1. (a) Ángulo-Ángulo: Si dos pares de ángulos correspondientes

1. (a) Ángulo-Ángulo: Si dos pares de ángulos correspondientes son iguales,
los triángulos son semejantes.
(b) Lado-Lado-Lado: Si la razón entre los lados correspondientes es la
misma, los triángulos son semejantes.
(c) Lado-Ángulo-Lado: Si la razón entre dos pares de lados correspondientes es la misma, y además el ángulo entre ellos es el mismo, los
triángulos son semejantes.
2. La primera rueda tiene perı́metro
2 · π · 25 = 50 · π
y la segunda tiene perı́metro
2 · 75 · π = 150 · π
Notamos que el perı́metro de la segunda rueda es 3 veces el perı́metro de
la primera.
Ası́, por cada 3 vueltas que de la primera, la segunda dará una vuelta.
Luego, la segunda rueda ha dado 300
3 = 100 vueltas.
3. Si se vendió con 15% de ganancia, se vendió al 115% de su precio original,
que es 80A
C. Entonces el precio de venta está dado por:
80 ·
115
= 92
100
El artı́culo se vendió a 92A
C.
4. Tenemos que:
A∪B ∪C ∪D = (A∪B)∪(C ∪D) = ([−3, 3]∪(−3, 3))∪([−1, 4]∪(−4, 5]) =
[−3, 3] ∪ [−1, 5] = [−1, 5]
De manera similar obtenemos que:
A∩B ∩C ∩D = (A∩B)∩(C ∩D) = ([−3, 3]∩(−3, 3))∩([−1, 4]∩(−4, 5]) =
(−3, 3) ∩ ∅ = ∅
5. (a)
3x − 1 ≤ x + 5
3x − x ≤ 5 + 1
2x ≤ 6
x≤3
1
(b) Notemos que, para todo número x, se tiene que
x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 3 ≥ 3 > 0
De esta manera, multiplicar por x2 + 3(que es un número positivo) no
altera la desigualdad, entonces:
x
2
> 2
x2 + 3
x +3
x>2
(c) Separaremos en tres casos: cuando x > 1, cuando x = 1 y cuando
x < 1.
El caso x = 1 es fácil, pues x − 1 = 0, y dividir entre x − 1 no tiene
sentido, por lo que no hay valores de x que cumplan la desigualdad
para este caso.
Si x > 1 entonces x − 1 > 0 y multiplicar por x − 1 no altera la
desigualdad:
2
x
≥
x−1
x−1
x≥2
ası́, para este caso los valores que cumplen son los x tales que x > 1 y
x ≥ 2, es decir, [2, ∞).
Si x < 1 entonces x − 1 < 0, y multiplicar por x − 1 cambia la
desigualdad:
x
2
≥
x−1
x−1
x≤2
Entonces los valores de x que cumplen son aquellos tales que x < 1 y
x ≤ 2, es decir, (−∞, 1).
Por lo tanto, la solución a la desigualdad es el conjunto:
(−∞, 1) ∪ [2, ∞)
(d) En 12 minutos, el taxi recorrió 85 · 12 = 1020 kilómetros. Si recorriera
60 kilómetros por hora, tardarı́a 1020/60 = 17 horas.
(e) Si x ≥ 4 entonces x − 4 ≥ 0, por lo que x − 4 = |x − 4|, entonces la
desigualdad es equivalente en este caso a
x − 4 ≤ 2 ⇐⇒ x ≤ 6
2
Ası́, para este caso los valores que cumplen son aquellos tales que
x ≥ 4 y x ≤ 6, es decir
[4, 6]
Por otra parte, si x ≤ 4 entonces x − 4 ≤ 0, por lo que |x − 4| =
−(x − 4) = 4 − x, y la desigualdad se vuelve
4 − x ≤ 2 ⇐⇒ x ≥ 2
Para este caso las soluciones son los valores de x tales que x ≤ 4 y
x ≥ 2, es decir:
[2, 4]
Luego, las soluciones a la desigualdad son
[4, 6] ∪ [2, 4] = [2, 6]
(f)
i) De manera análoga al ejercicio anterior, se obtiene
[−5, 3]
ii) Del mismo modo, se obtiene que la solución a la desigualdad
|x − 2| < 5 es
(−3, 7)
Y como los x que cumplen |x − 2| ≥ 5 son exactamente los que
no cumplen |x − 2| < 5, las soluciónes a la desigualdad |x − 2| ≥ 5
son el complemento de (−3, 7), es decir:
(−∞, −3] ∪ [7, ∞)
iii) De manera análoga al inciso anterior obtenemos
(−∞, −5] ∪ [1, ∞)
3