gráficas y proporcionalidad

Física.
GRÁFICAS Y PROPORCIONALIDAD.
Una gráfica de puntos está constituida por 2 ejes perpendiculares de aproximadamente la misma
longitud. En sus extremos se indican con flechas, el sentido en que crecen las magnitudes. Se
especifican las magnitudes en estudio y junto a ellas se colocan las correspondientes unidades entre
paréntesis.
-
en el eje horizontal (abscisas) se colocan los valores correspondientes a la variable
independiente.
-
en el eje vertical (ordenadas) se colocan los correspondientes a la variable dependiente.
-
la intersección de los ejes no tiene que coincidir con el cero de ambas escalas, pero siempre
resulta de utilidad.
-
cada eje debe tener una escala apropiada teniendo en cuenta el rango de valores que tenemos
que graficar (dicha escala debe estar indicada)
-
para ubicar los puntos se utilizan líneas auxiliares, generalmente trazadas de forma punteada o
que luego de construir la gráfica se pueden borrar.
-
luego de marcados los puntos trazamos la línea de tendencia, dependiendo de la forma en que
se encuentren alineados los puntos (recta o curva).
Ejemplo:
eje vertical (ordenadas)
x (m )
x = f (t )
líneas auxiliares
línea
x2
ó
eje horizontal (abscisas)
t1
1/5
tendencia
curva del gráfico
x1
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de
t2
t (s )
magnitud
y correspondiente
unidad entre paréntesis
Física.
Pendiente de una recta:
La pendiente es el cociente entre la variación de la magnitud que colocamos en el eje vertical y
la correspondiente variación de la magnitud del eje horizontal.
Ejemplo:
pendiente =
como
∆A
∆B
A
∆A = a2 − a1 y ∆B = b2 − b1
pendiente =
(a2 − a1 )
(b2 − b1 )
a2
∆A
a1
∆B
b1
b2
B
Significado del área:
El significado físico del área de una gráfica representa ocasionalmente el valor de una magnitud física.
Por lo tanto cuando hablamos de áreas no nos referimos a su valor e unidades de superficie, sino al
resultado que surge de operar con las unidades de las magnitudes representada en cada eje.
Ejemplo:
La gráfica anexa corresponde a los
cambios de velocidad de una partícula en
función del tiempo
v = f (t ) .
El área de la gráfica representa el
el área de la gráfica representa
v(m/s)
el desplazamiento ( ∆x )
5,0
desplazamiento realizado por la misma en
el tramo de tiempo seleccionado (200 s).
⇒ ∆x = área triángulo =
∆x =
2
(200s.5,0m / s ) = 500 m
2
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2/5
(b.h )
0
200
400
600
t(s)
Física.
GRÁFICOS CON INCERTIDUMBRE.
Cuando los valores que debemos graficar tienen incertidumbre, sustituiremos los puntos de la
gráfica por rectángulos, denominados rectángulos de incertidumbre.
a ± a
coordenadas del punto
b ± b
la intersección de las líneas auxiliares determinan el
rectángulo
de
(coordenadas
incertidumbre;
del
punto)
cada
tendrá
pareja
su
de
valores
rectángulo
de
incertidumbre
Para trazar la curva de la gráfica debemos tener en cuenta los rectángulos de incertidumbre, estos nos
permiten trazar diferentes rectas.
a- Recta de máxima pendiente: es la recta que pasa
por todos los rectángulos de incertidumbre y
tienen mayor pendiente (roja)
b- Recta de mínima pendiente: es la recta que pasa
portados los rectángulos de incertidumbre y
tiene menor pendiente (azul)
Calculamos la pendiente de ambas
rectas que denominamos pendiente máxima
(pmáx)
y
pendiente
mínima
(pmín).
Luego
hallamos la pendiente media:
pmedia =
( pmáx + pmín )
2
y la incertidumbre:
p =
pmáx − pmín
2
la
pendiente
correspondiente
pmedia + p
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tiene
su
incertidumbre:
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Proporcionalidad directa.
Dos magnitudes variables A y B que se relacionan en forma directa proporcionalmente cumplen
dos condiciones:
a- la gráfica
A = f (B ) es una curva recta que pasa por el
origen de coordenadas.
b- el cociente A / B de todas las pareas de valores es
constante.
•
A
se le denomina constante de
B
pendiente =
proporcionalidad.
A
=K
B
A = K .B
•
si
•
la relación se establece: A
∝B
Proporcionalidad inversa.
Dos magnitudes variables A y B que se relacionan en forma
inversamente proporcional cumplen:
a- La gráfica
A = f (B ) es una hipérbola.
b- El producto A.B de todas las parejas de valores es constante.
•
•
•
si la gráfica
A = f (B ) es una curva, es posible que la
sea una recta, la pendiente no
relación entre las variables A y B sea inversamente
tiene un valor único en todo el
proporcional, pero podría no serlo.
gráfico, cada punto del gráfico
1
; lo que implica que
B
1
A es directamente proporcional al inverso de B: A ∝
.
B
si A.B = K
→ A=
K
B
ó
A = K.
corresponde con un valor de
pendiente
Para verificar una relación inversamente proporcional mediante
una gráfica, debemos graficar
1
A = f   y obtener una gráfica
B
que pase por el origen de ambas coordenadas.
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En el caso de que el gráfico no
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Cambio de variable.
En muchas ocasiones una variable puede ser directa o inversamente proporcional a una función
de la otra variable.
Ejemplo:
A = B 2 ; la variable A no es directamente proporcional a B, pero si lo es a B2; para comprobar
( )
esto, basta graficar A = f B
cocientes
A
B2
2
y ver si es una recta que pasa por el origen o realizar los
verificando que todos sean iguales.
Otros casos:
⇒ La gráfica obtenida no siempre debe responder a A = B 2 ; por lo tanto si luego de graficar
( )
A = f (B ) , la gráfica tiene forma curva, pero no se obtiene una recta al graficar A = f B 2 es posible
que la “función” sea del tipo
A = K .B n siendo “ n ” un número natural; al obtener en la gráfica una
recta que pase por el origen, comprobamos que A ∝ B .
n
También podemos tener una función
pasa por el origen.
Prof. Soledad Portillo.
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A = K.
1
; debemos graficar hasta obtener una recta que
Bn