Soluciones

Problemas 3
Soluciones
22
1. Ordena de mayor a menor 2222 , 2222, 2222 , 22
22
Sol. 22
2
.
2
> 2222 > 2222 > 2222
2. Luis consigue un préstamo por $50, 000 mismo que pagará de la siguiente
manera: el dı́a del préstamo pagará un peso; al dı́a siguiente dos pesos y
ası́ sucesivamente hasta completar 500 dı́as. ¿Cuántos intereses habrá pagado Luis en total, al cubrir su último pago?
Sol. En total Luis pagará, 1 + 2 + 3 + ... + 500, podemo usar la fórmula de
Gauss:
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
2
500(501)
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 500 =
= (501)(250) = 125250.
2
En total habrá pagado $125, 250, y el préstamo fue de $50, 000, entonces los
intereses fueron 125250 − 50000 = 75250.
3. De la ciudad A a la B hay 4 caminos directos, de la B a la E hay 7 caminos
directos, de la A a la C hay 3, de la D a la E hay 4, y entre A y E, A y D, B
y D, B y C, C y E no hay caminos directos. Si se sabe que de la ciudad A a
la E se pueden tomar 52 rutas distintas, ¿cuántos caminos hay de la ciudad
C a la ciudad D?
Sol. Pasando por B hay 4 × 7 = 28 caminos de A a E. Entonces, se necesita
que haya 24 caminos de A a E pasando por C y D. Como de A a C hay 2 y
24
= 3 caminos de C a D.
de D a E hay 4, tienen que haber 2×4
4. Los empleos de Juan, Marco y Raúl son panadero, taxista y bombero. A
Marco y a Raúl les gusta el baisbol y al taxista no. El panadero colecciona
timbres, Raúl no sabe nada de sellos certificados. ¿Quién es el panadero?
1
Sol. Como a Marco y a Raúl les gusta el beisbol y al taxista no, el taxista
es Juan. Raúl no sabe nada de sellos certificados y el panadero colecciona
timbres, luego, el bombero es Raúl y el panadero es Marco.
5. En una reunión se repartieron 132 regalos. Cada persona le dio un regalo a
todos los demás, excepto a sı́ mismo. ¿Cuántas personas habı́a en la reunión?
Sol. Llamenos n al número de personas, como cada persona le dio un regalo
a todos los demás, se repartieron n(n − 1) regalos. Luego, n(n − 1) = 132, o
bien (n − 12)(n + 11) = 0, de donde n = 12. Por lo tanto, habı́a 12 personas
y cada una dio 11 regalos.
6. Los lados de AD y BC de un rectángulo ABCD miden 21cm. Si F y E
son puntos sobre los lados BC y CD, respectivamente, tales que AB = AE,
CE = CF y F B = F E, ¿cuánto mide AB?
Sol. Como F B = F E, tenemos que los ángulos ∠EBF = ∠F EB son iguales.
Análogamente, la igualdad AE = AB implica que ∠BEA = ∠ABE. Luego,
∠ABF = ∠ABE + ∠EBF = ∠BEA + ∠F EB = ∠F EA
Como ∠ABF = 90◦ , entonces ∠F EA = 90◦ . Además, ya que EC = CF ,
tenemos que ∠CEF = 45◦ y por lo tanto
∠AED = 180◦ − ∠F EA − ∠CEF = 180◦ − 90◦ − 45◦ = 45◦
y el triángulo AED es isósceles. Luego, ED = AD = 21cm. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ADE,√tenemos que
2
2
AE 2 = AD2 + ED2 =
√ 2AD = 2(21) , de donde AE = 21 2cm. Por lo
tanto, AB = AE = 21 2cm.
7. El valor absoluto del número x se denota |x|. Por ejemplo, |5| = |−5| = |5|.
¿Cuántos números reales x cumplen que |||||x − 1| − 2| − 3| − 4| − 5| = 0?
Sol. Si
|||||x − 1| − 2| − 3| − 4| − 5| = 0,
entonces,
||||x − 1| − 2| − 3| − 4| = 5.
2
Luego,
|||x − 1| − 2| − 3| − 4,
es igual a 5 ó a −5. De aquı́ que
|||x − 1| − 2| − 3| = 4 ± 5.
Como el lado izquierdo de esta última igualdad nunca es negativo , la única
posibilidad es
|||x − 1| − 2| − 3| = 9.
Aplicando nuevamente el razonamiento, tenemos que
||x − 1| − 2| = 12
|x − 1| = 14
x = 1 ± 14,
lo que implica que x es igual a −13 ó a 15. Por lo tanto, hay dos números
reales que satisfacen el problema.
8. Un pueblo está habitado por caballeros, que siempre dicen la verdad, y por
plebeyos, que siempre mienten. Juan entrevista a 4 hábitantes, Luis, Pablo,
Carlo y Darı́o. Luis dice: ”Pablo es un plebeyo”; Pablo: ”De entre nosotros,
yo soy el único caballero”; Carlo: .Al menos uno entre Luis y Darı́o es plebeyo”; Darı́o: ”Los cuatro somos caballeros”. ¿Cuántos son caballeros?
Sol. Supongamos que Luis es un caballero, luego Pablo es un plebeyo y por
eso miente acerca de Luis. También, Darı́o miente pues no todos son caballeros, luego Carlo es un caballero al decir que al menos uno entre Luis y
Darı́o es un caballero. En este caso tenemos dos caballeros.
Ahora, si Luis es un plebeyo, tambı́én lo es Darı́o, luego Carlo y Pablo son
caballeros. Esto es imposible ya que Pablo estarı́a mintiendo . Por lo tanto
hay dos caballeros: Luis y Carlo.
9. Benito tiene varias monedas: una de $1, una de $2, una de $4 y una de
$8. ¿Cuántos precios distintos, sin recibir cambio, puede pagar usando esas
3
monedas?
Sol. Notemo que lo que más puede pagar Benito es $15 = $1 + $2 + $4 + $8.
Claramente, Benito puede pagar $1,$2,$4,$8 y
$3 = 1 + 2
$5 = 1 + 4
$6 = 2 + 4
$7 = 1 + 2 + 4.
Al sumar $8 a $1,$2,$3,$4,$5,$6 y $7, Benito puede pagar desde $9 hasta
$15. Por lo tanto, Benito puede pagar todos los precios desde $1 hasta $15.
10. Considerando siempre la raı́z positiva, encuentra el valor de:
v
s
u
r
u
q
√
t
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + ...
s
Sol. Sea x =
r
6+
q
p
√
6 + 6 + 6 + 6 + ..., entonces
s
2
x =6+
r
6+
q
√
6 + 6 + 6 + ... = 6 + x
x2 − x − 6 = 0
Factorizando, obtenemos (x − 3)(x + 2) = 0, de donde x = 3 ó x = −2.
Pero como xes el resultado de una raı́z positiva entonces la única solución es
x = 3.
4