´ALGEBRA MATRICIAL.

ÁLGEBRA MATRICIAL.
1. La traspuesta de A0 es A; (A0 )0 = A.
2. La inversa de A−1 es A; (A−1 )−1 = A.
3. (AB)0 = B 0 A0 .
4. Las matrices A0 A y AA0 son simétricas.
5. (AB)−1 = B −1 A−1 , si A y B son no singulares.
6. Los escalares conmutan con las matrices; kA = Ak.
7. Si D1 y D2 son matrices diagonales, entonces la matriz producto es
diagonal; D1 D2 = D2 D1 = D.
8. Sean X e Y son vectores y A una matriz no singular, si se verifica la
ecuación Y = AX entonces X = A−1 Y .
9. El rango de la matriz producto AB es menor o igual que el rango de la
matriz A y de la matriz B.
10. El rango de la matriz suma A + B es menor o igual que la suma del
rango de la matriz A y el de la matriz B.
11. Sea A una matriz n × n. El rango de A es menor que n si y solo si
|A| = 0.
12. Si el rango de A es menor que n entonces los vectores filas de A no
son independientes; los vectores columnas de A tampoco son independientes.
13. Si el rango de A es m ≤ n, entonces el número de vectores filas (columnas) linealmente independientes es m.
14. Si A0 A = 0 entonces A = 0.
15. Sea A una matriz no singular. El rango de las matrices AB y BA
coincide con el rango de B.
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16. Si AB = 0 entonces o bien A = 0 o B = 0 o A y B son singulares.
17. Si A y B son matrices n × n de rango r y s, respectivamente, entonces
el rango de AB es menor o igual que r + s − n.
18. Los rangos de las matrices AA0 , A0 A, A y A0 son todos iguales.
Formas Cuadráticas.
Una matriz A se dice que es semidefinida positiva si Y 0 AY ≥ 0 para todo
vector Y =
6 0. Diremos que es definida positiva si Y 0 AY > 0 para todo vector
Y 6= 0.
Una matriz C es ortogonal si C 0 C = I.
Diremos que un escalar λ es una raı́z caracterı́stica de la matriz A si para
algún vector X 6= 0 se verifica que AX = λX. Las raı́ces caracterı́sticas
coinciden con las raı́ces del polinomio caracterı́stico |A − λI| = 0.
1. Si P es una matriz no singular y si A es definida positiva (semidefinida
positiva) entonces P 0 AP es definida positiva (semidefinida positiva).
2. Una condición necesaria y suficiente para que la matriz simétrica A
sea definida positiva es que exista una matriz no singular P tal que
A = P 0 P (A = P P 0 ).
3. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea definida
positiva es que sus mayores principales sean positivos.
4. Si A es una matriz n × m de rango m < n, entonces A0 A es definida
positiva y AA0 es semidefinida positiva.
5. Si A es una matriz n × m de rango k, k < n y k < m, entonces A0 A y
y AA0 son semidefinidas positivas.
6. Sea C es una matriz ortogonal y Y = CZ entonces Y 0 Y = Y 0 IY =
Z 0 C 0 ICZ = Z 0 C 0 CZ = Z 0 Z.
7. El número de raı́ces caracterı́sticas no nulas de una matriz coincide con
su rango.
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8. Las raı́ces caracterı́sticas de A coinciden con las raı́ces caracterı́sticas
de CAC −1 . Si C es una matriz ortogonal, entonces las raı́ces caracterı́sticas de A y de CAC 0 son idénticas.
9. Las raı́ces caracterı́sticas de una matriz simétrica son reales.
10. Las raı́ces caracterı́sticas de una matriz definida positiva son positivas,
las de una matriz semidefinida positiva son no negativas.
11. Para cualquier matriz simétrica A existe una matriz ortogonal C tal
que C 0 AC = D, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son
las raı́ces caracterı́sticas de A.
12. Sean A1 , A2 , . . . , Ak matrices n × n simétricas. Una condición necesaria
y suficiente para que exista una matriz ortogonal C tal que C 0 A1 C, C 0 A2 C, . . . , C 0 Ak C
sean matrices diagonales es que las matrices producto Ai Aj sean simétricas
(o Ai Aj = Aj Ai ) para todo i y j.
Determinantes.
La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal.
1. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus
elementos diagonales.
2. Si A y B son matrices n × n, entonces |AB| = |BA| = |A| |B|.
3. Si A es singular entonces |A| = 0.
4. Si C es una matriz ortogonal entonces |C| = +1 o |C| = −1.
5. Si C es una matriz ortogonal entonces |C 0 AC| = |A|.
6. El determinante de una matriz definida positiva es positivo.
7. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los
elementos de la diagonal.
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8. Sea A una matriz cuadrada tal que
A=
!
A11 A12
A21 A22
donde A11 y A22 son matrices cuadradas. Si A12 = 0 o A21 = 0 entonces
|A| = |A11 | |A22 |.
9. Sean A1 y A2 matrices simétricas. Si A2 es definida positiva y A1 − A2
es definida positiva (o semidefinida positiva) entonces |A1 | ≥ |A2 |.
10. tr(AB) = tr(BA).
11. tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA); esto es, la traza del producto de
matrices es invariante bajo cualquier permutación cı́clica de matrices.
12. tr(I) = n.
13. Si C es una matriz ortogonal entonces tr(C 0 AC) = tr(A).
14. Sea A una matriz simétrica definida positiva tal que
!
A=
A11 0
0 A22
−1
A−1
0
11
0 A−1
22
entonces
A
=
!
.
15. Sea A una matriz simétrica definida positiva tal que
A=
A11 A12
A21 A22
!
B=
B11 B12
B21 B22
!
y B su matriz inversa
.
−1
−1
−1
Entonces A11
= B11 − B12 B22
B21 y A−1
22 = B22 − B21 B11 B12 .
4
16. Sea A una matriz cuadrada tal que
A=
A11 A12
A21 A22
!
.
−1
A21 |. Si A11 es
Si A22 es no singular entonces |A| = |A22 | |A11 − A12 A22
−1
no singular entonces |A| = |A11 | |A22 − A21 A11 A12 |.
Matrices Idempotentes.
Una matriz cuadrada es A se dice que es idempotente si AA = A.
1. Las raı́ces caracterı́sticas de una matriz idempotente son cero o uno.
2. Si A es idempotente y no singular, entonces A = I.
3. Si A es idempotente de rango k, existe una matriz ortogonal P tal
que P 0 AP = Ek donde Ek es una matriz diagonal con los k primeros
elementos uno y el resto ceros.
4. Todas las matrices idempotentes que no son de rango máximo son
semidefinidas positivas.
5. Sea A una matriz idempotente. Si un elemento de la diagonal es nulo
entonces la fila y la columna correspondientes son nulas.
6. Si A es idempotente de rango k entonces tr(A) = k.
7. Sean A y B matrices idempotentes, entonces AB es idempotente si
AB = BA.
8. Si A es idempotente y P es ortogonal entonces P 0 AP es idempotente.
9. Si A es idempotente y A + B = I, entonces B es idempotente y AB =
BA = 0.
10. Sean A1 , A2 , . . . , An matrices idempotentes. Una condición necesaria y
suficiente para que exista una matriz ortogonal tal que P 0 A1 P, P 0 A2 P,
. . . , P 0 An P sean matrices diagonales es que Ai Aj = Aj Ai para cada i
y j.
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11. Sean A1 , A2 , . . . , An matrices simétricas. Cualesquiera dos de las siguientes condiciones implica la tercera
(a) A1 , A2 , . . . , An son matrices idempotentes.
(b) La suma B =
n
X
Ai es idempotente.
i=1
(c) Ai Aj = 0 para todo i 6= j.
Si se satisfacen dos de las condiciones entonces el rango de la matriz B
es igual a la suma de los rangos de las matrices Ai .
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