Unidad 2. Álgebra I. Sistema de Ecuaciones Lineales 3. Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables a. Método gráfico Ecuación Lineal En una ecuación lineal su representación gráfica es una recta. Ejemplo: Gráfica de una Ecuación Lineal La recta muestra la gráfica de la ecuación lineal y = x + 3. y=x+3 Dos puntos en la recta se han B identificado como A y B. Un punto que no se encuentra en la recta se A ha identificado como C. C ¿Qué pares ordenados representan soluciones de esta ecuación lineal? *Sustituye los valores de los pares ordenados para comprobar las soluciones de la ecuación. Los pares ordenados A y B son soluciones de la ecuación lineal. El par ordenado C no forma parte de la recta, por tanto, no representa una solución. Para A (-3,0) Para B (0,3) Para C y = x+3 y = x+3 y = x+3 0= -3+3 3 = 0+3 0 = 3+3 0=0 3=3 0=6 (3,0) Sistemas de ecuaciones lineales El propósito principal en los sistemas de ecuaciones lineales es hallar pares ordenados de números reales que hagan ciertas ambas ecuaciones a la vez. Recordar… Par ordenado: Par de número que se usan para localizar un punto en el plano. Son dos números (par) con un orden establecido (x, y). Ej. (2,4) Importante: Los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones se llaman soluciones comunes. Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables impone dos condiciones en las variables al mismo tiempo En el ejemplo x + y = 6 y x – y = 2, por tanteo, podemos ver que con x = 4, y = 2 se satisfacen ambas ecuaciones. Por lo tanto, el par ordenado (4,2) es la única solución de este sistema. Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal. Estudiaremos tres que se usan para hallar soluciones a sistemas de forma algebraica: solución por el método gráfico, solución por sustitución y solución por eliminación. Métodos algebraicos para hallar la solución a sistemas de ecuaciones A. Método gráfico Se grafican ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas. Así, las coordenadas del punto común en ambas gráficas deberán ser las soluciones del sistema, ya que satisfacen ambas ecuaciones. Ejemplo 1: Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones, luego se grafican usando los pares ordenados y, se unen los puntos mediante una recta. x+y=2 Veamos: x–y=0 x+y=2 x 1 y 1 2 0 3 -1 4 -2 x–y=0 x 1 y 1 2 2 3 3 4 4 x–y=0 (1,1) x+y=2 Podemos observar que el par ordenado que satisface ambas ecuaciones es (1,1) Ejemplo 2: Las edades de Héctor y Carla suman 25 años. Héctor tiene 5 años más que Carla. ¿Cuál es la edad de cada uno? X = Edad de Héctor x + y = 25 Y = Edad de Carla x–y=5 La edad de Héctor más la edad de Carla suman 25 años. La diferencia entre la edad de Héctor y Carla son 5 años. Para resolver este sistema se encuentran los pares ordenados que satisfagan ambas ecuaciones y luego se gráfica para encontrar las coordenadas del punto de intersección, si existen. y x + y = 25 x–y =5 x x y x–y=5 y 25 0 25 0 -5 10 15 10 5 15 10 15 10 (15,10) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 x + y = 25 La edad de Héctor (x) es 15 años y la edad de Carla (y) es 10 años. -25 x Dos rectas en un plano, se deben relacionar en una de tres maneras: 1) se intersecan en un punto y sólo un punto; 2) son paralelas; ó 3) coinciden. Por lo tanto, cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas podemos esperar obtener una de estas situaciones. independiente una solución rectas no paralelas inconsistente sin solución rectas paralelas dependiente infinitas soluciones la misma recta