Factorial – Número combinatorio

Factorial de un Número Entero Positivo
ma
te
Carlos Torres
www.edumate.wordpress.com
1.
Introducción
El estudio del factorial de un número entero positivo (Z+ ) es de suma importancia
en esta parte del álgebra, ya que este objeto matemático ayudará a produndizar temas
como el Binomio de Newton 1 . Al respecto, se presenta un esbozo de la teorı́a de factorial
de un número entero positivo, junto con las propiedades que nos ayudarán a enfrentar
diferentes tipos de problemas.
2.
Definición
Edu
El factorial de un número entero positivo se define como el producto que se obtiene
de multiplicar los números enteros desde 1 hasta el número n indicado en el factorial. La
notación de factorial que usaremos es la siguiente: n!.2 Al respecto, la definición queda
expresada en sı́mbolos ası́:
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) × n
También:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × . . . × 2 × 1
n! =
n
Y
k
k=1
Donde n ∈ Z+
Ejemplos:
Z+ = {1, 2, 3, ...}
algunos textos es común utilizar otras notaciones como: n⌋, ⌊n
1 Considerar
2 El
1
3 PROPIEDADES
1! = 1
3! = 1 × 2 × 3 = 6
Nota:
ma
te
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
3
3
! = ∄, ya que ∈
/ Z+
2
2
√
√
2! = ∄, ya que 2 ∈
/ Z+
Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por convención el valor de 1. Entonces,
0! = 1
3.
Propiedades
1. n! = n (n − 1)! ; n ≥ 2
La prueba es directa, para ello usamos la definición de factorial:
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) ×n
|
{z
}
(n−1)!
de lo que se desprende que: n! = n (n − 1)!
2. Si n! = m! ; ⇔ n = m∀n, m ∈ Z+ − {1}
Un caso especial de esta propiedad está relacionado con la siguiente igualdad:
n! = 1! para lo cual siguiendo lo enunciado n = 1, pero también se cumple para
n = 0.
3. n (n!) = (n + 1)! − n!
La prueba es inmediata, ya que:
(n + 1)! − n! = (n + 1) n! − n! = n! (n + 1 − 1) = n (n!)
Edu
Nota:
En general, no es posible realizar las siguientes operaciones:
(a + b)! 6= (a)! + (b)!
(a × b)! 6= (a)! × (b)!
a
(a)!
! 6=
b
(b)!
(a)n ! 6= (a!)n
(a!)! 6= a!!
Es importante mencionar que (2n)!! equivale a multiplicar todos los número pares desde
2 hasta (2n), entonces se cumple que:
(2n)!! = 2 × 4 × 6 × . . . × (2n)
Asimismo, para (2n − 1)!! equivale a multiplicar todos los número impares desde 1 hasta
(2n − 1), entonces se cumple que:
(2n − 1)!! = 1 × 3 × 5 × . . . × (2n − 1)
2
4
4.
PROBLEMAS
Problemas
1. Reducir:
M=
Resolución:
Usando la propiedad 1, tenemos:
10 × 9! × 5! × 3!
9! × 6 × 5!
ma
te
M=
10! × 5! × 3!
9! × 6!
Entonces M = 10
2. Hallar el valor positivo de x en:
x2 + x ! = 720
Resolución:
Por simple cálculo, se desprende que 6! = 720, entonces para x2 + x = 6. Luego,
resolvemos la ecuación:
x2 + x − 6 = 0 ⇒ (x + 3)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = −3
Finalmente, el valor positivo de x es 2.
3. Hallar el equivalente de:
A=
Resolución:
1
1
+
7! + 8! 9!
−1
Descomponiendo la base de la potencia:
1
1
1
1
1
1
+
=
+
=
+
7! + 8! 9!
7! + 8 × 7! 9!
9 × 7! 9!
Ahora, multplicamos por 8, convenientemente:
Edu
1
1
8
9
1
1
+
=
=
=
+
9 × 7! 9!
9 × 8 × 7! 9!
9!
8!
| {z }
9!
Finalmente, en la expresión A:
A=
1
8!
−1
3
= 8! ⇒ A = 8!