PRODUCTOS NOTABLES Carlos E. Hernández Hernández

ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES
DOCENTE:
Desarrollo de un binomio al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
T.C.P.
A)
T.C.P.: Trinomio cuadrado perfecto
Nota:
(a – b)2 = (b – a)2
 e x  e x 

B) 
2
Diferencia de cuadrados
(a + b) (a – b)= a2 – b2
6.
Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ac)
7.
Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= a3 + b3 + 3ab (a + b)
(a – b)3
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
= a3 – b3 – 3ab (a – b)
Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2 – ab + b2) =
(a – b) (a2 + ab + b2) =
a3 + b3
a3 – b3
Desarrollo de un trinomio al cubo
(a + b + c)3= a3 + b3 + c3 +3(a+ b)(b + c)(a + c)
(a + b + c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab +bc+ac) –
3abc
(a + b + c)3=3 (a + b + c)(a2 + b2 + c2) – 2 (a3 +
b3 + c3) + 6abc
Producto de 2 binomios con un término
común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Luego el producto de 3 binomios:
(x + a) (x + b) (x + c) =x3 + (a + b + c) x2 + (ab
+ ac + bc) x + abc
Identidad trinómica (Argan´d)
(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0
Se verifica:
a2 + b2 + c2= –2 (ab + bc + ac)
(ab + bc + ca)2= (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
a3 + b3 + c3= 3 abc Importante
APLICACIÓN
1.
Si a + b = 4 y ab = 7, hallar a3 + b3
A) –20
B) –16
C) 18
D) 4
E) N.A.
2.
Si a + b + c = 0, hallar el valor de:
a 2  b2  c2
ab  ac  bc
A) 1
B) 2
D) –2
E) –4
E
3.
Simplificar:
1 
1 
1 


 x    x    x 2 

x
x

x2 
A) x4 + x–4
C) x4 – x–4 E) N.A.
B) x2 – x4
D) x8 – x–8
4.
Si x 2 
1
x2
A) 7
D) 3
5.
hallar x 
= 7,
B) 2
E) 5
Simplificar:
 e x  e x 




2


2
 1
e x  e x
2
Reducir:
A) 8x
D) –x2+9
C)
ex
2
E) N.A.
2
D)
e x  e x
2
E = (x + 3)2 – (x – 3)2
B) 12x
C) x2+9
E) N.A.
Si x2 + y2 = 36; xy = 18,
x–y
A) 0
B) 1
D) 3
E) N.A.
calcular
C)
6
Si a + b = x2 + y2, a – b = 2xy
hallar:
P = (x2 – y2)2
A) 2ab
C) (a – b)2 E) 0
B) (a + b)2
D) 4ab
9.
Si a3 + b3 = m; a + b = n,
calcular (a – b)2
n3  4m
A)
3n
B)
mn
3
m  4n
4mn
C)
E)
3n
3
D)
4m  n3
3n
A) 1
D)
4
x
4
B)
2
E)
3
1
x
C) 4
B) –1
E) N.A.
C) 2
17. Simplificar:
(a+b–c+d) (a+b+c–d) + (a–b+c+d) (a–b–
c–d)
A) 4 (ab + cd) D) a2 + b2 – c2 – d2
B) 2 (ab + cd) E) a2 + b2 + c2 + d2
C) 2 (a2 + b2 – c2 – d2)
xy
C)
x  12 x2  2x  1   x  12 x2  2x  1 









Se obtiene:
A) 2x
B) –x
C) 0
D) –x
E) –2x
1/3
19. Reducir:
A = (2x + 3)2–(2x-3)2+(3x-4)2 –8x2 -16
a) 0
b) 2
c) x
d) x2
e) 2x2
(x  1)(x  1)  ( x  1)(1  x )(x  1)
a) x2
b) 1
c) 0
d) 2x2
e) 2
x y
S
A) 1
D) –2
20. Efectuar:
10. Si (x2 + y2) x–1 y–1 = 2
hallar:
16. Si se cumple:
(x + y + z)2 = xy + xz + yz
calcular:
x(x  y )  y(y  z)
P
z(z  x )
18. Después de simplificar:
8.
21. Reducir:
2x
y
A  (2 3  3 2 )2  (2 3  3 2 )2
a) 15
d) 60
b) 20
e) 67
c) 25
22. Simplificar:
11. A partir de x4 + x–4 = 47, calcular:
P = x + x–1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. Sabiendo que:x + y = 6
hallar el valor de:
x7  y 7
P
881
A) 150
D) 240
B) 204
E) 162
xy = 3
C) 123
a b c
  0
b c a
calcular el valor de:
13. Si:
C) 3
5°
Carlos E. Hernández Hernández
E  abc 2  a2  bc   b2  ac   c2  ab




A) –2
B) 1
C) –1
D) 2
E) abc
14. Efectuar:
(a2 + a + 1 ) (a2 – a + 1 ) (a4 –a2 +1 )
A) a8 + 3a4 + 1
C) a8 + a4 – 1
E) a8 + a4 + 1
B) a4 + 3a2 + 1
D) a8 – a4 + 1
15. Simplificar:
(x + 1)2 (x – 1)2 (x2 + x + 1)2(x2 – x + 1)2–
(x6 + 1) (x6–1)
A) x12 + x6 – 1 C) x6 + x + 1
E) x6 – 2
B) x6 – 1
D) –2x6 + 2
4
L
4
( x  4 y )2  ( x  4 y )2
4
a) 1
d) 4
xy
b) 2
e) 6
c) 3
23. Efectuar:
E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256
a) x
b) x2
c) x4
d) x6
e) x8
24. Multiplicar:
M = (x +1)(x2+x +1)(x -1)(x2 –x + 1) + 1
a) x3
b) x4
c) x6
d) x9
e) N.A.
25. Efectuar:
3
3
3
3
3
L  ( 10  2 )( 100  20  4 )
a) 1
b) 10
c) 2
d) 8
e) 1
26. Reducir: A =(xn+8)(xn+2) – (xn+3)(xn+ 7)
a) xn
b) x2n
c) 2xn
d) -5
e) -1
27. Reducir : M = (x5+4)(x5+7)–(x5+2)(x5+9)
a) 5
b) x10
c) x20
d) 10
e) 15
28. Simplificar:
L  (x  1)(x  2)(x  3)(x  4)  1
a) x2 + 5x + 5
d) –x2 – 5x – 5
b) x2 – 5x + 5
e) N.A.
c) x2 - 5
29. Reducir:
M = (x + 2y – 7z)3 + (x – 2y + 7z)3 – 8x3 +
6x(x + 2y – 7z) (x – 2y + 7z)
a) x
b) 2xyz
c) 0
d) x – y
e) 2y2
43. Si: a + b + c = 0, simplificar:
A
3
3
56. Si : y2 = (1 - x)(x + y) . Calcular:
3
a b c
(a  2b  c)(a  b  2c)(2a  b  c)
a) 0
d) 3
b) 1
e) N.A.
c) 2
3
44. Si: a + b = 5
3
a) 1
d) 4
b) 6
e) 8
31. Evaluar:
8
c) 20
3(22  1)(24  1)(28  1)  1
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
32. Simplificar:
Hallar: E 
c) 3
45. Si:
(x  a  b)(x  a  c)  bc
a
x a bc
a) 1
d) 3x
b) 2x
e) 8x
c) x
P  (1  2  3  6 )(1  2  3  6 )
b) 1
e) -1
34. Si: x 
a) 1
d) 23
35. Si:
c) 2
1
 5 ; Hallar:
x
b) 5
e) 20
E  x2 
1
x2
2
37. Si: a + b + c = 0
a) -3
d) abc
38. Si:
(a  b)3  (b  c)3  (a  c)3
abc
b) 3
c) 1
e) a + b + c
Hallar:
a) 1
d) 8
3
a b 4
b) 5
e) 10
c) 7
39. Si:
ab = 2 y a3 + b3 = 9. Hallar: “a + b”
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
1
1
 2 ; Hallar: E  x 4 
x
x4
a) 36
b) 34
c) 38
d) 2
e) 31
40. Si: x 
41. Si: a2 – 3a + 1 = 0 ; Calcular:
1
M  a3 
a3
a) 1
b) 13
c) 15
d) 18
e) 23
42. Si: m + 2n + 3p = 0. Calcular:
(m  2n)2  (2n  3p)2  (m  3p)2
A
2
2
18p  8n  2m
a) 1
b) 1/2
d) m2 + 4n2 + 9p2
x 5 3 ; y 2 5 ;
2
c) 2
e) m + n
c) 2
x=a–b ; Y=b–c ;
z=c -a
52. Si: a2 + b2 = 1
Reducir: M = (a4 + b4) - (a6 + b6)
a) (a + b)2
b) ab
c) a2b2
d) a3b3
e) –ab
(3x  y )3  (3y  z)3  (3z  x)3
(3x  y )(3y  z)(3z  x )
a) 1
b) 9
c) 2
d) 3
e) 4
a) 100
d) 110
 7 ; Calcular: M  x3  1
x3
b) 120
e) 135
c) 116
55. Simplificar:
M = (x7 + 6)(x7 + 3) – (x7 + 5)(x7 + 4)
a) 18
b) 20
c) -2
d) 2
e) 18
c) 3
62. Si : 25x + 9x = 2 ( 15x) ; determinar el
valor de :
Q
57x 1  37x 2
7(57x 1 )
b) 8
e) 2/5
c) 15
2 1
8
; con “a” y “b” ,
 
a b a  2b
números no nulos. Calcular:
Q
a) 3
d) 23/3
a6  17b6
a6  52b6
b) 23
c) 33
e) 33/2
64. Si : 32x + 32y = 27 ; 3x + y = 11 ; calcular
el valor de :
3
Q   3x  3y 


b) 125
c) 729
e) 216
65. Si : 24x + 2-4x = 119  x>0
; hallar:
Q = 2x – 2-x + 5
a) 11
b) 2
c) 9
d) 4
e) 8
E
x
b) 2
e) 5
a) 343
d) 512
53. Si: x + y + z = 0, hallar:
1
3x³  y³ 3x  2y
6y


x²y
5x
2x  y
63. Sea :
(x  y )2  ( x  z)2  ( y  z)2
Hallar: M 
xy  xz  yz
a) 1
b) 2
c) -2
d) 3
e) -3
x
60. Simplificar:
L = (a + b + c) (a + b + d) + (b + c + d)(a +
c + d) - (a + b + c + d)2
a)cd+ab
b)cd – ab
c)abcd
d)ab – 1
e)a²b²c²d²
a)6
d) 4
50. Si: a = 1 + b, calcular: (a+b)(b2+a2)(b4+a4)
a) a8
b) a8 + b8
c) a8 – b8
d) a4 – b4
e) N.A.
54. Si:
59. Efectuar:
L = (x + y) (x - y) (x² + y²) (x 4 + y4) + y8
a)x²-y²
b)x²+y²
c)x8
8
16
d)y
e)y
a) 5
d) 10
b) -1
e) 7
c) 2
58. Multiplicar;
M = (x - 1) (x² + x + 1) (x + 1) (x² - x + 1)
a)x
b)x³-1
c)x³+1
d)x6-1
e)x6+1
Q
3b
a) 1
d) 3
b) 3
e) 0
61. Si : ( x + y)² = 2(x² + y²) ; calcular el
valor de :
49. Si: (a + b)2 = 4ab
2a2b  5ab2
Hallar: E 
3
51. Si:
a – b = 3 y ab = 2
3
c) 3
48. Si: a3 + b3 = 1
Reducir: K = (a6 + b6) – (a9 + b9)
a) (a + b)3
b) ab
c) a3b3
d) –ab
e) –(a + b)3
c) 3
1
1

36. Si: x   4 ; Calcular: A   x  
x
x

a) 1
b) 2
c) 5
d) 16
e) 12
Hallar: M 
b) 2
e) 5
z 3  2
Calcular:
 x 2  y 2  z2   x 2 y 2 z2 


E


 xy  yz  xz   yz xz xy 



a) 8
b) 4
c) -6
d) -3
e) 6
c) 25
a2  b2  2
b) 2
e) 5
c) 15
7a3  5b3
a b
  2 ; Calcular: M 
b a
4ab2
a) 1
d) 4
x3  y 2
57. Efectuar: E = (x + 2) (x - 2) (x² + 2²) + 16
a)x
b)x²
c)x³
d)x4
e)x6
a
b
3


b
a ab
b) 2
e) 20
47. Si:
a + b = 4 y ab = 7
Hallar:
a) 1
d) 4
a2 + b2 = 17
2
46. Si: x + y = 1. Calcular:
(x - y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8) + y16
a) x8
b) x16
c) x16 + 2y16
d) y16
e) N.A.
33. Reducir:
a) 0
d) 3
a) 1
d) 17
y
2
x2  y3
a) 4
d) 1
30. Hallar “M” en:
M  20  392  20  392
Q