RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
INTRODUCCIÓN.
Esta unidad didáctica pretende que el alumno se familiarice con los distintos casos de
resolución y llegue a adquirir la habilidad para saber de antemano si el problema va a
tener o no solución y cuantas soluciones puede encontrar.
La posibilidad de manipulación de los elementos hasta llegar a la construcción del
triángulo facilitará la comprensión de las propiedades que han de cumplir los
elementos de un triángulo cualquiera.
Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo(*). Los elementos de un
triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos,
opuestos a los anteriores, a, b y c.
Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de
sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha
de ser un lado).
(*) Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de
triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que
queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque
se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no
se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.
Se utilizan tres propiedades:
Suma de los ángulos de un triángulo
A + B + C = 180º
Teorema del seno
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A
Teorema del coseno
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C
Casos en la resolución de triángulos:
CASO
DATOS CONOCIDOS
INCÓGNITAS
I
Los tres lados: a, b, c
Los tres ángulos A, B, C
II
Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C
Dos lados y un ángulo: b, c, A
III
Dos lados y el ángulo formado: a, b, C
Un lado y dos ángulos: c, A, B
IV
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A
Un lado y dos ángulos: c, B, C
CASO I: Se dan los lados a, b y c
ORIENTACIONES
Hay que tener en cuenta que este caso no siempre tiene solución, es decir no valen
cualesquiera tres segmentos a, b y c ya que para que pueda formarse un triángulo ha de
cumplirse que cualquier lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.
Esta propiedad se conoce como propiedad triangular y se expresa así:
a<b+c b<a+c c<a+b
Comprobar esta propiedad en la siguiente escena.
Los extremos B y B_ son controles que se pueden mover pulsando y reteniendo el botón
izquierdo del ratón y luego desplazándolo.
a, b y c son parámetros que podemos elegir a voluntad. Inicialmente a =7, b =10 y c = 6.
La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el siguiente orden:
1º Aplicando el teorema del coseno para calcular A y luego B
2º Aplicando la relación de la suma de ángulos se calcula C:
NOTA 1: cada vez que se cambien los valores a, b y c hay que desplazar los controles B y
B_ para que los segmentos de la escena se adapten a los nuevos valores.
NOTA 2: la solución da A=B=C=0º representa un caso imposible
ACTIVIDADES CASO 1
1.- Utilizando los valores iniciales a = 7, b = 10, c = 6 desplazar los controles B y B_ hasta
que queden superpuestos. Comparar la solución obtenida tras esta manipulación con la
solución trigonométrica.
2.- Dibuja en el cuaderno el triángulo de la escena, lo más aproximado posible, y realiza los
cálculos propuestos valiéndote de una calculadora (puedes utilizar p.e. la calculadora de
Windows). Compara tu solución con la obtenida anteriormente y revisa los cálculos si no
coincide.
3.- Comprueba que los segmentos a = 3, b = 4 y c = 5 forman una terna pitagórica, es decir
forman un triángulo rectángulo. Manipula los controles hasta formar el triángulo. Haz un
dibujo del triángulo en el cuaderno y realiza los cálculos asegurándote que resuelves
correctamente el triángulo.
4.- Comprueba la imposibilidad de formar triángulo con los siguientes segmentos a = 4, b
= 10 y c = 5 puesto que es falso que 10 < 4 + 5
5.- Prueba otros casos imposibles como a = 12, b = 6, c = 5 y escríbelos en tu cuaderno.
CASO II: Se da un lado y los ángulos
adyacentes
ORIENTACIONES
La única limitación es que los dos ángulos tienen que sumar menos de 180º (B + C <
180º) para que sea posible la construcción.
En la escena los parámetros son a, B y C que inicialmente tiene el valor a = 10, B = 45º, C
= 76º
Los controles, círculos con centro de color rojo, sirven para que desplazándolos a lo largo
de la dirección del lado respectivo b ó c podamos procurar su coincidencia, en cuyo cayo el
triángulo queda construido.
La solución trigonométrica se consigue aplicando el siguientes orden a las propiedades:
1º Suma de los ángulos B + C para determinar A
2º Teorema del Seno para determinar sucesivamente los lados b y c.
ACTIVIDADES
NOTA 1: Utiliza una calculadora científica, puede ser la herramienta de Windows, para
hacer los cálculos. Como los ángulos B y C de la escena están dados en grados, tendrás
que saber convertir grados, minutos y segundos a grados antes de utilizar el programa,
caso en que los ángulos que vas a utilizar como datos estén en forma compleja.
5.- Hacer el dibujo en el cuaderno que muestra la escena para los valores iniciales a =10, B
= 45º, C = 76º, escribiendo estos elementos en el lugar correspondiente.
6.- Construir el triángulo desplazando los controles hasta que los lados, que se van
alargando, se corten en el vértice del ángulo A.
7.- Hacer los cálculos indicados por las fórmulas en el cuaderno y comprobar la solución
mostrada en la pizarra. Repasarlos si no son coincidentes con éstos.
8.- Construye el triángulo isósceles a =12, B = C = 60º 30'. Tendrás que modificar la
escala de la escena para poder ver la figura de una vez. Dibuja el resultado en tu cuaderno.
Haz los cálculos y comprueba la solución dada por el programa.
NOTA 2: Cada vez que cambias los parámetros de entrada, a, B y C, tendrás que desplazar
los controles para que la escena se adapte a la nueva situación.
9.- Construye un triángulo rectángulo de base a = 8. Dibuja el resultado en tu cuaderno.
Haz los cálculos y comprueba la solución dada por el programa. Si fuera necesario
modifica la escala y el punto origen de la representación para poder ver de una vez la
representación.
10.- Comprueba que el triángulo a = 8, B = 100º, C = 80º es imposible. Explica la solución
dada por el programa. Comprueba que esta situación hace que los lados b y c sean paralelos
y por tanto no se pueden cortar. Inventa otro triángulo imposible.
CASO III: Se dan dos lados y el ángulo
que forman
ORIENTACIONES
Los lados conocidos a y b tienen el extremo común C.
Ahora se puede dar cualquier valor a los lados a y b. La única limitación la impone el
ángulo C que forman (C < 180º).
Desde el punto de vista constructivo, este caso no requiere más que unir los extremos
libres de los lados a y b.
Inicialmente la escena presenta los valores a = 6, b=8 y C=100º.
La solución trigonométrica se consigue aplicando en el mismo orden las siguientes
propiedades:
1º Teorema del coseno para calcular el lado c,
2º Teorema del seno para calcular el ángulo A
3º Una vez conocidos A y C, la propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular B.
ACTIVIDADES
NOTA 1: El extremo A contiene un punto de control que se desplaza sobre la recta que
une los vértices A y B.
Cada vez que se cambien los parámetros b y C, que alteran la posición del punto A, habrá
que corregir la posición del control y llevarlo a la nueva posición de A para poder realizar
el nuevo trazado del lado c
11.- Con los valores iniciales a = 6, b = 8 y C =100. Construye el triángulo dibujando el
segmento b que une el extremo A con el extremo B. Para ello 'pincha' con el botón
izquierdo del ratón sobre A y arrastra hasta B. Dibuja el triángulo en tu cuaderno partiendo
de los datos que te dan.
12.- Aplica las fórmulas trigonométricas para solucionar el triángulo y comprueba la
solución dada por el programa. Escribe los cálculos que haces en el cuaderno.
13.- Pulsa el botón Inicio y cambia el ángulo C a 180º. Desplaza el control a la posición del
punto A. Dibuja el segmento AB. Lee e interpreta la solución sobre la pizarra. ¿ Porqué los
ángulos A y B miden 0º ? ¿ Se cumple la propiedad triangular entre los lados a, b y c ?.
CASO IV: Se dan dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos
ORIENTACIONES
Este caso es el más complejo ya que se pueden dar tres situaciones:



No existe triángulo
Existe un triángulo
Existen dos triángulos.
Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a.
La solución trigonométrica se consigue aplicando las siguientes propiedades en el mismo
orden:
1º Teorema del seno para calcular el ángulo B
2º La propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular C
3º Nuevamente el Teorema del seno para calcular el lado c
El siguiente cuadro resume los posibles casos que pueden darse y que el alumno podrá
comprobar en las actividades que se proponen más adelante. No es necesario memorizarlo,
simplemente hágase una idea de las posibilidades que se tiene:
h = b.sen A > a
ninguna solución
A < 90º
una solución
h = b.sen A = a
A >= 90º
a>b
h = b.sen A < a
ninguna solución
una solución
A < 90º
una solución
A >= 90º
ninguna solución
A < 90º
dos soluciones
A >= 90º
ninguna solución
a=b
a<b
ACTIVIDADES
NOTA 1: El lado a es un segmento unido por un extremo al lado b y que podemos girar
libremente pinchando el extremo B del mismo y arrastrando ya representa este un control.
NOTA 2: La distancia h=b.sen A entre el vértice C y la recta AH es determinante para
que se pueda o no formar el triángulo.
14.- Comprobar que inicialmente a = 8, b = 5, A = 60º . Girar el extremo B hasta incidir
con la recta AH y compruebe que existe un único punto de corte y por lo tanto existe un
triángulo como solución.
15.- Trata de sobreponer a en h ¿ qué relación hay entre a y h ?. Trata de sobreponer a en b
¿qué relación hay entre a y b?. Consultar después la tabla orientativa anterior y verificar
las respuestas que hayas dado.
16.- Fíjate en la longitud que tiene h y disminuye la longitud del lado a hasta hacer que h >
a. Desplaza el control de B, para que la longitud de a se adapte a la nueva situación. ¿ Se
forma triángulo ?. Consulta la tabla orientativa anterior y verifica la respuesta.
17.- Comprueba el caso en que a > h, a < b y A < 90º. Para ello pulsa el botón de inicio y
escribe b = 9. Gira el control para que corte el lado a a la recta AH. ¿ Cuántos puntos de
corte se obtienen ? ¿ Cuántos triángulos se pueden construir ?. Consulta la tabla orientativa
y verifica la respuesta.
18.- Comprueba que cuando hay dos triángulos, los dos ángulos B posibles son
suplementarios (B + B' = 180º)
19.- ¿ Qué pasaría si en el supuesto anterior haces que A >=90º ?. Consulta la tabla
orientativa y verifica la respuesta.
20.- Escribe a, b, A para cada caso de la tabla orientativa y comprueba la solución.
21.- Observa que para que se pueda construir el triángulo es necesario que sen B = h / a <
= 1 ( h = b . sen A < = a) y que A + B < 180º
22.- Resuelve los siguientes triángulos, haciendo los cálculos y dibujando la construcción
en tu cuaderno. Para ello usa una calculadora científica (como siempre, puedes valerte de la
calculadora de Windows) y emplea las fórmulas dadas en las orientaciones anteriores.
I.
II.
III.
a = 3, b = 5, A = 80º
a = 6, b = 5, A = 36,5º
a = 5, b = 6, A = 36,5º
NOTA 3: Cuando un problema tenga dos soluciones, el ángulo B' del segundo triángulo
es suplementario del ángulo B del primero, B' = 180º - B