´Algebra lineal y Geometr´ıa I 1. Subespacios suma e intersección

Álgebra lineal y Geometrı́a I
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
1.
Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 1.1. Sean E1 y E2 subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E1 + E2 y
la intersección E1 ∩ E2 por
E1 + E2 = {e ∈ E : e = u + v , donde u ∈ E1 y v ∈ E2 }
E1 ∩ E2 = {e ∈ E : e ∈ E1 y e ∈ E2 }
Probaremos que ambos son subespacios vectoriales de E comprobando que son cerrados por
combinaciones lineales:
Si u + v, u0 + v 0 ∈ E1 + E2 y λ, µ ∈ k el vector λ(u + v) + µ(u0 + v 0 ) está en E1 + E2
pues λ(u + v) + µ(u0 + v 0 ) = λu + λv + µu0 + µv 0 = (λu + µu0 ) + (λv + µv 0 ) ∈ E1 + E2 ,
ya que E1 y E2 son cerrados por combinaciones lineales.
Si e, e0 ∈ E1 ∩E2 y λ, µ ∈ k, su combinación lineal λe+µe0 es un vector de E1 y también
de E2 , ya que ambos son subespacios y, por tanto, cerrados por combinaciones lineales.
Luego λe + µe0 es un vector de la intersección E1 ∩ E2 .
Es claro que:
• E1 + E2 ⊇ E1 y E1 + E2 ⊇ E2 . La suma E1 + E2 es el mı́nimo subespacio que contiene a
E1 y a E2 .
• E1 ∩ E2 ⊆ E1 y E1 ∩ E2 ⊆ E2 . La intersección E1 ∩ E2 es el mayor subespacio que
está contenido en E1 y en E2 .
• Sistema de generadores de la suma. Si {u1 , . . . , ur } es una base de E1 y {v1 , . . . , vs } es una
base de E2 , los vectores {u1 , . . . , ur , v1 , . . . , vs } forman un sistema de generadores de E1 +E2 .
Teorema 1.2. Se verifica la siguiente fórmula de dimensión
dimk (E1 + E2 ) = dimk E1 + dimk E2 − dimk (E1 ∩ E2 )
Demostración. Sea {e1 , . . . , em } una base de E1 ∩E2 que, por el teorema de Steinitz, podemos
ampliar para formar una base {e1 , . . . , em , . . . , er } de E1 y otra {e1 , . . . , em , vm+1 , . . . , vs } de
E2 .
Los r + s − m vectores {e1 , . . . , em , . . . , er , vm+1 , . . . , vs } generan E1 + E2 . Probaremos que
además son linealmente independientes, con lo que quedará demostrado el teorema.
Si λ1 e1 + . . . λm em + · · · + λr er + µm+1 vm+1 + · · · + µs vs = 0 (∗), despejando se obtiene
µm+1 vm+1 + · · · + µs vs = −λ1 e1 − . . . λm em − · · · − λr er ,
luego el vector µm+1 vm+1 + · · · + µs vs ∈ E2 está también en E1 , pues es combinación lineal
de los vectores de una base de E1 . Por tanto, el vector µm+1 vm+1 + · · · + µs vs está en E1 ∩ E2 ,
y expresándolo como combinación lineal de los vectores de la base {e1 , . . . , em }, se tiene que
µm+1 vm+1 +· · ·+µs vs = α1 e1 +· · ·+αm em , de donde α1 e1 +· · ·+αm em −µm+1 vm+1 −· · ·−µs vs =
0, luego α1 = · · · = µm+1 = · · · = µs = 0, pues los vectores {e1 , . . . , em , vm+1 , . . . , vs }
son linealmente indepedientes. Sustituyendo en la combinación lineal inicial (∗) se obtiene
λ1 e1 + . . . λm em + · · · + λr er = 0, lo que implica que λ1 = · · · = λm = · · · = λr = 0 ya que
{e1 , . . . , em , . . . , er } son linealmente independientes.
1
Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R4
E1 = hu1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1), u3 = (2, −1, 1, 1)i
E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z = 0, x + z + t = 0}
Calculemos bases y dimensiones de E1 + E2 y de E1 ∩ E2 . Para ello calcularemos primero
una base de E1 y otra de E2 :
dimR E1 = rg(u1 , u2 , u3 ) = 2 y E1 = hu1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1)i.
E2 = {(x, −x−z, z, −x−z) ∈ R4 } = hv1 = (1, −1, 0, −1), v2 = (0, −1, 1, −1)i y dimR E2 = 2.
Resulta que
dimR (E1 + E2 ) = rg(u1 , u2 , v1 , v2 ) = 3 y E1 + E2 = hu1 , u2 , v1 i
dimR (E1 ∩ E2 ) = dimR E1 + dimR E2 − dimR (E1 + E2 ) = 1 y como v2 = −u2 es E1 ∩ E2 = hu2 i .
Definición 1.4. La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1 + E2 , cuando
la intersección es cero, E1 ∩ E2 = {0}. Se representa por E1 ⊕ E2 .
En particular, dimk (E1 ⊕ E2 ) = dimk E1 + dimk E2 .
2.
Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios
Definición 2.1. Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1 + E2 = E y
E1 ∩ E2 = {0}, esto es, si E = E1 ⊕ E2 .
Proposición 2.2. Sean E1 y E2 subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equivalentes:
(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios.
(b) Todo vector de E se expresa de modo único como suma de uno de E1 y otro de E2 .
(c) Si {u1 , . . . , um } es una base de E1 y {v1 , . . . , vs } es una base de E2 los vectores
{u1 , . . . , um , v1 , . . . , vs } forman una base de E.
Demostración.
(a) ⇒ (b)
Por hipótesis E = E1 + E2 , luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E1 y v ∈ E2 .
Esta descomposición es única pues si e = u0 + v 0 es otra, resulta que u + v = u0 + v 0 , luego
u − u0 = v 0 − v y por tanto el vector u − u0 = v 0 − v ∈ E1 ∩ E2 , pero E1 ∩ E2 = {0} y se
deduce que u = u0 y v = v 0 .
(b) ⇒ (c)
Por hipótesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo único como suma de uno u ∈ E1 y otro
v ∈ E2 , e = u + v.
Si {u1 , . . . , um } es una base de E1 , u ∈ E1 se expresa de modo único como combinación lineal
u = λ1 u1 + · · · + λm um . Análogamente, si v ∈ E2 es v = µ1 v1 + · · · + µm vs , con los escalares
µi únicos, siendo {v1 , . . . , vs } una base de E2 .
Ası́, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo único como combinación lineal
e = λ1 u1 + · · · + λm um + µ1 v1 + · · · + µm vs , luego por el teorema de caracterización de una
base los vectores {u1 , . . . , um , v1 , . . . , vs } forman una base de E.
(c) ⇒ (a)
Si {u1 , . . . , um } es una base de E1 y {v1 , . . . , vs } es una base de E2 , por definición de suma,
los vectores {u1 , . . . , um , v1 , . . . , vs } generan E1 + E2 y como por hipótesis estos vectores
forman una base de E, resulta que E1 + E2 = E. Por último, de la fórmula de dimensión,
dimk (E1 + E2 ) = dimk E1 + dimk E2 − dimk (E1 ∩ E2 ), resulta que dimk (E1 ∩ E2 ) = 0, luego
E1 ∩ E2 = {0}.
Ejemplo 2.3.
• Los subespacios de R3 E1 = h(1, 2, −1), (3, 1, 2)i y E2 = h(0, 1, 1), (1, −1, 1)i no son suplementarios, pues dimR E1 + dimR E2 = 2 + 2 6= 3 = dimR R3 .
• Los planos E1 = hu1 = (1, 0, −1, 0), u2 = (0, 1, 1, 2)i y E2 = hv1 = (−1, 0, 1, 1), v2 = (1, −1, 1, 2)i
son suplementarios, pues {u1 , u2 , v1 , v2 } es una base de R4 ya que rg(u1 , u2 , v1 , v2 ) = 4.
• Un subespacio suplementario del plano V = hv1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, 1)i es la recta
V 0 = hu = (2, 1, −2)i, pues rg(v1 , v2 , u) = 3. La recta hu1 = (0, 2, 4)i es otro subespacio
suplementario del plano V .
• Los subespacios de M (n, k) de las matrices simétricas, S(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = At },
y de las matrices hemisimétricas, H(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = −At }, son suplementarios
pues toda matriz cuadrada A descompone de modo único en la forma A = 12 (A + At ) + 12 (A −
At ), siendo 21 (A + At ) una matriz simétrica y 21 (A − At ) una matriz hemisimétrica.
3.
Problemas propuestos
1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y sean
E1 = {p(x) ∈ E : p(0) = 0} y E2 = {p(x) ∈ E : p0 (0) = 0}.
(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios de E.
(b) Calcular una base y la dimensión de cada uno de los subespacios siguientes
E1 , E2 , E1 + E2 , E1 ∩ E2
(c) ¿Son E1 y E2 subespacios suplementarios?
2. Sea F el subespacio de R3 generado por (1, 1, −1) y G el subespacio de ecuaciones
3x − y = 0, 2x + z = 0. Determinar F ∩ G.
3. Determinar en R3 un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendrados por los siguientes vectores:
(a) v1 = (−3, 1, 0)
(b) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, −4, 3)
(c) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 1, −2), v3 = (1, 1, −1)
4. Dados los subconjuntos de R4
E1 =< (1, 2, −3, 0), (2, 1, 1, 3), (5, 4, −1, 6) > ; E2 = {(x, y, z, t) : x − 2y − z = 0, t = 0}
(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios vectoriales y calcular bases y dimensiones de
los mismos.
(b) Calcular bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2 .
(c) Calcular un suplementario de E2 .
5. Sean E y E 0 dos subespacios de R3 definidos por:
E = {(a, b, c) : a = b = c} , ,
E 0 = {(0, b, c) : b, c ∈ R}
Demostrar que R3 = E ⊕ E 0 .
6. Sean E y E 0 dos subespacios de R3 definidos por: E = {(x, y, z) : x + y + z = 0},
{(t, 2t, 3t) : t ∈ R} Demostrar que E y E 0 son subespacios suplementarios.
E0 =
7. Sean E, E 0 , E 00 los subespacios vectoriales de R3
E = {(a, b, c) : a + b + c = 0},
E 0 = {(a, b, c) : a = c},
E 00 = {(0, 0, c)}
Demostrar que R3 = E + E 0 , R3 = E + E 00 , R3 = E 0 + E 00 . ¿En qué casos se trata de suma
directa?.
8. Sea E = M (2, R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en R y sea V el subconjunto de E definido por:
x y
V =
∈ E : 2x − y + t = 0, x = z
z t
(a) Probar que V es un subespacio vectorial
de Ey calcular su dimensión y una base.
1 0
(b) Calcular las coordenadas de la matriz
∈ V en la base elegida en el apartado
1 −2
anterior.
(c) Calcular un suplementario de V .
9. Se considera el espacio R4 y los subespacios E y V generados, respectivamente, por las
parejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e0 = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v 0 = (1, 0, 0, 1).
Estudiar si R4 es suma directa de E y V .
10. Sea E1 el subespacio de R3 generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2)
y (1, 1, 1). Probar que R3 = E1 ⊕ E2 y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R3 como
suma de un vector de E1 y otro de E2 .
11. Sea E = h1, x, x2 , x3 i el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a
3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .
(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimensión y una base.
(b) Calcular las coordenadas del polinomio x2 −3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado
anterior.
(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .
12. Considérense los siguientes subespacios de R4 : E1 =< (1, 0, −1, 0), (2, −1, 2, 0), (3, −2, 3, 0) >
y E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.
(a) Calcular bases y dimensiones de E1 , E2 , E1 + E2 , E1 ∩ E2 .
(b) ¿Se verifica que R4 = E1 ⊕ E2 ?
(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1 .
13. Se consideran los subespacios de R4 generados por los siguientes vectores:
E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >,
E2 =< (1, −1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >
Se pide:
(a) Hallar las dimensiones de E1 , E2 , E1 + E2 , E1 ∩ E2 .
(b) Estudiar si E1 + E2 = R4 .
(c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?