Integración en el campo complejo

Capı́tulo 4
Integración en el campo
complejo
Objetivos
Realizar integrales de funciones complejas a lo largo de curvas.
Comprender los conceptos de independencia del camino y homologı́a.
Calcular integrales por medio de las fórmulas de Cauchy.
4.1.
Integración en el campo complejo
Una función compleja de variable real consta de dos componentes reales, por
lo cual la definición de su integral es inmediata, como suma de las integrales de
sus componentes,
Z
b
f (t) dt :=
a
Z
b
u(t) dt + i
Z
b
v(t) dt ,
a
a
f : [a, b] →
C
. (4.1)
t
7→ u(t) + iv(t)
La definición anterior es correcta si la función f es continua.
Ejemplo 4.1.1 Integral de la exponencial imaginaria.
Z
π
it
e dt =
0
Z
π
cos t dt + i
0
o bien directamente,
Z
π
0
Z
π
0
sin t dt = [sin t]π0 − i[cos t]π0 = 2i
eit dt = [−ieit ]π0 = 2i .
En la recta real la única manera de unir dos puntos es un segmento. Por
ello el concepto de integral de una función de variable real entre dos puntos es
unı́voco, pues siempre integramos a lo largo de un segmento.
Para integrar funciones complejas de variable compleja, tenemos mucha más
libertad, ya que entre dos puntos del plano tenemos infinitos caminos que los
1
unen y el concepto de integral ya no es unı́voco. No basta, en general, con indicar
los puntos entre los cuales integramos, sino que tenemos además que indicar a
lo largo de qué curva estamos realizando la integral. Los resultados serán, en
principio, dependientes de la curva que escojamos.
Γ
Γ
Figura 4.1: Dos puntos se pueden unir a lo largo de curvas distintas
Supongamos que queremos integrar una función continua de variable compleja, f : U → C, definida en un subconjunto abierto U ⊂ C, a lo largo de una
curva Γ en el plano contenida en U . Para ello, tendremos que parametrizar la
curva Γ.
Una parametrización es una aplicación de clase C 1 , γ : [a, b] → C tal que
γ [a, b] = Γ y γ 0 (t) no se anula en ningún punto. La imagen de la función γ es
la curva Γ. La velocidad de la parametrización es la derivada γ 0 (t), que define
un vector tangente a la curva en cada punto z = γ(t). Abusando de la notación,
podemos denotar z(t) = γ(t), entendiendo que z(t) es la manera en la que se
recorre la curva según la parametrización γ.
La parametrización define una orientación para la curva Γ. La curva no es
ya sólo un subconjunto de puntos, sino que está orientado, al ser recorrido de
γ(a) a γ(b) y no al revés.
Diremos que la curva Γ es regular si admite una parametrización de clase
C 1 . Diremos que es simple si no presenta autointersecciones. La curva se llama
abierta si γ(a) 6= γ(b), y cerrada, si γ(a) = γ(b).
Con esta notación, definimos la integral de la función f a lo largo de
Γ,
Z b
Z
f γ(t) γ 0 (t) dt .
(4.2)
f (z) dz :=
a
Γ
Con esta expresión se entiende nuestro interés porque la parametrización sea
de clase C 1 y porque f sea continua: para que el integrando sea continuo y la
integral esté, pues, bien definida.
La interpretación de esta definición es inmediata si recurrimos a la analogı́a
real, descomponiendo
las funciones en sus partes real e imaginaria, f γ(t) =
u γ(t) + iv γ(t) , γ(t) = x(t) + iy(t),
Z
f (z) dz
Γ
=
Z
b
0
(u + iv)(x + iy
a
0
dt =
2
Z
b
a
{(ux0 − vy 0 ) + i(uy 0 + vx0 )} dt
=
Z
b
a
hv, τ iγ(t) dt + i
Z
b
hv, niγ(t) dt = Cv,Γ + iΦv,Γ ,
a
identificando el campo tangente a la curva τ = x0 ux + y 0 uy , el campo normal,
n = y 0 ux − x0 uy , y un campo vectorial v = u ux − v uy , que es esencialmente
f¯.
Ası́ podemos interpretar la parte real de la integral de f a lo largo de Γ como
la circulación del campo v a lo largo de Γ y la parte imaginaria, como el flujo
del campo v a través de Γ.
Esta definición tiene unas cuantas buenas propiedades:
Linealidad de la integral: Es obvio que, para λ ∈ C, f, g funciones
continuas, cuyo dominio comprende a la curva Γ,
Z
Z
Z
Z
Z
λf (z) dz = λ f (z) dz ,
f +g (z) dz =
f (z) dz+ g(z) dz .
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Invariancia bajo cambios de parametrización: Supongamos que γ̃ :
[c, d] → C es otra parametrización de la curva Γ, definida por un cambio
de parámetro biyectivo de clase C 1 , t = h(τ ), h : [c, d] → [a, b], tal que
h0 (τ ) > 0 (preserva la orientación), de modo que γ(t) = γ(h(τ )) = γ̃(τ ).
Sabemos que en integrales reales, el cambio de variable t = h(τ ) se rige
por la expresión
Z b
Z d
dh(τ )
g(t) dt =
g h(τ )
dτ ,
dτ
a
c
que aplicada a nuestro caso proporciona
Z
b
f γ(t)
a
dγ(t)
dt =
dt
Z
d
f γ̃(τ )
c
dγ(t) dh(τ )
dτ =
dt
dτ
Z
d
f γ̃(τ )
c
dγ̃(τ )
dτ ,
dτ
por la regla de la cadena, γ̃ 0 (τ ) = γ 0 (t)h0 (τ ). 2
Por tanto, la integral depende de la curva, no de la parametrización empleada, siempre que respete la orientación. La parametrización simplemente es una herramienta para realizar la integral.
Adviértase que este hecho está implı́cito en nuestra notación de la integral,
que hace referencia a la curva Γ y no a la parametrización.
Cambio de signo por inversión de la orientación: Denotemos por
−Γ la curva Γ recorrida en sentido inverso. Entonces
Z
Z
f (z) dz = − f (z) dz .
(4.3)
Γ
−Γ
La demostración es bien sencilla, con la parametrización γ̃ : [−b, −a] → C
para −Γ dada por γ̃(τ ) = γ(−t), para la cual t = −τ , γ̃ 0 (τ ) = −γ 0 (−t),
Z
f (z) dz =
−Γ
Z
−a
−b
0
f γ̃(τ ) γ̃ (τ ) dt = −
3
Z
b
a
0
f γ(t) γ (t) dt = −
Z
Γ
f (z) dz .
Γ2
Γ1
Γ3
Figura 4.2: Curva de clase C 1 a trozos
Partición de la curva: Si la curva consta de dos arcos, Γ = Γ1 ∪ Γ2 ,
Z
Z
Z
f (z) dz =
f (z) dz +
f (z) dz ,
(4.4)
Γ
Γ1
Γ2
sin más que parametrizar
Γ mediante una
parametrización γ : [a, b] →
C, de modo que γ [a, c] = Γ1 , γ [c, b] = Γ2 . Ya que, denotando por
γ1 la parametrización γ restringida a [a, c], y por γ2 la parametrización
restringida a [c, b],
Z b
Z c
Z b
Z
f (γ2 (t))γ20 (t) dt
f (γ1 (t))γ10 (t) dt +
f (γ(t))γ 0 (t) dt =
f (z) dz =
c
a
a
Γ
Z
Z
f (z) dz . 2
f (z) dz +
=
Γ2
Γ1
Esta última propiedad permite extender la definición de curva parametrizada
regular al caso en el que la parametrización es de clase C 1 a trozos, es decir,
la parametrización γ es de clase C 1 en intervalos [a, c1 ],. . . , [cn , b]. Ası́ pues, la
parametrización restringida a dichos intervalos, γi : [a, ci ] → C, es de clase C 1
y tiene sentido la definición
Z
n Z
X
f (z) dz =
f (z) dz ,
(4.5)
Γ
i=1
Γi
denotando por Γi la curva regular parametrizada por γi .
Podemos incluso extender la definición de modo que las curvas Γi sean disjuntas, es decir, que γ no sea continua en las valores de unión, c1 ,. . . , cn . Si las
curvas Γi son cerradas, la cadena se llama ciclo.
Por ejemplo, esta propiedad puede servir para escindir una curva en dos.
Ejemplo 4.1.2 Integrar la función f (z) = (z − z0 )n para z0 ∈ C, n ∈ Z, a lo
largo de la circunferencia de radio R centrada en z0 .
Como eit , con t ∈ [0, 2π], describe la circunferencia de radio unidad centrada
en el origen, γ(t) = z0 + Reit es una parametrización de la circunferencia de
it
radio R centrada en z0 . La velocidad de la parametrización es γ 0 (t)
.
= iRe
n int
Como a lo largo de la curva la función va tomando los valores f γ(t) = R e ,
I
f (z) dz = iRn+1
Γ
Z
2π
ei(n+1)t dt = Rn+1
0
4
ei(n+1)t
n+1
2π
0
=0,
Γ1
Γ2
Figura 4.3: Ciclo formado por las curvas Γ1 y Γ2
si n 6= 1. El caso en el que n = −1 tiene que estudiarse aparte,
I
Z 2π
f (z) dz = i
dt = i2π .
Γ
0
Volveremos sobre este resultado posteriormente. De momento, fijémonos en
que la integral no depende del radio de la circunferencia y que sólo en el caso
n = −1 es diferente de cero.
Ejemplo 4.1.3 Integral a lo largo de un segmento.
Integrar la función f (z) = z a lo largo del segmento que une 1 − i con 1 + i.
La parametrización de un segmento es sencilla, t ∈ [0, 1], γ(t) = (1−t)z0 +tz1 ,
de modo que γ(0) = z0 , γ(1) = z1 . En nuestro caso, γ(t) = 1 + i(2t − 1),
γ 0 (t) = 2i,
Z
Z 1
1
1 + i(2t − 1) dt = 2i (1 − i)t + it2 0 = 2i .
z dz = 2i
Γ
0
Ejemplo 4.1.4 Parametrizaciones basadas en gráficas.
Una curva definida por una gráfica y = g(x), x ∈ [a, b], se puede parametrizar
como γ(t) = t + ig(t), t ∈ [a, b].
Por ejemplo, integremos la función f (z) = z 2 a lo largo de la curva de
ecuación x = y 3 , y ∈ [0, 1].
En este caso la parametrización es γ(t) = t3 + it, t ∈ [0, 1], γ 0 (t) = 3t2 + i,
Z
z 2 dz =
Γ
Z
1
(t3 + it)2 (3t2 + i) = 3
0
t9
t3
− t5 + it7 − i
3
3
1
0
=
2
(−1 + i) .
3
Recordemos que la longitud de una curva Γ se puede calcular en cualquier
parametrización γ : [a, b] → C como
Z b
Z bp
L(Γ) =
|γ 0 (t)| dt =
x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt .
(4.6)
a
a
Como ejercicio, demostrar que la longitud es independiente de la parametrización usada.
5
Ejemplo 4.1.5 Calcular la longitud de una circunferencia de radio R.
Una parametrización de la circunferencia centrada en z0 es
γ : [0, 2π] →
C
,
t
7→ z0 + Reit
L(Γ) =
Z
2π
0
|iReit | dt = R
Z
γ 0 (t) = iReit ,
2π
dt = 2πR .
0
Esta definición permite una acotación muy sencilla de las integrales a lo largo
de curvas:
Proposición 4.1.1 Sea f : U → C una función continua de variable compleja.
Sea Γ una curva regular contenida en U . Entonces,
Z
f (z) dz ≤ L(Γ) · sup |f (z)| .
(4.7)
z∈Γ
Γ
Para demostrarlo, descomponemos la integral en módulo y argumento, que
denominaremos φ,
Z
f (z) dz = reiφ .
Γ
A nosotros nos interesa r. Usando una parametrización γ : [a, b] → C,
Z
Z b
Z
< e−iφ f γ(t) γ 0 (t) dt
r = f (z) dz = <(r) = < e−iφ f (z) dz =
a
Γ
Γ
Z b
Z b
≤
|f (γ(t))| · |γ 0 (t)| dt ≤ sup |f (z)|
|γ 0 (t)| dt = L(Γ) · sup |f (z)| ,
z∈Γ
a
a
z∈Γ
teniendo en cuenta que <(z) ≤ |z|, que la exponencial imaginaria tiene módulo
unidad, y que |f (z)| ≤ sup |f (z)|. 2
4.2.
Independencia del camino
Hemos comentado que, en general, la integral de una función depende de la
curva que se emplea, aunque en algunos casos concretos puede que no sea ası́.
Si la función que queremos integrar tiene primitiva, podemos utilizar la regla
de Barrow del cálculo integral:
Teorema 4.2.1 Sea F : U → C una función holomorfa y f = F 0 . Sea Γ ⊂ U
una curva continua de clase C 1 a trozos. Entonces,
Z
f (z) dz = F (z1 ) − F (z0 ) ,
(4.8)
Γ
siendo z1 y z0 los puntos final e inicial de la curva Γ.
6
Realmente debiéramos exigir que f fuera continua, pero veremos más adelante que es redundante.
La demostración, como ya adelantamos, está basada en la regla de Barrow.
Supongamos que Γ es de clase C 1 . Usando una parametrización γ : [a, b] → C
de la curva Γ,
Z
f (z) dz
Γ
Z b
dF γ(t)
dF γ(t) 0
γ (t) dt =
dt
=
dz
dt
a
a
= F γ(b) − F γ(a) = F (z1 ) − F (z0 ) ,
Z
b
aplicando la regla de la cadena.
En el caso en el que la curva es de clase C 1 a trozos, no tenemos más que
descomponerla,
Z
n Z
X
f (z) dz = F (z1 ) − F (z0 ) + · · · + F (zn ) − F (zn−1 )
f (z) dz =
Γ
i=1
Γi
= F (zn ) − F (z0 ) ,
siendo F (zi−1 ), F (zi ) los extremos de cada curva Γi en este caso. 2
Un resultado importante de este teorema, es que, si f tiene una primitiva
F , la integral no depende del camino seguido, sino sólo de los extremos de la
curva.
Decimos que la integral de una función continua de variable compleja f :
U → C es independiente del camino en un abierto conexo U si para todo
par de curvas Γ1 , Γ2 continuas regulares a trozos con los mismos extremos,
Z
Z
f (z) dz =
f (z) dz .
(4.9)
Γ1
Γ2
O, lo que es lo mismo, si Γ es un ciclo continuo regular a trozos,
I
f (z) dz = 0 .
(4.10)
Γ
La equivalencia entre ambas definiciones es trivial, ya que si unimos Γ1 con
−Γ2 obtenemos una curva cerrada y las integrales tienen signo opuesto.
Este concepto tiene su análogo en la fı́sica y en la teorı́a de campos. Las
funciones cuya integral no depende del camino son los campos conservativos. La
primitiva, en el lenguaje de los campos, es el potencial escalar.
Ejemplo 4.2.1 Calcular la integral de f (z) = ez entre z = 1 y z = i a lo largo
de un arco de circunferencia y de un segmento.
Integramos f a lo largo del cuadrante de circunferencia de radio unidad, Γ,
parametrizado por γ(t) = eit , t ∈ [0, π/2],
Z
Z π/2
h it iπ/2
it
= ei − e .
f (z) dz = i
ee eit dt = ee
Γ
0
0
Integramos f a lo largo del segmento que une 1 con i, Γ̃, parametrizado por
γ̃(t) = (1 − t) + it, t ∈ [0, 1],
Z
Z 1
h
i1
f (z) dz = (i − 1)
e(1−t)+it dt = e(1−t)+it = ei − e .
Γ̃
0
0
7
Obviamente da lo mismo, ya que f (z) tiene una primitiva conocida, F (z) =
ez . Por tanto, a lo largo de cualquier curva Γ que una 1 con i,
Z
f (z) dz = F (i) − F (1) = ei − e .
Γ
Hemos visto que la integral de funciones con primitiva es independiente del
camino, pero este resultado tiene su recı́proco:
Teorema 4.2.2 Sea f : U → C una función continua de variable compleja en
un abierto conexo U . Las integrales de f son independientes del camino en U
si y sólo si existe una primitiva holomorfa F , de modo que f = F 0 .
La demostración en un sentido ya se ha visto. Queda por demostrar que si
las integrales son independientes del camino, f tiene primitiva.
Γ
Γ~
Figura 4.4: Construcción de la primitiva
Veremos que una primitiva se puede construir fácilmente. Elegimos un punto
cualquiera z0 ∈ U . Lo unimos con cada punto z ∈ U por medio de una curva Γz
arbitraria. La función
Z
F (z) =
f (z) dz ,
Γz
está bien definida, ya que la integral es independiente del camino seguido.
Esta función está definida salvo una constante, ya que, si tomamos otro
origen z̃0 , la diferencia entre las funciones es una constante,
Z
Z
F (z) =
f (z) dz +
f (z) dz ,
Γz̃0
Γ̃z
siendo Γ̃z una curva que una z̃0 con z. El primer término es constante, ya que
es la integral de f entre dos puntos fijos, z0 , z̃0 .
Comprobamos que F 0 (z) = f (z). Para ello, tomamos el origen en z y estudiamos F (w) en puntos w ∈ U próximos, que podamos unir por medio de segmentos
con z, parametrizados por γ(t) = (1 − t)z + tw, con derivada γ 0 (t) = w − z.
Como la expresión de F (w) es
Z 1
F (w) = (w − z)
f (1 − t)z + tw dt ,
0
su derivada queda como
F (w) − F (z)
dF (z)
= lı́m
= lı́m
w→z
w→z
dz
w−z
Z
1
0
f (1 − t)z + tw dt = f (z)
8
Z
1
dt = f (z) ,
0
luego queda demostrado que F es una primitiva para f . 2
Aparte de para calcular primitivas, este teorema nos sirve para discernir
cuando una función no admite primitiva.
Ejemplo 4.2.2 Mostrar que f (z) = 1/z no admite primitivas en el dominio
complejo excepto el origen.
Basta encontrar una curva cerrada de modo que la integral de f no dé cero.
Por ejemplo, una circunferencia, Γ, centrada en el origen, parametrizada por
γ(t) = Reit , t ∈ [0, 2π],
Z
Γ
dz
= iR
z
Z
2π
0
dt it
e =i
Reit
Z
2π
0
dt = i2π 6= 0 .
Como esta integral no es nula, sea cual sea el radio de la circunferencia, f
no puede tener primitiva en C\{0}.
Este resultado parece contradecir nuestra intuición de que la primitiva de f
es un logaritmo. Ciertamente, F (z) = (ln z)α es un candidato a primitiva, pero
presenta el problema de no ser holomorfa en Cα . Como la circunferencia Γ corta
a Cα en un punto, no nos vale como primitiva.
Γ2
Γ1
Figura 4.5: Curvas Γ1 y Γ2
Aún ası́, podemos recuperar el resultado anterior usando dos primitivas con
cortes distintos (ln z)π , (ln z)2π . Podemos emplear la primera para integrar en
Γ1 , la semicircunferencia de radio unidad con parte real positiva,
Z
dz
π
π
= F (i) − F (−i) = (ln i)π − (ln −i)π = i + i = iπ ,
2
2
Γ1 z
y la segunda para integrar en Γ2 , , la semicircunferencia con parte real positiva,
Z
3π
π
dz
= F (−i) − F (i) = (ln −i)2π − (ln i)2π = i
− i = iπ ,
z
2
2
Γ2
de modo que en ambos casos eludimos que la curva intersecte al corte de la
función logaritmo. Obviamente, el resultado final,
Z
Z
Z
dz
dz
dz
=
+
= i2π ,
z
z
Γ
Γ1
Γ2 z
es el correcto.
9
4.3.
Teorema de Cauchy
Con los resultados anteriores, estamos en condiciones de relacionar holomorfı́a con independencia del camino a través del conocido teorema de Cauchy.
Teorema 4.3.1 Teorema de Cauchy: Sea f una función holomorfa de clase
C 1 en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de
cualquier ciclo Γ contenido en U que sea borde orientado de algún subconjunto
abierto V ⊂ U .
La idea de usar recintos con borde orientado indica que vamos a recurrir
al teorema de Green en el plano. Descomponiendo en parte real e imaginaria,
f = u + iv,
Z
f (z) dz
Γ
Z
Z
(u + iv)(dx + idy) = (u dx − v dy) + i (v dx + u dy)
Γ
Γ
ZΓ
Z
= − (vx + uy ) dxdy + i (ux − vy ) dxdy ,
=
Z
V
V
aplicando el teorema de Green en el plano al recinto V de borde Γ,
Z
Z ∂Q ∂P
(P dx + Q dy) =
dxdy ,
−
∂x
∂y
Γ
V
para funciones P , Q de clase C 1 .
Si la función es holomorfa y de clase C 1 , las integrales se anulan, por las
condiciones de Cauchy-Riemann, ux = vy , uy = −vx . 2
Γ
Γ
Figura 4.6: El ciclo formado por las curvas orientadas Γ1 y Γ2 es el borde de la
corona V
Como ya hemos anunciado en repetidas ocasiones, la condición de ser de
clase C 1 se puede relajar:
Teorema 4.3.2 Teorema de Cauchy-Goursat: Sea f una función holomorfa en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de
cualquier ciclo Γ contenido en U que sea borde orientado de algún subconjunto
abierto V ⊂ U .
Ejemplo 4.3.1 Integral de la función f (z) = 1/z.
10
Como la función es holomorfa salvo en el origen, su integral será nula a lo
largo de cualquier curva cerrada que no rodee el origen.
Al contrario, hemos visto que a lo largo de curvas que rodean el origen la
integral no es nula. El teorema nos nos proporciona el valor de la integral, pero
nos indica que es el mismo para curvas simples que rodeen el origen en el mismo
sentido. Habrá que avanzar un poco más para calcular el valor de la integral
sin efectuarla directamente. También será preciso generalizar el resultado para
aplicarlo a ciclos más complejos.
El teorema de Cauchy es muy útil para cuantificar el número de vueltas que
da una curva cerrada alrededor de un punto a ∈ C, dado que es una sorprendente
relación entre cálculo y topologı́a. Sea Γ una curva cerrada compleja que no pasa
por a. El ı́ndice de Γ respecto de a es
Z
dz
1
,
(4.11)
n(Γ, a) =
i2π Γ z − a
y coincide con el número de vueltas que efectúa Γ alrededor de a, contabilizando
el signo de estas: negativo, si la orientación es negativa y positivo, si es positiva.
Por ejemplo, si Γ no rodea a a, 1/(z − a) = d(ln(z − a))α /dz, usando una
determinación α de modo que Cα no corte a Γ. De este modo, en este caso la
integral es nula. Como corresponde al hecho de que Γ no rodea a a.
Γ z1
Γ2
~
Γ
Γ1
a
z2
Figura 4.7: El ı́ndice respecto de a de Γ es uno y cero el de Γ̃
Si a está dentro de Γ y esta es una curva simple orientada positiva, la rompemos en dos trozos, cortándola con la recta vertical que pasa por a. Para la
integral en el fragmento de la derecha, Γ1 , podemos emplear la determinación
π y la para el de la izquierda, Γ2 , la determinación 2π,
Z
z1
dz
π
π
=
ln(z − a) π z = log |z1 − a| + i − log |z2 − a| + i ,
2
2
2
Γ1 z − a
Z
z2
dz
3π
π
=
ln(z − a) 2π z = log |z2 − a| + i
− log |z1 − a| − i ,
1
2
2
Γ z−a
Z2
dz
= i2π ,
Γ z−a
con lo cual n(Γ, a) = 1.
Obviamente, si la curva se recorre en sentido horario, el ı́ndice cambia de
signo, n(Γ, a) = −1.
11
Finalmente, si Γ es un ciclo que se puede descomponer en varias curvas
cerradas, Γ = n1 Γ1 + · · · + nN ΓN ,
n(Γ, a) =
Z
N
Γ
X
dz
=
ni
z−a
i=1
Z
N
Γi
X
dz
=
ni n(Γi , a) .
z−a
i=1
Γ1
Γ3
Γ2
V
Figura 4.8: El interior del ciclo formado por las curvas Γ1 , Γ2 , Γ3 es el abierto
V
Esta definición permite visualizar cuál es la región de la cual es borde una
curva cerrada simple Γ, que denominaremos interior de Γ. Un punto a estará en
el interior de Γ si Γ da vueltas alrededor de él.
int Γ = {a ∈ C\Γ : n(Γ, a) 6= 0} .
(4.12)
Esta definición se aplica a ciclos más complicados también, cuya relación con
un borde orientado es más difusa, pero que se pueden entender como unión de
curvas cerradas simples.
Finalmente, una definición adicional, que permite caracterizar los ciclos a los
que se refiere el teorema de Cauchy. En un abierto conexo U ⊂ C decimos que
un ciclo Γ es homólogo a cero módulo U si para todo a 6∈ U , n(Γ, a) = 0. Es
decir, si Γ no da vueltas alrededor de los puntos que no están en U . O, lo que
es lo mismo, si el interior de Γ está contenido en U .
U
Γ1
Γ3
Γ2
Figura 4.9: Γ1 es homóloga a Γ2 módulo U , pero no a Γ3 . Γ3 es homóloga a
cero, lo mismo que Γ1 − Γ2 , pero no lo son Γ1 ni Γ2
Del mismo modo, decimos que dos ciclos Γ1 , Γ2 son homólogos módulo
U , Γ1 ∼ Γ2 (mód U ), si Γ1 − Γ2 es homólogo a cero módulo U . O lo que es
12
lo mismo, si ambos dan el mismo número de vueltas alrededor de los puntos
a 6∈ U , n(Γ1 , a) = n(Γ2 , a).
Con estas definiciones, el teorema de Cauchy-Goursat se puede reescribir y
generalizar de una manera elegante y concisa:
Teorema 4.3.3 Teorema de Cauchy-Goursat: Sea f una función holomorfa en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo Γ homólogo a cero módulo U .
Un caso particularmente interesante son los subconjuntos simplemente conexos, que son aquellos subconjuntos de C en los cuales todo ciclo es homólogo
a cero. Obviamente, se trata de subconjuntos que no tienen agujeros compactos.
El siguiente corolario es trivial, entonces:
Corolario 4.3.1 Sea f una función holomorfa en un abierto simplemente conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo contenido
en U .
En el caso de los subconjuntos simplemente conexos vemos que se da la
independencia del camino para las integrales de funciones holomorfas.
2
Ejemplo 4.3.2 La integral de f (z) = sin ez a lo largo de cualquier ciclo es
nula.
Puesto que f es entera, por ser composición de funciones enteras y, por tanto,
su dominio de holomorfı́a, U = C, es simplemente conexo.
Pero hay muchos subconjuntos sencillos que no son simplemente conexos:
Ejemplo 4.3.3 El subconjunto C\{P } no es simplemente conexo.
El dominio complejo salvo un punto P no es simplemente conexo, ya que las
curvas simples que rodean a P no son homólogas a cero, ya que dan una vuelta
alrededor de él y, por tanto, no tienen ı́ndice nulo.
Por eso este subconjunto es doblemente conexo, ya que hay dos tipos de
ciclos, los que dan vueltas alrededor de P y los que no las dan.
Γ2
Γ1
P
Figura 4.10: Γ1 es homóloga a homóloga a cero, pero no lo es Γ2
Este ejemplo se aplica al dominio de holomorfı́a de la función f (z) = 1/z.
Como hemos visto, las integrales de ciclos que no rodean al origen son nulas, al
contrario que las que sı́ lo rodean.
Del teorema de Cauchy-Goursat se siguen otras consecuencias interesantes:
Z
Z
Si Γ1 ∼ Γ2 (mód U ), entonces
f (z) dz =
f (z) dz.
Γ1
Γ2
Puesto que Γ1 − Γ2 es homólogo a cero módulo U .
13
Si Γ1 , Γ2 Zson dos curvasZ regulares a trozos en U y Γ1 − Γ2 ∼ 0 (mód U ),
f (z) dz.
f (z) dz =
entonces
Γ2
Γ1
√
√
Ejemplo 4.3.4 La función
z−1 π
z + 1 π es holomorfa salvo en el segmento del eje real [−1, 1].
Por tanto, la integral a lo largo de cualquier curva cerrada simple que rodee
el segmento toma el mismo valor, siempre que la orientación sea la misma en
todos los casos.
Pero seguimos sin saber evaluar la integral de una función holomorfa a lo
largo de un ciclo no homólogo a cero, a pesar de que sabemos que para ciclos
homólogos proporciona el mismo valor. Esta precisión final nos la facilita la
fórmula integral de Cauchy.
4.4.
Fórmula integral de Cauchy
Comenzaremos refinando el teorema de Cauchy en el caso de que la función
presente singularidades débiles o evitables:
Corolario 4.4.1 Sea U ⊂ C un abierto simplemente conexo y f una función
holomorfa en U salvo en una colección finita
de puntos {a1 . . . , aN }, pero de
R
modo que lı́m (z − ai )f (z) = 0. Entonces Γ f (z) dz = 0 a lo largo de cualquier
z→ai
ciclo Γ contenido en U \{a1 . . . , aN }.
Sea Γ un ciclo
P contenido en U \{a1 . . . , aN }. Si denotamos por ni = n(Γ, ai ),
entonces Γ ∼ ni Γi (mód U ), donde Γi es una circunferencia centrada en ai
de radio suficientemente pequeño, Ri , para que esté contenida en U \{a1 . . . , aN }.
Por tanto,
Z
Z
N
X
f (z) dz =
ni
f (z) dz .
Γ
i=1
Γi
a2
Γ2
Γ
Γ1
a3
a1
Γ3
Figura 4.11: Γ es homóloga a homóloga a Γ1 + Γ2 + Γ3
Acotando el valor de cada integral por medio de la cota de la proposición
4.1.1,
Z
≤ 2πRi máx |f (z)| = 2π|zi − ai |f (zi )| → 0 ,
f
(z)
dz
z∈Γi
Γi
14
cuando Ri tiende a cero, teniendo en cuenta que el supremo de una función se
alcanza en algún punto zi , en el caso de subconjuntos compactos, como es el
caso de una circunferencia.
Por tanto, el valor absoluto de la integral está acotado por cero, con lo cual
sólo puede ser nulo y las integrales son todas nulas. 2
Una consecuencia directa de este sencillo resultado es la fórmula integral de
Cauchy, que permite evaluar integrales.
Teorema 4.4.1 Fórmula integral de Cauchy: Sea f una función holomorfa
en un abierto conexo U . Sea Γ un ciclo homólogo a cero módulo U . Entonces,
para a ∈ U \Γ,
Z
f (z)
dz = i2πn(Γ, a)f (a) .
(4.13)
z
−a
Γ
Definimos una función holomorfa en U \{a},
g(z) =
f (z) − f (a)
.
z−a
Si el ı́ndice de Γ respecto de a es n = n(Γ, a), este ciclo será homólogo a
n circunferencias Γ(r) centradas en a de radio r < R suficientemente pequeño
para que la bola de radio R, B(a; R), esté contenida en U . Entonces,
Z
Z
Z
g(z) dz =
g(z) dz = n
g(z) dz .
Γ
nΓ(r)
Γ(r)
Podemos aplicar el corolario anterior a la bola B(a; R), donde la función g es
holomorfa, excepto en a. Como la bola es simplemente conexa y lı́m (z−a)g(z) =
z→a
lı́m f (z) − f (a) = 0,
z→a
0=
Z
g(z) dz =
Γ(r)
Z
Γ(r)
Z
Γ(r)
f (z)
dz − f (a)
z−a
Z
Γ(r)
dz
,
z−a
f (z)
dz = i2πn(Γ, a)f (a) . 2
z−a
Con este teorema hemos ganado una avance sustancial. Nos permite extender
el teorema de Cauchy de funciones holomorfas a funciones holomorfas con un
polo aislado.
Ejemplo 4.4.1 Integral de g(z) = 1/z a lo largo de la circunferencia, Γ, de
radio unidad centrada en z = 0, orientada positivamente.
La función constante f (z) = 1 es entera y el ciclo Γ da una vuelta alrededor
de z = 0. Por tanto,
Z
Z
f (z)
= i2πf (0) = i2π .
g(z) =
Γ
Γ z
Si la circunferencia hubiera estado centrada en z = 5, el ciclo Γ no darı́a
ninguna vuelta alrededor de z = 0 y la integral hubiera resultado nula.
Este resultado ya era conocido, pero ahora lo hemos recuperado sin necesidad
de efectuar las integrales directamente, ni calcular primitivas.
15
Γ
Figura 4.12: Ejemplo 4.4.2
Ejemplo 4.4.2 Integral de g(z) = 1/(z 2 − 1) a lo largo de la circunferencia, Γ,
de radio unidad centrada en z = 1, orientada positivamente.
La función f (z) = 1/(z + 1) es holomorfa salvo en z = −1 y la circunferencia
Γ no rodea este punto, luego es un ciclo homólogo a cero en U = C\{−1}. Por
tanto, por la fórmula de Cauchy, como Γ da una vuelta alrededor de z = 1,
Z
Z
f (z)
= i2πf (1) = iπ .
g(z) =
z
−1
Γ
Γ
Este ejemplo nos da idea de las generalizaciones que tenemos que acometer.
Por una parte, si la circunferencia hubiera tenido un radio mayor, de modo que
englobara también a z = −1, no podrı́amos aplicar la fórmula de Cauchy, ya
que el ciclo no serı́a homólogo a cero.
∼
Γ
Γ2
Γ1
Figura 4.13: Ejemplo 4.4.2
Pero esa circunferencia es homóloga a dos circunferencias con centros en
z = ±1, con lo cual podemos descomponer la integral,
Z
Z
Z
g(z) dz =
g(z) dz +
g(z) dz = i2π{f (1) + f˜(−1)} = 0 ,
Γ̃
Γ1
Γ2
˜ = 1/(z − 1).
denotando por f(z)
Por otra parte, si en vez de tratarse de polos simples hubieran sido múltiples,
tampoco hubiéramos podido emplear la fórmula. De esta segunda generalización
nos ocupamos a continuación.
16
Como sorprendente resultado intermedio, demostraremos que una función
holomorfa es derivable tantas veces como se quiera en su dominio de holomorfı́a.
Este resultado es exclusivo de la variable compleja y no es compartido con las
funciones de variable real.
Por tanto, decir que una función es de clase C r no tiene sentido en variable
compleja, ya que todas las funciones holomorfas son de clase C ∞ .
Teorema 4.4.2 Fórmula integral de Cauchy generalizada: Sea f una
función holomorfa en un abierto conexo U . Entonces f tiene derivadas de cualquier orden en U . Sea Γ un ciclo homólogo a cero módulo U . Entonces, para
a ∈ U \Γ,
Z
f (z)
f n) (a)
dz
=
i2πn(Γ,
a)
.
(4.14)
n+1
n!
Γ (z − a)
Sea z0 ∈ U . Como U es abierto, podemos encontrar una bola cerrada de radio
suficientemente pequeño, B(z0 ; R), contenida en U . Por la fórmula de Cauchy,
para z ∈ B(z0 ; R),
Z
1
f (w)
f (z) =
dw ,
i2π Γ(R) w − z
siendo Γ(R) la circunferencia de radio R centrada en z0 .
Estudiemos la función g(z, w) = f (w)/(w − z). Para z ∈ B(z0 ; R), w ∈ Γ(R)
es continua, ya que el denominador no se anula y f es continua. Por tanto, la
integral está, como sabı́amos, bien definida.
Más aún, las derivadas de esta función respecto a z son todas continuas,
∂g(z, w)
f (w)
=
,
∂z
(w − z)2
∂ n g(z, w)
f (w)
= n!
,
n
∂z
(w − z)n+1
ya que no se anula nunca el denominador.
Por tanto, podemos efectuar la derivación bajo la integral y concluir
Z
Z
1
∂
f (w)
1
f (w)
f 0 (z) =
dw =
dw ,
i2π Γ(R) ∂z w − z
i2π Γ(R) (w − z)2
Z
Z
n!
1
∂n
f (w)
f (w)
n)
dw =
f (z) =
dw ,
i2π Γ(R) ∂z n w − z
i2π Γ(R) (w − z)n+1
es decir, existen las derivadas de f de todos los órdenes y son continuas. 2
Finalmente, si Γ es un ciclo homólogo a cero módulo U para a ∈ U \{Γ},
como Γ sólo da vueltas alrededor de a, es homólogo a n(Γ, a) circunferencias
Γ(R) de radio suficientemente pequeño para que B(a; R) esté contenida en U .
Por tanto,
Z
Z
f (z)
f n) (a)
f (z)
dz
=
n(Γ,
a)
dz
=
i2πn(Γ,
a)
,
n+1
n+1
n!
Γ(R) (z − a)
Γ (z − a)
por el resultado deducido anteriormente. 2
Ejemplo 4.4.3 Integrar f (z) = 1/z n, n > 1, a lo largo de cualquier ciclo.
Si el ciclo no da vueltas alrededor de z = 0, sabemos que la integral es nula.
Pero si da vueltas alrededor de z = 0, la integral será proporcional a la
derivada (n − 1)-ésima de la función constante g(z) = 1. Por tanto, la integral
es nula también en este caso.
17
Ejemplo 4.4.4 Integrar f (z) = cos z/z 3 , n > 1, a lo largo de una circunferencia orientada positivamente con centro en el origen.
En este caso g(z) = cos z es entera, por lo que la circunferencia es homóloga
a cero. Por tanto,
Z
Z
g(z)
g 00 (0)
f (z) dz =
dz
=
i2π
= −iπ .
3
2!
Γ
Γ z
4.5.
Consecuencias de la fórmula de Cauchy
La primera consecuencia, aparte de la sorprendente de que las funciones
holomorfas tienen derivadas de todos los órdenes, es que el teorema de CauchyGoursat tiene su recı́proco. No sólo la holomorfı́a implica la independencia del
camino, sino que la independencia del camino caracteriza la holomorfı́a:
Teorema 4.5.1 Teorema de Morera: Sea f una función continua en un
abierto conexo U . Si la integral de f sobre todo ciclo homólogo a cero módulo
U es nula, entonces la función es holomorfa.
La demostración es sencilla. Tomamos z ∈ U . Podemos encontrar una bola
B(z; R) de radio suficientemente pequeño para que esté contenida en U . Entonces, todo ciclo Γ contenido en la bola será homólogo a cero módulo U y, por la
hipótesis del teorema, la integral de f a lo largo de Γ será nula.
Por tanto, las integrales de f son independientes del camino en la bola
B(z; R) y por el teorema 4.2.2, f tiene una primitiva holomorfa F en la bola B(z; R).
Como F es holomorfa, sus derivadas también lo son. En particular, f = F 0
es holomorfa en B(z; R). Como este razonamiento se puede realizar en cualquier
punto z ∈ U , resulta que f es holomorfa en U . 2
Γ
Β
Figura 4.14: Teorema de Morera
Corolario 4.5.1 Desigualdades de Cauchy: Sea f una función holomorfa
en un abierto conexo U . Para toda bola B(a; R) contenida en U se verifica
|f n) (a)| ≤
n!
Rn
sup
z∈Γ(a;R)
|f (z)| ,
siendo Γ(a; R) la circunferencia centrada en a de radio R.
18
(4.15)
Como la bola está contenida en U , la circunferencia Γ(a; R) es homóloga a
cero módulo U y podemos aplicar la fórmula de Cauchy generalizada,
Z
Γ(a;R)
f n) (a)
f (z)
dz = i2π
,
n+1
(z − a)
n!
de donde podemos obtener una acotación,
Z
n! f (z)
n!
n)
|f (a)| =
dz
≤
n+1
2π
2π Γ(a;R) (z − a)
=
n!
Rn
sup
z∈Γ(a;R)
sup
z∈Γ(a;R)
|f (z)| . 2
f (z) (z − a)n+1 2πR
Una consecuencia sorprendente de estas desigualdades es que no puede haber
funciones enteras acotadas no triviales:
Teorema 4.5.2 Teorema de Liouville: Sea f una función entera acotada
superiormente. Es decir, existe una constante M > 0 tal que |f (z)| ≤ M para
todo z ∈ C. Entonces f es una función constante.
Por las desigualdades anteriores, para la derivada primera, para una circunferencia de radio R,
|f 0 (a)| ≤
1
R
sup
z∈Γ(a;R)
|f (z)| ≤
M
.
R
Como esta desigualdad es cierta para cualquier radio R, ya que la función
es holomorfa, tenemos que |f 0 (a)| es menor que cualquier número positivo, simplemente tomando radios grandes. Por tanto, f 0 (a) = 0 para todo a ∈ C y la
función es constante. 2
Otro resultado prácticamente inmediato es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una
raı́z compleja:
Teorema 4.5.3 Teorema de D’Alembert: Sea p(z) = a0 + · · · + an z n un
polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos. Entonces existe al menos
un valor z0 ∈ C, tal que p(z0 ) = 0.
Supongamos que no existiese ningún valor z0 tal que p(z0 ) = 0. Entonces la
función racional f (z) = 1/p(z) serı́a entera.
Por una parte, como lı́m f (z) = 0, para todo valor ε > 0 existirá un valor
z→∞
R tal que, para |z| > R, |f (z)| < ε.
Por otra parte, como f es continua, su módulo está acotado en un compacto.
Por ejemplo, para |z| ≤ R, |f (z)| ≤ M , siendo M > 0.
Combinando ambos resultados, concluimos que f es una función acotada
superiormente, bien por M , bien por ε.
Por tanto, por el teorema de Liouville, si f es entera, tiene que ser constante.
Es decir, si p(z) no tiene raı́ces, es un polinomio de grado cero, en contra de la
hipótesis de partida. 2
19