Cinemática. Descripción Lagrangiana Se realiza en función del movimiento de las partículas que forman el fluido. Necesita identificar dichas partículas utilizando coordenadas de numeración. v ( xn , y n , z n , t ) por ejemplo partícula que pasa por ( x1 , y1 , z1 ) en t = 0 : v ( x10 , y10 , z10 , t ) Descripción Euleriana: Consiste en el estudio del movimiento según las velocidades de los puntos que ocupa el fluido sin importar qué partículas están en cada instante en cada posición. No reconoce a las partículas. v ( x, y , z , t ) 1 ∂ d = + v ⋅∇ dt ∂t Derivada sustancial de una magnitud (escalar o vectorial) (derivada material) Caso de la velocidad dv ∂v = + v ⋅ ∇v dt ∂t ∂v derivada local ∂t v ⋅ ∇v termino advectivo. Gradiente de la velocidad v : ∂v x ∂x ∂v ∇v = x ∂y ∂v x ∂z ∂v y ∂x ∂v y ∂y ∂v y ∂z ∂vz ∂x ∂vz ∂y ∂vz ∂z 2 Descripción del flujo (definiciones): línea fluida: línea formada por una sucesión de partículas adyacentes. (también: elemento fluido, superficie fluida, volumen o parcela fluida) trayectoria: Recorrido de una determinada partícula en el tiempo. línea de traza: Línea fluida formada por las partículas que han pasado por determinado punto. (p. ej. emitidas desde un foco). línea de corriente: Línea tangente al vector velocidad en cada punto para un instante dado. Se cumple que v dl con v = (u, v, w) y dl = (dx, dy, dz ) por lo que existen proporcionalidad entre componentes dl dx dy dz = = = v u v w t = to 3 v tubo de corriente: volumen encerrado por la superficie engendrada por las líneas de corriente que se apoyan en una línea fluida cerrada. En flujo estacionario las líneas de corriente coinciden con las trayectorias. ∂v =0 ∂t 4 DEFORMACIÓN EN UN FLUIDO. Cuando en un sólido se aplican fuerzas externas se puede producir una deformación: Desplazamientos relativos entre las partículas que lo forman. En los fluidos la deformación que se produce se puede medir según la variación del campo de velocidades. δvp p δs0 O δr δsp δr δv0 p O δsp= δs0 + δr ⋅ ∇s Deformación en el sólido δvp= δv0 + δr ⋅ ∇v Deformación en el fluido 5 Tensor de deformación Sea v = (u1, u2 , u3 ) ; r = ( x1, x2 , x3 ) Tensor deformación de velocidad ∂u 1 ∂ x1 ∂u 1 ∇v = ∂x 2 ∂u 1 ∂x 3 ∂u 2 ∂ x1 ∂u 2 ∂x 2 ∂u 2 ∂x 3 ∂u 3 ∂ x1 ∂u 3 ∂x 2 ∂u 3 ∂x 3 6 Deformación lineal. t t + dt A B A’ ∂u u1 + 1 δ x1 ∂x1 u1 δ x1 B’ (δ x1 ) ' u1dt ∂u1 δ x1 dt u1 + ∂x1 1 d d A ' B ' − AB ∂u1 x = δ ( 1) = δ x1 dt dt AB ∂x1 7 Deformaciones lineales Los términos diagonales del tensor deformación representan las deformaciones lineales. En las tres direcciones: ∂u1 ∂x1 ; ∂u2 ∂x2 ; ∂u3 ∂x3 Conjuntamente es la variación relativa (deformación) volumétrica ∂u i ∂u1 ∂u 2 ∂u 3 = + + ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 ; ∂u 1 d (δV ) = i δV dt ∂xi 8 Deformación lateral. t t + dt ∂u1 δ x2 dt u1 + ∂x2 ∂u u1 + 1 δ x2 ∂x2 dα B’ B δ x2 A u1 u2 C u1dt A’ dβ C’ u2 dt ∂u2 δ x1 dt u2 + ∂x1 δ x1 u2 + ∂u2 δ x1 ∂x1 1 ∂u2 1 dα + d β 1 d 1 ∂u1 δ x2 dt + δ x1dt = = δ 2 dt 2 dt δ x2 ∂x2 x ∂ x 1 1 1 ∂u ∂u = 1+ 2 2 ∂x2 ∂x1 9 Rotación t t + dt ∂u1 δ x2 dt u1 + ∂x2 ∂u u1 + 1 δ x2 ∂x2 −dα B’ B δ x2 A u1 C A u2 u1dt A’ dβ C’ u2 dt ∂u2 δ x1 dt u2 + ∂x1 δ x1 u2 + ∂u2 δ x1 ∂x1 1 ∂u2 dα d β d 1 ∂u1 ω3 = − δ x2 dt + δ x1dt + = − δ dt dt dt δ x2 ∂x2 x ∂ x 1 1 ω3 1 ∂u2 ∂u1 = − 2 2 ∂x1 ∂x2 10 Deformaciones lineales Los términos diagonales del tensor deformación representan las deformaciones lineales y conjuntamente la variación relativa (deformación) volumétrica. ∂u i ∂u1 ∂u 2 ∂u 3 = + + ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 ; ∂u 1 d (δV ) = i δV dt ∂xi Deformaciones laterales y rotaciones El resto de términos llevan las variaciones de forma y las rotaciones del fluido. 1 ∂u1 ∂u 2 + 2 ∂x2 ∂x1 → Cambios de forma por unidad de tiempo. Variaciones laterales del campo de velocidades (Cizallas ) 1 ∂u 2 ∂u1 − 2 ∂x1 ∂x2 → Rotación del fluido en el plano (1,2) 11 vorticidad Llamamos vorticidad al vector ω, ω = ∇×u que está relacionada con la velocidad según: ω i = ε ijk ∂u k ∂x j Con las componentes: ∂u3 ∂u 2 ∂u ∂u ∂u ∂u ; ω 2 = 1 − 3 ; ω 3 = 2 − 1 − ∂x1 ∂x2 ∂x 2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ω1 = 12 El tensor gradiente de velocidad es suma de los tres tensores vistos hasta ahora: ∂u1 ∂ x1 A= 0 0 0 ∂u 2 ∂x 2 0 0 1 ∂u ∂u B = 2 + 1 2 ∂x1 ∂x 2 1 ∂u ∂u 3 + 1 2 ∂x 1 ∂x 3 Se tiene que 0 0 ∂u 3 ∂ x 3 1 ∂u1 ∂u 2 + 2 ∂x 2 ∂x1 0 1 ∂u 2 ∂u 3 + 2 ∂x3 ∂x 2 A+B= ∇v + ∇v 2 Deformación lineal. Volumétrica 1 ∂u1 ∂u 3 + 2 ∂x3 ∂x1 1 ∂u 2 ∂u 3 + 2 ∂x3 ∂x 2 0 ; Deformación lateral que representa la deformación del fluido 13 1 ∂u 2 ∂u1 1 ∂u3 ∂u1 − − 0 ∂ ∂ ∂ ∂ 2 x x 2 x x 1 2 1 3 1 ∂u ∂u 1 ∂u3 ∂u 2 ∇v − ∇v 1 2 = C = − 0 − ∂ x ∂ x 2 ∂ x ∂ x 2 2 2 1 3 2 1 ∂u ∂u 1 ∂u ∂u3 1 3 2 0 2 ∂x − ∂x 2 ∂x − ∂x 1 3 2 3 ; Rotación Así, el tensor gradiente de velocidad se puede poner como suma de los tensores A, B y C: ∂ u1 ∂x1 ∂u A+B+C= 1 ∂x 2 ∂ u1 ∂x 3 ∂u 2 ∂x1 ∂u 2 ∂x 2 ∂u 2 ∂x3 ∂u 3 ∂x1 ∂u 3 = ∇v ∂x 2 ∂u 3 ∂x3 14 0 1 Tensor rotación también se puede escribir: C = − ω 3 2 ω2 2C ≡ ( (ω ) ) = ( ( ∇ × v ) ) ω3 0 − ω1 − ω2 ω1 0 15 Por otra parte se cumple que δ r ⋅ ( (ω ) ) = ω × δ r , con lo que el campo de velocidades se puede poner como: ∇v + ∇v ∇v − ∇v v p = v 0 + δ r ⋅∇v = v 0 + δ r ⋅ + δ r ⋅ = 2 2 ∇v + ∇v δ r ⋅ ( ( ω ) ) ∇v + ∇v δ r ⋅ ( ( ∇ × v ) ) v0 + δ r ⋅ + = v + r ⋅ δ + 0 2 2 2 2 ∇v + ∇v 1 vp = v0 + δ r ⋅ + (ω × δ r ) 2 2 donde los tres términos del último miembro representan: v0 ∇v + ∇v 2 δr ⋅ 1 (ω × δ r ) 2 traslación deformación rotación. 16 Definimos circulación según: Γ= ∫ por el teorema de Stokes se tiene: es decir: Γ = ∫ S ω = ∇ × u = rot u Vorticidad: c ∫ c v ⋅ dl ω v ⋅ dl = ∫ rot v ⋅ ds dl s ω ⋅ ds que representa el flujo de la v S vorticidad a través de la superficie S Cuando la vorticidad es cero se dice que el movimiento es irrotacional C ω =0 17 Ejemplos: 1.vórtice sólido La velocidad angular es la misma en todo el fluido ω0. utilizando coordenadas polares: uθ = ω 0 r ur = 0 uz = 0 y la vorticidad: ωz = 1 ∂ 1 ∂ur (r uθ ) − = 2ω0 r ∂r r ∂θ 18 2. vórtice irrotacional. La vorticidad en todos los puntos es cero excepto en el origen. uθ = c r 0 ur = 0 → ωz = = 0 r la vorticidad en el origen es ∞, ya que la circulación de v a lo largo de cualquier línea cerrada que contiene el origen O es finita y representa el flujo de la vorticidad. c Γ = 2π r ⋅ = 2π c ≠ 0 (finito) r Γ= ∫ v ⋅ dl =∫ω ⋅ ds (th. Stokes) ⇓ ω ≠ 0 en algún punto (O ) ds → 0 ⇒ ω → ∞ 19 Función de corriente Se dice que un fluido es incompresible cuando se cumple: 1 dρ =0 ρ dt o alternativamente 1 dδ V =0 δ V dt no hay variación relativa de densidad (o volumen específico) Según se ha visto en las deformaciones del fluido: 1 d δ V ∂ui = ∂xi δ V dt con lo que se puede decir que en fluidos incompresibles se cumple: ∂ui =0 ∂xi ó ∇ ⋅u = 0 ó ∂u1 ∂u2 ∂u3 + + =0 ∂x1 ∂x 2 ∂x3 (1) 20 En movimiento plano: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y con ∂w =0 ∂z ó w=0 (flujo solenoidal). Las componentes de la velocidad se pueden tener de la derivación de una función escalar según: u= ∂ψ ∂y ; v=− ∂ψ ∂x ∂u ∂v ∂ 2ψ ∂ 2ψ + = − =0 ∂x ∂y ∂y∂x ∂x∂y donde se cumple la ecuación (1) porque las derivadas cruzadas son iguales: La función ψ se llama función de corriente (Potencial de corriente) 21 ψ es constante a lo largo de las líneas de corriente ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y → dψ = 0 El flujo transcurre entre líneas de potencial de corriente constante. Los valores mayores de ψ quedan a la izquierda del movimiento. ∂ψ ∂ψ ∇ψ = i+ j = −vi + uj ∂x ∂y −vi + uj → ∇ψ ⊥ v v = ui + vj 22 La diferencia de valores de dos líneas de corriente representan la cantidad de fluido que atraviesa una línea transversal (C) en la unidad de tiempo (Flujo de volumen): ψ1 2 ψ 2 − ψ 1 = ∫ dψ = ∫ 1 2 1 2 ∇ψ ⋅ dl = ∫ v × dl 1 v C ψ2 Φ = ψ 2 −ψ 1 23