EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS
1. Calcular el valor de x, aplicando la definición de logaritmo:
1
a) x = log4 64 b) x = log3
c) x = log3 81 d) x = log2 2 2
27
3
e) logx 125 = −3
f) log2 (4 x ) =
Solución
El logaritmo de un número es el número al que hay que elevar la base para obtenerlo, es decir,
loga b = c ⇔ ac = b
a) x = log4 64 ⇔ 4x = 64. Como 64 = 43, se tiene 4x = 43 y por tanto x = 3.
b) x = log3
1
1
1
⇔ 3x =
. Como
= 3-3, se tiene 3x = 3-3 y por tanto x = -3.
27
27
27
c) x = log3 81 ⇔ 3x = 81. Como 81 = 34, se tiene 3x = 34 y por tanto x = 4.
3
d) x = log2 2 2 ⇔ 2 x = 2 2 , Como 2 2 = 2.21 / 2 = 23 / 2 , se tiene 2 x = 23 / 2 y por tanto x = .
2
e) logx 125 = −3 ⇔ x −3 = 125 ⇔
1
x
3
= 125 ⇔
1
1
= x3 ⇔ x =
125
5
f) log2 (4 x ) = 3 ⇔ 23 = 4x ⇔ x = 2
2. Determinar la parte entera del número x = log2 11 .
Solución
Para determinar la parte entera se buscan las potencias de 2 entre las que se encuentra el número
11, estas son 23 y 24 , es decir, se verifica 23 < 11 < 24 .
Tomando logaritmos en base 2 se mantiene la desigualdad, ya que la base es mayor que 1, así
log2 23 < log2 11 < log2 24 , es decir, 3 < log2 11 < 4, de donde se deduce que la parte entera de
log2 11 es igual a 3.
3. Sabiendo que log10 4 0´60206 calcular una aproximación de los siguientes valores:
a) log10 2
b) log10
1
4
c) log10 0´2
d) log10 4000
Solución
Se aplican propiedades de los logaritmos para escribir los valores en función de log10 4.
a) log10 2 = log10 4 = log10 41 / 2 =
b) log10
1
1
log10 4 0´60206 = 0´30103
2
2
1
= log10 4−1 = - log10 4 -0´60206
4
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1
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
c) log10 0´2 = log10
2
= log10 2 - log10 10 0´30103 - 1 = -0´69897
10
d) log10 4000 = log10 (4.1000) = log10 4 + log10 1000 = log10 4 + log10 103 0´60206 + 3 =
= 3´60206
4. Conocidos lna=0´6 y lnb=2´4 calcular:
b) ln 4 b
a) ln a
c) ln ab
d) ln 3
ab
e) ln
e2
a−3
3 2
b
Solución
1
1
lna = .0´6 = 0´3
2
2
a) ln a = ln a1 / 2 =
b) ln 4 b = ln b1 / 4 =
1
1
lnb =
.2´4 = 0´6
4
4
c) ln ab = ln (ab)1 / 2 =
d) ln 3
e) ln
ab
2
e
a−3
3 2
b
1
1
1
1
ln(ab) = (lna + lnb) = (0´6 + 2´4) = 3 = 1´5
2
2
2
2
1/3
⎛ ab ⎞
= ln ⎜
⎟
⎝ e2 ⎠
=
1 ab
1
1
1
1
(lna + lnb - 2) =
(0´6+ 2´4 - 2) =
ln
=
(ln(ab)- ln e2 ) =
2
3 e
3
3
3
3
3
= ln a−3 - ln b2 = ln a−3 / 2 - ln b2 / 3 =
−3
2
−3
2
lnb =
lna 0´6 - 2´4 = -2´5
3
3
2
2
5. Sabiendo que log10 3 0´4771 resolver las siguientes ecuaciones:
a) 10 x + 4 = 30
b) log10 0´03 = x -1
Solución
a) Para despejar x de la ecuación 10 x + 4 = 30 , se toman logaritmos decimales en ambos miembros
de la ecuación, quedando x + 4 = log10 30, de donde se tiene:
x = -4 + log10 30 = -4 + log10 (3.10) = -4 + log10 3 + log10 10 -4 + 0´4771 + 1 = -2´5229
b) Despejando x de la ecuación log10 0´03 = x - 1 y realizando operaciones, se obtiene:
3
= 1 + log10 3 - log10 100 =
100
= 1 + 0´4771 - log10 102 1´4771 - 2 = -0´5229
x = 1 + log10 0´03 = 1 + log10
6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) ex+2 =
e
b) log10 16 - 2 log10 x = log10 100
Solución
a) La ecuación ex+2 =
e se puede escribir ex+2 = e1/2. Para despejar x se toman logaritmos
1
1
−3
neperianos en ambos miembros, quedando x + 2 = , de donde x = -2 +
=
2
2
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Unidad didáctica 1. Cálculo operacional: fracciones, potencias, raíces y logaritmos
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
b) Aplicando propiedades de los logaritmos en el primer miembro de
log10 100 se obtiene:
log10 16 - 2 log10 x = log10 16 - log10 x2 = log10
Por tanto, la ecuación queda log10
16
2
= log10 100, de donde
16
2
log10 16 - 2 log10 x =
16
x2
= 100, es decir,
16
= x 2 , cuyas
100
x
x
2
soluciones son x = ± .
5
−2
El valor x =
no es solución de la ecuación inicial, ya que no existe el logaritmo de un número
5
2
negativo, por tanto, la única solución es x = .
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