Juegos en Forma Extensiva

Juegos en Forma Extensiva
Alvaro J. Riascos Villegas
Universidad de los Andes y Quantil
Marzo 18 de 2010
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Quantil)
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Introducción
De…nition
Un juego en forma extensiva es una estructura
D
E
Γ = N , R, Z , fKi gi =1,...,N , fHi gi =1,...,N , fA(k )gk 2K nZ , fui gi =1,...,N
donde:
N es un conjunto de jugadores, N = f1, ...N g .
R es una relación que de…ne un árbol con raíz donde K denota el
conjunto de todos los nodos del árbol.
Z son los nodos terminales del árbol.
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Juegos en forma extensiva
fKi gi =1,...,N es una partición de K nZ que denota los nodos donde
cada jugador juega.
Para i = 1, ..., N; Hi es una partición de Ki . Cada h 2 Hi denota un
conjunto de información.
Para i = 1, ..., N, y k 2 Ki , A(k ) denota las acciones posibles del
jugador i en el nodo k. Denotamos un elemento de a 2 A(k ) por ak .
Dados k y k 0 2 h 2 Hi debe complirse que A(k ) = A(k 0 ).
Abusando un poco del lenguaje de…nimos A(h) = A(k ), k 2 h y
denotamos una acción a 2 A(h) por ah .
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Juegos en forma extensiva
Para i = 1, ..., N, y z 2 Z , ui (z ) denota la utilidad del agente i en
caso de que el resultado …nal del juego sea el nodo terminal z.
Interpretamos estas funciones de utilidad como funciones de utilidad
(instantáneas) de Von Neumann y Morgenstern. Esto no excluye que
existan pagos intermedios.
Es fácil extender la de…nición al caso en que existen nodos en los que
sucede algún evento incierto importante para el juego (i.e., jugadas de
la naturaleza).
Suponer que la naturaleza solo juega al comienzo del juego es sin
pérdida de generalidad. Por ejemplo, en Bagamon (Backgammon), se
lanzan los dados muchas veces durante un juego. Supongamos que
para la totalidad de un juego se lanzan n veces. Entonces podríamos
modelar este juego como uno en el que al inicio la naturaleza juega
una de 6n alternativas.
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Ejemplos (información perfecta)
Información perfecta: porque los conjuntos de información tienen un
solo nodo.
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Ejemplos (información imperfecta)
Información imperfecta: algunos conjunto de información tiene más
de un nodo.
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Ejemplos (memoria imperfecta)
Vamos a concentrarnos en juegos con memoria perfecta.
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Ejemplos
¿Cuál es nuestra mejor predicción de este juego?
Ahora el objetivo será desarrollar conceptos de equilibrio que exploten
las características propias de la descripción de un juego en forma
extensiva.
Antes de continuar en esa dirección obsérvese que un juego en forma
extensiva puede representarse de forma natural como un juego en
forma estratégica.
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Estrategias
De…nition
Sea Ai = [ A(h). Una estrategia pura si para el jugador i = 1, ..., N en
h 2H i
un juego en forma extensiva Γ es una función si : Hi
todo h 2 Hi , si (h) 2 A(h).
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! Ai tal que para
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Estrategias
Dada una estrategia conjunta (si )i =1,...N ésta induce un camino único
a lo largo del árbol comenzando en la raíz y terminando en algún
nodo z = ζ (s ) 2 Z . En ocasiones utilizaremos la notación (s1 , ..., sN )
para denotar la estrategia conjunta (si )i =1,...N .
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Representación estratégica de un juego en forma extensiva
De…nition (Forma normal o estratégica)
Para i = 1, ..., N, sea Si = fsi : Hi
N
! Ai p si (h) 2 A(h)g, s 2 S = Π Si
i =1
y de…nimos ζ (s ) 2 Z como el nodo …nal correspondiente al único camino
que sobre el árbol de…ne la estrategia conjunta s. Para i = 1, ..., N
de…nimos π i (s1 , ..., sN ) = ui (ζ (s1 , ..., sN )). El juego
G = f1, ..., N g , fSi gi =1,...,N , fπ i gi =1,...,N se llama la representación
normal del juego en forma extensiva.
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Ejemplo
El juego en forma extensiva:
Tiene como representación estratégica (o normal):
1n2
N
E
F
0,2
-1,-1
C
0,2
1,1
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Conceptos de equilibrio
Utilizando la forma normal de un juego en forma extesiva es posible
extender los conceptos de equilibrio de los juegos de forma estratégica
a juegos en forma extensiva.
En el ejemplo anterior el juego tiene dos equilibrios de Nash en
estrategias puras. Uno de ellos no es un equilibrio "creíble".
La descripción misma de un juego en forma extensiva como una
interacción dinámica con conjuntos de información y estructura de
árbol motiva otros conceptos de equilibrio.
Comenzamos estudiando los juegos en forma extensiva de información
perfecta.
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Juegos de información perfecta
Los juegos de información perfecta son juegos en forma extensiva en
donde los conjunto de información son lo más …nos posibles.
Es decir, cada conjunto de información de cada jugador es un solo
nodo.
El ajedrez que discutiremos con cierto detalle más adelante es un
buen ejemplo.
El concepto de inducción hacia atrás (backward induction) juega un
papel central en los juegos en forma extensiva.
Corresponde al concepto de equilibrio perfecto en subjuegos en juegos
de información perfecta que estudiaremos más adelante.
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Inducción hacia atrás
De…nition
Decimos que la estrategia conjunta b
s = (b
s1 , ..., b
sN ) es una estrategia de
inducción hacia atrás en un juego de información perfecta si puede
obtenerse de la siguinete forma:
1
Para cada nodo k que precede inmediatamente a un nodo terminal z
sea Ki el conjunto que contiene a k. Esto determina que le
corresponde jugar al jugador i.
2
3
b
si (k ) maximiza el pago del agente i entre las posibilidades que tiene
en ese nodo.
4
Repita los pasos anteriores hasta la raíz del árbol.
Convierta el nodo k en un nodo terminal donde los pagos son los que
determina la estrategia b
s (k ).
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Inducción hacia atrás
Example
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Inducción hacia atrás
Theorem (Kuhn)
Si s es una estrategia de inducción hacia atrás en un juego de información
perfecta entonces s es un equilibrio de Nash.
La demostración de este teorema es muy sencilla e intuitiva.
El converso de este teorema no es cierto. El ejemplo clásico es el
problema de entrada de una …rma. En este juego, el equilibrio de
Nash que no es creíble, no es una estrategia de inducción hacia atrás.
El teorema de Kuhn no a…rma nada sobre la unicidad de las
estrategias de inducción hacia atrás.
El siguiente ejemplo muestra que las estrategias de inducción hacia
atrás no son únicas.
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Inducción hacia atrás
Este juego tiene dos estrategias de inducción hacia atrás que no son
equivalentes en términos de sus utilidades para los jugadores.
Las estrategias f((2, 0) , (y , y , y )) , ((1, 1) , (n, y , y ))g .
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El juego de ajedrez
Theorem (Zermelo [1912])
En ajedrez se cumple alguna de las siguientes:
1
Las blancas tiene una estrategia ganadora.
2
Las negras tienen una estrategia ganadora.
3
Ambos jugadores pueden forzar como mínimo un empate.
Éste es, históricamente, el primer teorema en teoría de juegos (véase
Hart [1992], Handbook of Game Theory).
Por el teorema de Kuhn el ajedrez tiene por lo menos una estrategia
de inducción hacia atrás y por lo tanto, un equilibrio de Nash.
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El ajedrez es un juego de suma cero luego todos sus equilibrios tiene
el mismo pago. Además cualquier equilibrio de Nash es un equilibrio
Maxmin).
Por lo tanto la estrategia que garantiza el teorema de Kuhn es una
estrategia que garantiza un pago mínimo independientemente de la
estrategia de los otros jugadores.
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El juego de ajedrez
El problema fundamental es que no se conoce si las blancas o las
negras pueden forzar un empate, o ganar. La limitación sin embargo
no es teórica sino de tipo computacional.
Según el teorema de Zermelo, basta con hacer inducción.
El problema con esta estrategia es que el número de jugadas
admisibles en el ajedrez ha sido estimado en alrededor de 1020
Estos son números comparables al número de moléculas en el
universo.
1043 .
Esta observación llama la atención sobre la importacia de distinguir el
concepto de inteligencia entre una puramente conceptual y una de
tipo computacional.
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Inducción hacia atrás en juegos de información incompleta
El concepto de inducción hacia atrás tiene di…cultades cuando el juego
no es de información perfecta como lo ilustra el siguiente ejemplo.
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Subjuegos
El concepto de estrategia de inducción hacia atrás no se generaliza de
forma inmediata al caso de juegos de información imperfecta.
Las estrataegias de inducción hacia atrás en un juego de información
perfecta son casos especiales del concepto de equilibrio perfecto en
subjuegos que introduciremos a continuación.
La generalización requiere la introducción del concepto de subjuego.
De…nition (Subjuegos)
Un nodo k de…ne un subjuego Γk si para todo k 0 sucesor de k (en un
sentido débil) todos los nodos en A(k 0 ) son sucesores de k. El subjuego Γk
consiste del subjuego con raíz inical k.
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Subjuegos
Example
En el primer juego el único subjuego es el mismo juego. En el segundo, el
nodo S no de…ne un subjuego.
3,2
y
z
1
w
2
x
a
2,3
y
1
0,5
z
4,1
1
b
w
2
2,3
x
3,2
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Subjuegos
De…nition (Equilibrio perfecto en subjuegos)
Una estrategia conjunta s es un equilibrio perfecto en subjuegos si es un
equilibrio de Nash de todo subjuego.
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Subjuegos
En este juego existen dos equilibrios de Nash en el único subjuego
(propio) y dos en subjuegos.
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Subjuegos
El concepto de equilibrio perfecto en subjuegos es un re…namiento
estricto del concepto de equilibrio de Nash (por ejemplo, recordemos
el juego de entrada de una …rma).
En este juego existe un equilibrio de Nash f(out, r ), (R )g que no es
perfecto en subjuegos (en el único subjuego propio el equilibrio de
Nash es f(r ), (L)g).
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Subjuegos
El concepto de equilibrio perfecto en subjuegos generaliza el concepto
de inducción hacia atrás a juegos de información imperfecta.
Theorem
En un juego …nito de información perfecta, el conjunto de estrategias de
inducción hacias atrás coincide con los equilibrios perfectos en subjuegos.
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Subjuegos
En juegos de información imperfecta, no siempre existe un equilibrio
perfecto en subjuegos (en estrategias puras):
Esto motiva la introducción de un concepto de equilibrio basado en la
noción de estrategias de comportamiento.
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Estrategias mixtas y de comportamiento
De…nition (Estrategias mixtas y de comportamiento)
Una estrategia mixta en un juego en forma extensiva es una estrategia
mixta del juego en su representación normal. Una estrategia de
comportamiento es una función γi para el jugador i tal que:
1
2
γi : Hi ! ∆(Ai ).
El soporte de γi (h) está en A(h).
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Recordación perfecta
En lo juegos de memoria perfecta las estrategias mixtas y de
comportamiento son estratégicamente equivalentes.
Esta es un proposición importante que no vamos a demostrar.
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Subjuegos
El teorema análogo al teorema de Nash de existencia del equilibrio en
estrategias mixtas en el caso de equilibrios en subjuegos es el teorema
de Selten: Todo juego …nito de memoria perfecta tiene un equilibrio
perfecto en subjuegos en estrategias de comportamiento (y por lo
tanto en estrategias mixtas equivalentes del juego en forma normal).
Este teorema se demuestra utilizando inducción hacia atrás en cada
uno de los subjuegos comenzando con un subjuego que no tenga
subjuegos propios. Véase Figura 7.26 de [JR].
Si el juego no es de memoria perfecta, no existe necesariamente un
equilibrio perfecto en subjuegos - en estrategias puras o de
comportamiento (ejercicio).
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Subjuegos
No todo equilibrio perfecto en subjuegos es sensato:
Este juego solo tiene un subjuego.
Tiene varios equilibrios de Nash (por lo tanto equilibrios perfectos en
subjuegos): El jugador 1 juega L y el jugador 2 juega m.
Este equilibrio lo sustenta la amenaza 2 de jugar m en caso de poder
hacerlo.
¿Es esta amenaza creíble para el jugador 1?
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Subjuegos
Supongamos que 1 escoge la estrategia M o R. Dependiendo de cual
escoja 2 tendrá una mejor respuesta (en el primer caso r y en el
segundo caso l).
El jugador 2 deberá basar su decisión en la expectativa que él tiene de
que el jugador juego la estrategia M o R dado que a él le corresponde
jugar.
Sean p (x ) y p (y ) las probabilidades que él le asigna a tener que jugar
en el nodo x o y .
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Subjuegos
Lo que el jugador 2 va hacer es maximizar su utilidad esperada de
escoger una de sus tres acciones (l, m o r ).
Estas son respectivamente: 4p (y ), 1 y 4p (x ).
Sin conocimiento de las expectativas del agente 2, es imposible
determinar su estrategia.
No es di…cil demostrar (página 308) de [JR] que no importa cuales
sean sus expectativas escoger m no es óptimo (basta con observar
que la estrategia mixta de jugar con probabilidad 12 , l y 12 , r ; genera
una utilidad esperada estrictamente mayor a jugar m).
Existe un equilibrio en el que 2 juega m con probabilidad cero y 1
juega L con probabilidad cero (ejercicio).
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Subjuegos
En conclución la amenaza m por parte del jugador 2 no es creíble.
La razón por la que esto sucede es que el concepto de equilibrio
perfecto en subjuegos no impone ninguna restricción sobre el
comportamiento del jugador 2 en el conjunto de información que no es
alcanzado en el equilibrio de Nash (perfecto en subjuegos) propuesto.
La razón es que este conjunto de información no de…ne un subjuego.
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