3. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

3. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
3.1. Dinámica de la partícula
La segunda ley de Newton establece que en una partícula de masa constante m sobre
la que actúa una fuerza F se verifica
dp
F=
(3.1)
dt
donde p es el momento lineal que se define como el producto de la masa m por la velocidad v
p = mv
(3.2)
Puesto que hemos supuesto la masa m constante, se verifica que
d mv
F=
= ma
dt
donde a es la aceleración de la partícula.
(3.3)
El Teorema de conservación del momento lineal se deduce inmediatamente de la
ecuación (3.1) y establece que cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la
partícula es nula, el momento lineal p se conserva.
El momento angular de una partícula alrededor de un punto O, denotado como L,
se define como
L = r×p
(3.4)
donde r es el vector que va desde O hasta la partícula. Premultiplicando vectorialmente por r a ambos lados de la ecuación (3.3), obtenemos
d mv
r×F = N = r×
(3.5)
dt
siendo N el momento de la fuerza F respecto de O. Esta ecuación se puede transformar teniendo en cuenta la identidad vectorial
d
d mv
d mv
(3.6)
= r×
( r × mv ) = v × mv + r ×
dt
dt
dt
donde el primer sumando es, obviamente, nulo. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (3.5) como
d
dL
(3.7)
N=
( r × mv ) =
dt
dt
Esta ecuación permite también establecer el Teorema de conservación del momento angular, que establece que cuando el momento de las fuerzas que actúan sobre una
partícula es nulo, el momento angular L se conserva.
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
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Cap. 3: Dinámica del sólido rígido
3.2. Dinámica del sólido rígido
3.2.1. Ecuaciones de Newton
En este apartado consideraremos que un sólido rígido de masa total m está compuesto
por un sistema continuo de partículas materiales de masa dm. Distinguiremos entre
fuerzas externas, que actúan sobre las partículas y que son debidas a causas externas
al sólido, y fuerzas internas o fuerzas de interacción entre las partículas, que impiden
su desplazamiento relativo unas de otras. Llamaremos dFi a la suma total de las
fuerzas internas ejercidas sobre una partícula por las partículas adyacentes y Fje a la
fuerza exterior que actúa sobre la partícula j. A diferencia de las fuerzas internas, que
actúan sobre todas las partículas del sólido, las fuerzas externas sólo actúan sobre
unas cuantas partículas (aquéllas que llevan índice j). Podemos escribir la ecuación
del movimiento de una partícula sobre la que no actúa una fuerza exterior como
dFi = a dm
(3.8)
y para una partícula sobre la que actúa una fuerza exterior1
dFi + Fje = a dm
(3.9)
Supondremos que las fuerzas internas cumplen la tercera ley de Newton (principio de acción y reacción) y que, por lo tanto, las fuerzas que se ejercen mutuamente
dos partículas llevan la dirección de la recta que las une y son iguales y de signos contrarios. Sumando las ecuaciones del movimiento de todas las partículas que componen
el sólido llegamos a
i
e
∫V dF + ∑ Fj = ∫V a dm
(3.10)
j
El primer sumando de la izquierda es cero, ya que las fuerzas internas se cancelan dos a dos. El segundo sumando es simplemente Fe , resultante de todas las fuerzas exteriores. Por último, teniendo en cuenta que la masa de cada partícula es constante, podemos escribir
Fe = ∫V
d 2r
dt 2
dm =
d2
dt 2
∫V r dm =
d2
dt 2
(m rG ) = m aG
(3.11)
donde rG es el vector que va del origen del sistema de referencia al centro de gravedad y aG es la aceleración del centro de gravedad.
La ecuación (3.9) no es rigurosa matemáticamente hablando, pues incluye una fuerza finita en una
ecuación de términos infinitesimales. Sin embargo, la pérdida de rigor matemático se ve compensada por
una mayor claridad en la exposición.
1
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
Cap. 3: Dinámica del sólido rígido
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3.2.2. Ecuaciones de Euler
Tomemos momentos en las ecuaciones
(3.8) y (3.9) respecto al centro de gravedad, lo que siguiendo la notación utilizada en la Figura 3.1 equivale a premultiplicarlas vectorialmente por r ' , obteniendo
r '× dFi = r '× a dm
(3.12)
dm
r’
G
r
O
rG
para las partículas sin fuerza exterior y
r '× dFi + r '× Fje = r '× a dm
(3.13)
Figura 3.1.
para las partículas con fuerza exterior.
Sumemos las ecuaciones (3.12) y (3.13) correspondientes a todas las partículas del sólido, lo que da
i
e
∫V r '× dF + ∑ r '× Fj = ∫V r '× a dm
j
(3.14)
Lo mismo que antes, los momentos correspondientes a las fuerzas interiores se
cancelan dos a dos, por lo que el primer sumando es nulo. El segundo sumando representa el momento resultante de las fuerzas exteriores actuantes sobre la partícula,
que denominaremos N e . Por tanto,
N e = ∫V r '× a dm
(3.15)
Esta ecuación se puede reescribir como
d
dr '
(3.16)
× v dm
Ne =
∫V r '× v dm − ∫V
dt
dt
Llamando ω a la velocidad angular del sólido y teniendo en cuenta la expresión
del campo de velocidades del sólido rígido, la velocidad de la partícula v se puede escribir como
v = vG + ω × r '
(3.17)
Si sustituimos esta expresión en la anterior y tenemos en cuenta que r ' = r − rG ,
obtenemos
d ( r − rG )
d
× v dm =
∫V r '× ( vG + ω × r ' ) dm − ∫V
dt
dt
d
d
=
∫V r '× vG dm +
∫ r '× ω × r ' dm − ∫V ( v − vG ) × v dm =
dt
dt V
d
=
∫ r '× ω × r ' dm + ∫V vG × v dm
dt V
donde la integral
Ne =
(
)
∫V r '× vG dm = ∫V r ' dm × vG = 0
(3.18)
(3.19)
se cancela por contener el momento estático de primer orden respecto al centro de
gravedad.
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Cap. 3: Dinámica del sólido rígido
(
) (
)
Aplicando la fórmula a × ( b × c ) = b aT c − c aT b obtenemos
d
Ne =
∫ r '× ω × r ' dm + ∫V vG × v dm =
dt V
d 
T
T
=
∫V  ω r ' r ' − r ' r ' ω  dm + vG × ∫V v dm =
dt
d  T
r ' r ' ω − r ' r 'T  dm ω + vG × ( mvG )
=
∫

dt V 
(
(
)
(
)
(3.20)
)
=0
donde I es la matriz identidad de 3 × 3 . La integral que aparece en la ecuación (3.20)
es, por definición, el tensor de inercia referido al centro de gravedad IG . Llamando (x’,
y’, z’) a las componentes del vector r ' , podemos escribir la expresión del tensor de
inercia como
x '  1 0 0   x ' 
 
  
IG = ∫V [{x ' y ' z '}  y '  0 1 0  −  y '  {x ' y ' z '}] dm =
 z '  0 0 1   z ' 
 
  
 y '2 + z '2
 Ix
−x ' y '
−x ' z ' 
− I xy



= ∫V  − x ' y ' x '2 + z '2
− y ' z '  dm =  − I yx
Iy


2
2
−y' z ' x ' + y' 
 − x ' z '
 − I zx − I zy

− I xz 

− I yz 

I z 
(3.21)
Finalmente, la ecuación (3.20) se puede escribir en la forma
d
(3.22)
Ne =
IG ω = IG α + IG ω
dt
Puesto que las columnas de la matriz IG son vectores constantes cuando están
expresados en un sistema de referencia rígidamente unido al sólido, podemos utilizar
la regla de derivación u = ω × u con cada columna. Entonces, la expresión final que
obtenemos es
N e = IG α + ω × IG ω
(3.23)
Estas tres ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de Euler. Su correcta utilización es uno de los temas fundamentales que se estudian en Mecánica Clásica.
Sobre ellas se pueden hacer las siguientes consideraciones:
• Las ecuaciones de Euler, en la forma expresada por la ecuación (3.23), solamente se pueden aplicar al centro de gravedad.
• Se deja al alumno, como ejercicio, la tarea de demostrar que la ecuación (3.23)
se puede aplicar también a un punto fijo O.
• El tensor de inercia IG no es constante, ya que está referido al sistema fijo {0} .
Para que IG sea constante es necesario expresar las ecuaciones de Euler en el
sistema de referencia del sólido {s} , para lo que hay que premultiplicar la
ecuación (3.23) por la matriz de rotación s R0 , obteniendo
s
N e = s IG s ω + s ω × s IG s ω
(3.24)
• La relación entre los tensores de inercia IG y s IG se deduce fácilmente, y vale
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Cap. 3: Dinámica del sólido rígido
IG = 0 Rs s IG 0 RTs
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(3.25)
• En el caso plano, las ecuaciones de Euler son especialmente simples. Podemos
considerar que toda la masa está concentrada en el plano z=0, de manera que
Ixz=Iyz=0. Por tanto, la forma que adoptan las ecuaciones es:
s
e
s
s
s
s
N = IG ω + ω × IG
0   I x
  
+  0  ×  − I yx
ω 
   0
− I xy
Iy
0
s
 Ix

ω =  − I yx
 0

0

0
I z 
− I xy
Iy
0
0

0
I z 
0 
 
0  +
 
α 
0   0 
  

0  =  0 
 ω  I α 
   z 
(3.26)
Como se ve, dos de las tres ecuaciones son triviales, por lo que en la práctica
sólo se utiliza la ecuación escalar
N e = sIz α
(3.27)
3.2.3. Principio de D’Alembert
En las dos Secciones precedentes hemos demostrado que las leyes de Newton conducen directamente a las ecuaciones de Newton-Euler cuando éstas son aplicadas a un
sólido rígido. Dichas ecuaciones son:
F e = m aG
(3.28)
N e = IG α + ω × IG ω
(3.29)
Definamos, por conveniencia, un sistema de fuerzas ficticio que llamaremos fuerzas de inercia. Previamente, recordemos que para definir correctamente un sistema de
fuerzas es necesario especificar su fuerza resultante y su momento resultante respecto
de un punto cualquiera. En nuestro caso, definimos la resultante de las fuerzas de
inercia Fie y el momento resultante de las fuerzas de inercia respecto al centro de
gravedad Nie (también llamado a veces momento giroscópico), como
Fie = −m aG
(3.30)
Nie = −IG α − ω × IG ω
(3.31)
Con esta definición podemos reescribir las ecuaciones de Newton-Euler como
Fe + Fie = 0
(3.32)
N e + Nie = 0
(3.33)
El principio de D’Alembert se basa en estas dos ecuaciones, y establece que cuando a un cuerpo que se mueve se le añaden como fuerzas actuantes las fuerzas de inercia, el cuerpo se encuentra en equilibrio estático.
Veamos un ejemplo que ilustra la aplicación del principio de D’Alembert.
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).
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Cap. 3: Dinámica del sólido rígido
Ejemplo 1. La Figura 3.2 muestra un péndulo
compuesto por una barra de longitud L y masa M,
uniformemente distribuida, que está inicialmente en
reposo a 45º. La barra se deja libre, sin velocidad
inicial, y cae por efecto de la gravedad. Para calcular
la aceleración angular α con la que comienza su caída, así como las reacciones en los apoyos, utilizamos
el principio de D’Alembert.
La Figura 3.3 muestra el diagrama de sólido libre de la barra, en el que se han incluido las fuerzas
de inercia. La resolución del problema se hace aplicando las ecuaciones de la estática. Tomando momentos en la articulación, tenemos
Y
X
=45º
G
L, M
2
L
L 2
− Mg
=0
4
2 2
Teniendo en cuenta que I z = 1 /12 ML2 , y despejando la aceleración angular, resulta
Izϕ + M ϕ
ϕ=
Figura 3.2.
Ry
Mϕ
Rx
L
2
Iz ϕ
3g 2
4L
Mϕ 2
L
2
Mg
Figura 3.3.
Ejemplo 2. En el mecanismo biela-manivela de la Figura 3.4, la manivela gira
con velocidad angular constante ω al ser accionada por un par motor τ desconocido.
Sabiendo que la manivela y el acoplador tienen masa despreciable y que la masa de la
deslizadera es M, calcular el par motor cuando la manivela forma un ángulo de 45º.
Figura 3.4. Mecanismo biela-manivela.
En primer lugar, es necesario resolver la cinemática del mecanismo, para lo que
calculamos la velocidad del punto B por medio de la ecuación
v B = v A + v BA
© Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).