RC002

Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
IMPEDANCIAS R – C
Vimos, cuando determinábamos las propiedades de las funciones de red de punto
de excitación, impedancia o admitancia de redes pasivas R – L – C, que éstas tenían la
forma:
1
Z(s) =
2
I1
. F
0
1.
S. T0
S
V0
Donde las funciones F0(s), T0(s), V0(s) eran llamadas funciones energéticas, y
siempre, daban valores reales y positivos para cualquier valor de S.
Por lo tanto para redes L – C, donde F0 = 0, tenemos:
1
ZLC =
2
I1
1.
. S. T
0
S
V0
(1)
Y para redes R – C, donde T0 = 0, tenemos:
1
ZR C=
2
I1
. F
0
1.
S
V0
Veamos qué relación existe entre ambas funciones.
Se pueden expresar las funciones L – C de la siguiente forma:
1
ZLC =
I1
2
. S. T
0
1.
2
S
V0
O sea:
ZLC
1
=
S
2
I1
. T
0
1.
2
S
V0
Por lo tanto vemos que, si hacemos S2 = S, la relación entre ZRC y ZLC, es1:
ZR C=
ZLC
para S2 = S. Por lo tanto nos queda
S
ZR C =
1
( I )
2
 T
0
V0
S
Es decir, que todos los ceros de la ZRC están en el eje -. Veamos donde están los
polos:
Teníamos que ZRC era:
ZLC
S
1
= k
k0
2
S
n
2. ki
2
i= 1 S
i
2
para S2 = S y si hacemos
i2 = i y 2ki = ki
Esta transformación nos mapea el eje imaginario en el real
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
Tenemos finalmente:
n
k0
ZR C = k
ki
S i
i= 1
Vemos que los polos de las ZRC están en el eje real negativo. Veamos la ubicación de los
polos y ceros de estas funciones. Si hacemos S =  tenemos:
S
n
k0
ZR C = K

i= 1
ki

i
Si evaluamos la derivada de ZRC() respecto de , vemos que esta es negativa
para todo .
Ahora podemos determinar las propiedades de estas funciones:
1) Polos y ceros simples sobre el eje -.
2) Los polos y ceros se distribuyen alternados sobre el eje -.
3) ZRC>0 para todo  > 0.
4) Para S = 0, siempre tendrá polos o constantes. Para S =  siempre tendrá cero o
constantes.
5) Si la función para S = 0 y para S =  asume valores constantes,
Simultáneamente, se cumple que:
a) ZRC(0) > ZRC()
b) La primer singularidad debe ser un polo y la última un cero
Las propiedades 2), 4) y 5) se pueden probar solo con verificar la derivada siempre
negativa para todo .
6) Los polinomios numerador y denominador son completos, es decir que entre el
término de mayor orden y el de menor orden no debe faltar ninguno, debido a que
todas sus raíces se encuentran en el eje real negativo.
ADMITANCIAS R – C
Si
ZR C=
ZLC
Para S2 = S. Entonces tenemos que la YRC es:
S
2  ki  S
2
YR C
= YLC  S
2
= HS

k0
2
i
S
YRC
= H S
k0

YR C = H  S
ki  S
S
Para S2 = S tenemos:
Si hacemos: i2 = i y 2ki = ki nos
queda:
i
k0
2
2 ki  S

S
i
2
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
Si comparamos esta expresión con la correspondiente a la impedancia RC, y evaluamos la
derivada de YRC respecto de  vemos que la misma es, siempre, positiva, entonces la
función admitancia RC tendrá las siguientes propiedades:
1) Polos y ceros simples sobre el eje -.
2) Los polos y ceros se distribuyen alternados sobre el eje -.
3) YRC>0 para todo  > 0.
4) Para S = 0, siempre tendrá ceros o constantes. Para S =  siempre tendrá
polos o constantes.
5) Si la función para S = 0 y para S = 
simultáneamente, se cumple que:
asume valores constantes,
a)YRC (0) < YRC ()
b) La primer singularidad debe ser un cero y la última un polo.
Las propiedades 2), 4) y 5) se pueden probar solo con verificar la derivada siempre
negativa para todo .
6) Los polinomios numerador y denominador son completos debido a que
todas sus raíces se encuentran en el eje real negativo.
ZR C = k
k0
S
n
i= 1
ki
S
i
Za ( )

1
RaCa
Zb
Za
Zb ( )
Z RC (0)  Z RC ()
Rb
Ra

Rb
Yb ( )
Ya ( )

1
RaCa

1

RbCb
1
Ra
1
Rb
1
Rb

Fig 1


1
RbCb
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
SÍNTESIS DE FUNCIONES IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS R-C
Supongamos una función impedancia R-C:
1).( S
(S
Zrc =
S. ( S
3)
2)
Esta función puede descomponerse en suma de fracciones simples como la que ya vimos,
que en general es:
ZR C = k
k0
n
ki
S i
i= 1
Donde cada término representa las siguientes impedancias conectadas en serie:
S
k = ZRC() es una resistencia de valor k.
k0
Es una reactancia capacitiva de un capacitor de valor 1/k0
S
Es una impedancia compuesta por una resistencia de valor i/ki
y un capacitor de valor 1/ i conectadas en paralelo.
ki
S
i
Ahora hay que calcular las constantes k (residuos en los polos) para esta función:
k = 1
k0 = S Z(s) para S = 0, por lo tanto k0 = 3/2
k1 = (S + 2) Z(s) para S = -2, por lo tanto k1 = 1/2
Por lo tanto Z(s) queda expandida en fracciones simples:
Z(s) =
3
1
2
2
S
S
Dando el siguiente circuito:
1
2
2/3
1
1/4
2
Este método se
llama FOSTER I
También se puede tomar la función impedancia dada, invertirla, y sintetizarla de la misma
forma. Quedaría la función admitancia:
Y (s) =
Y( s ) =
S  ( S 2)
( S 1)  ( S 3)
k1 S
k2  S
S 1
S 3
Desarrollando en las correspondientes fracciones
simples nos queda:
Evaluando los correspondientes residuos
tenemos:
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Síntesis de impedancias R-C
k1 = Y( S ) 
S
k2 = Y( S ) 
S
Teoría de Circuitos
1
Para S = -1, por lo tanto k1 = 1/2
3
Para S = -3 por lo tanto k2 = 1/2
S
S
ki  S
Teniendo en cuenta que la fracción simple
S
i
es una admitancia formada por una resistencia de valor 1/ki en serie con un capacitor de
valor ki/i, nos queda el siguiente circuito:
22
1/2
22
Este método se
llama FOSTER II
1/6
1/2 1/6
También podemos, usando el mismo ejemplo, realizar la síntesis por los métodos de
CAUER I y II como se hizo en la síntesis de impedancias y admitancias L-C; pero en este
caso, le restamos un polo o una constante en el infinito (CAUER I), o en el origen
(CAUER II).
Con el mismo ejemplo veamos estos métodos:
(S
Z(s) =
1)  ( S
S( S
3)
2)
Esta función tiene un valor constante en S =  y vale 1. Si le restamos ese valor a Z(S)
obtenemos otra función impedancia Z1(S) = Z(S)-1:
Z1 =
2 S
3
2
2S
S
1
Z1
La impedancia Z1 tiene un cero en el infinito por lo tanto, para seguir sintetizando polos o
constantes en S = , invertimos Z1 y nos queda la admitancia Y1 con un polo en S = .
Ahora retiramos ese polo de admitancia en el infinito restándole a Y1 la fracción simple k
S donde el residuo k = 1/2 y nos queda:
1S
Y2 =
2

2S 3
Luego de retirar la admitancia ½ S y conectarla en
paralelo con el resto del circuito como un capacitor nos
queda:
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
1
1/2
Y2
Ahora vemos que Y2 tiene, en el infinito, una constante k = ¼ y en el origen un cero. Por
lo tanto el valor en el infinito es mayor que el valor en el origen, por lo cual no puedo
retirarle ¼ ya que la función admitancia resultante tendría un valor negativo en el origen.
Entonces, como antes, invertimos la Y2 y obtenemos una Z2 que tiene una constante en el
infinito k = 4 y en el origen un polo. Por lo tanto puedo extraerle la constante en el
infinito en serie con el resto del circuito:
1
Y ponemos en el circuito el elemento
que hemos retirado como una
resistencia:
4
1/2
Z3
Quedando luego de esta extracción, la impedancia Z3 = Z2 – 4 = 6/S. Esta función tiene un
polo en el origen y un cero en el infinito. Si la invertimos tendremos:
Y3 = 1/6 S que tiene un polo en el infinito y un cero en el origen. Extraemos este último
elemento y nos queda el siguiente circuito:
11
½
1/2
4
1/6
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
Hemos sintetizado la función impedancia propuesta, por el método CAUER I, como en LC. Ahora podríamos hacer la síntesis, también como en L-C, por el método CAUER II y
obtendríamos el siguiente circuito:
2/3
2/25
5/4
5
Para los dos métodos de CAUER, en lugar de realizar la resta de la expresión
correspondiente a un polo o a una constante en el infinito o en el origen, se pueden
realizar divisiones sucesivas a partir de la función original de un cociente por vez o, lo que
es lo mismo, hallar las fracciones continuas como en L-C.
Hemos visto que con los cuatro métodos aplicados a la síntesis de la misma función, se
obtuvieron cuatro circuitos distintos; pero con la misma cantidad de elementos (cuatro)
que coincide con la cantidad de singularidades internas (todos los polos y ceros, en el eje
real negativo, menos los del origen y los del infinito) más uno. Esto se puede demostrar
con el mismo razonamiento que en dipolos L-C. Y las redes así obtenidas (totalmente
mediante extracciones totales de cualquier polo y de cualquier constante) también se
llaman redes canónicas.
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
REMOCIÓN TOTAL DE POLOS EN FORMA GRÁFICA
Con el concepto de la remoción de polos con la totalidad de su residuo, y con cualquier
polo, no solamente con los que se hallen en los extremos:
Para remover un polo en S =  restamos la expresión
Hs
Para remover un polo en S = 0 restamos la expresión
k0
s
Para remover un polo en S = I restamos la expresión
ki
a la Z(S). o la expresión
ki  S
S
i
s
i
a la Y(S)
Si nos fijamos en el desarrollo del método de CAUER I del ejemplo anterior vemos que
para cada remoción de polo se produce un desplazamiento de ceros internos. Veamos, en
un gráfico, este desplazamiento: ( Marcamos con X a los polos y con 0 a los ceros sobre
el eje  )

[1]
0
-3
X
-2
0
-1

0
X
-2
0
-1.5
Z(s)
X

Z1
X
Y1
X
0
-2
X
-1.5
0
Y2
[1/4]
X
-1.5
0
[ 4]
0
-1.5
X
Z2
Z3
0
X
Y3
X
0
0
0 Y4
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
Como podemos ver, al remover los polos y constantes, todos los ceros que no están en los
extremos (origen e infinito), se desplazan hacia el lugar del polo o de la constante que se
retira. Además, con cada polo que se retira también lo hace un cero.
Notemos que lo que se remueve son los polos, a través de la resta de las fracciones
simples correspondientes y las constantes como resta del término correspondiente, y lo
que se desplaza son los ceros internos, solamente.
Este desplazamiento de los ceros intermedios puede controlarse, como veremos, y esto se
utiliza para realizar la síntesis de funciones transferencias pasivas, con redes de dos
elementos.
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
REDES NO CANÓNICAS
Veamos la síntesis de la misma Z(S) anterior:
Zrc =
1).( S
(S
S. ( S
3)
2)
Esta impedancia fue sintetizada con distintos métodos mediante la remoción total del
residuo en los polos y/o constantes, llamados métodos canónicos.
Pero ahora lo haremos realizando la remoción parcial de polos y/o constantes.
Lo haremos ayudándonos con el gráfico, para observar el desplazamiento de los ceros.
Realizaremos la síntesis desplazando un cero hacia  = -2,5, luego otro hacia  = -0,5 y
cuando cada cero se desplazó al lugar que hemos elegido, invertimos la correspondiente
función, y sintetizamos el polo con extracción total.
1) Dibujemos la distribución de los polos y ceros sobre el eje -:

-2,5
[1]
0
-3
-0,5
X
-2
0
-1
Z(S)
X

2) Desplazamos el cero desde  = -3 hasta  = -2,5, utilizando la propiedad de todos los
ceros internos de desplazarse hacia el polo o la constante que se retira, lo hacemos con la
siguiente operación:
Z( S ) 1= Z( S )
k1
S
=0
Para S = -2,5
2
Esta operación es la remoción parcial de un polo donde ki es la parte del residuo del
polo que removemos. En este caso es el polo en  = -2. Planteamos la ecuación:
Z( 2 .5)
k1
= 0
de donde resulta k1 = 0,3
2 .5 2
De esta manera hemos extraído la siguiente impedancia:
Z =
0.3
S
2
Que representa el siguiente circuito:
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
Una vez que hemos extraído el polo nos queda la siguiente función:
Z1 = Z( S )
0.3
S
2
Efectuando esta operación tenemos
Z1 =
2.5 )  ( S 1.2 )
S ( S 2)
(S
Gráficamente se muestra el desplazamiento de los ceros internos

-0,5
1
0
-2,5
X
-2
Z1
0
-1,2
X
3) La idea de aprovechar el desplazamiento de un cero a un determinado lugar, es para
que una vez allí, si es un cero de impedancia, como en este caso, lo convirtamos en un
polo de admitancia y lo sinteticemos. Por lo tanto invertimos la función Z1 y nos queda:

-0,5
X
-2,5
0
-2
Y1
0
X
-1,2
La función graficada es:
Y1 =
(S
S ( S 2)
2 5) ( S 1 2)
4) Retiramos, con remoción total, el polo en  = -2,5 y nos queda:
Y2 = Y1
k1  S
S
2 5
donde k1 =
Hemos extraído la admitancia
S
2 5 
S
Y =
Y1
para S = -2,5 luego k1=0,385
0.385  S
S
2.5
Que nos da el siguiente circuito
quedando
Y2 = Y1
0.385  S
S
2.5
lo que nos da
Y2 =
0.385  S
S
1.2
Cuya gráfica es:
0,385 
-1.2
X
-0.5
Y2
0
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
5) Ahora hay que llevar un cero hasta  = -0,5. Como no hay ceros internos, invertimos la
función Y2:
1.63 
-1.2
0
-0.5
Z2
X
6) Realizamos una remoción parcial del polo en el origen para que el cero en  = -1,2 se
desplace hasta  = -0,5. Esto lo conseguimos con la condición:
Z2
k0
para S = -0,5 y se obtiene k0 = 1,14
= 0
S
Hemos extraído la siguiente impedancia:
Z =
1.14
Lo que nos da el siguiente elemento
S
quedando
Z3 = Z2
1.14
Lo que nos da
S
Z3 =
S
0.5
0.615  S
Cuya gráfica es:
1.6 
-0.5
Z3
0 X
7) Invertimos la función Z3, para tener un polo en  = -0,5, y nos queda:
Y3 =
0.615  S
S
cuya gráfica es:
0.5
0.615 
-0.5
X
Y3
0
8) Retiramos con remoción total el polo en  = -0,5 y nos queda:
Y4 = Y3
0.615  S
S
Lo que nos da Y4 = 0
0.5
Retiramos la admitancia
Y3 =
0.615  S
S
0.5
que representa el siguiente circuito:
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Síntesis de impedancias R-C
Teoría de Circuitos
Finalmente dibujamos el circuito completo:
Como vemos este circuito no es canónico, para eso debería tener 4 elementos y tiene 7.
Esto se debe a que hubo remociones parciales.
Pero si hacemos el análisis del mismo calculando su impedancia de entrada, tendríamos la
misma función impedancia con la que sintetizamos todos los circuitos:
Z( S ) =
(S
1) ( S
S ( S
3)
2)
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