Sucesiones de Números Reales

Tema 2. Sucesiones de
números reales
2.1.- Concepto de sucesión y noción de
convergencia. Álgebra de límites. Sucesiones
parciales.
2.2.- Acotación y convergencia. Sucesiones
monótonas de números reales.
2.3.- Cálculo de límites. Criterios de Stolz, de la
Raiz, de la Media Aritmética y de la Media
Geométrica.
Maribel Ramírez Álvarez
Tema 2. Sucesiones de
números reales
En el presente tema nos proponemos estudiar un
caso particular de aplicaciones de A (un cto
no vacío de números reales) en Ñ.
Concretamente, aquellas cuyo dominio de
definición es el conjunto de los números
naturales: las sucesiones.
Su tratamiento detallado nos permitirá un mejor
conocimiento de nuestro objeto de estudio
durante el presente curso: el conjunto Ñ de
los números reales y el conjunto
F(A, Ñ) de las funciones reales de variable real.
La piedra angular del tema será el Teorema
de Complitud de Ñ : la proximidad entre sí de
todos los elementos de una sucesión obliga su
convergencia; o dicho de otro modo:
toda sucesión de Cauchy de números reales es
convergente.
Maribel Ramírez Álvarez
Definiciones
2.1. Sucesiones de numeros reales. Convergencia
de sucesiones de números reales. Concepto de
sucesión y noción de convergencia. Álgebra de
límites. Sucesiones parciales.
Definición
Llamamos sucesión de números reales a toda
aplicación de Í en Ñ.
Notaremos por S(Ñ) al conjunto de todas las
sucesiones de números reales.
Si fŒ S(Ñ) ,convendremos la siguiente notacion,
comunmente aceptada, para referirnos a ella.
Será
f: Í ôÑ
nôf(n) para todo n en Í .
Maribel Ramírez Álvarez
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Definiciones y primeros ejemplos
Pues bien, la sucesión f se notará por (xn) y a
xn:=f(n) se le llamará término general de la
sucesión (xn).
Haremos especial hincapie en distinguir entre (xn)
y { xn;n en Ñ} .
Recordemos que la primera se refiere a un
subconjunto de Í ¥ Ñ (es una aplicación)
mientras que la segunda se refiere a la imagen
de tal aplicación, que es un subconjunto de Ñ.
Como ejemplos destacaremos las progresiones
aritméticas, las geométricas, las sucesiones
constantes, la sucesión nula por antonomasia
(1/n) , o la muy relacionada con la anterior de
término general xn:=(-1)n/n.
1.-Progresiones aritméticas.
Sean a en Ñ y k en Ñ-{0}.
{0} Definimos
x1=a y xn+1:=k+xn para todo n natural.
La sucesión ( xn) definida, se llama progresión
aritmética.
Maribel Ramírez Álvarez
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Definiciones y primeros ejemplos
2.-Progresiones geométricas.
Sean a en Ñ-{0} y r en Ñ-{0}.
{0} Definimos
x1=a y xn+1:=rxn para todo n natural.
La sucesión ( xn) definida, se llama progresión
geométrica.
3.- Sucesiones constantes.
Sea c en Ñ-{0}.
{0} Definimos xn:=c para todo n
natural.
La sucesión ( xn) definida, se llama sucesión
constante c.
4.- La sucesión de elementos 1,1/2,1/3,1/4,.... Su
término general, xn, se escribe de la forma 1/n.
5.- Muy relacionada con la anterior está la
sucesión de término general xn:=(-1)n/n. Es decir, 1,1/2,-1/3,1/4,......
6.- El conjunto Í de los números naturales es la
imagen de la sucesión identidad de Í en Í.
xn:=n para todo n en Í .
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Definiciones y primeros ejemplos
Las sucesiones cuyo término general viene dado
por un polinomio se llaman sucesiones
polinomicas y las que vienen dadas por un
cociente de polinomios se llaman racionales.
Como funciones que son, las sucesiones son
susceptibles de ser operadas entre ellas.
Ç La sucesión suma (zn) que se define como:
zn:=xn+yn, para todo n en Í .
Ç La sucesión producto (vn) que se define como:
vn:=xnyn, para todo n en Í .
Ç La sucesión (un) definida como:
vn:=lxn para todo n en Í y l real.
Es evidente que la terna (S(Ñ),+, .) no es un
cuerpo: para cualquier sucesion (xn) que
contenga algun término cero es imposible
encontrar alguna otra sucesión (yn) tal que xnyn=1,
para todo n natural.
Maribel Ramírez Álvarez
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Noción de límite
2.1.1 Noción de límite de una sucesión
A continuación procedemos a estudiar un
concepto fundamental del Analisis Matematico:
la convergencia de sucesiones de números reales.
Partiremos del estudio del ejemplo 4).
La sucesión (1/n) tiene una primera propiedad que
se desprende de que n<n+1, para todo n natural:
xn+1< xn, para todo n natural.
Surge de manera natural la definición de sucesión
monótona:
Ç una sucesión (xn) se dice creciente si xn £ xn+1,
para todo n natural.
(Equivalentemente, sii para cada par de naturales n,
m con n£ m, se verifica que xn £ xm.
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Ç una sucesión (xn) se dice decreciente si xn ≥xn+1,
para todo n natural.
(Equivalentemente, sii para cada par de naturales
n, m con n£ m, se verifica que xn ≥ xm.
É
Una sucesión (xn) se dice monótona sii es
creciente o decreciente.
Notaremos por S M(Ñ) al conjunto de todas las
sucesiones monótonas de números reales. Si
las desigualdades anteriores son estrictas, es
decir, no se da el igual, aparece el concepto
de monotonía estricta:
É
una sucesión (xn) se dice estrictamente
creciente si xn < xn+1, para todo n natural.
(Equivalentemente, sii para cada par de naturales
n, m con n< m, se verifica que xn < xm.
É
una sucesión (xn) se dice estrictamaente
decreciente si xn >xn+1, para todo n natural.
(Equivalentemente, sii para cada par de naturales
n, m con n£ m, se verifica que xn > xm.
É
Una sucesión (xn) se dice estrictamente
monótona sii es estrictamente creciente o
estrictamente decreciente.
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Sucesiones Parciales
En consecuencia, la sucesión (1/n) es
estrictamente decreciente.
Definición
Dada una sucesión de números reales (xn),
llamamos sucesión parcial o subsucesión de
ella a toda otra sucesión (yn) tal que exista una
aplicación s estrictamente creciente de Í en Í,
tal que yn= x s(n) para todo n natural.
Notemos que una aplicación s : Í ö Í se dice
que es estrictamente creciente si s (n)< s (n+1)
para todo n en Í.
También se verifica el siguiente resultado :
''Toda sucesión admite una parcial monótona.''
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2.- Acotación y convergencia. Sucesiones
monótonas de números reales. Teorema de
Bolzano-Weierstrass.
Otra propiedad q se observa en la sucesión del
ejemplo xn:=1/n, es la siguiente:
consideremos el número real positivo 10-3 ;
es claro que 0£ xn£ 10-3 "nŒÍ tal que n≥1000
Sin embargo si el número real positivo es 10-8
entonces 0£ xn£ 10-8 "nŒÍ tal que n≥108.
¿Podríamos razonar con un número real
positivo arbitrario en la misma línea
de argumentación?
En efecto, dado E >0, existe por el Principio de
Arquímedes, un natural n tal que m≥1/E "mŒô.
Es decir, si m≥n, entonces 0 £ 1/m=xm £ E
Maribel Ramírez Álvarez
Noción de límite
Saquemos algunas conclusiones de ésto:
i)
dado un número real positivo E siempre podemos
encontrar un ''momento'' n en la sucesión (xn)
a partir del cual todos los términos de la sucesión
estén por debajo de tal E (y siempre por encima de 0.
ii) el ''momento'' n a partir del cual todos los términos
de la sucesión estan por debajo de E,depende del tal E
iii) el número real 0 parece estar asociado a la sucesión
(xn) independientemente del número E dado:
cualquiera que sea el tal E en el intervalo [0,E] siempre
encontraremos a todos, salvo a un número finito,
los términos de la sucesión (xn).
iv) los términos de la sucesión parecen ''viajar''
Hacia un punto determinado (el 0) de modo que sea
cual sea el número real positivo que fijemos, éste
será mayorante de todos salvo, a lo más, un número
finito de términos de la sucesión.
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Definición de límite
Si abstraemos la situación anterior a un ambiente
donde 0 sea un número real x0 cualquiera,
y el intervalo [0, E ] sea [x0- E ,x0+ E ] podremos
dar la siguiente definición de límite de una
sucesión.
Definición
Sean la sucesión (xn) y el número real x0. Se dice
que la sucesión (xn) converge a x0 o que tiene por
límite al número real x0, y notaremos xnôx0 , sii
" E >0, $n0 ŒÍ tal que n ≥n0fi| xn-x0 |< E
Equivalentemente, xnôx0
" E >0, $n0 ŒÍ tal que n ≥n0fix0 - E < xn< x0 +E
Acostumbraremos a escribir,
x0 :=lim xn
y al tal x0 lo llamaremos límite de la sucesión (xn).
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Sucesiones Acotadas
Notaremos por S C(Ñ) al conjunto de todas las
sucesiones convergentes de números reales.
¿es único el límite, caso de existir?
Proposición:
Si xnôx e xnôy îx=y
Sucesiones acotadas
Destaquemos la siguiente propiedad de (1/n):
todos los términos de la sucesión (1/n) están
comprendidos entre 0 y 1. Es lo que se dice una
sucesión acotada
É Se dice que la sucesión (xn) está mayorada si
existe k en Ñ tal que xn£k para todo n natural.
É Se dice que la sucesión (xn) está minorada si
existe k en Ñ tal que xn≥k para todo n natural.
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Sucesiones Acotadas
É
Se dice que la sucesión (xn) está acotada si
está mayorada y minorada.
Notaremos por S A(Ñ) al conjunto de todas las
sucesiones acotadas de números reales.
Pues bien, lo destacado antes sobre la sucesión
(1/n) en cuanto a acotación, es una propiedad
de todas las sucesiones convergentes:
Proposición:
Toda sucesión de números reales convergente
está acotada.
En simbolos: S C(Ñ) Õ S A(Ñ)
El hecho de que una sucesión este acotada NO
IMPLICA que sea convergente
Para acostumbrarse al lenguaje de la lógica: para
que una sucesión esté acotada es suficiente
que sea convergente; o bien, para que una
sucesión sea convergente es necesario que
esté acotada.
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Sucesiones Acotadas
Tambien es evidente que, de entrada, entre
monotonía y convergencia no hay ninguna relación.
Por ejemplo,
la sucesión (n) es creciente pero no converge, y la
sucesión ((-1)n /n) es convergente pero no monótona
Pues bien, una condición suficiente para que una
sucesión sea convergente va a ser que sea
monótona y está acotada.
Teorema
Toda sucesión monótona y acotada de n\úmeros
reales es convergente. En símbolos:
S M(Ñ) ' S A(Ñ) Õ S C(Ñ)
El siguiente teorema resume la relación de
compatibilidad existente entre la convergencia de
sucesiones y la estructura de cuerpo totalmente
ordenado de Ñ.
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Propiedades de las Suc. convergentes
Teorema
Sean las sucesiones (xn), (yn) y (zn) y los reales
a, b, x e y.
Supongamos que xn ôx y que yn ôy .
Entonces,
i) La sucesión suma wn:= a xn+ byn " n en Í ,
es convergente y su límite vale a x+ by
ii) Si xnπ0 para todo nŒÍ y x π0 , entonces
la sucesión 1/xn ô 1/x.
iii) Supongamos que $n0 ŒÍ tal que n ≥n0 y
xn £ ym . Entonces x £ y .
iv) Regla de Sandwich:
Supongamos que x=y, y que $n0 ŒÍ tal que
n ≥n0
xn £ zn £ yn .
Entonces la sucesión (zn) es convergente y su
límite es precisamente x .
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Propiedades de las Suc. convergentes
† Toda sucesión parcial de una sucesión
convergente es convergente y tiene el mismo límite.
Consecuentemente, si una sucesión de números
reales admite dos parciales convergentes a distintos
límites, dicha sucesión no es convergente.
Enumeramos a continuación las propiedades que
dependen de la estructura de Ñ:
i) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes,
entonces (xn+yn) es convergente y se tiene que
lim (xn+yn)= lim (xn)+ lim (yn)
ii) Si la sucesión (xn) es una sucesión nula,
(nótese que una sucesión se llama nula si es
convergente y tiene como límite el cero),
e (yn) es una sucesión acotada, entonces, la
Sucesión (xnyn) es nula.
iii) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes,
entonces (xnyn) es convergente y se tiene que
lim (xnyn)= lim (xn) lim (yn)
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Propiedades de las Suc. convergentes
( )
iv) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes,
y
entonces xn n
es convergente y se tiene que
yn
lim( xn ) = lim( xn ) lim( yn )
( )
v) Sea (xn) una sucesión convergente de números
reales, y sea a΄+-{1}. Entonces a xn
es convergente
lim(a xn ) = a lim xn
vi) Sea (xn) una sucesión convergente de números
reales positivos, y sea a΄+. Entonces (log a ( xn ))
es convergente
lim(loga ( xn )) = log a (lim( xn ))
vii) Si las sucesiones (xn), (yn) son convergentes, e
yn π0 para todo n natural, y lim (yn) π0
entonces (xn/yn) es convergente y se tiene que
lim (xn/yn)= lim (xn) / lim (yn)
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Sucesiones divergentes
É Se dice que una sucesión (xn) de números reales
diverge positivamente si dado un número real
arbitrario k, puede encontrarse un número natural
m tal que, si n ≥ m, se verifica que xn >k.
En tal caso escribimos (xn) ô•.
Simbólicamente,
(xn) ô•ï"kŒÑ, $mŒÍ:n≥mî xn>k.
ÉSe dice que una sucesión (xn) de números reales
diverge negativamente si dado un número real
arbitrario k, puede encontrarse un número natural
m tal que, si n ≥ m, se verifica que xn <k.
En tal caso escribimos (xn) ô•.
Simbólicamente,
(xn) ô-•ï"kŒÑ, $mŒÍ:n≥mî xn<k.
Si una sucesión de números reales es divergente
entonces es obvio que no esta acotada. El recíproco,
en general, no es cierto, si bien se verifica el
siguiente resultado:
Teorema.
Toda sucesión de números reales creciente
y no mayorada diverge positivamente.
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Sucesiones divergentes
Proposición.Sean (xn) e (yn) dos sucesiones de números
reales. Se verifican
i) Si (xn) ô• e (yn) esta minorada (en particular
si (yn) es convergente ó (yn) ô• ), en particular
(xn+yn) ô•
ii) Si (xn) ô-• e (yn) esta mayorada (en particular
si (yn) es convergente ó (yn) ô-• ), en particular
(xn+yn) ô-• .
Cabe comentar, que en la proposición anterior,
queda sin resolver el caso en el que una de
las sucesiones diverja positivamemente y la
otra negativamente, apareciendo una
indeterminación (•- •).
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Cálculo de límites
Proposición.Sean (xn) e (yn) sucesiones de números reales.
i) Si (xn) ô• e (yn) ô• î (xn yn) ô•
ii) Si (xn) ô-• e (yn) ô-• î (xn yn) ô•
iii) Si (xn) ô• e (yn) ô-• î (xn yn) ô-•
iv) Si (xn) ô• e (yn) ôL ŒÑ+ î (xn yn) ô•
v) Si (xn) ô• e (yn) ôL ŒÑ-î (xn yn) ô-•
vi) Si (xn) ô-• e (yn) ôL ŒÑ+ î (xn yn) ô-•
vii) Si (xn) ô-• e (yn) ôL ŒÑ- î (xn yn) ô•
Observemos que en los apartados anteriores, si
L=0 tenemos nuevos casos de indeterminación.
Sea (xn) una sucesión de números reales. Si xn π0
para todo n natural, entonces
(xn) ô0ï(1/ | xn |) ô•
Este último resultado nos conduce a otro tipo de
indeterminación cuando tenemos un cociente de
sucesiones divergentes.
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Cálculo de límites
Hay algunos casos en los que al aplicar la
proposición de cálculo no podemos determinar
el límite de la sucesión dando lugar a las
llamadas indeterminaciones.
TIPOS DE INDETERMINACIONES
¶- ¶
¶∏ 0
¶/¶
0/0
1¶
¶0
00
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Criterios de Convergencia
Primer Criterio de Stolz
Sean (an) e (bn) dos sucesiones de números
reales convergentes a cero tal que
(bn ) es estrictamente monótona e
bnπ0 para todo nŒÍ .
1. Si la sucesión
 an 
 an+1 − an 

 → L ⇒   → L
 bn 
 bn+1 − bn 
con L ΄.
2. Si la sucesión
 an 
 an+1 − an 
 → ±∞ ⇒   → ±∞

 bn 
 bn+1 − bn 
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Criterios de Convergencia
Segundo Criterio de Stolz
Sean (an) cualquier sucesión de números
reales y (bn) una sucesión de números reales
no cero estrictamente monótona y no acotada.
1. Si la sucesión
 an 
 an+1 − an 

 → L ⇒   → L
 bn 
 bn+1 − bn 
con L ΄.
2. Si la sucesión
 an 
 an+1 − an 
 → ±∞ ⇒   → ±∞

 bn 
 bn+1 − bn 
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Criterios de Convergencia
Criterio de la Raiz
Sean (an) una sucesión de números reales
positivos.
1. Si la sucesión
 an+1 

 → L ⇒ n an → L
 an 
con L ΄.
2. Si la sucesión
 an+1 
 → ∞ ⇒ n an → ∞

 an 
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Criterios de Convergencia
Criterio de la media aritmética
Sean (xn) una sucesión arbitraria. Definimos
una nueva sucesión (yn) dada por: "nŒÍ
x1 + x2 + x3 + .... + xn
yn =
n
Entonces si la sucesión (xn) converge, tb (yn)
converge, y ambos límites coinciden.
Respectivamente, si (xn) diverge positiva,
negativamente, entonces (yn) diverge positiva,
negativamente).
Criterio de la media geométrica
Sean (xn) una sucesión de números reales
positivos. Definimos una nueva sucesión (yn)
dada por:
yn = n x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ .... ⋅ xn
Entonces si la sucesión (xn) converge, tb (yn)
converge, y ambos límites coinciden.
Respectivamente, si (xn) diverge positivamente,
entonces (yn) diverge positivamente).
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El número e
Definimos,
n
1
xn = ∑
e
k = 0 k!
1
y n = xn +
n
para todo n natural. Tenemos así dos sucesiones
(xn) e (yn) que verifican las condiciones:
i) (xn) es (estrictamente) creciente e (yn) es
(estrictamente) decreciente.
ii) xn < yn "nŒÍ
iii) El límite, que notaremos por ''e'', es irracional.
iv) e=limn ô•(1+1/n)n
Señalemos que las propiedades de los límites de
sucesiones permitirán definir las potencias
de base real positiva y exponente real.
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Página 27
El número e
El problema
(x )
yn
n
Si (xn) es una sucesión de números reales
positivos e (yn) cualquier sucesión de
números reales, de modo que conocemos
el carácter de convergencia de cada una
de ellas,
y
¿carácter de convergencia de ( xn ) n ?
(
)
Casi siempre es posible dar respuesta a esta
situación, lo que queda reflejado en los
siguientes resultados:
(
) (
1) Considerando que ( xn ) n = (1 / xn )
los casos en los que (yn) converja a un
número negativo o diverja negativamente
pueden deducirse de los otros casos.
( ) (
y
− yn
)
)
2) Considerando x = e
El problema se reduce a estudiar la sucesión
( (yn)Ln (xn) )
Sólo se presentan indeterminaciones en los
siguientes casos:
y
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yLnx
Página 28
El número e
Si (xn) ô1 e
(yn) diverge
1¶
Si (xn) ô0 e
(yn) ô0
00
Si (xn) ô •
e (yn) ô0
¶0
3 En los demás casos podemos afirmar conocer
la respuesta a la cuestión en los siguientes términos:
Si (xn) ô0 e
(yn) ôL (0§L< ¶)
Si (xn) ôx e
(yn) ôy (xœÑ+,yœÑ)
Si (xn) ôx e
(yn) ô ¶ (x>1)
Si (xn) ôx e
(yn) ô ¶ (0<x<1)
Si (xn) ô ¶ e
(yn) ôL (0<L § ¶)
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((x ) ) → L
((x ) ) → x
((x ) ) → ∞
((x ) ) → 0
((x ) ) → ∞
yn
n
yn
y
n
yn
n
yn
n
yn
n
Página 29
El número e
4 En cuanto a los casos de indeterminación descritos
antes, para el que suele denominarse tipo 1¶
contamos con los siguientes resultados:
Sea (xn) una sucesión de números reales
positivos convergente a 1 y sea (yn) cualquier
sucesión de números reales. Entonces
(yn(xn-1)) ôL
(L ΄)
(yn(xn-1)) ô•
(yn(xn-1)) ô-•
((x ) ) → e
yn
L
n
((x ) ) → ∞
((x ) ) → 0
yn
n
yn
n
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Página 30
Escala de infinitos
Sea (xn) una sucesión de números reales
positivos divergente positivamente. Entonces
se tiene
(Ln(xn )) → ∞
((x ) ) → ∞
((x ) ) → ∞
k
n
(kτ+)
xn
n
(e ) → ∞
xn
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Página 31
Escala de infinitos
Pero no todas estas sucesiones divergen
positivamente con la misma ``fuerza''. Se puede
establecer una escala de infinitos según el siguiente
resultado:
Proposición
Sea (xn) una sucesión de números reales
positivos divergente positivamente. Entonces
se verifica
 Ln( xn ) 


→
0
k
 x

 n 
 xn k

 e xn

 e xn

 xn x n


→0



→0


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Infinitésimos
Sea (xn) una sucesión de números reales
Se dice que (xn) es un infinitésimo si lim (xn) =0
Infinitésimos equivalentes:
Vamos a ver las equivalencias entre infinitésimos
(también entre infinitos) que usaremos sobre todo
para simplificar el cálculo de límites.
Definición:
Sean (xn) e (yn) sucesiones de números
reales no nulas, tal que lim(xn) =lim(yn). Se dice que
Son equivalentes ((xn) ~ (yn)) si
lim (xn )
=1
lim( yn )
Las siguientes equivalencias entre infinitésimos
tienen una aplicación práctica frecuente. Si (x_n)
es un infinitésimo entonces las siguientes
parejas de infinitésimos equivalentes
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Página 33
Infinitésimos Equivalentes
sen( xn ) ≈ ( xn )
tan ( xn ) ≈ ( xn )
(
xn )
1 − cos( xn ) ≈
2
2
Ln(1 + xn ) ≈ ( xn )
Esta equivalencia última se puede expresar también
de la siguiente manera,
Ln( xn ) ≈ ( xn − 1) si lim( xn ) = 1
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