ILUSTRACIÓN DEL PROBLEMA DE LA IDENTIFICABILIDAD EN LOS MODELOS MULTIECUACIONALES El objetivo de este documento es ilustrar matemáticamente, y con un caso concreto, el problema de la identificación en los modelos multiecuacionales. Para ello, es necesario tener saber en todo momento que la estimación de un modelo multiecuacional simultáneo de forma correcta debe tener en cuenta, en cada ecuación, el valor de estimación de la otra(s). Aunque siempre será posible estimar de una en una cada ecuación de forma independiente, esta solución rompe con la idea de simultaneidad que intenta incluirse en un modelo como el que estamos viendo. La dificultad para estimar simultáneamente, unido a su evidente interés para dotar de congruencia al esquema propuesto, exige pasar, en muchos sistemas de estimación, de la forma estructural a la reducida, de forma que queden perfectamente agrupadas las endógenas a un lado de la igualdad y las exógenas (no obtenibles a partir del propio modelo) al otro. Con ello, podríamos estimar de una en una sin romper el principio de simultaneidad. Además, la forma reducida tiene un carácter intrínsecamente interesante, dado que se elimina el problema de los regresores estocásticos innato en un modelo multiecuacional, ya que, en dicha forma reducida, la agrupación da lugar a que cada endógena (y), sólo venga explicada por exógenas del modelos (x’s). El ejemplo que servirá para la ilustración parte de una especificación simultánea de dos ecuaciones, referidas al tipo de interés del BCE (TBCE) y al de la Reserva Federal americana (TRF). Se plantearán tres especificaciones diferentes para explicar dichos tipos de interés, siempre manteniendo la referencia simultánea entre uno y otro (el BCE explica al de la Reserva y viceversa), pero incluyendo más explicativas cada vez en el modelo. Las especificaciones propuestas son las siguientes: Caso 1 Caso 2 Caso 3 TBCE=α0+α1TRF TRF=β0+β1TBCE TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE TRF=β0+β1TBCE TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE TRF=β0+β1TBCE+β2IPCUSA Donde TBCE y TRF son los tipos de interés Europeo y Americano, IPCUE e IPCUSA son los índices de precios Europeo. CASO PRIMERO TBCE=α0+α1TRF TRF=β0+β1TBCE Estimando en las formas estructurales: Estimación forma estructura ecuación 1: TBCE=α0+α1TRF Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 11:38 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C TRF -1.009657 0.965412 1.599211 0.279838 -0.631347 3.449889 0.5299 0.0010 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.145317 0.133108 1.103655 85.26379 -108.2506 0.089111 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4.489167 1.185361 3.062516 3.125757 11.90174 0.000954 Estimación forma estructura ecuación 2: TRF=β0+β1TBCE Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 11:39 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable C TBCE R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 5.020108 0.150524 0.202490 0.043631 24.79185 3.449889 0.0000 0.0010 0.145317 0.133108 0.435792 13.29403 -41.34695 0.096193 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 5.695833 0.468055 1.204082 1.267323 11.90174 0.000954 Esta estimación siempre será posible, pero los resultados no serán congruentes, ya que los valores del tipo de interés estimado en la ecuación uno no serán los mismos que los empleados luego para estimar dos (en esta se utilizarán también los valores reales, no los estimados). Lo mismo ocurre en la segunda ecuación. Por ello, parece conveniente estimar el modelo (cada ecuación) en forma reducida y, después, volver a la forma estructural: Para pasar de estas formas estructurales a las correspondientes reducidas, despejaría en cada una de ellas la variable “explicativa-endógena de la otras”, es decir: FORMA ESTRUCTURAL: TBCE=α0+α1TRF TBCE=α0+α1 (β0+β1TBCE) = FORMA REDUCIDA: TBCE = α0 α1β 0 + = π 10 1 − α 1 β 1 1 − α 1 β1 Obtengo así una endógena en función de una exógena (en este caso, dicha exógena es sólo la constante). En cualquier caso, en esta forma reducida puedo estimar el parámetro π 10 : Estimación forma reducida ecuación 1: Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 11:46 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable C R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 4.489167 0.139696 32.13522 0.0000 0.000000 0.000000 1.185361 99.76075 -113.9035 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat 4.489167 1.185361 3.191763 3.223384 0.080116 Siguiendo los mismos pasos para la otra endógena: - La escribo en forma reducida: TRF=β0+β1TBCE TRF=β0+β1(α0+α1TRF)= - FORMA REDUCIDA: Estimo dicha forma reducida: TRF = β 0 + β1π 10 = π 20 Estimación forma reducida ecuación 2: Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 11:48 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable C R-squared Adjusted R-squared Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 5.695833 0.055161 103.2587 0.0000 0.000000 0.000000 Mean dependent var S.D. dependent var 5.695833 0.468055 S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood 0.468055 15.55435 -46.99984 Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat 1.333329 1.364949 0.087197 Para pasar ahora a la forma estructural, nuevamente (y saber así como depende el tipo de interés de la UE del tipo de interés americano y viceversa), tendría el siguiente sistema de ecuaciones (una vez los valores π 10 y π 20 ya han sido estimados: 4,489167 = α0 αβ + 1 0 = πˆ10 1 − α 1 β1 1 − α 1 β1 5,695833 = β 0 + β1π 10 = πˆ 20 En definitiva, tendría un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, ya que tendría dos ecuaciones y cuatro incógnitas, luego infinitas soluciones una vez dé un valor para dos de las incógnitas (sea cual sea): el modelo es NO IDENTIFICABLE CASO SEGUNDO Las formas estructurales propuestas ahora son las siguientes (se ha incluido una explicativa más en una de las dos ecuaciones iniciales): TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE TRF=β0+β1TBCE Estimando directamente ambas formas (en la forma estructural) obtengo: Estimación forma estructural ecuación 1: TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 11:56 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C TRF IPCUE 33.26621 1.666413 -0.375077 2.156021 0.131428 0.022268 15.42944 12.67929 -16.84390 0.0000 0.0000 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regresión Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.832803 0.827957 0.491665 16.67967 -49.51446 0.540619 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) Estimación forma estructural ecuación 2: TRF=β0+β1TBCE 4.489167 1.185361 1.458735 1.553596 171.8437 0.000000 Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 11:56 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 5.020108 0.150524 0.202490 0.043631 24.79185 3.449889 0.0000 0.0010 C TBCE R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.145317 0.133108 0.435792 13.29403 -41.34695 0.096193 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 5.695833 0.468055 1.204082 1.267323 11.90174 0.000954 Nuevamente escribo cada una de las dos ecuaciones en su forma reducida de cara a hacer una estimación más congruente con la simultaneidad implícita en el modelo: - Escritura en forma reducida: FORMA ESTRUCTURAL: TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE= α0+α1(β0+β1TBCE )+α2IPCUE= α0/(1- α1β1)+ α1β0/(1- α1β1) + (α2/ (1- α1β1))*IPCUE= FORMA REDUCIDA: TBCE =Π10 + Π11*IPCUE Donde: Π10 = α0/(1- α1β1)+ α1β0/(1- α1β1) Π11 = (α2/(1- α1β1)) - Estimo los parámetros de la forma reducida Estimación forma reducida ecuación 1: TBCE =Π10 + Π11*IPCUE Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 12:04 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C IPCUE 33.63594 -0.285672 3.905761 0.038267 8.611879 -7.465206 0.0000 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.443248 0.435295 0.890762 55.54197 -92.82059 0.145716 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4.489167 1.185361 2.633905 2.697146 55.72929 0.000000 Para la otra ecuación seguiría los mismos pasos, sustituyendo TBCE explicativa por su correspondiente forma reducida que acabamos de obtener: FORMA ESTRUCTURAL: TRF=β0+β1TBCE TRF=β0+β1(Π10 + Π11*IPCUE) = β0+β1Π10+ β1Π11*IPCUE TRF= Π20 + Π21*IPCUE FORMA REDUCIDA: Donde: Π20 = β0+β1Π10 Π21= β1Π11 Estimando la forma reducida, tendríamos: Estimación forma reducida ecuación 2: TRF= Π20 + Π21*IPCUE Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 12:10 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C IPCUE 0.221874 0.053651 1.960544 0.019209 0.113170 2.793070 0.9102 0.0067 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.100271 0.087418 0.447129 13.99469 -43.19601 0.096847 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 5.695833 0.468055 1.255445 1.318685 7.801238 0.006728 En definitiva, tendríamos los siguientes valores estimados para los parámetros de la forma reducida de ambas ecuaciones: Π10 = 33.63594 Π11 = -0.285672 Π20 = 0.221874 Π21 = 0.053651 Y tendríamos las siguientes ecuaciones: [1] [2] [3] [4] 33.63594 = α0/(1- α1β1)+ α1β0/(1- α1β1) -0.285672 = (α2/(1- α1β1)) 0.221874 = β0+β133.63594 0.053651 = β1*(-0.285672) El resultado tiene cuatro ecuaciones y cinco incógnitas, nuevamente un sistema compatible indeterminado (con infinitas soluciones posibles). Sin embargo, en este caso sí podemos conocer los parámetros de la forma estructura de la ecuación de los tipos de interés americanos (TRF), ya que, con las ecuaciones [3] y [4], obtenemos los parámetros β0 y β1: β1= 0.053651 / (-0.285672) = - 0,18749125 β0 = 0.221874 - β133.63594 = -6,08457039 La segunda ecuación sería identificable (de su estimación en forma reducida se podría pasar a la estructural) y la primera no. NÓTESE QUE LOS RESULTADOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS PASANDO PRIMERO A LA FORMA REDUCIDA Y LUEGO A LA ESTRUCTURAL NO SON LOS MISMOS. EVIDENTEMENTE, ESTIMAR DIRECTAMENTE ECUACIÓN POR ECUACIÓN ES LO MISMO QUE OBVIAR EL CARÁCTER SIMULTÁNEO DEL SISTEMA, LUEGO LA ESTIMACIÓN PRIMERA ES UN CAMINO ERRÓNEO PORQUE, SIMPLEMENTE, ELIMINA EL CARÁCTER MULTIECUACIONAL SIMULTÁNEO DEL MODELO. Ecuación 2: TRF=β0+β1TBCE Estimación forma estructural 5.020108 0.150524 β0 β1 Estimación forma Reducida -6.08457039 -018749125 CASO TERCERO TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE TRF=β0+β1TBCE+β2IPCUSA Estimación en forma estructural ecuación 1: TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 12:52 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C TRF IPCUE 33.26621 1.666413 -0.375077 2.156021 0.131428 0.022268 15.42944 12.67929 -16.84390 0.0000 0.0000 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.832803 0.827957 0.491665 16.67967 -49.51446 0.540619 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4.489167 1.185361 1.458735 1.553596 171.8437 0.000000 Estimación en forma estructural ecuación 2: TRF=β0+β1TBCE+β2IPCUSA Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 12:52 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C TBCE IPCUSA -8.113219 0.419033 0.112245 0.999968 0.030987 0.008496 -8.113482 13.52291 13.21184 0.0000 0.0000 0.0000 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.757863 0.750844 0.233632 3.766284 4.057206 0.567596 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 5.695833 0.468055 -0.029367 0.065494 107.9813 0.000000 Escritura en forma reducida de cada una de las ecuaciones: Ecuación 1: FORMA ESTRUCTURAL: TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE TBCE=α0+α1(β0+β1TBCE+β2IPCUSA )+α2IPCUE = (α0+α1β0)/(1-α1β1)+ (β2 /(1-α1β1))* IPCUSA+ α2 /(1-α1β1)IPCUE = FORMA REDUCIDA: TBCE = Π10 + Π11 IPCUSA+ Π12 IPCUE Donde: Π10 = α0/(1- α1β1)+ α1β0/(1-α1 β1) Π11 = α1β2/(1- α1β1) Π12 = α2/(1- α1β1) Ecuación 2: FORMA ESTRUCTURAL: TRF = β0+β1TBCE+β2IPCUSA = β0+β1(Π10 + Π11 IPCUSA+ Π12 IPCUE)+β2IPCUSA = β0+β1Π10 + β1Π11 IPCUSA+ β1Π12 IPCUE+β2IPCUSA = FORMA REDUCIDA: TRF = Π20 + Π21 IPCUSA+ Π22 IPCUE Donde: Π20 = β0+β1Π10 Π21 =β1Π11 +β2 Π22 = β1Π12 Estimación de la forma reducida ecuación 1 TBCE = Π10 + Π11 IPCUSA+ Π12 IPCUE Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 12:48 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C IPCUSA IPCUE 50.44640 0.317904 -0.781541 16.33827 0.300031 0.469551 3.087623 1.059568 -1.664442 0.0029 0.2930 0.1006 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.452162 0.436283 0.889982 54.65273 -92.23956 0.150895 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4.489167 1.185361 2.645543 2.740404 28.47482 0.000000 Estimación de la forma reducida ecuación 2 TRF = Π20 + Π21 IPCUSA+ Π22 IPCUE Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01 Time: 12:49 Sample: 1995:01 2000:12 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C IPCUSA IPCUE 21.96132 0.411116 -0.587612 7.816023 0.143531 0.224628 2.809782 2.864296 -2.615940 0.0064 0.0055 0.0109 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.195882 0.172574 0.425756 12.50753 -39.15151 0.155126 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 5.695833 0.468055 1.170875 1.265736 8.404154 0.000541 Donde, como ya tenemos estimados los parámetros en forma reducida, podríamos escribir: Π10 = 50.44640 Π11 = 0.317904 Π12 = -0.781541 Π20 = 21.96132 Π21 = 0.411116 Π22 = -0.587612 Y sabemos que: Π10 = α0/(1- α1β1)+ α1β0/(1-α1 β1) Π11 = α1β2/(1- α1β1) Π12 = α2/(1- α1β1) Π20 = β0+β1Π10 Π21 =β1Π11 +β2 Π22 = β1Π12 En definitiva, tendríamos un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO, que llamaremos SISTEMA POSIBLEMENTE IDENTIFICABLE1 [1] [2] [3] [4] [5] [6] 50.44640 = α0/(1- α1β1)+ α1β0/(1-α1 β1) 0.317904 = α1β2/(1- α1β1) -0.781541 = α2/(1- α1β1) 21.96132 = β0+β1(50.44640) 0.411116=β1(0.317904)+β2 -0.587612 = β1(-0.751541) Ecuación 1: Parámetro Estimada forma estructural Directamente α0 α1 α2 33.26621 1.666413 -0.375077 Parámetro Estimada forma estructural Directamente β0 β1 β2 -8.113219 Deducidos a partir forma reducida 33,464291 0.77327357 -0.30901805 Ecuación 2: 1 0.419033 0.112245 Deducidos a partir forma reducida -17,4815181 0.78187617 0.16255444 Evidentemente, para que el sistema tenga una solución única, el número de incógnitas ha de ser igual al número de ecuaciones, TODAS ELLAS DIFERENTES (NO COMBINACIÓN LINEAL LAS UNAS DE LAS OTRAS), por lo que, posteriormente, daremos una condición suficiente que nos asegura el estar en este caso. CONCLUSIONES A MODO DE RESUMEN Siempre es posible estimar directamente las formas estructurales de cada ecuación del modelo, pero ello implica una incongruencia con el carácter simultáneo del mismo: las explicativas utilizadas en una ecuación no son las estimadas en la que a esta corresponde. No siempre es posible encontrar un paso único de la forma reducida a la estructural. En muchas ocasiones, dicho paso es múltiple, ya que el sistema obtenido es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). A medida que hemos ido incluyendo variables exógenas en una de las dos ecuaciones (y no en la otra), hemos ido logrando que fueran siendo identificables. Una ecuación es posiblemente identificable cuando el número de variable totales del modelo (endógenas y exógenas) excluidas en una dicha ecuación es igual al número de ecuaciones menos uno2. Para que haya un solución única y no trivial (todo ceros) es necesario incluir una condición más que nos asegure que el sistema al que llegamos tiene tantas incógnitas como ecuaciones no combinación lineal las unas de las otras. 2 Sobre esta conclusión se hará una demostración matricial, ya que así es difícil intuir lo dicho y no generalizable