Documento 481168

Síntesis de impedancias L – C
Teoría de Circuitos
TEORIA DE CIRCUITOS
IMPEDANCIAS L – C
Vimos, cuando determinábamos las propiedades de las funciones de red de
punto de excitación, impedancia o admitancia de redes pasivas R – L – C, que
éstas tenían la forma:
1
Z(s) =
I1
2
. F
0
S. T0
1.
S
V0
Donde las funciones F0(s), T0(s), V0(s) eran llamadas funciones
energéticas, y siempre, daban valores reales y positivos para cualquier valor de S.
Por lo tanto para redes L – C, donde F0 = 0, tenemos:
1
ZLC =
I1
2
. S. T
0
1.
S
V0
(1)
Es decir que los ceros de la ZLC (llamada función reactancia), están en el eje j.
Y sus partes real e imaginaria son:
1
Re ZLC ( S ) =
2
I1

Im ZLC ( S ) =
I1
2
  V0
  T
0
 T
0

2

2
V0

2

2
Analicemos el lugar y la distribución de los polos y ceros y la forma de las
funciones ZLC.
Si hacemos S = j en la expresión (1), resulta que Re[Z(j)] = 0 para todo .
Desde aquí se puede demostrar que para que una función FRP cumpla esto, debe
ser cociente de polinomios pares sobre impares o al revés:
Supongamos una FRP cociente de polinomios completos:
N
Z(S) =
Z ( S)
Si N y D son completos podemos expresar Z(S), en general, como
D
=
m1
n1
m2
n2
(2)
Donde m1 es la parte par del numerador, m2 la parte par
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del denominador, n1 la parte impar del numerador, y n2 la parte impar del
denominador.
Multiplicamos y dividimos por (m2 – n2):
Z ( S )=
m1
n 1  m2
n2
m2
n 2  m2
n2
P arZ ( S ) =
Efectuamos la operación y separamos la parte
par de la misma:
m1  m2
m2
n1 n2
2
n2
2
Si hacemos S = j la parte Par de Z(S) pasa a ser la Parte Real de Z(j).
Igualamos a cero esta parte Real y vemos que esto se cumple para:
1) m1 = 0 y n2 = 0. Si reemplazamos en la expresión (2) estos valores nos queda:
n1
Polinomio impar sobre polinomio par
Z(S) = m
2
2) m2 = 0 y n1 = 0. Si reemplazamos en la expresión (2) estos valores nos queda:
m1
Polinomio par sobre polinomio impar
Z(S) = n
2
3) m1 m2 – n1 n2 = 0. Si despejamos cualquiera de estas partes, y la reemplazamos
en la expresión (2), también nos dará un cociente de polinomio par sobre
polinomio impar o viceversa.
Los polinomios pares e impares con coeficientes reales y positivos, tienen sus
raíces imaginarias conjugadas, o complejas conjugadas en ambos semiplanos,
como por ejemplo el polinomio S4+6S2+25.
Como ZLC(S) es FRP, los polos y ceros de la misma deben estar en el eje j,
solamente, y deben ser simples con residuo real y positivo.
Para S=0 y S= tenemos:
Z(S)
Par / Impar
Impar / Par
S=0
Polo
Cero
S=
Cero o Polo
Cero o Polo
¿ Cómo están distribuidos esos polos y ceros?
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La función ZLC(S) es un cociente de polinomios y supongamos que tiene polos en
el origen, en el infinito y varios en el eje j:
2

Z(S) = H
 S
2
n
2
 S S
i
2
Hacemos la expansión en fracciones simples en los polos:

Z(S) = H S
k0
S
S
  2 ki 
2
(3)
i
S
2
Si hacemos S = j y calculamos la derivada de esta expresión respecto de , se ve
que esta es positiva para todo :
Z( j ) = H  j
k0
j
X(  ) = H 
d
d
k0

n
2  ki  j
2
i= 1 S
2
2
Si derivamos respecto de ,
tenemos:
2 ki  

X = H
i
Tomando la función reactancia
tenemos:

2
k0

i

2  ki  
2

2
2
i
i
2
2 2
Evidentemente es positiva para todo . Por lo tanto, estos polos y ceros se
encuentran alternados sobre el eje j. Si graficamos la función X(), veremos que
no puede ser de otra manera:
X()

En cuanto a las admitancias L-C si recordamos que la inversa de una FRP es
también una FRP, es evidente que tiene las mismas propiedades de las
impedancias L-C.
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MÉTODOS DE SÍNTESIS
La expresión (3) nos muestra una suma de impedancias en serie:
K 0 n 2 Ki
Z (s)  Hs 

s i 1 s 2  i 2
Hs
Es una reactancia inductiva cuya inductancia es de valor H
K0
s
Es una reactancia capacitiva cuya capacidad es de valor 1/K0
n
2 Ki

2
2
i 1 s  i
Es una impedancia compuesta de una inductancia de valor 2Ki/i2 y un
capacitor de valor 1/2Ki en paralelo.
Conectando las tres impedancias en serie nos daría un circuito así:
H
1/k0
2ki / i2
1/2k
Este método recibe el
nombre de FOSTER I
Ahora hay que calcular los residuos en los polos para determinar el valor de los
elementos.
La primera forma de Foster para una red LC se obtiene expandiendo la Z(S) en
fracciones parciales e identificando cada uno de los términos con impedancias de
redes simples.
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EJEMPLO:
Sinteticemos la siguiente función como una impedancia (Dipolo), mediante
un circuito pasivo:
2
1 0 S
4
S
F(S) =
3
S
9
4 S
Supongamos que hemos determinado ya que esta función es FRP. Sus polos y
ceros están en el eje j.
Como vemos cumple con las características de una impedancia o admitancia L–C.
La tomamos como una impedancia y la desarrollamos en fracciones simples:
Z(S) =
H S
k0
S
2 k1 
S
2
S
4
Evaluamos los residuos:
1) Para S
 tenemos que Z(S)
S por lo tanto H = 1, valor de la inductancia.
2) k0 = S Z(S) para S = 0 por lo tanto k0 = 9/4. Valor de la capacidad = 4/9
2 k1 =
2
S
4
Z( S )
S
Y así completamos la síntesis:
3) Para S =  j2 o S2 = -4, por lo tanto 2k1 = 15/4
4/15
1
4/9
15/16
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Otro método consiste en considerar a la función dada como una admitancia L-C.
Si la expandimos, también, en fracciones simples podemos nuevamente identificar
cada una de los términos como redes simples. Esta es la segunda forma de Foster
o directamente Foster II.
K 0 n 2 Ki
Y (s)  Hs 

s i 1 s 2  i 2
n
s
i 1
Hs
Es una susceptancia capacitiva cuya capacidad vale H
K0
s
Es una susceptancia inductiva cuyo valor es 1/k0
2 Ki
2
 i 2
Es una admitancia compuesta por una inductancia
de valor 1/2Ki en serie con una capacidad de valor 2Ki/i2.
Foster II
1
2 Ki
1
K0
H
2 Ki
i 2
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Ejemplo:
Como ejemplo tomamos la inversa de la función anterior y tenemos:
S S
2
Y (S) =
2
S
4
2
1  S
9
2 k1  S
Hacemos la expansión en fracciones simples:
Y (S) =
2
S
1
2 k2  S
2
S
9
Evaluamos los residuos:
1) 2k1 = (S2 + 1) Y(S) para S = j1 o S2 = -1 por lo tanto 2k1 = 3
S
8
2) 2k2 = (S2 + 9) Y(S) para S = j3 o S2 = -9 por lo tanto 2k2 = 5
S
8
Y así completamos la síntesis:
8/3
8/5
FOSTER II
3/8
5/72
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Con el mismo ejemplo veamos otros métodos:
2
1 0 S
4
S
Z( S ) =
9
S
4S
3
S
Esta función tiene polo simple en S =  cuya expresión de fracción simple es HS y
como Z() = S entonces H = 1. Si le restamos ese término a Z(S) obtenemos otra
función impedancia Z1(S):
2
1 0 S
4
Z( S ) =
S
De modo que la función Z1(S) queda:
4S
3
S
6 S
2
Z1(S) =
9
Al realizar esta operación se ha retirado de la
función impedancia una inductancia de valor L = 1,
y el circuito queda así:
9
4 S
3
S
Z1
La impedancia Z1 tiene un cero en el infinito, por lo tanto, para seguir sintetizando
polos en S = , invertimos Z1 y nos queda la admitancia Y1 con un polo en S = 
5 S
4 S
3
Y1 =
S
6S
2
9
Y2 = Y1
S
6
2
Y2 =
6 S
2
9
Y nos queda la siguiente configuración, luego de retirar la admitancia S/6 y
conectarla en paralelo con el resto del circuito:
1
1/6
Y2
Donde nnuevamente Y2 tiene un cero en el infinito, por lo tanto su inversa, Z2
tiene un polo en el infinito.
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Es decir Z2 es:
6S
2
Z2 =
9
Retiramos el polo en el infinito que tiene Z2,
lo conectamos al circuito, y nos queda Z3:
5S
2
Z3 = Z 2
12  S
El circuito queda ahora:
5
1

Z3 = Z2 - 12 S
5
12/5
Z3
1/6
Donde:
18
Z3 = 5 S
Y finalmente este último elemento que nos queda
lo conectamos al circuito en serie con el anterior y
completamos el circuito:
1
1/6
12/5
5/18
Este método recibe el nombre de CAUER I y consiste en restar, siempre, el polo
en el infinito de la función impedancia o admitancia que se da como dato, y
luego invertir la función que queda y restarle el polo en el infinito y así
sucesivamente hasta completar el circuito, como se ha visto.
Como se han restado, siempre, los polos en el infinito con su residuo total, se dice
que este método consiste en la remoción total de polos en el infinito.
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Este mismo procedimiento nos lleva a otro método que consiste en la remoción
total de polos en el origen. Como ejercicio se puede sintetizar la misma función
impedancia anterior por este método, partiendo de que en el origen tiene un polo.
Se debe verificar que el circuito completo tendrá la siguiente estructura:
Solo falta hacer los cálculos para conseguir el valor de los elementos. Este método
recibe el nombre de CAUER II. Para los dos métodos de CAUER, en lugar de
realizar la resta de la expresión correspondiente a un polo en el infinito o en el
origen, se pueden realizar divisiones sucesivas a partir de la función original de un
cociente por vez o, lo que es lo mismo, hallar las fracciones continuas
Vemos que con estos métodos de remociones totales no se pueden tener menos
elementos que estos pues, por cada polo interno hay 2 elementos, y no menos, por
cada polo externo (origen o infinito), hay 1 elemento (ver FOSTER I), o sea que
estas redes están sintetizadas con la mínima cantidad de elementos y reciben el
nombre de redes canónicas, por lo tanto los cuatro métodos de síntesis vistos, y
cualquier otro que se base en la remoción total, realizan redes de formas
canónicas.
Existe una quinta forma canónica que es una mezcla de los métodos anteriores. Se
basa en la remoción alternada alrededor del cero y del infinito
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REMOCIÓN TOTAL DE POLOS EN FORMA GRÁFICA
Con el concepto de la remoción de polos con la totalidad de su residuo, y con
cualquier polo no solamente con los que se hallen en los extremos:
Para remover un polo en S =  restamos la expresión Hs
Para remover un polo en S = 0 restamos la expresión K0
s
Para remover un polo en S = ji restamos la expresión
n
s
i 1
2 Ki
 i 2
2
Si nos fijamos en el desarrollo del método de CAUER I del ejemplo anterior
vemos que para cada remoción de polo se produce un desplazamiento de ceros
internos. Veamos, en un gráfico, este desplazamiento:
Marcamos con X a los polos y con 0 a los ceros sobre la parte positiva del eje 
Z
X
0
X
2
1
0

X
3


Z1
X
0
1,22
X
2
0
0
X
1,22
0
2
X
0
X
1,22
0
0
1,22
X
Y1
Y2
Z2
X
Z3
X
0
0
X
0
0
Y3
Y4
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En el costado izquierdo del gráfico podemos poner las operaciones que hacemos
para realizar las distintas remociones:
Z1 = Z( s )
6S
2
H S
Siendo H = 1 por lo tanto
Z1 =
9
4S
3
S
5S
Y 2 = Y1 H1  S
Siendo H1 = 1/6 por lo tanto
Y2 =
2
6S
2
9
18
5S
Y en el lado derecho los elementos correspondientes a cada remoción.
Z3 = Z2
H3  S
Siendo H3 = 12/5 por lo tanto
Z3 =
Podemos intentar una síntesis distinta a los cuatro métodos anteriores mediante
remociones totales como una mezcla de esos métodos, también graficando los
desplazamientos de ceros. Realizamos la síntesis de la misma función anterior:
2
1 0 S
4
Z( S ) =
S
3
S
9
4S
Hacemos las siguientes remociones totales:
1) Removemos, totalmente, el polo de esta función en el origen (CAUER II):
Z1(S) =
Z( S )
9
4 S
Y nos queda
Z1 =
S S
2
7 .75
2
4
S
2) Ahora invertimos Z1 y removemos totalmente, el polo de Y1 en S = j 2.78
(FOSTER I):
Y 2 = Y1

0.484S
2
S
7.75
Y nos queda
Y2 =
0.516
S
3) Removemos, totalmente, el polo en el origen de Y2 y tenemos el último
elemento que evidentemente es un inductor (CAUER II).
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Hagamos un gráfico de todo el método y completémoslo con los elementos
removidos:
Z(S)

X
Z1(S) =
0
2
X

X 0
2 2.78
X
7.75
X
Y2
0
3

0.484S
S
Y3 =
X
2
9
4S
Z( S )
Y 2 = Y1
0
1
0
2
X
2.78
0
0.516
S
X
0
0
0
Y4 = 0
Y queda la siguiente red:
Notamos que tiene la misma cantidad de elementos que las otras cuatro redes
anteriores, o sea que es una red canónica. A cualquier mezcla de los cuatro
métodos, aunque no estén todos, le llamamos quinta forma canónica.
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