física – lab. 1

FÍSICA – LAB. 1
ERRORES
Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o sustancia, susceptible de ser
medido. El error de una medición está asociado al concepto de incertidumbre en el resultado de
medición de la misma. Lo que preocuramos en toda medición es conocer las cotas o límites
probabilísticos de estas incertidumbres. Gráficamente se busca establecer un intervalo
x − ∆x < xv < x + ∆x
donde xn es el valor verdadero, x es el valor medido y ∆x es el error absoluto de la medida. A este
intervalo se le llama intervalo de inseguridad de la medición y se representa gráficamente de la
siguiente manera:
----------(-------------- xν ------------)--------x+∆x
x-∆x
Cuando se efectúa una medición siempre esta va acompañada de error. Se puede medir con una
mayor aproximación de acuerdo a la mejor calidad del método o instrumento utilizado, pero no existe
el instrumento que permita medir sin error.
Por lo tanto una medida tiene sentido solo cuando se puede valorar de alguna manera el error que
la afecta .
Se define entonces en base a lo expresado el valor verdadero o valor medido de una medición, xv:
xv = x ± ∆x
(1)
Clasificación de los Errores
Existen diversos criterios para clasificar los errores , adoptaremos el de ubicarlos en dos
grandes grupos: errores casuales y errores causales.
Errores Azarosos o Casuales
Son aquellos que se deben a causas fortuitas o imprevistas, como ser variaciones repentinas de las
condiciones ambientes (temperatura, presión, humedad), o debidas al observador (cansancio, falta de
concentración, etc.).
Sin embargo pese a esta aleatoriedad los errores casuales obedecen leyes de carácter estadístico
y a ellos se refiere la teoría estadística de errores.
El tratamiento más simple para disminuir los errores casuales es la repetir la medición varias
veces, tomando como resultado de las “n“ mediciones el promedio.
n
x1 + x2 + ... + xn
x
X=
=∑ i
n
i =1 n
y el error asociado a este valor promedio se define como
(2)
E = σ / n − 1 donde s es la desviación
estándar (ver la teoría o consultar con su jefe de trabajo prácticos).
Errores Causales o Sistemáticos
Son aquellos que obedecen a alguna causa en particular y son factibles de minimizarse, estos se
pueden subdividir en:
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1. Errores Instrumentales: son aquellos que provienen de imperfecciones o ajuste
inadecuado del instrumento de medida (las agujas indicadoras del instrumento dobladas o en mal
estado, la separación en la graduación en la escala del instrumento es deficiente, etc.).
Estos errores afectan la medida y sobre ellos no puede hacerse una teoría general pero si pueden
reducirse los errores aplicando correcciones adecuadas en cada caso.
2. Errores Metodológicos: son aquellos que derivan de la aplicación de un método en
particular independientemente si este es erróneo o no
3. Errores de Apreciación: las determinaciones experimentales, en última instancia, se
reducen a la lectura sobre una escala graduada. La apreciación sobre esa escala dependerá de la
mínima división de tal escala y de la capacidad del observador para precisar fracciones de esa
división.
Por ejemplo en una regla graduada en milímetros (significa que la separación entre dos marcas
consecutivas de la misma es de 1 mm.), un observador puede mentalmente subdividir esa longitud en
dos y apreciar de esa manera hasta ½ mm. Esto significa que puede determinar la medida que va a
realizar con una precisión de ½ mm.
Un segundo observador, más experimentado podrá dividir en más partes ese milímetro, por
ejemplo en 4, podrá apreciar entonces ¼ mm.
Dividir en más partes “a ojo“ el milímetro de la regla en cuestión, para obtener un error menor
sería un tanto audaz, pero por suerte existen otros instrumentos que permiten obtener una mejor
precisión. Por ejemplo, con un calibre se puede apreciar hasta 0,05 mm. y con un tornillo
micrométrico hasta 0,01 mm.
Obviamente como se desprende de expuesto con cada lectura o medición se comete un error de
apreciación que tiene que ver con el instrumento y con el observador. La experiencia de este no solo
le permite conocer el orden del error de apreciación sino también la elección adecuada de los
instrumentos (rango, alcance, etc.).
¿Cómo comparar medidas? - El error relativo
Hasta ahora se ha hablado de distintos tipos de errores, debemos ver el tratamiento matemático
de los mismos. Cabe realizar la aclaración que dado el alcance de esta guía el tratamiento matemático
de los errores solo tendrá un carácter introductorio.
El error absoluto ∆x estará compuesto por todos los errores que hemos determinado en la
medición de una magnitud en particular, es decir ∆x contiene por ejemplo el error sistemático y de
apreciación cometido en la medición.
Ahora bien si se determina una misma magnitud con métodos distintos o se repite varias veces una
medida con el mismo método, no hay ningún problema en comparar esas mediciones entre si a través
de la ecuación (1) y cotejar el error cometido.
Por ejemplo si:
x1 = 27 º C ± 1 º C
x2 = 34,1 º C ± 0,5 º C
y
fácilmente se puede determinar que el error cometido en la segunda medición es menor que el
cometido en la primera, esto se puede hacer porque en ambas mediciones tenemos la misma magnitud
(ºC).
¿Qué sucedería si Ud. quiere comparar entre si el error cometido en la medición de magnitudes
distintas, por ejemplo la medición de un volumen con la de una temperatura?.
Para esto se hace uso de un sencillo procedimiento matemático:
Definimos:
ε = ∆x
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x
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A ε se lo llama error relativo y es el cociente entre el error absoluto ∆x y el valor de la magnitud.
Como puede observarse ε es un número adimensional y números entre sí pueden compararse. Por
ejemplo:
x1 =
x2 =
x3 =
ε1 =
ε2 =
ε3 =
27 ºC ± 1 ºC
16,3 m /s ± 0,1 m / s
112,9 m ± 0,3 m
(1 ºC / 27 ºC ) = 0,037
( 0,1 m/s / 16,3 m/s ) = 0,006
( 0,3 m / 112,9 m ) = 0,002
Como puede observarse en la tercera determinación es donde se comete el menor error.
Puede definirse también el error relativo porcentual ε % .
ε % = ε × 100
en el ejemplo anterior:
ε % = 3,7%
ε % = 0,6 %
1
2
(4)
ε % = 0,2 %
3
Medidas Indirectas
Todo lo expuesto se refiere a medidas directas, una temperatura con un termómetro, un volumen
con una probeta, etc.. Pero muchas veces la magnitud a determinar está relacionada a través de una
ley física con otras medibles directamente, por ejemplo la superficie de una hoja rectangular de
papel a través del producto de sus lados
S = L1 × L2
o la aceleración de la gravedad determinada con un péndulo físico
4π 2l
g= 2
T
En estos casos la valoración del error de estas magnitudes (S, g) dependerá del calculo del error
en las variables que determinan la función.
S = f ( L1 , L2 )
∆S = f ( ∆L1 , ∆L2 )
Sin profundizar en las matemáticas para la determinación del error en mediciones indirectas
expondremos la expresión para la determinación del error absoluto de una función de tres variables.
Si:
L = f ( x, y , z )
entonces:
∂f
∂f
∂f
∆x +
∆y +
∆z
∂x
∂y
∂z
∆L =
(5)
donde ∂ f /∂ x indica el valor absoluto de la derivada parcial de la función respecto de la variable x
y así sucesivamente .
Volviendo al ejemplo anterior, S = L1 x L2, y aplicando la ecuación (5)
∆S =
∂S
∂S
∆L1 +
∆L2
∂L1
∂L2
∆S = L2 ∆L1 + L1 ∆L2
(6)
Luego la expresión para el error relativo
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 ∆L2 + ∆L1 
L1
L2  ∆L1 ∆L2
∆S 
=
=
+
S
S
L1
L2
(7)
Como ejercicio busque la expresión del error relativo en la ecuación que determina el valor de g.
Es pertinente comentar que en la ecuación (5) a los coeficientes ∂f ⁄ ∂x , etc. se les llama factores
de propagación de los errores, esto nos permite previsualizar la magnitud del error cometido en cada
medida y por lo tanto la precisión con la cual debemos realizar tal medida así como la elección del
instrumental apropiado.
Igualdad de Magnitudes
Para comparar dos cantidades en Matemáticas y decidir si son iguales o no solo basta con
comparar cifra a cifra hasta el orden que se quiera. En Física debido a que las magnitudes son el
resultado de un proceso de medición y toda medida aparece afectada de un error se dice que: “dos
magnitudes son iguales dentro de los errores de experimentación cuando existe una zona en común a
los dos intervalos de error dentro de la cual deberá estar la magnitud medida”.
Si consideramos x1 ± ∆x1 y x2 ± ∆x2, analíticamente, la condición de coincidencia o igualdad física de
las magnitudes x1 y x2 está dada por:
x1 − x2 < ∆x1 + ∆x2
Los errores pueden afectar por exceso o por defecto una medición, pero siempre contribuyen a
incrementar el error total de una medición, como corolario se puede afirmar que los errores nunca se
cancelan.
EJERCICIO:
Verifique en el siguiente listado
cuales de las medidas son iguales.
( 1,58 ± 0,1 )cm.
( 1,60 ± 0,01 )cm.
(1,597 ± 0,005)cm
(1,57 ± 0,02 )cm.
(1,59 ± 0,2 ) cm.
(1,588 ± 0,001)cm.
Acotación en el número de cifras
Si al medir una magnitud encontramos que su valor por ejemplo es T = 0.32315 °C y que el error
cometido es ∆Τ = 0.01 ºC, no tiene ningún sentido dar para el valor de T más allá de la segunda cifra a
la derecha de la coma decimal, es decir las demás son producto de los cálculos numéricos. En
consecuencia expresaremos
T = 0,32 ºC + 0,01 °C
y no lo haremos como T = 0,32315 ºC + 0,01 °C
EXPERIENCIAS A REALIZAR
Para entender y utilizar correctamente el concepto de error de una medida, se realizarán distintas
experiencias en el laboratorio. Se procederá a medir diferentes magnitudes. De cada conjunto de
medidas se sacarán conclusiones sobre el procedimiento y los resultados obtenidos.
Medida de la densidad de un objeto
Como se sabe, la densidad (δ) de cualquier material se define como el cociente entre su masa (M) y
su volumen (V), entonces para la determinación de la densidad de un objeto deberán determinarse
masa y volumen del mismo mediante el uso de una balanza y una probeta respectivamente. Cada
medida directa estará afectada de su respectivo error, es decir:
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M v = M ± ∆M
y
Vv = V ± ∆V
El error relativo en la densidad (∆δ) estará dado por:
∆δ ∆M ∆V
=
+
δ
M
V
¿De qué otra manera se podría medir el volumen de un objeto? ¿que ventaja tiene usar la probeta?
Medida de la densidad de una hoja de papel
Determinar la densidad del papel de impresora, usando los elementos que dispone en su laboratorio.
Para la determinación del volumen de la hoja, usaremos la medida de su espesor (E), y sus otras dos
dimensiones (largo L y ancho A). El error relativo en el volumen será entonces:
∆V ∆E ∆L ∆A
=
+
+
V
E
L
A
El error en la densidad viene dado por la misma expresión que en el punto anterior. ¿ Cómo se podría
disminuir el error en la determinación de la masa y volumen de una hoja?
¿Qué suposiciones deben hacerse?. Discuta con su jefe de trabajos prácticos.
Determinación de parámetros físicos del jarabe simple
El jarabe es una forma farmacéutica líquida de consistencia viscosa característica, constituida por
una solución concentrada de azúcar en agua destilada o en líquidos diversos. En este práctico de
Laboratorio prepararemos un jarabe simple y mediremos los parámetros que permitirán
caracterizarlo. Para expresar y comparar correctamente las mediciones efectuadas utilizaremos el
Apéndice que contiene una breve introducción a principios generales de la teoría de errores.
- Procedimiento
1. Pesar 53 gr. de azúcar y determinar el error cometido en la pesada.
2. Medir un volumen de 62,5 ml. de agua destilada, elegir el recipiente adecuado y determinar el
error cometido.
3. Disuélvase el azúcar en unos 40 ml. de agua, con ayuda de calor, luego agregue papel de filtro en
trozos para eliminar las impurezas. A posteriori se pasa por un filtro y se agrega agua destilada
hasta completar el volumen indicado. El azúcar se disuelve en agua destilada dentro de una cápsula
enlozada provista a tal efecto, no se debe permitir que la temperatura sea tal que la dilución
hierva.
- Ensayos de identificación:
a). Determinar el peso especifico o la densidad del jarabe, para ello seleccione el densímetro
de rango adecuado, sabiendo que la densidad standard es del orden de 1,32 gr/cc. Pese la solución
(previamente debe conocer el peso del recipiente vacío) y con el volumen ya conocido determine la
densidad a través de la ecuación δ = M/V .
Compare ambas mediciones con su respectivo error. Ver Apéndice.
b). Desviación polarimétrica, el jarabe al igual que otras sustancias son ópticamente activas ,
esto quiere decir que el plano de polarización de la luz rota cuando atraviesa dicha sustancia.1
Disuelva el jarabe ya obtenido en 10 partes de agua, viértalo en el recipiente del polarímetro
e ilumine con luz de sodio, el ángulo de desviación debe estar comprendido entre +56 y +59.
Determine también el error en esta medida.
1
NOTA: los fundamentos teóricos del párrafo precedente serán estudiados en capítulos posteriores.
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Apéndice
Lectura en probetas: Cuando un líquido se encuentra dentro de un recipiente estrecho, la superficie
presenta una curvatura llamada menisco. La parte baja de este es la que se usa para la lectura cuando
el menisco es cóncavo, y la parte más alta cuando el menisco es convexo.
Para efectuar la lectura del volumen el ojo debe estar al nivel del líquido, ver figura, en caso
contrario estaremos cometiendo un error en la misma que recibe el nombre de error de paralaje.
Uso de la balanza digital: Antes de usarla y una vez encendida, se ajusta el cero pulsando el botón
de tara. Pida al jefe de trabajo prácticos las características de la balanza (peso máximo, error
instrumental, etc.). Por ningún motivo se debe golpear el plato de la balanza.
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