Ecuaciones Diferenciales Parciales. Estrategias para su Solución

Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Estrategias para su Solución Numérica y
Computacional.
L. Héctor Juárez V.
Departamento de Matemáticas–UAM Iztapalapa
Noviembre, 2010
XLIII Congreso Nacional de la SMM
Inicio de las EDP: Ecuaciones de
la Física-Matemática
El inicio de las EDP
El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales inicio en el siglo
XVIII con los trabajos de los suizos d’Alembert y Euler y los
franceses Lagrange y Laplace.
Las ecuaciones diferenciales parciales aparecieron en el contexto de
la modelación matemática de fenómenos de la física del medio
continuo.
MODELOS
I
Cuerdas vibrantes
I
El campo gravitacional Newtoniano
I
Conducción del calor
I
Dinámica de fluidos
I
Elasticidad
I
Electrostática
I
Electricidad y magnetismo
La ecuación de onda unidimensional
d’Alembert, 1752. modelo de una cuerda vibrante:
2
∂2u
2 ∂ u
=
c
∂t 2
∂x 2
u = u(x, t)
(utt = c 2 uxx )
← Oprimir para animación
El problema de Cauchy
Dados el desplazamiento y vel. inicial
u(0, x) = f (x),
ut (0, x) = g(x)
Calcular la solución de la ecuación
Solución (fórmula de d’Alembert):
1
1
u(t, x) = [f (x − ct) + f (x + ct)]+
2
2c
Z
x+ct
g(y ) dy .
x−ct
Jean le Rond d’Alembert
(1717–1783)
Derivación de la ecuación de onda
4x = longitud de un tramo
4m = su masa
ρ = densidad.
Componente horizontal de la tensión T ≈ T1 cos(α) = T2 cos(β)
Segunda ley de Newton: F = 4m a
T2 sen(β) − T1 sen(α) = ρ 4x
tan(β) − tan(α) =
1
4x
∂2u
∂2t
ρ 4x ∂ 2 u
T
∂2t
∂u
∂u
ρ ∂2u
(x + 4x, t) −
(x, t) =
∂x
∂x
T ∂2t
Cuando 4x → 0, se obtiene
∂2u
∂2u
= c2
2
∂t
∂x 2
r
c=
ρ
T
La ecuación de onda multidimensional
Euler, 1759, y D. Bernoulli, 1762: estudio de ondas acústicas
∂2u
= c2
∂t 2
∂2u
∂2u
∂2u
+
+
2
2
∂x
∂y
∂z 2
Aplicaciones
I
Ondas de sonido en un tubo ó en
una barra
I
Oscilaciones torsionales de una
barra
I
Ondas largas en un canal recto
I
Transmisión de electricidad en un
cable aislado de baja resistencia
I
Flujos de aire supersónicos
Leonhard Paul Euler
(1707–1783)
← Oprimir para animación
Daniel Bernoulli (1700–1782)
Ecuación de Laplace
Laplace, aprox. 1780: estudio de campos potenciales gravitacionales
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

ϕxx + ϕyy + ϕzz = 0



div grad ϕ = 0

∇2 ϕ = 0



∆ϕ = 0
Funciones armónicas: ϕ(x, y , z), muy
importantes en muchos campos de la
ciencia:
I
Electromagnetismo
I
Astronomía
I
Dinámica de fluidos
Pierre-Simon,
marqués de Laplace
(1749–1827)
Describen el comportamiento de los potenciales eléctricos,
gravitacionales y de los fluidos.
La teoría general de las soluciones de la ecuación de Laplace se
conoce como Teoría del Potencial.
Problema con valores en al frontera
Problema típico: encontrar una solución que satisface valores
arbitrarios en la frontera ∂Ω de un dominio acotado Ω.
Ejemplo: encontrar ϕ(r , θ) armónica sobre el
círculo de radio uno, tal que ϕ(1, θ) = φ(θ).
Solución (Poisson):
ϕ(r , θ) =
1
2π
Z
0
2π
1+
r2
1 − r2
u(θ0 )dθ0
− 2r cos(θ − θ0 )
Siméon Denis
Poisson (1781-1840)
Poisson también es conocido por la ecuación que lleva su nombre
∆ϕ = f
la cual tiene aplicaciones en electrostática, ingeniería mecánica y
física teórica
Ecuación de calor
Fourier, 1810–1822, “Théorie analytique de la chaleur”)

2

utt = κ [uxx + uyy + uzz ]
2
2
∂u
∂ u
∂ u
∂ u
=κ
+
+
utt = κ ∇2 u

∂t
∂x 2
∂y 2
∂z 2

utt = κ ∆u
Derivación de la ecuación de calor:
Ley deFourier: q = −D ∇u
(flujo local de calor)
Jean Baptiste
RRR
Joseph Fourier,
c ρ u(x, t) dV
Enegía térmica total Q en V : Q =
V s
1768–1830
RR
Flujo de calor a través de S: − S q · n dS
RR
q · n dS
Conservación de la energía (sin fuentes) dQ
dt = −
S
ZZZ
ZZZ
∂u
cs ρ
dV =
∇ · (D ∇u) dv ⇒ Ec. calor con κ = D/cs ρ
∂t
V
V
← Oprimir para animación
Problema de Cauchy: u(x, 0) = f (x)
Ejemplo:
ut = uxx ,
u(x, 0) = cos(2x) ux (0, t) = ux (1, t) = 0
P∞
2 2
Solución: u(x, t) = sen(2)
+ 1 An cos(nπx) e−kn π t
2
R1
← animación
An = 2 0 cos(2x) cos(nπx) dx
Aplicaciones
I
Procesos de difusión: Física, química y proc. ind.)
I
Estadística: conexión con movimiento Browniano
Augustin Louis
Cauchy, 1789–1857
I
Probabilidad: describe caminatas aleatorias. Evolución de
distribuciones en procesos aleatorios. Ecuación de Schrödinger
para una partícula libre.
I
Matemática financiera: modelación de opciones
(Black–Scholes)
I
Transmisión telegráfica en cables de baja conductancia o
capacitancia
Clasificación de las EDP
Los tres principales tipos de EDP de la física matemática fueron
introducidas entre la mitad del siglo XVIII y principios del siglo XIX:
EDP lineal de 2o. orden en 2 var.: Auxx + Buxy + Cuyy + . . . = 0
Secciones cónicas:
A x 2 + B xy + C y 2 + . . . = 0
1. B 2 − 4AC < 0: Elíptica
(Ecuación de Laplace)
3. B 2 − 4AC > 0: Hiperbólica
(Ecuación de onda)
2. B 2 − 4AC = 0: Parabólica
(Ecuación de calor)
Hay EDP de 2o. orden que no se pueden clasificar:
Ecuación de Euler–Tricomi: uxx = x uyy
Flujos transónicos (aeronáutica):
I
Hiperbólica si x > 0
I
Elíptica
I
Parabólica si x = 0
si x < 0
FA-18_hornet_transonic.
Algunos métodos de solución análitica
I
Método de las caracterísiticas. Tipicamente para EDP de 1er.
orden
I
Métodos de Tranformadas (Laplace, Fourier,...)
I
Funciones de Green
I
Cambio de variables
I
Separación de variables
I
Series de Fourier
I
Métodos de Grupos de Lie
EDP Más Complejas
La realidad es compleja
En aplicaciones reales las EDP usualmente
I
Son no lineales. Por, ejemplo, en la ecuación del calor la
constante de difusión térmica k realmente depende de la
solución e incluso puede depender de la dirección: ut = κ(u) ∆u
I
Modelan fenómeneos en regiones complejas. Por ejemplo, la
ecuación de calor (aunque lineal) en un dominio complejo,
usualemte no tiene solución analítica.
I
Combinan diferentes operadores. Por ejemplo la ecuación de
Fisher (advección-difusión-reacción)
∂p
+ u · ∇p = D ∇2 p + s p (1 − p)
∂t
I
Contienen combinaciones de las anteriores dificultades
Ecuaciones de Euler, 1755
Flujos de fluidos inviscidos
∂ρ
I u, vector de velocidades.
+ ∇ · (ρu) = 0
∂t
I p, presión.
∂(ρu)
+ ∇ · (u ⊗ (ρu)) + ∇p I = 0
I ρ, densidad.
∂t
∂E
I E, energía por u. de volumen.
+ ∇ · (u(E + p)) = 0,
∂t
Las ecuaciones de
Euler son hiperbólicas
ecuación de Euler se
Al igual que las olas
no lineales y sus
“rompen” y se forman
oceánicas las ondas
soluciones generales
las ondas de choque
descritas por la
son ondas
surface_waves.jpg
Ecuaciones de Navier–Stokes
Navier, 1822–1827 −→ Poisson, 1831 −→ Stokes, 1845: movimiento
de fluidos viscosos como agua y aire
∂u
+ u · ∇u = −∇p + ∇ · T + f
ρ
∂t
Navier.jpg
∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0
∂t
Claude Louis Navier, 1785–1836
Uno de los conjuntos de EDP más útiles: describe la física de un gran
numéro de fenómenos de interés científico, académico y económico.
Fluidos incompresibles
Inercia
z
ρ
∂u
∂t
|{z}
}|
Aceleración
no estacionaria
+ u
∇u}
| ·{z
Aceleración
convectiva
{
= −∇p + µ∇2 u + |{z}
f
| {z }
| {z }
Gradiente
de presión
∇·u=0
Viscosidad
Otras
fuerzas
Stokes.jpg
George Gabriel Stokes,
1819–1903
Aplicaciones
Las ecuaciones de NS modelan
I
Movimiento de líquidos y gases
I
Corrientes oceánicas
I
Movimiento de estrellas dentro de las galaxias
I
Fenómenos complejos en biología
Las ecuaciones de NS son útiles en
I
El estudio de flujo de sangre
I
El diseño de autos y aeroplanos
I
El estudio fenómenos meteorológicos
I
El estudio de transporte de contaminantes
I
Y muchas otras aplicaciones
← Oprimir para animaciones
Elasticidad lineal
Navier, 1821 y Cauchy, 1822:
Es el estudio matemático de como se
deforman los objetos sólidos y de sus
esfuerzos internos debido a cargas externas
dadas (Mecánica del medio continuo)
Ecuaciones de Navier–Cauchy
(λ + µ)∇(∇ · u) + µ∇2 u + F = 0
donde µ el el módulo de rígidez, λ es un parámetro de Lamé, u es
desplazamiento, F son las fuerzas de cuerpo.
Ecuaciones de Maxwell:
Teoría electromagnética, 1864
ρ
(campo eléctrico)
ε0
Ley de Gauss ∇ · B = 0 (campo magnético)
∂B
Ley de Faraday ∇ × E = −
∂t
∂E
Ley de Ampère ∇ × B = µ0 J + µ0 ε0
∂t
Ley de Gauss
∇·E=
James Clerk Maxwell,
1831–1879
E: campo eléctrico B: campo magnético J: densidad de corriente
ρ: densidad de carga 0 : pemitividad µ0 : permeabilidad
André–Marie Ampère (1775–1836)
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Michael Faraday (1791–1867
Controversia sobre el papel de Maxwell
Contibrución: corrección en el término de corriente de
desplazamiento (On Physical Lines of Force 1861) Le permitió
derivar la ecuación de onda electromagnética en su artículo
Dynamical Theory of the Electromagnetic Field
1 ∂2
c 2 ∂t 2
1 ∂2
∇ − 2 2
c ∂t
∇2 −
2
E = 0
B = 0
La luz es una onda electromágnetica
(confirmado experimentalmente por
Heinrich Hertz en 1887).
Se dice que las ecuaciones de Maxwell se llamaron ecuaciones de
Hertz-Heaviside pero que Einstein, por alguna razón, les llamo
ecuaciones de Maxwell–Hertz.
Métodos de Aproximación de las
EDP
Algunos métodos de aproximación
I
Diferencias finitas
I
Elemento finito
I
Volumen finito
I
Métodos sin malla (malla libre)
I
Elementos de frontera
I
Métodos espectrales
I
Métodos de partículas
I
Lattice Boltzamnn
I
Monte Carlo
I
Perturbación
I
Series
I
......
Los métodos más usados
Discretization techniques
Diferencias Finitas/forma diferencial
Finite differences / differential
form
Discretization
techniques
I
Aproximación de valores nodales
I
Finite y
differences
/ differential form
Fácil, efectivo
simple
• simple
and effective, easy to derive
I
limited structuradas
to (block-)structured
Limitado a •mallas
(pormeshes
• simple and effective, easy to derive
bloques) Finite volumes / integral form
• approximation of nodal derivatives
• approximation of nodal derivatives
• limited to (block-)structured meshes
• approximation
Volumen Finito/forma
integralof integrals
Finite volumes / integral form
• conservative by construction
I
Aproximación
de integrales
• approximation
of integrals
I
• conservative
by construction
Conservativos
por construcción
I
Adecuado para
mallas
generales
• weighted
residual
formulation
• suitable for arbitrary meshes
Finite
elements
weak form
• suitable
for /arbitrary
meshes
Finite elements / weak form
• remarkably flexible and general
• weighted residual formulation
• suitable for arbitrary meshes
• remarkably flexible and general
• suitable for arbitrary meshes
Finite volumes / integral form
• approximation of integrals
• conservative by construction
• suitable for arbitrary meshes
Elemento Finito/forma débil
Finite elements / weak form
I
Aprox. formulación variacional
I
Gran flexibilidad
y generalidad
• remarkably
flexible and general
I
• suitable
for arbitrary
meshes
Adecuado para
mallas
generales
• weighted residual formulation
Métodos sin Malla/RBF
I
No involucra integración numérica
I
Fácil y simple
I
No requiere discretización del dominio
Método de diferencias finitas
Finite difference method
Idea: Sustituir las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en
Principle: derivatives in the partial differential equation are approximated
diferencias
by linear combinations of function values at the grid points
Principio Las derivadas parciales en la ecuación se sustituyen por
1D:
Ω lineales
= (0, X), de valores
ui ≈ u(xde
i = 0, 1, .en
..,N
i ), la función
combinaciones
los nodos de la
malla.
grid points xi = i∆x
mesh size ∆x = X
N
0
x0 x1
xi
1
xi xi+1
X
xN 1 xN
First-order derivatives
+ ∆x)
1D : ∂u (x̄)
Ω(0,=X ),lim u(x̄
ui ≈
u(xi−),u(x̄) =i =lim
1, ·u(x̄)
· · , −N.u(x̄ − ∆x)
∂x
∆x→0
∆x
∆x
u(x̄ + ∆x) − u(x̄ − ∆x)
(by definition)
= lim
∆x→0
2∆x
∆x→0
Puntos de malla: xi = i 4x = i h
Tamaño de malla: h = 4x = L/N
Aproximación de las derivadas de primer orden
Derivadas de primer orden
u(x̄ + h) − u(x̄)
u(x̄) − u(x̄ − h)
∂u
(x̄) = lim
= lim
h→0
h→0
∂x
h
h
u(x̄ + h) − u(x̄ − h)
= lim
h→0
2h
Dif. hacia adelante
∂u
ui+1 − ui
≈
∂x i
∆x
Dif. hacia atrás
∂u
ui − ui−1
≈
∂x i
∆x
Diferencias centrales
∂u
ui+1 − ui−1
≈
∂x i
∆x
∞ X
∂u (x − xi )n
Expansión en series de Taylor: u(x) =
∂x i
n!
n=0
T1 :
ui+1 = ui + ∆x
T2 :
ui−1 = ui − ∆x
∂u
∂x
∂u
∂x
+
i
+
i
(∆x)2
2
(∆x)2
2
∂2u
∂x 2
∂2u
∂x 2
+
i
i
−
(∆x)3
6
(∆x)3
6
∂3u
∂x 3
∂3u
∂x 3
i
i
+ ···
+ ···
Aproximaciones
Diferencia hacia adelante de 1er orden
ui+1 − ui
(∆x) ∂ 2 u
∂u
=
−
T1 =⇒
− ···
∂x i
∆x
2
∂x 2 i
Diferencia hacia atrás de 1er. orden
ui − ui−1
(∆x) ∂ 2 u
∂u
=
+
− ···
T2 =⇒
∂x i
∆x
2
∂x 2 i
Error de
Truncamiento
O(∆x)
O(∆x)
Diferencia central de 1er. orden
∂u
ui+1 − ui−1
(∆x)2 ∂ 3 u
T1 − T2 =⇒
=
−
+ ···
∂x i
2 ∆x
6
∂x 3 i
O(∆x 2 )
Diferencia central de 2do. orden
2 T1 + T2
∂ u
ui+1 − 2 ui + ui−1
∆x 2 ∂ 4 u
=⇒
=
−
− ···
2
∂x 2 i
∆x 2
12
∂x 4 i
O(∆x 2 )
Ecuación de Difusión 1-D
ut (x, t) = uxx (x, t) en 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = u 0 (x), 0 ≤ x ≤ 1
t
Se divide (0, 1) en J subintervalos
Se divide (0, tf ) en N subintervalos
t n+1
tn
∆x = 1/J
∆t = tf /N
xj
= j ∆x,
tn = n ∆t,
Δx
0
1
1
0
11111
00000
0
1
111111111
000000000
Δt
j = 0, 1, ..., J.
n = 0, 1, ..., N.
xj−1 x j x j+1
u(xj , tn ) se aproxima por medio del valor nodal
Ujn
x
t
Esquema
Ujn+1
−
∆t
Ujn
Esquema
Ujn+1
−
∆t
explícito
=
n
n
Uj+1
− 2Ujn + Uj−1
t n+1
,
(Ec. en dif.)
(∆x)2
U0n = UJn = 0, 1 ≤ n ≤ N,
Uj0
Ujn
Promedios
Ujn+1 − Ujn
∆t
= u (xj ), 0 ≤ j ≤ J.
=
n+1
n+1
Uj+1
− 2Ujn+1 + Uj−1
xj−1 x j x j+1
t
,
0
= u (xj ), 0 ≤ j ≤ J.
(Ec. en dif.)
t n+1
Δt
11
00
11
00
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Δt
(C.f.)
(C.i.)
xj−1 x j x j+1
t
n+1
n+1
Uj+1
− 2Ujn+1 + Uj−1
(∆x)2
n
n
Uj+1 − 2Ujn + Uj−1
x
Δx
1
0
0
1
11111
00000
0
1
tn
pesados
=θ
1
0
1
0
111111111
000000000
11
00
1
0
1
0
00
11
1
0
1
0
(C.i.)
implícito
+(1 − θ)
0≤θ≤1
tn
(C.f.)
0
(∆x)2
n
n
U0 = UJ = 0, 1 ≤ n ≤ N,
Uj0
Δx
1
0
0
1
11111
00000
0
1
(∆x)2
(Método de C–N : θ = 1/2.)
x
Δx
0
1
1
0
11111
00000
0
1
t n+1
11
00
00
11
tn
111111111
000000000
11
00
0
1
0
1
00
11
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
Δt
.
xj−1 x j x j+1
x
Esquema explícito
(ν = ∆t/∆x 2 Número de difusión)
Uj0 = u 0 (xj ), 0 ≤ j ≤ J
Para n = 0, . . . , N − 1
U0n = 0
n
n
Ujn+1 = Ujn + ν Uj+1
− 2Ujn + Uj−1
,
UJn = 0
1≤j ≤J −1
Fin
Esquema implícito
n+1
n+1
−ν Uj−1
+ (1 + 2 ν) Ujn+1 − ν Uj+1
= Ujn ,
1≤j ≤J −1
Sistema de ecuaciones A U = b
Promedios pesados. Para 1 ≤ j ≤ J − 1
n+1
n+1
n
n
−θ ν Uj−1
+ (1 + 2 θ ν) Ujn+1 − θ ν Uj+1
= Ujn + (1 − θ) ν (Uj−1
− 2Ujn + Uj+1
)
Sistema de ecuaciones A U = b
Para el esquema implícito

2
−1

A(ν) = I+ν 



−1

2 −1


............

−1
2 −1
−1
2
Para el método θ

2 −1
−1
2 −1

.
...........
A2 (θ, ν) = I+θ ν 


−1
2
−1



U=








−1
2


U=


n
n
donde bjn = Ujn + (1 − θ) ν (Uj−1
− 2Ujn + Uj+1
).
U1n+1
U2n+1
..
n+1
UJ−2
n+1
UJ−1









b=


U1n+1
U2n+1
..
n+1
UJ−2
n+1
UJ−1









b=


U1n
U2n
..
n
UJ−2
n
UJ−1

b1n
b2n
..
n
bJ−2
n
bJ−1











n=0
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
n = 10
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
n = 30
1
0.9
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.4
0.3
0.2
0
0.2
1
0.9
0.3
0
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
n = 50
1
0.9
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
0.2
0.4
0.6
Δ t = 0.0012
0.8
1
0
Δ t = 0.0013
Solución por el método explícito: Estabilidad condicional
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
n=0
0.2
0
n=0
0.2
0.1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0
0.2
0.4
0
0.2
0.4
0
0.2
0.4
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.3
n = 10
0.2
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.6
0.8
1
0.3
0.2
0.2
n = 30
0.1
0
0.2
0.4
0.6
n=3
0.1
0.8
1
0
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.6
0.8
1
0.8
1
0.3
0.2
0.2
n = 50
0.1
0
1
n=1
0.2
0.1
0
0.8
0.4
0.3
0
0.6
0
0.2
0.4
0.6
n=5
0.1
0.8
Δ t = 0.0013 ( ν = 0.52 )
1
0
0.6
Δ t = 0.0125 ( ν = 5)
Solución por el método implícito (o por el theta): Estabilidad
Estabilidad Numérica
Un esquema de diferencias finitas es
I
Estable, si los errores cometidos en un paso de tiempo no causa
que los errores crezcan a medida que los cálculos continuan.
I
Neutralmente estable, si los errores permanecen constantes.
I
Inestable, si los errores crecen conforme avanzan los cálculos.
Procedimiento para investigar la estabilidad: Análisis de Von
Neumann, esta basado en la descomposición de Fourier del error:
I Crank, J.; Nicolson, P. (1947), A Practical Method for Numerical
Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat
Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc, 43: 50–67.
I Charney, J. G.; Fjørtoft, R.; von Neumann, J. (1950), Numerical
Integration of the Barotropic Vorticity Equation, Tellus 2: 237–254.
1
∆x 2
∆t
≤
⇒
∆t
≤
∆x 2
2
2D
Método implícito y θ: incondicionalmente estables.
Método explicito : condicionalmente estable D
Consistencia
Para el esquema explícito:
∂u
∂t
n
j
−
−
∂2u
∂x 2
n
=
j
ujn+1 − ujn
∆t
−
n
n
− 2 ujn − uj−1
uj+1
(∆x)2
∆t
∆x 2
(utt )nj +
(uxxxx )nj + O(∆t 2 ) + O(∆x 4 )
2
12
=⇒ error de truncamiento: O(∆t) + O(∆x 2 )
En forma análoga se encuentra que
Error de truncamiento
Esquema
I
Implícito
I
Crank–Nicolson
O(∆t) + O(∆x 2 )
O(∆t 2 ) + O(∆x 2 )
ESQUEMA CONSISTENTE: La discretización de la EDP se
transforma en la exacta cuando ∆t y ∆x → 0.
Principio del máximo
Se sabe tanto desde el punto de vista matemático y como físico que
la solución u(x, t) está acotada inferiormente y superiormente por los
extremos de los valores iniciales y los valores de frontera.
t
Δx
1
0
0
1
11111
00000
0
1
t n+1
Δt
tn
xj−1 x j x j+1
x
Puntos sobre los que se toma el máximo y el mínimo.
Condición: ν(1 − θ) ≤
1
.
2
Crank-Nicolson: ν ≤ 1.
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
n=0
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0
n=2
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
1
1
0.5
n=4
0
0.4
0.6
0.8
1
0.4
0.6
0.8
1
0.4
0.6
0.8
1
0.4
0.6
0.8
1
n=1
0
0.2
n=2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
0
0.2
1
1
0.5
0.5
n=6
n=3
0
0
−0.5
0.2
0
0.5
−0.5
0
1
0.5
−0.5
n=0
0.3
0.2
−0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Δ t = 0.0025 ( ν = 1 )
1
0
0.2
Δ t = 0.005 ( ν = 2 )
Resultados con θ = 1/2 (C–N), J = 10 y ν = 1 y ν = 2.
Problema bidimensional
ut = D 4u = D (uxx + uyy ),
0
u(x, y , 0) = u (x, y )
u(x, y , t) = g(x, y , t)
∀ (x, y ) ∈ Ω, t > 0,
(x, y ) ∈ Ω,
(x, y ) ∈ ∂Ω, t ≥ 0.
Ω = [0, X ] × [0, Y ]
Discretización:
X
,
xi = i ∆x, i = 0, 1, . . . , I,
I
Y
∆y = ,
yj = j ∆y , j = 0, 1, . . . , J,
J
tf
∆t = ,
tn = n ∆t, n = 0, 1, . . . , N.
N
n
Ui,j
≈ u(xi , yj , tn )
Esquema explicíto
∆x =
n+1
n
Ui,j
− Ui,j
∆t
=a
n
n
n
Ui−1,j
− 2Ui,j
+ Ui+1,j
(∆x)2
+
n
n
n
Ui,j−1
− 2Ui,j
+ Ui,j+1
(∆y )2
.
Notación:
U := Ui,j
δx2 U
δy2 U
:= Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j
:= Ui,j−1 − 2Ui,j + Ui,j+1
Esquema explícito:
2 n
δy2 U n
δ U
U n+1 − U n
=a x 2+
=⇒ U n+1 = U n + νx δx2 U n + νy δy2 U n
∆t
(∆x)
(∆y )2
νx = D ∆t/(∆x)2
νy = D ∆t/(∆y )2
Consistencia:
T (x, t) =
1
a
utt ∆t −
uxxxx (∆x)2 + uyyyy (∆y )2 + . . . ∼ O(∆t)
2
12
Estabilidad: νx + νy ≤ 1/2
El método θ
δy2 (θ U n+1 + (1 − θ) U n )
U n+1 − U n
δ 2 (θ U n+1 + (1 − θ) U n )
=a x
+
a
∆t
(∆x)2
(∆y )2
Crank–Nicolson: θ = 1/2
(1 −
1
1
1
1
νx δx2 − νy δy2 ) U n+1 = (1 + νx δx2 + νy δy2 ) U n
2
2
2
2
Sistema lineal con (I − 1) × (J − 1) ecuaciones. Para ilustrar, si
∆x = ∆y (νx = νy ), la matriz del sistema es:



A −I
4 −1
−I A −I

−1 4 −1



ν
 con A = 
..........
............
A = I+ 


2 


−I A −I 
−1 4
−I A
−1
¡Método muy caro!
Consistente e incondicionalmente estable.
T (x, t) = O(∆x 2 ) + O(∆y 2 ) + O(∆t 2 )





−1
4
Métodos ADI
Peaceman–Rachford (1955)
δy2 U n
δ 2 U n+1/2
=a x
+a
(∆x)2
(∆y )2
(
IMPLICITO EN x
EXPLICITO EN y
δy2 U n+1
δ 2 U n+1/2
=a x
+a
(∆x)2
(∆y )2
(
EXPLICITO EN x
IMPLICITO EN y
U n+1/2 − U n
∆t/2
U n+1 − U n+1/2
∆t/2
n Δt
(1 −
(1 −
1
2
1
2
(n+1) Δt
(n+ 12−)Δt
2
νx δx ) U
2
νy δy ) U
n+1/2
n+1
= (1 +
= (1 +
1
2
1
2
2
νy δy ) U
2
νx δx ) U
n
n+1/2
Δx
y
0
1
1
0
11111
00000
0
1
111
000
Δy
yj+1
yj
0
1
1
0
0
1
00
11
11
00
00
11
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
yj−1
00
11
11
00
00
11
J−1
sistemas
tridiagonales
de orden
I−1
xi−1 x i x i+1
I−1 sistemas tridiagonales de orden J−1
x
n=0
n=3
10
5
5
0
0
−5
−10
1
−5
1
1
1
0.8
0.5
0.8
0.5
0.6
0.6
0.4
Y
0
0.4
0.2
0
Y
X
0
0.2
0
X
n = 25
n=6
5
5
0
0
−5
1
−5
1
1
0.8
0.5
0.6
1
0.8
0.5
0.6
0.4
Y
0
0.4
0.2
0
X
Y
0
0.2
0
Resultados con ADI, I = J = 48, y ∆t = 0.0025
X
n=0
n=0
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
1
−0.2
1
1
1
0.8
0.5
0.8
0.5
0.6
0.6
0.4
Y
0
0.4
0.2
0
Y
X
0
0.2
0
X
n=5
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
n=1
0.2
0.2
0
0
−0.2
1
−0.2
1
1
1
0.8
0.5
0.8
0.5
0.6
0.6
0.4
0.4
Y
0
0.2
0
Y
X
n = 30
1
0
0.2
0
X
n=2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
1
−0.2
1
1
1
0.8
0.5
0.6
0.8
0.5
0.6
0.4
0.4
Y
0
0.2
0
X
Y
0
0.2
0
X
Ecuación 1–D de convección pura
Posibles casos:
∂u
∂u
+c
= 0, −∞ < x < ∞,
∂t
∂x
u(x, 0) = u 0 (x).
t > 0.
c = cte.
c = c(x, t)
c = c(u) (caso no lineal)
Características: Curvas en (x, t) sobre las cuales u(x, t) es contante
0=
du
∂u
∂u dx
=
+
dt
∂t
∂x dt
=⇒
Método de las características:
Se escogen puntos distintos (xj )1≤j≤J
dx
Se calculan las características:
= c, con
dt
x(0) = xj .
Entonces, u(x, t) = u 0 (xj ) para todo (x, t)
sobre la carterística que pasa por xj .
dx
=c
dt
t
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
4
xj
8
12
x
Caso
I
Ejemplo
c = const.
dx
= c,
dt
x(0) = xj
c = 3, u 0 (x) = e−2 x
t
⇒
x − c t = xj
c = c(u)
dx
= c(u),
dt
⇒ x − c(u) t = xj
x(0) = xj
2
u
1.5
1
0.8
1
c=3→
0.6
0.4
0.5
Sol.: u(x, t) = u 0 (x − c t)
I
2
0.2
0
0
x
xj
2
4
x
0
0
6
5
c = u, u 0 (x) = e−10 (4x−1)
10
15
2
1
t
0.8
t
1
0.8
0.6
0.6
0.4
Sol.:
u(x, t) = u 0 (x − c(u) t)
Cualquir método numérico debe tomar en cuenta las características
0.4
0.2
0
0
0.2
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
Esquema explícito
ujn+1 − ujn
∆t
+c
n
ujn − uj−1
n
= 0 =⇒ ujn+1 = (1 − µ) ujn + µ uj−1
∆x
c ∆t
µ=
(Número de Courant).
∆x
Análisis de Fourier
Modo de Fourier continuo: uk (x, t) = ei w t ei k x satisface la EDP si
w = −c k (relación de dispersión) ⇒ uk (x, t) = ei k x−c t .
Modo de Fourier discreto: ujn (k ) = λn ei k j ∆x satisface la ED si
λ(k ) = 1 − µ 1 − e−i k ∆x .
|λ|2 ≤ 1
si µ ≤ 1
Estabilidad y consistencia
Estabilidad: El análisis (von Neumann) indica que si
I
I
c > 0 (upwind), es estable si 0 < µ ≤ 1.
c < 0 (downwind), es inestable ∀ µ. Para obtener un esquema
estable sustituya j por j + 1 en la discretización de ∂u/∂x
Esquema upwind

(
c n 1 (u n − u n ) si c > 0
n
n
−
u
si
c
>
0
u
∆t
j−1
j
j− 2
n+1
n
n
j
j−1
= uj −
uj
= uj − µ
n
n
n
n

∆x
cj+ 1 (uj+1 − ujn ) si c < 0
uj+1 − uj si c < 0
2
o
n
∆t
n
n
n
n
n
n
n
n
ujn −
cj−
(u
−u
)
+
c
1+sig
c
(u
−u
)
1 1+sig c
1
1
1
j
j−1
j+1
j
j− 2
j+ 2
j+ 2
2
2∆x
Truncamiento (c > 0)
Tjn =
ujn+1 − ujn
∆t
ut +
+c
∆t
utt + . . .
2
n
(utt )j
2
n
ujn − uj−1
∆t −
∆x
n
+c
j
n
a (uxx )j
2
≈
ux −
∆x
uxx + . . .
2
n
j
∆x + . . . = O(∆t) + O(∆x).
Condición CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)
R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, Über die partiellen
Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische
Annalen, 100, 1, pages 32–74, 1928.
R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, On the partial difference equationes of
mathematical physics, IBM Journal, 1967, pp. 215–234. (Traducción al inglés
del original)
La solución discreta no debe ser independiente de los datos que determinan
la solución de le EDP. Es decir, el dominio de dependencia de la solución de
la EDP debe estar contenido dentro del dominio de dependencia del
esquema numérico.
Lado izquierdo: no se satisface CFL. Lado derecho: se satisface CFL.
1/c = pendiente de la linea característica ⇒ que la condición CFL es:
1
∆t
≥
c
∆x
=⇒
µ=c
∆t
≤ 1.
∆x
Convergencia
Un esquema numérico es convergente si lim∆t, ∆x→0 Uin = u(xi , tn ).
Teorema de equivalencia de Lax:
Lax, P. D.; Richtmyer, R. D. Survey of the stability of linear finite
difference equations. Comm. Pure Appl. Math., 9 (1956), 267–293.
consistencia + estabilidad = convergencia
Para un esquema de diferencias finitas (lineal) consistente (bien
planteado) convergencia equivale a estabilidad
Esquemas consistentes con propiedades de convergencia
(estabilidad) diferentes
ujn+1 − ujn
n
ujn − uj−1
=0
converge si µ ≤ 1
+c
=0
∆t
∆x
n
n
ujn+1 − ujn
uj+1
− uj−1
+c
=0
∆t
2∆x
siempre converge
∆t
ujn+1 − ujn
+c
∆x
n+1
ujn+1 − uj−1
nunca converge
Amplitud y fase
I
Modo de Fourier continuo: uk (x, t) = ei k x−c t = ei w t ei k x con
w = −c k
Amplitud: const. = 1.
Fase: cambia por −c k ∆t = −µ ξ en un paso del tiempo
ξ = k ∆x
I
Modo de Fourier discreto: ujn (k ) = λn ei k j ∆x
λ(k ) = 1 − µ 1 − e−i k ∆x = [(1 − µ) + µ cos ξ] + i µ senξ
Amplitud: |λ|2 = 1 − 4 µ (1 − µ) ξ 2
1
2
−
ξ
12
+ ···
2
Modo amortiguado, salvo cuando µ = 1. Error ∼ O(ξ)
Fase: arg(λ) = −µξ 1 − 16 (1 − µ) (1 − 2µ) ξ 2 + · · ·
Solo con µ = 1 se obtiene el cambio de fase. Error ∼ O(ξ 2 ).
Con µ = 1/2 el error oscila alrededor de 0.
Ver ejemplos en MATLAB
Lax-Wendroff
P.D. Lax; B. Wendroff (1960), Systems of conservation laws,
Commun. Pure Appl. Math., 13: 217–237.
Idea:
u(x, t + ∆t) − u(x, t) ∆t
−
utt (x, t) + O(∆t 2 )
∆t
2
u(x, t + ∆t) − u(x, t) ∆t 2
−
c uxx (x, t) + O(∆t 2 )
=
∆t
2
ut (x, t) =
Esquema:
Ujn+1 − Ujn
∆t
Ujn+1 = Ujn −
−c
n
n
Uj+1
− Uj−1
2 ∆x
=
n
n
n
∆t 2 Uj+1 − 2 Uj + Uj−1
c
2
∆x 2
Difusión artificial
µ n
(1 − µ) Uj+1 − Ujn + (1 + µ) Uj − Uj−1
2
Truncamiento: O(∆t 2 ) + O(∆x 2 )
Análisis de Fourier
Factor de crecimiento de los modos discretos
λ(k ) = 1 − 2 µ sen2 (ξ/2) − i µ senξ,
I
µ=c
∆t
,
∆x
ξ = k ∆x
Amplitud de los modos:
1
|λ|2 = 1 − 4µ2 (1 − µ2 ) sen4 ξ
2
4
ξ3
ξ
2
2
−
+ ···
= 1 − O(ξ 4 )
= 1 − 4 µ (1 − µ )
2 12
I
Amortiguamiento pequeño y con µ = 1 no hay. Estabilidad, si
|µ| ≤ 1
Fase de los modos:
"
−1
arg(λ) = − tan
µ senξ
1 − 2 µ2 sen2 21 ξ
#
1
2
2
= −µ ξ 1 − (1 − µ ) ξ + · · · = −µ ξ 1 − O(ξ 2 )
6
Error relativo de fase O(ξ 2 ), de un solo signo (retraso en fase)
ejemplo en MATLAB
Leyes de Conservación
En situaciones prácticas, las ec. hiperbólicas aparecen en la forma
∂
∂u
∂u
∂u
+
f (u) = 0 =⇒
+ c(u)
=0
∂t
∂x
∂t
∂x
con
c(u) = f 0 (u).
Forma de conservación o ley de conservación.
Teorema de tranporte de Reynolds: Sea V (t) un volumen de una
sustancia que transporta una propiedad α(t) con una velocidad ~u ,
entonces
Z
Z
d
∂α
α(t) dV =
+ ∇ · (α~u ) dV .
dt V (t)
V (t) ∂t
Conservación de masa: Sea ρ = ρ(~x , t) la densidad de la sustancia
dentro del volumen arbitrario V (t), La masa total dentro del volumen
es constante (si no hay fuentes o sumideros):
Z
Z
d
∂ρ
∂ρ
0=
ρ dV =
+ ∇ · (ρ~u ) dV =⇒
+ ∇ · (ρ~u ) = 0
dt V (t)
∂t
∂t
V (t)
En una dimensión se obtiene:
∂ρ
∂
+
(ρu) = 0
∂t
∂x
(f (u) = ρ u)
Conservación de momentum: Sea S(t) la superficie que encierra el
volumen V (t)
Z
Z
Z
d
~
~
ρ u dV =
σ · n dS +
ρ ~g dV
dt V (t)
S(t)
V (t)
Z
Z
∂ρ ~u
+ ∇ · (ρ~u ~u ) dV =
∇ · σ + ρ ~g dV
∂t
V (t)
V (t)
∂ρ ~u
+ ∇ · (ρ~u ~u ) = ∇ · σ + ρ ~g = ∇ · −p I + µ(∇~u + ∇~u T ) + ρ ~g
∂t
= ∇p + µ ∇2~u + ρ~g
Caso 1–D:
∂(ρ u)
∂
∂2u
+
ρ u2 + p − µ 2 = ρ f
∂t
∂x
∂x
Ecuación de Burgers (1948):
∂u
∂ 1 2
∂2u
+
u =µ 2
∂t
∂x 2
∂x
Diseñada para estudiar la teoría de las turbulencias. De interés pos su parecido a la ecuación de Navier–Stokes y
Euler. De interés en dinámica de fluidos porque desarrolla ”shocks” para µ pequeño. Cuando µ → 0 aparecen
soluciones discontinuas.
Caso límite de la ecuación de Burgers: µ = 0.
∂u
∂ 1 2
+
( u ) = 0,
∂t
∂x 2
es decir f (u) =
1 2
u
2
Modelo simple de choques en el flujo de un gas
Esquema de Lax–Wendroff para ut + (f (u))x = 0
u(x, t + ∆t) − u(x, t) ∆t
−
utt (x, t) + O(∆t 2 )
∆t
2
u(x, t + ∆t) − u(x, t) ∆t 0
+
[f (u) (f (u))x ]x + O(∆t 2 )
=
∆t
2
ut (x, t) =
Sea c(u) = f 0 (u), entonces
Ujn+1
−
∆t
Ujn
+
n
f (Uj+1
)
−
n
f (Uj−1
)
2 ∆x
h
i
n
n
δ
c(U
)
δ
f
(U
)
x
j
j
∆t x
=
2
2
∆x
n
n
Operador de diferencias centradas: δx (Ujn ) = Uj+
1 − U
j− 1
2
2
Ujn+1 = Ujn −
∆t
2 ∆x
∆t
n
1−
c(Uj+1/2
)
∆x
∆t
n
)
1+
c(Uj−1/2
∆x
n
f (Uj+1
) − f (Ujn )+ +
n
f (Ujn ) − f (Uj−1
)+
donde c(u) = f 0 (u).
Ejemplo:
ut + u ux = 0,
x > 0,
2
u(x, 0) = e−10(4x−1) ,
u(0, t) = 0,
Ejemplo MATLAB (L-W y Upwind)
t ≥ 0.
t > 0,
x ≥ 0,