Análisis Dimensional Teorema de Pi (π) De

Análisis Dimensional
No todos los problemas de ingeniería pueden resolverse mediante ecuaciones basadas en leyes o
balances (de materia, energía, cantidad de movimiento..), debido a que por un lado pueden
resultar muy complejos y por otro lado los problemas involucran un gran número de variables. Por
ejemplo, para el flujo de un fluido newtoniano en régimen laminar se pueden deducir ecuaciones
de flujo y pérdidas de fricción al aplicar un balance microscópico de cantidad de movimiento, tal y
como se ha demostrado previamente; sin embargo, para el flujo de un fluido newtoniano en un
régimen turbulento no se pueden obtener ecuaciones tan simples. Como consecuencia de esta
situación se emplean ecuaciones empíricas basadas en experimentos. Una forma de facilitar la
resolución de este tipo de problemas y de otros similares consiste en agrupar las variables en una
nueva pseudo-variable adimensional para simplificar el análisis.
A continuación se presenta el Teorema de Pi (π) De Buckingham el cual permite obtener números
adimensionales a partir de un conjunto de variables asociadas a un problema particular:
Teorema de Pi (π) De Buckingham
Sea:
m: Variables homogéneas; por ejemplo: diámetro (D), velocidad (v), Temperatura (T), longitud (L),
presión (P), …
n: Dimensiones de referencia longitud [L], tiempo [t], masa [M], temperatura [T]..
Entonces se obtendrán:
(m-n): Números adimensionales π
El procedimiento para obtener esos π grupos adimensionales es:
PROCEDIMIENTO
1) Enumerar las variables que describen el problema, normalmente son dadas ya que se
requiere de experiencia y de conocimiento del problema
2) Seleccionar las dimensiones de referencia (n) que corresponden a las variables
3) Descomponer las variables en sus dimensiones, de manera tabulada. Para ello se ordenan
de más sencillas a más complejas y se desglosan en los exponentes de sus dimensiones, tal
como se ilustra en la Tabla 1.
Tabla 1. Descomposición de las variables según sus dimensiones
Variable
Diámetro
(D)
Velocidad
(v)
Unidades
m
L
1
t
0
M
0
m.s-1
1
-1
0
4) Elegir las variables de referencia según:
a) Debe ser igual a “n” variables de referencia
b) Entre todas deben contener todas las dimensiones
c) Deben ser sencillos e independientes entre sí
5) Establecer las ecuaciones dimensionales y obtener los números pi (π), para ello se plantea
el producto de las variables de referencia con cada variable restante. Luego se desglosan
en cada dimensión.
6) Finalmente se verifican los números pi (π) obtenidos
Ejemplo: Para flujo de tuberías
1) Variables: ∆P, D, L, V, ρ, μ, Ɛ. Por tanto, m=7
Ɛ: Rugosidad de la tubería
2) Dimensiones de referencia: [L], [M], [t], por lo tanto, n=3
Se obtendrán π = 7-3 = 4 números adimensionales
3)
Variable
D
L
Ɛ
v
ρ
μ
∆P
Unidades
m
m
m
m s-1
Kg m-3
Kg m-1 s-1
Kg m-1 s-2
L(m)
1
1
1
1
-3
-1
-1
t(s)
0
0
0
-1
0
-1
-2
M(Kg)
0
0
0
0
1
1
1
4) Referencias = D, v, ρ (n=3, sencillas e independientes entre si)
Para verificar que sean independientes se verifica el determinante de los exponentes de
las dimensiones, eso asegura que una variable no resulta de la combinación de las otras.
= -1
5)
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a4
b4
c4
π1= D . v . ρ . L
π2= D . v . ρ . Ɛ
π3= D . v . ρ . μ
π4= D . v . ρ . ∆P
- Para π1
[L] = a1 + b1 – c1 + 1 = 0
[t] = 0 – b1 + 0 + 0 = 0
[M]= 0 + 0 + c1 + 0 = 0
-1
0
0
π1 = D . v . ρ . L
b1= 0
c1= 0
a1= – 1
1
Por tanto:
L
D
- Para π2
[L] = a2 + b2 –3c2 + 1 = 0
[t] = 0 – b2 + 0 + 0 = 0
[M]= 0 + 0 + c2 + 0 = 0
-1
0
0
π2 = D . v . ρ . Ɛ
b2= 0
c2= 0
a2= – 1
2
D
Por tanto:
- Para π3
[L] = a3 + b3 –3c3 – 1 = 0
[t] = 0 – b3 + 0 – 1 = 0
[M]= 0 + 0 + c3 + 1 = 0
b3= – 1
c3= – 1
a3= – 1
3
-1
-1
-1
π3 = D . v . ρ . μ
Por tanto:
D v
- Para π4
[L] = a4 + b4 –3c4 – 1 = 0
[t] = 0 – b4 + 0 – 2 = 0
[M]= 0 + 0 + c4 + 1 = 0
b4= – 2
c4= – 1
a4= 0
4
0
-2
-1
π4 = D . v . ρ . ∆P
Por tanto:
P
v
2
En consecuencia:
π2 = Rugosidad Relativa
1 / π3 = Número de Reynolds (Re)
π4 = Número de Euler (Eu)
6) Números adimensionales verificados