
45
0.20 = −4.444 × 10−3 𝑝. 𝑢.
= −4.444 × 10−3 60 = −0.2667 𝐻𝑧
La caída de frecuencia de régimen permanente es de 0.2667 Hz.
UV
FIME
Problemas resueltos
135
c) De la ecuación (4.2), usando ∆𝑓 == −4.444 × 10−3 𝑝. 𝑢.,
∆𝑝𝑚 1 =
∆𝑝𝑚2 =
−1
0.05
−1
0.06667
∆𝑝𝑚 2 =
−1
0.10
−4.444 × 10−3 = 0.0888 𝑝. 𝑢.
= 88.88 𝑀𝑊
−4.444 × 10−3 = 0.06666 𝑝. 𝑢.
= 66.66 𝑀𝑊
−4.444 × 10−3 = 0.04444 𝑝. 𝑢.
= 44.44 𝑀𝑊
Problema 16.
Un área de un sistema interconectado tiene dos unidades de combustible fósil que operan en
despacho económico. Los costos de operación variables de estas unidades están dados por
𝐶1 = 10𝑃1 + 8 × 10−3 𝑃12 $/h
𝐶8 = 8𝑃1 + 9 × 10−3 𝑃22 $/h
Donde P1 y P2 están en megawatts. Determine la salida de potencia de cada unidad, el costo
de operación incremental y el costo de operación total CT que minimiza CT cuando la demanda de
carga PT varía de 500 a 1500 MW. Se ignoran las restricciones de desigualdad de la unidad
generadora y las pérdidas de transmisión.
Solución:
Los costos de operación incrementales de las unidades son
𝑑𝐶1
= 10 + 16 × 10−3 𝑃1
𝑑𝑃1
$/MWh
𝑑𝐶2
= 8 + 18 × 10−3 𝑃2
𝑑𝑃2
$/MWh
Usando la ecuación (4.15), el costo total de operación mínimo ocurre cuando
𝑑𝐶1
𝑑𝐶2
= 10 + 16 × 10−3 𝑃1 =
= 8 + 18 × 10−3 𝑃2
𝑑𝑃1
𝑑𝑃2
Usando P2 = PT – P1, la ecuación precedente se convierte en
10 + 16 × 10−3 𝑃1 = 8 + 18 × 10−3 𝑃𝑇 − 𝑃1
Despejando P1,
𝑃1 =
UV
18 × 10−3 𝑃𝑇 − 2
= 0.5294𝑃𝑇 − 58.82 𝑀𝑊
34 × 10−3
FIME
Problemas resueltos
136
También, el costo de operación incremental cuando se minimiza CT es
𝑑𝐶2 𝑑𝐶1
=
= 10 + 16 × 10−3 𝑃1 = 10 + 16 × 10−3 0.5294𝑃𝑇 − 58.82
𝑑𝑃2 𝑑𝑃1
= 9.0589 + 8.4704 × 10−3 𝑃𝑇 $/MWh
Y el mínimo costo de operación es
𝐶𝑇 = 𝐶1 + 𝐶2 = 10𝑃1 + 8 × 10−3 𝑃12 + 8𝑃2 + 9 × 10−3 𝑃22
$/h
La solución del despacho económico se muestra en la tabla 7 para valores de PT de 500 a
1500 MW
Tabla 7 Solución del despacho económico para el problema 16
PT
MW
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
P1
MW
206
259
312
365
418
471
524
576
629
682
735
P2
MW
294
341
388
435
482
529
576
624
671
718
765
dC1/dP1
$/MWh
23.29
14.14
14.99
15.84
16.68
17.53
18.38
19.22
20.07
20.92
21.76
CT
$/h
5529
6901
8358
9899
11525
13235
15030
16910
18875
20924
23058
Problema 17.
Una unidad generadora hidroeléctrica de 60 Hz, 60 MVA, 13.8 KV, 32 polos tiene una H de
2.6 seg. a) Determine 𝜔0 y 𝜔𝑛 ; b) escriba la ecuación de oscilación en p.u. (suponga 𝜔𝑝.𝑢. = 1.0), y
c) la unidad está operando con 𝑝𝑚 = 𝑝𝑒 = 1.0 𝑝. 𝑢., 𝜔 = 𝜔𝑠𝑖𝑛 y 𝛿 = 12º cuando ocurre una falla
trifásica en sus terminales que provoca que 𝑝𝑒 = 0 a partir de t(0)+. Determine el ángulo 4 ciclos
después de que ocurre la falla.
Solución:
a) 𝜔0 = 2𝜋 × 60 = 377 rad/seg. y usando (4.35):
𝜔𝑚𝑠𝑖𝑛 =
2
2
𝜔𝑠𝑖𝑛 =
× 377 = 23.56 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑝
32
b) Sustituyendo directamente en (4.37)
2 × 2.6 𝑑 2 𝛿
2.6 𝑑 2 𝛿
=
= 𝑝𝑚 − 𝑝𝑒
2𝜋 × 60 𝑑𝑡 2
60𝜋 𝑑𝑡 2
c) El ángulo inicial es 𝛿 0 = 12° = 0.2094 𝑟𝑎𝑑. Al estar aplicada la falla (a partir de
𝑡(0)+ ) la ecuación de oscilación es:
UV
FIME
Problemas resueltos
137
2.6 𝑑 2 𝛿
=1
60𝜋 𝑑𝑡 2
Integrándola dos veces:
𝑑𝛿
𝑑𝑡
=
60𝜋
2.6
𝑡+0
𝑑𝛿 (0)
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒
𝛿=
𝑑𝑡
=0
30𝜋 2
𝑡 + 0.2094
2.6
Ya que 4 ciclos corresponden a 1/15 seg.
𝛿
1
30𝜋 1
=
15
2.6 15
2
+ 0.2094 = 0.3705 𝑟𝑎𝑑𝑜 21.23°
Problema 18.
En la siguiente figura siguiente se observa el diagrama unifilar para un generador síncrono
de 60 Hz, conectado mediante un transformador y líneas de transmisión paralelas a un bus infinito.
Todas las reactancias se dan por unidad con base en un sistema común. Si el bus infinito recibe 1.0
p.u. de potencia real a un f.p. de 0.95 atrasado, determine a) el voltaje interno del generador y b) la
ecuación para la potencia eléctrica que entrega el generador contra su ángulo de potencia 𝛿.
Solución:
1
2
X12 = 0.20
X TR = 0.10
G
B21
B12
∞
3
Vbus = 1.0
B11
X ´d = 0.30
L1-2
F
B13
X13 = 0.10
X 23 = 0.20
B22
Sistema para el problema 18
Solución:
a) El circuito de las reactancias del sistema se muestra a continuación
𝑗𝑋𝑑´
𝑗0.30
𝑝𝑒
1
𝑗𝑋𝑇𝑅
𝑗0.10
2
𝑗𝑋12
𝑗0.20
𝑗𝑋13
𝑗𝑋23
𝑗0.10
𝑗0.20
3
𝐸´∠𝛿
∞ 1.0∠0°
Figura 1 Circuito equivalente para el problema 18
UV
FIME
Problemas resueltos
138
La reactancia equivalente entre el voltaje interno de la máquina y el bus infinito es
𝑋𝑒𝑞 = 𝑋𝑑´ + 𝑋𝑇𝑅 +
𝑋𝑒𝑞 = 0.30 + 0.10 +
𝑋12 × 𝑋13 + 𝑋23
𝑋12 + 𝑋13 + 𝑋23
0.20 × 0.10 + 0.20
= 0.520 𝑝. 𝑢.
0.20 + 0.10 + 0.20
La corriente en el bus infinito es
𝐼=
𝑃
(1.0)
∠ − 𝑐𝑜𝑠 −1 f. p. =
∠ − 𝑐𝑜𝑠 −1 0.95
𝑉𝑏𝑢𝑠 (f. p. )
1.0 (0.95)
= 1.05263∠ − 18.195° 𝑝. 𝑢.
Y el voltaje interno de la máquina es
𝐸´ = 𝐸´∠𝛿 = 𝑉𝑏𝑢𝑠 + 𝑗𝑋𝑒𝑞 𝐼
= 1.0∠0° + 𝑗0.520 (1.05263∠ − 18.195°)
= 1.0∠0° + 0.54737∠71.805°
= 1.2812∠23.946° 𝑝. 𝑢.
b) De la ecuación (4.40)
𝑝𝑒 =
1.2812 1.0
𝑠𝑒𝑛 𝛿 = 2.4638 𝑠𝑒𝑛 𝛿
0.520
Problema 19.
El generador síncrono que se muestra a continuación funciona inicialmente en las
condiciones de estado estable del problema 18, cuando se presenta un cortocircuito momentáneo
sólido trifásico a tierra en la línea 1 a 3 en el bus 1, que es el punto F del sistema del problema 18.
Tres ciclos después la falla desaparece sola. Debido a la operación errónea del relevador, todos los
interruptores de los circuitos permanecieron cerrados. Determine si la estabilidad se mantiene y
calcule el ángulo de potencia máximo. La constate de inercia de la unidad generadora es de 3.0 p.u.seg. En la base del sistema. Suponga que 𝑝𝑚 es constante durante toda la perturbación, y que
𝜔𝑝.𝑢. 𝑡 = 1.0 en la ecuación de oscilación.
Solución:
Las gráficas de 𝑝𝑒 y 𝑝𝑚 en función de 𝛿 se ilustra en la figura siguiente. Del problema 18 el
punto de operación inicial es 𝑝𝑒 𝑡 = 𝑝𝑚 = 1.0 𝑝. 𝑢. y 𝛿 0+ = 𝛿 0− = 𝛿0 = 23.95° =
0.4179 𝑟𝑎𝑑. En t = 0, cuando ocurre el cortocircuito, 𝑝𝑒 cae a cero de forma instantánea y
permanece en ese valor durante la falla, ya que la energía no se puede transferir después del bus 1
que tienen la falla. De la ecuación (4.37), con 𝜔𝑝.𝑢. 𝑡 = 1.0
2𝐻 𝑑 2 𝛿𝑚 (𝑡)
= 𝑝𝑚𝑝 .𝑢.
𝜔𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑡 2
UV
0 ≤ 𝑡 ≤ 0.05 𝑠
FIME
Problemas resueltos
139
Al efectuar una integración doble con las condiciones iniciales 𝛿 0 = 𝛿0 y
𝑑𝛿 (0)
𝑑𝑡
= 0,
𝑑𝛿(0) 𝜔𝑠𝑖𝑛 𝑝𝑚𝑝 .𝑢.
=
𝑡+0
𝑑𝑡
2𝐻
𝛿 𝑡 =
𝜔 𝑠𝑖𝑛 𝑝 𝑚𝑝 .𝑢 . 2
𝑡
4𝐻
+ 𝛿0
En t = 3 ciclos = 0.05 segundos,
𝛿1 = 𝛿 0.05 𝑠 =
2𝜋60
(0.05)2 + 0.4179
12
= 0.4964 𝑟𝑎𝑑 = 28.44°
En t = 0.05 s la falla desaparece y 𝑝𝑒 se incrementa en forma instantánea a partir de cero
hasta la curva sinusoidal como se muestra en la gráfica. 𝛿 Continúa en aumento hasta que el área A2
de desaceleración es igual a A1. Es decir,
p(p.u.)
𝑝𝑚 á𝑥 = 2.4638
𝑝𝑒 = 2.4638𝑠𝑒𝑛𝛿
𝐴2
𝐴1
𝑝𝑚 = 1.0
𝛿0 𝛿1 𝛿2
𝜋/2
𝛿3
𝜋
𝛿
(Radianes)
Gráficas de 𝑝𝑒 y 𝑝𝑚 en función de 𝛿 para
problema 19
𝐴2 =
=
𝛿2
𝛿1
𝑝𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛿 − 𝑝𝑚 𝑑𝛿
𝛿2
0.4964
2.4638𝑠𝑒𝑛𝛿 − 1.0 𝑑𝛿 = 𝐴1 = 0.0785
Al efectuar la integración se tiene
2.4638 𝑐𝑜𝑠 0.4964 − 𝑐𝑜𝑠𝛿2 − 𝛿2 − 0.4964 = 0.0785
2.4638𝑐𝑜𝑠𝛿2 + 𝛿2 = 2.5843
La ecuación no lineal anterior se resuelve mediante iteraciones hasta obtener
𝛿2 = 0.7003 𝑟𝑎𝑑 = 40.12°
UV
FIME
Problemas resueltos
140
Con el ángulo máximo 𝛿2 no sobrepasa 𝛿3 = 180° − 𝛿0 = 156.05°, se conserva la
estabilidad. En el estado estable, el generador vuelve a su punto inicial de operación 𝑝𝑒𝑠𝑠 = 𝑝𝑚 =
1.0 𝑝. 𝑢. y 𝛿𝑠𝑠 = 𝛿0 = 23.95°.
Obsérvese que a medida que aumenta la duración de la falla, también se incrementa el
riesgo de inestabilidad. El tiempo critico de liberación de la falla, tcr, es la duración máxima
permisible de la falla para que haya estabilidad.
Problema 20.
Considere un estudio de estabilidad transitoria para el sistema de potencia dado en el
problema 14, con capacitor en paralelo de 184 Mvar instalado en el bus 2 que hace que V2 = 0.959.
´
´
Las reactancias transitorias de la máquina son 𝑋𝑑1
= 0.05 y 𝑋𝑑2
= 0.025 𝑝. 𝑢. en la base del
sistema. Determine las matrices de admitancia 𝒀11 , 𝒀22 y 𝒀12 .
Solución:
De acuerdo con el problema 14, el sistema de potencia tiene N = 5 buses y M = 2 máquinas.
El segundo renglón de la matriz 5 × 5 de admitancias de bus usada para los flujos de potencia se
calculó en el problema 14. Si se calculan los otros renglones del mismo modo, obtenemos
𝑌𝑏𝑢𝑠 =
0
−3.728 + 𝑗49.72
0
3.728 − 𝑗49.72
0
−0.892 + 𝑗9.92 −1.784 + 𝑗19.84
2.68 − 𝑗28.46
0
0
0
7.46 − 𝑗99.44 −7.46 + 𝑗99.44
0
0
𝑝. 𝑢.
−0.892 + 𝑗9.92 −7.46 + 𝑗99.44 11.92 − 𝑗148.0 −3.572 + 𝑗39.68
0
−3.728 + 𝑗49.72 −1.784 + 𝑗19.84
−3.572 + 𝑗39.68 9.084 − 𝑗108.6
0
Para encontrar 𝒀11 , se modifica 𝒀𝑏𝑢𝑠 al incluir las admitancias de la carga y las
impedancias invertidas del generador. De la tabla 4 se tiene que la carga en el bus 3 es 𝑃𝐿3 +
𝑗𝑄𝐿3 = 0.8 + 𝑗0.4 𝑝. 𝑢. y el voltaje en el bus 3 es 𝑉3 = 1.05 𝑝. 𝑢. Al representar esta carga como
una admitancia constante, tenemos
𝑌𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 3 =
𝑃𝐿3 + 𝑗𝑄𝐿3 0.8 − 𝑗0.4
=
= 0.7256 − 𝑗0.3028 𝑝. 𝑢.
(1.05)2
𝑉32
De igual modo, la admitancia de la carga en el bus 2 es
𝑌𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 2 =
𝑃𝐿2 + 𝑗𝑄𝐿2 0.8 − 𝑗2.8 + 𝑗1.84
=
= 8.699 − 𝑗1.044 𝑝. 𝑢.
(0.959)2
𝑉22
Con V2 y el banco de capacitores en paralelo de 184 Mvar (1.84 p.u.) se incluyen en la
carga 2.
Para la máquina 1 conectada al bus 1, las impedancias invertidas del generador son
1
´
𝑗𝑋𝑑1
=
1
= −𝑗20.0 𝑝. 𝑢.
𝑗0.05
Y para la máquina 2 conectada al bus 3
UV
FIME
Problemas resueltos
141
1
´
𝑗𝑋𝑑2
Para obtener 𝒀11 sume
1
𝑗 𝑋𝑑´ 1
=
1
= −𝑗40.0 𝑝. 𝑢.
𝑗0.025
al primer elemento de la diagonal de 𝒀𝑏𝑢𝑠 , 𝒀𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 2 al segundo
1
elemento de la diagonal y 𝒀𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 3 + 𝑗𝑋´
𝑑2
al tercer elemento de la diagonal. Entonces, la matriz 𝒀11
de 5× 5 es
𝑌𝑏𝑢𝑠 =
0
−3.728 + 𝑗49.72
0
3.728 − 𝑗69.72
0
−0.892 + 𝑗9.92 −1.784 + 𝑗19.84
11.38 − 𝑗29.50
0
0
0
8.186 − 𝑗139.80 −7.46 + 𝑗99.44
0
0
𝑝. 𝑢.
−0.892 + 𝑗9.92 −7.46 + 𝑗99.44 11.92 − 𝑗148.0 −3.572 + 𝑗39.68
0
−3.728 + 𝑗49.72 −1.784 + 𝑗19.84
−3.572 + 𝑗39.68 9.084 − 𝑗108.6
0
De la ecuación (4.69), la matriz 𝒀22 de 2 × 2 es
1
𝒀22 =
0
𝑗𝑋´𝑑1
0
1
𝑗𝑋´𝑑2
=
−𝑗20.0
0
𝑝. 𝑢.
0
−𝑗40.0
Del sistema del problema 14 se tiene que el generador 1 se conecta al bus 1 (por tanto G1 =
1) y el generador 2 está conectado al bus 3 (por tanto G2 = 3). De la ecuación (4.70), la matriz 𝒀12
de 5 × 2 es
𝒀12
UV
𝑗20.0
0
0
0
= 0
𝑗40.0 𝑝. 𝑢.
0
0
0
0
FIME
142
CONCLUSIÓN
Los sistemas eléctricos de potencia son muy complejos en la actualidad debido al
crecimiento de la población y por ende de la demanda, son variadas las herramientas que se
han desarrollado para poder analizarlos de la mejor forma. Como se observo a lo largo de
las unidades, estas mismas herramientas necesitan de conocimientos de electromagnetismo,
circuitos eléctricos, transformadores, máquinas síncronas, etc., para poder comprenderlos
de forma clara y fácil.
Es fundamental saber representar a los sistemas eléctricos de potencia de forma
correcta debido a que en base a éstos se realizaran los cálculos y análisis para determinado
estudio, al tener una representación adecuada disminuyen la posibilidad de errores. Es
fundamental la simplificación, para un sistema trifásico balanceado, convertirlo en un
sistema monofásico y simplificar cálculos y de igual importancia es conocer la
conformación de un diagrama unifilar, la simbología que representa a cada elemento que
interviene en un sistema eléctrico de potencia dado.
Los estudios de cortocircuito son de gran importancia en los sistemas de potencia
debido a los resultados tan amplios que resultan y de las importantes decisiones que se
toman en base a estos; al conocer la corriente de cortocircuito en determinada tipo de falla
podemos elegir interruptores, protecciones, fusibles, etc., de forma adecuada y observando
el mejor beneficio para el sistema eléctrico de potencia.
Es indudable la importancia de conocer a la perfección el funcionamiento de los
sistemas eléctricos de potencia, sus componentes, su comportamiento ante causas que
alteren su funcionamiento normal, etc.
El presente material se intento brindar una base para conocer los fundamentos de los
sistemas eléctricos de potencia, espero que sirva como guía para el lector y le ayude a
comprenderlos.
CORTOCIRCUITO Y FLUJOS DE CARGA
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UV
FIME