CONJUNTOS Y N´UMEROS. HOJA 5 1) Demuestra que hay

CONJUNTOS Y NÚMEROS. HOJA 5
1) Demuestra que hay infinitos enteros primos.
2) Sea n = pn1 1 pn2 2 · · · pns s la descomposición de n en factores primos.
i) Demuestra que n tiene (n1 + 1)(n2 + 1) · · · (ns + 1) divisores positivos.
ii) Indicar cuantos divisores enteros (positivos y negativos) tiene n.
3) Sabemos que dados dos enteros no nulos a y b, existen primos {p1 , . . . , ps } de modo que
β1 β2
α2
αs
βs
1
a = sg(a)pα
1 .p2 . . . . .ps y b = sg(b)p1 .p2 . . . . .ps
donde sg( ) ∈ {1, −1} denota el signo y αi ≥ 0, βi ≥ 0.
i) Expresar (a, b) = mcd(a, b) y [a, b] = mcm(a, b) en función de estas factorizaciones.
ii) Sea |n| el valor absoluto del entero n. Demuestra que ab = (a, b) · [a, b] (en particular ab = [a, b] si a y b
son coprimos).
iii) Hallar el máximo común divisor de 1547 y 3059 usando el criterio en i).
iv) Hallar el máximo común divisor de 1547 y 3059 usando el criterio en de la división.
4) Sean a, b, y d > 0 en Z. Supongamos que d|a, que d|b, y que existen enteros s y t de modo que
d = sa + tb.
Demuestra que d = (a, b).
5) Aplica el resultado anterior para probar que dados dos enteros a y b, el “último resto no nulo” es el máximo
común divisor.
6) Demuestra que
a
b ,
= 1.
(a, b) (a, b)
7) Encontrar las parejas a, b ∈ Z tales que (a, b) = 10 y [a, b] = 100.
8) i) Sea S ⊂ Z un subconjunto no vacı́o que cumple las propiedades:
s1 , s2 ∈ S ⇒ s1 + s2 ∈ S,
s ∈ S ⇒ −s ∈ S.
Demuestra que S = {0} o bien S = nZ = {n · k | k ∈ Z} para algún entero positivo n.
ii) Dados a, b ∈ Z definimos f : Z × Z → Z,
f (n, m) = an + bm.
Demuestra que Im(f ) = dZ para d = mcd(a, b).
9) Sea q un número entero tal que q ≥ 1. Calcular (q, q 2 ), (q, q + 1) y (q, q + 2).
10) Dados m enteros consecutivos: n, n + 1, n + 2, . . . , n + (m − 1), con m > 1. Demuestra que uno y solamente
uno es divisible por m.
11) En una parada de autobús llegan tres lı́neas de autobuses: A, B y C. El autobús de la lı́nea A tarda en hacer
el recorrido completo 40 minutos; el de la lı́nea B, una hora; y el de la lı́nea C, 25 minutos. A las siete de la
mañana han coincidido en la parada los tres autobuses. ¿A qué hora volverán a coincidir?.
12) Sea p ∈ Z (p 6= 0, 1, −1). Suponer que p verifica la siguiente condición:
∀a, b ∈ Z, p|ab ⇒ p|a ∨ p|b.
Demuestra que p es primo.
13) Sean a, b, d naturales no nulos tales que a = a1 d y b = b1 d con a1 , b1 ∈ N. Demuestra que si (a1 , b1 ) = 1
entonces d = (a, b).
14) Sean a, b, m números naturales con a y b coprimos. Demuestra que si a|m y b|m entonces ab|m. Encuentra un
contraejemplo que muestre que si a y b no son coprimos el resultado no es cierto en general.
√
√
n ∈ Q ⇔ n ∈ N.
15) Demuestra que para todo n ∈ N,
16) Demuestra que todo número entero se puede expresar como combinación lineal de 1001 y 30.
17) Demuestra que la ecuacion diofántica 6x + 20y = 7 no tiene soluciones. (Sugerencia: 2 no divide a 7).
¿Qué puedes decir de 25x + 45y = 3?.
18) Hallar el conjunto de soluciones de las siguientes ecuaciones diofánticas:
a) 111x + 36y = 15,
b) 10x + 26y = 1224,
c) 6x + 10y = 20.
19) i) Probar que
X 2k+1 + 1 = (X + 1)(
2k+1
X
(−1)j+1 X 2k+1−j ).
j=1
ii) Si k es un entero positivo, y a y b son enteros arbitrarios, entonces (a + b) divide a a2k+1 + b2k+1 .
20) Demostrar que si 2n + 1 es primo n ha de ser una potencia de 2.
21) i) Probar que
n−1
X
X n − 1 = (X − 1)(
X j ).
j=1
ii) Si n es un entero positivo, y a y b son enteros arbitrarios, entonces (a − b) divide a an − bn .
22) Demuestra que
G : Z/nZ × Z/nZ → Z/nZ G((k, m)) = k + m
y
H : Z/nZ × Z/nZ → Z/nZ H((k, m)) = k · m
están bien definidas como funciones. En otras palabras, que la imagen del par (k, m) es independiente de los
representantes k y m elegidos.
23) i) Probar que G y H definen en Z/nZ una estructura de anillo.
ii) Observa que la aplicación Z → Z/nZ definida del conjunto Z en el conjunto de clases de equivalencia, es
compatible con las nociones de suma y producto en cada anillo.
24) i) Sea U(Z/nZ) el subconjunto de Z/nZ formado por las unidades de Z/nZ. Prueba que
a · b ∈ U (Z/nZ) ⇔ a ∈ U (Z/nZ) y b ∈ U (Z/nZ).
ii) Demuestra que la propiedad anterior vale en cualquier anillo A (el conjunto U (A) de unidades es cerrado
por el producto).
25) Halla U(Z/7Z) e indica cuál es el inverso multiplicativo de cada uno de sus elementos. Haz lo mismo con
U(Z/8Z).
p
26) i) Demuestra que si p ∈ N es primo entonces p divide al número combinatorio
para cada 1 ≤ k ≤ p − 1.
k
¿Es esto cierto si p no es primo?
p
ii) Probar que si p es primo, en Z/pZ se cumple la igualdad ap + b = (a + b)p .
27) Demuestra que si p ∈ N es primo entonces U(Z/pZ) = Z/pZ − {0}, y por tanto Z/pZ es un cuerpo.
28) Demuestra que para todo a ∈ Z/pZ se tiene que ap = a. (Sugerencia: a = 1 + 1 + · · · + 1 a-veces).
29) Demuestra que ap − a es multiplo de p para todo a ∈ Z.
30) Hallar los inversos de 13 y de -15 en Z/23Z y Z/31Z.
31) Demuestra que la ecuación 13X = 2 tiene solución única en Z/23Z. Indica cuál es. (Sugerencia: aplica el
problema anterior.)
32) Demuestra que la ecuación 16X = 7 no tiene solución en Z/100Z. (Sugerencia: Observa que en Z no hay
enteros a y b para los cuales a · 16 + b · 100 = 7.)