Modelo de un motor DC

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM- MT 221C/D Ingenierı́a de Control
TEMA: MOTOR DC
Máquinas de corriente contı́nua son bastante usadas en sistemas de control en lazo cerrado,
en particular para el control de velocidad y torque. Existen máquinas de diversos tamaños,
comenzando a partir de unos cuantos Watts –accionados por amplificadores electrónicos, a
varios cientos de kilowatss –accionados por generadores Ward-Leonard. Servomotores de bajo
consumo de potencia se usan a menudo en instrumentación, particularmente en sistemas de
control de aviones, donde limitaciones de peso y espacio requieren de motores que provean el
máximo de potencia por unidad de volumen.
Un cuerpo conductor que transporta corriente, cuando inmerso en un campo magnético, experimenta una fuerza proporcional a la magnitud del flujo, la corriente, la longitud del conductor
y el ángulo entre el conductor y la dirección del flujo. Cuando el conductor se localiza a una
distancia fija de un eje, con respecto al cual puede rotar, se genera un torque proporcional al
producto de la fuerza y el radio. En un motor, el torque resultante es la suma de torques producidos por conductores individualmente. Para un rotor dado las únicas dos cantidades que se
pueden manipular son la corriente de armadura y el flujo. Luego, existen dos modos de operación
de un motor DC: a)modo por armadura controlada y b) modo por campo controlado.
Control por armadura
En el motor DC de armadura controlada el
campo es excitado de forma separada por
una corriente constante if a partir de una
fuente DC fija. El flujo puede ser escrito
como φ = Kf if , Kf constante. El torque
desarrollado por el motor es proporcional al
producto de φ y la corriente en la armadura
y la longitud de los conductores. Dado que
el campo es asumido constante, el torque
desarrollado por el motor se puede expresar
como:
τm = Ki ia .
Ra
La (negligible)
⫹
ea
⫺
␪
Ieq
if ⫽ constant
Figura 1: Modelo de un motor DC de armadura.
El torque del motor es usado para accionar el sistema que posee una inercia total Ieq . Asumiendo
el caso ideal donde el torque entregado es igual a la carga (en la práctica no hay 100 % de
eficiencia). Entonces:
Ieq θ̈ = Ki ia .
(1)
donde θ es la position angular del eje del motor.
A medida que la armadura rota en un campo, ésta desarrolla un voltaje inducido eb en dirección opuesta al suministro de armadura. Este voltaje se llama fuerza contra-electromotriz y es
proporcional a la velocidad de rotación θ̇ y el flujo creado por el campo. Dado que el campo es
constante, la fuerza contra-electromotriz puede ser expresada como:
eb = Kb θ̇.
(2)
donde Kb es la constante de voltaje del motor.
El control de la velocidad del motor se obtiene ajustando el voltaje aplicado a la armadura. Su
polaridad determina la dirección de rotación del motor. El diagrama esquemático del sistema
motor DC de armadura se presenta en la Fig. 1, donde Ra = 1Ω, La ∼ 0H, Kb = 5V/rad/sec,
Ki = 5Nm/A, y el momento de inercia efectivo es Ieq = 0,1kgm2 . La fricción y la inercia del
engranaje son despreciables.
Aplicando la ley del voltaje de Kirchoff al circuito de la armadura resulta:
Ra ia + Kb θ̇ = ea .
(3)
Sustituyendo ia de (1) en la ecuación arriba mostrada y dividiendo ambos lados por Ieq resulta:
!
Ki ea − Kb θ̇
θ̈ =
Ieq
Ra
Ki Kb
Ki
=
θ̇ +
ea .
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INTRODUCTION TO CONTROL ENGINEERING
Ieq Ra
Ieq Ra
Sea x1 = θ, x2 = θ̇ y u = ea . Luego tomando en cuenta los parámetros del sistema, representamos la ecuación arriba mostrada en la forma de espacio de estados.
0
x1
0
1
ẋ1
u.
+
=
50
x2
0 −250
ẋ2
Control por campo
La Fig. 2 muestra el diagrama esquemático del motor
DC de campo controlado
donde la corriente de la
armadura es mantenida
constante y el campo es
suministrado a partir de un
voltaje ajustable ef .
Ia = Const.
Rf
+
ef
if
m
Lf
J
B
Fig. A.19 Field controlled DC motor
Figura 2: Motor DC de campo controlado.
El torque τ desarrollado por el motor es proporcional al flujo creado por la corriente de armadura, la corriente del campo y la longitud de los conductores. Para un motor dado, con corriente
de armadura constante, el torque puede ser expresado como:
τ = KT if ,
(4)
donde KT es la constante de torque. Este torque es usado para mover la carga de inercia total
J y para vencer la fricción viscosa. Eso puede ser expresado, despreciando la rigidez torsional
del eje, como:
τ = J θ̈m + B θ̇m .
(5)
Aplicando la ley de voltaje de Kirchoff en el circuito del campo se obtiene:
ef = Rf if + Lf i̇f .
(6)
La representación espacio de estados se obtiene considerando a la posición angular y su derivada
como los primeros estados, x1 = θm , x2 = θ̇m , la corriente de campo como el tercer estado,
x3 = if , y al voltaje del campo como la entrada u = ef donde la posición angular se considera
como la salida y = θm = x1 . Luego las matrices correspondientes son:




 



ẋ1
0
1
0
x1
0
x
 ẋ2  =  0 −B/J
KT /J   x2  +  0  u  1 
x2 .
ẋ3
0 −Rf /Lf
x3
1/Lf
0
x3
y = 1 0 0