La transformada de Fourier: propiedades y aplicaciones

La transformada de Fourier:
propiedades y aplicaciones
Russell Wade: He tought me the mathematics of anatomy, but he could not
teach me the poetry of medicine
(The body snatcher, Robert Wise, 1945).
El concepto matemático que hoy conocemos como transformada de
Fourier fue introducido por Joseph B. Fourier en 1811, en conexión con
un tratado sobre la propagación del calor, mediante un argumento de paso al límite (del discreto al continuo) a partir de las series que también
llevan su nombre. La transformada de Fourier –y el análisis armónico en
general– constituye hoy una de las herramientas más útiles para el estudio
y el tratamiento de múltiples aspectos de las ecuaciones en derivadas parciales. Podría decirse que en este ámbito desempeña un papel análogo al
de la transformada de Laplace en el campo de las ecuaciones diferenciales
ordinarias, permitiendo simplificaciones notables en las ecuaciones toda
vez que contribuye a transformar derivadas en potencias, esto es, operadores diferenciales en polinomios. Es también significativo el papel que
la transformada de Fourier juega en el terreno de las aplicaciones, fundamentalmente en teoría de la señal, teoría cuántica de campos, tomografía
y tratamiento y digitalización de imágenes.
Definición y primeras propiedades. Funciones de
Schwartz y distribuciones temperadas
Aunque el concepto de transformada de Fourier puede introducirse directamente sobre funciones de L1 (Rd ) y adquiere pleno sentido, comenzaremos estudiándolo, por razones que serán expuestas más adelante, sobre
1
2
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
el espacio de Schwartz S(Rd ) constituido por las funciones de clase C ∞ (Rd )
que decrecen rápidamente en infinito; esto es, aquellas funciones φ : Rd → R
infinitamente derivables en el sentido usual que, junto con todas sus derivadas, decrecen más rápidamente que cualquier potencia de |1x| cuando
| x | → ∞. Dicho de otro modo:
lı́m | x α D β φ( x )| = 0 ∀ α, β ∈ (N ∪ {0})d ,
| x |→∞
α
donde x α = x1α1 . . . xd d , D β φ =
∂| β| φ
β
β
∂x1 1 ...xd d
y | β| = β 1 + β 2 + . . . + β d . Un
ejemplo obvio de funciones que pertenecen al espacio de Schwartz son las
de D(Rd ). La familia numerable de seminormas
kφkα,β = sup | x α D β φ( x )|
x ∈Rd
da lugar a una topología en S(Rd ) generada por intersecciones finitas de
bolas definidas con respecto a tales seminormas, mientras que la convergencia de una sucesión {φn } ⊂ S(Rd ) hacia φ ∈ S(Rd ) ha de entenderse
del modo
lı́m {kφn − φkα,β } = 0
n→∞
para cualesquiera multiíndices α y β.
El dual topológico de S(Rd ) (denotado S 0 (Rd )) está formado por todos
los operadores lineales y continuos definidos sobre S(Rd ), y sus elementos reciben el nombre de distribuciones temperadas. Tal denominación no
es fortuita ni inapropiada, pues los objetos de S 0 (Rd ) lo son también de
D 0 (Rd ) (cf. Ejercicio 2). Por otra parte, el concepto de convergencia en este
espacio es el propio de la topología débil ?: una sucesión { Tn } ⊂ S 0 (Rd )
converge hacia T ∈ S 0 (Rd ) si
lı́m h Tn , φiS 0 ,S = h T, φiS 0 ,S
n→∞
∀ φ ∈ S(Rd ) .
El lector interesado puede consultar [Sch] para obtener información más
detallada a este respecto.
Ejemplo 1. Enumeramos a continuación algunos elementos destacados
en el espacio de las distribuciones temperadas.
(a) El espacio de Schwartz es denso en L p (Rd ) para todo 1 ≤ p < ∞ (no
olvidemos que contiene a D(Rd )) y, por supuesto, S(Rd ) ⊂ L∞ (Rd )
aunque la inyección no sea densa. En consecuencia, para todo 1 ≤
3
p ≤ ∞ se dispone de la inclusión natural L p (Rd ) ⊂ S 0 (Rd ) definida
a partir de
T f (φ) =
Z
Rd
f ( x )φ( x ) dx ,
f ∈ L p (Rd ) ,
φ ∈ S(Rd ) .
(1)
En particular, también se tiene S(Rd ) ⊂ S 0 (Rd ).
(b) Los polinomios en Rd pueden identificarse con distribuciones temperadas, así como las funciones medibles acotadas por polinomios
(conocidas como funciones de crecimiento
n lento). En efecto, dada f :
d
R → R tal que | f ( x )| ≤ C 1 + | x | para C > 0 y algún n ∈ N,
entonces T f : S(Rd ) → R definida como en (1) es una distribución
temperada, dado que
Z
T f (φ) ≤ C
Rd
n
1 + | x | |φ( x )| dx < ∞ ,
pues (1 + | x |)n φ ∈ S(Rd ) ⊂ L1 (Rd ).
(c) La delta de Dirac, definida como δx (φ) = φ( x ) cualquiera que sea
φ ∈ S(Rd ), es una distribución temperada. Es más, cualquier elemento T ∈ D 0 (Rd ) con soporte compacto es identificable con una
e ∈
distribución temperada, en el sentido en que existe una única T
0
d
d
S (R ) cuya restricción a D(R ) coincide con T. En efecto:
Sean B ⊂ Rd una bola abierta y Φ ∈ D(Rd ) tales que
sop( T ) ⊂ B ⊂ sop(Φ) ,
Φ = 1 en B .
Para cualquier φ ∈ S(Rd ) es claro que φΦ ∈ D(Rd ), por lo que cabe
e : S(Rd ) → R de la siguiente manera:
definir una aplicación lineal T
e(φ) := T (φΦ) .
T
Si Ψ ∈ D(Rd ), entonces ΨΦ ∈ D(Rd ) y ΨΦ = Ψ en B, de modo
que sop(ΨΦ − Ψ) ⊂ Bc , luego T (ΨΦ) = T (Ψ) y, en consecuencia,
e(Ψ) = T (Ψ). Dicho de otro modo, T
e extiende a T.
T
e supongamos en primer lugar que
Para verificar la continuidad de T
d
{φn } → 0 en S(R ), de donde se desprende inmediatamente que
también {φn Φ} → 0 en S(Rd ). Como además sop(φn Φ) ⊂ sop(Φ)
para todo n ∈ N, se
que {φn Φ} → 0 en D(Rd ). Podemos afir tiene e(φn ) = T (φn Φ) → 0, de modo que T
e es
mar entonces que T
continua en S(Rd ).
José L. López
4
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
e bastaría con admitir la
Finalmente, para demostrar la unicidad de T
existencia de Se ∈ S 0 (Rd ) coincidente con T en D(Rd ), y comproe En efecto, T
e − Se ∈ S 0 (Rd ) y se anula en
bar que ha de ser Se = T.
D(Rd ), que a su vez es un conjunto denso en S(Rd ). Un teorema de
extensión clásico (Teorema BLT) nos permite concluir el argumento.
La razón principal para comenzar estudiando la transformada de Fourier sobre esta clase de funciones estriba en el hecho de que es actuando
sobre S(Rd ) (o bien sobre S 0 (Rd )) cuando el operador inverso de Fourier
cobra sentido a priori, pues la transformada de Fourier es cerrada para estos espacios (como se demostrará más avanzado el capítulo) en tanto que
no lo es para L1 (Rd ). En otras palabras, trabajando el concepto de transformada de Fourier en cualquiera de estos dos espacios tenemos garantizado
de antemano el buen planteamiento de su construcción inversa.
Definición 1 (Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier
en el espacio de Schwartz). La transformada de Fourier F [φ] : Rd → C de
una función φ ∈ S(Rd ) (también denotada a menudo φ̂) se define como
F [φ](y) =
Z
Rd
φ( x ) e−ix·y dx .
(2)
La transformada inversa de Fourier de φ es la función
F
−1
1
[φ](y) =
(2π )d
Z
Rd
φ( x ) eix·y dx .
(3)
Aunque el marco funcional en el que la transformada de Fourier así
definida tiene pleno sentido es bastante más amplio, baste de momento
indicar que si f ∈ L1 (Rd ) entonces las integrales (2) y (3) están obviamente
bien definidas para todo y ∈ Rd . Además sabemos que S(Rd ) ⊂ L1 (Rd ),
por lo que la definición anterior es válida para cualquier función de S(Rd ).
Definición 2 (Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier
de una distribución temperada). La transformada de Fourier de un funcional T ∈ S 0 (Rd ) es un funcional F [ T ] : S(Rd ) → C que se define en
términos de la siguiente identidad:
F [ T ](φ) = T (F [φ]) ∀ φ ∈ S(Rd ) .
La transformada inversa de Fourier de T es el funcional
1
F
[
T
]
Rφ
,
F −1 [ T ](φ) =
(2π )d
donde R denota el operador de reflexión.
(4)
(5)
5
Obsérvese que para que esta definición tenga sentido es necesario que
se cumpla F [φ] ∈ S(Rd ), lo cual será verificado en breve por medio del
Teorema 3. En este mismo resultado se comprobará asimismo que la transformada de Fourier de una distribución temperada es otra distribución
temperada.
A continuación estudiamos algunas de las propiedades más relevantes de la transformada de Fourier. Para ello introducimos previamente las
definiciones correspondientes a la acción del operador de traslación sobre
una distribución temperada, la acción de una distribución temperada sobre una homotecia, y el producto de un polinomio, de un cambio de fase
y de una función de la clase de Schwartz por una distribución temperada:
Definición 3. Dados T ∈ S 0 (Rd ), α = (α1 , . . . , αd ) un multiíndice, λ ∈
R \ {0} y x, a ∈ Rd , se definen las siguientes distribuciones temperadas:
(i) x α T (φ) := T ( x α φ),
(ii) τa T (φ) := T (τ−a φ),
(iii) T (λx )(φ) := T |λ1|d φ
x
λ
,
(iv) eia· x T (φ) := T eia· x φ ,
(v) ψT (φ) := T (ψφ),
para cualesquiera φ, ψ ∈ S(Rd ).
Teorema 1. Las siguientes propiedades son satisfechas:
(a) [Transformada de Fourier de una derivada] Para cualesquiera φ ∈
S(Rd ), T ∈ S 0 (Rd ) y α un multiíndice, se cumple
F [ D α φ ] = i |α| yα F [ φ ] ,
F [ ∂α T ] = i |α| x α F [ T ] .
Nótese que en estas identidades D α y ∂α denotan cualquier derivada
de orden α en el sentido clásico y distribucional, respectivamente.
(b) [Diferenciación de la transformada de Fourier] Para cualesquiera φ ∈
S(Rd ), T ∈ S 0 (Rd ) y α un multiíndice, se cumple
D α (F [φ]) = F [(−i )|α| x α φ] ,
∂α (F [ T ]) = F [(−i )|α| yα T ] .
Como en (a), en las identidades anteriores D α y ∂α denotan cualquier
derivada de orden α en el sentido clásico y distribucional, respectivamente.
José L. López
6
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
(c) [Transformada de Fourier de una traslación] Para cualesquiera φ ∈
S(Rd ) y T ∈ S 0 (Rd ), se cumple
F [τa φ] = e−ia·y F [φ] ,
F [τa T ] = e−ia·x F [ T ] ,
donde τa denota el operador de traslación por el vector a ∈ Rd .
(d) [Traslación de la transformada de Fourier] Para cualesquiera φ ∈
S(Rd ) y T ∈ S 0 (Rd ), se cumple
τa F [φ] = F [eia· x φ] ,
τa F [ T ] = F [eia·y T ] ,
para todo a ∈ Rd . Como en el ítem anterior, τa denota el operador de
traslación por el vector a ∈ Rd .
(e) [Transformada de Fourier de un grupo de escala] Para cualesquiera
φ ∈ S(Rd ), T ∈ S 0 (Rd ) y λ ∈ R \ {0}, se cumple
y
y
1
1
, F [ T (λx )] =
.
F [φ]
F [T ]
F [φ(λx )] =
λ
λ
|λ|d
|λ|d
(f) [Simetría L2 : identidad de Parseval y fórmula de Plancherel] Para
cualesquiera φ, ψ ∈ S(Rd ), se cumple
Z
Rd
F [φ](y)ψ(y) dy =
Z
Rd
φ(y)F [ψ](y) dy ,
(6)
de donde se deduce
1
hF [φ], F [ψ]i L2 (Rd ) Identidad de Parseval
(2π )d
1
=
kF [φ]k L2 (Rd ) Fórmula de Plancherel
d
(2π ) 2
hφ, ψi L2 (Rd ) =
k φ k L2 (Rd )
(g) [Transformada de Fourier de un producto de convolución] Para cualesquiera φ, ψ ∈ S(Rd ) y T ∈ S 0 (Rd ), se cumple
F [φ ∗ ψ] = F [φ]F [ψ] ,
F [ T ∗ φ] =
1
F [φ]F [ T ] ,
(2π )d
donde la convolución T ∗ φ se define como ( T ∗ φ)( x ) := T (τx Rφ).1
1 Obsérvese
que basta con que T y φ mantengan entre ellas una relación de dualidad
topológica para dar sentido a esta expresión. Por consiguiente, tan válida como esta definición es para los casos en que T ∈ D 0 (Rd ) y φ ∈ D(Rd ), o bien T ∈ D 0 (Rd ) con soporte
compacto y φ ∈ C ∞ (Rd ), lo es si T ∈ S 0 (Rd ) y φ ∈ S(Rd )
7
(h) [Continuidad y caída en infinito] Para toda φ ∈ S(Rd ), F [φ] es una
función continua y acotada en Rd . Además, {F [φ](y)} → 0 en C si
|y| → ∞.
Demostración. (a) Se tiene
F [ D φ](y) =
α
Z
α
D φ( x ) e
Rd
Z
= i |α| yα
Rd
−ix ·y
dx = (−1)
|α|
Z
Rd
φ( x ) D α (e−ix·y ) dx
φ( x ) e−ix·y dx = i|α| yα F [φ](y) ,
para lo que se ha utilizado la fórmula clásica de integración por partes.
En el caso distribucional se tiene
F [∂α T ](φ)
=
∂α T F [φ] = (−1)|α| T D α F [φ]
(b)
=
(−1)|α| T F (−i )|α| x α φ = i|α| F [ T ]( x α φ)
De f . 3 (i )
i|α| x α F [ T ](φ) .
=
(b) Se tiene
D F [φ](y) = D
α
=
α
Z
Rd
Z
Rd
φ( x ) e
−ix ·y
dx =
Z
Rd
φ( x ) D α e−ix·y dx
φ( x ) (−i )|α| x α e−ix·y dx = F [(−i )|α| x α φ](y) .
En el caso distribucional se tiene
∂α (F [ T ])(φ) = (−1)|α| F [ T ] D α φ = (−1)|α| T F [ D α φ]
De f . 3 (i)
( a)
= (−1)|α| T i|α| yα F [φ]
= (−i )|α| yα T F [φ]
= F (−i )|α| yα T (φ) .
(c) Se tiene
F [τa φ](y) =
Z
= e
Rd
φ( x − a) e
−ia·y
Z
Rd
−ix ·y
dx =
Z
Rd
φ(u) e−i(u+a)·y du
φ(u) e−iu·y du = e−ia·y F [φ](y) .
En el caso distribucional se tiene
F [τa T ](φ) = τa T F [φ]
De f . 3 (ii )
= F [ T ] e−ia·x φ
=
(d)
T τ−a F [φ] = T F [e−ia· x φ]
De f . 3 (iv) −ia· x
=
e
José L. López
F [ T ](φ) .
8
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
(d) Se tiene
τa F [φ](y) =
Z
Rd
φ( x ) e−ix·(y−a) dx = F [eia· x φ](y) .
En el caso distribucional se tiene
τa F [ T ](φ)
De f . 3 (ii )
=
De f . 3 (iv)
=
(c)
F [ T ] τ−a φ = T F [τ−a φ] = T eia·y F [φ]
eia·y T F [φ] = F eia·y T (φ) .
(e) Si λ 6= 0, se tiene
F [φ(λx )](y) =
=
Z
Rd
φ(λx ) e−ix·y dx
1
|λ|d
Z
u
Rd
φ(u) e−i λ ·y du =
y
1
F
[
φ
]
.
λ
|λ|d
En el caso distribucional
F [ T (λx )](φ)
=
De f . 3 (iii )
=
=
T (λx ) F [φ]
x 1
T
F [φ]
= T F [φ(λy)]
d
λ
|λ|
y
De f . 3 (iii) 1
=
F
[
T
]
F [ T ] φ(λy)
(φ) .
λ
|λ|d
(f) Se tiene
Z
Rd
Z
Z
φ( x ) e−ix·y dx ψ(y) dy
d
Rd Z
ZR
=
φ( x )
ψ(y) e−ix·y dy dx
F [φ](y)ψ(y) dy =
=
ZR
d
Rd
Rd
φ( x )F [ψ]( x ) dx .
La identidad de Parseval se obtiene a partir de (6) tomando F [ψ] = ϕ,
de donde se desprende que ψ = (2π )−d F [ ϕ] (véase el Teorema 2 que
viene a continuación). Finalmente, para obtener la fórmula de Plancherel
basta con elegir ψ = φ en la identidad de Parseval y extraer raíces cuadradas.
9
(g) Se tiene
Z
(φ ∗ ψ)( x ) e−ix·y dx
Z
=
φ( x − ξ )ψ(ξ ) dξ e−ix·y dx
d
Rd
ZR
Z
−iξ ·y
φ( x − ξ )e−i( x−ξ )·y dx dξ
=
ψ(ξ ) e
F [φ ∗ ψ](y) =
d
ZR
Rd
Rd
= F [φ](y)F [ψ](y) .
Por otra parte, al tener en cuenta la interpretación distribucional de la
convolución se obtiene lo siguiente:
F [ T ∗ φ](ψ)
=
( T ∗ φ) F [ψ] = T Rφ ∗ F [ψ]
1
1
T
F
F
[
φ
]
ψ
=
F
[
T
]
F
[
φ
]
ψ
=
(2π )d
(2π )d
De f . 3 (v)
1
=
F [φ]F [ T ](ψ) ,
(2π )d
donde se ha usado que F 2 [φ] = (2π )d Rφ en virtud del cálculo siguiente:
Z
Z Z
2
−iy·z
−ix ·y
F [φ](z) =
F [φ](y)e
dy =
φ( x )e
dx e−iy·z dy
d
d
d
R
R
R
Z
Z Z
F [1]( x + z)φ( x ) dx
e−iy·( x+z) dy φ( x ) dx =
=
Rd
Rd
Rd
Ejemplo 2 ( a)
=
(2π )d
Z
Rd
δ0 ( x + z)φ( x ) dx = (2π )d ( Rφ)(z) .
(7)
(h) La continuidad de F [φ] se desprende de la siguiente desigualdad:
Z
F [φ](y) − F [φ](y0 ) ≤
|φ( x )|e−ix·y − e−ix·y0 ,
Rd
pues basta con tomar una sucesión {yn } → y0 y observar que el integrando está acotado por 2|φ( x )| y converge puntualmente hacia cero. Entonces
el teorema de la convergencia dominada nos permite concluir.
Que F [φ] es una función acotada es de verificación inmediata, pues
|F [φ](y)| ≤ kφk L1 (Rd ) para todo y ∈ Rd .
Comprobemos finalmente que {F [φ](y)} tiende a cero cuando |y| →
∞. Para ello escribimos
F [φ](y) =
Z
Rd
= −
φ( x )e
Z
Rd
−ix ·y
φ( x )e
dx = −
πy
−i x +
| y |2
Z
·y
Rd
φ( x )e−i( x·y+π ) dx
dx = −
José L. López
Z
πy φ z − 2 e−iz·y dz ,
|y|
Rd
10
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
luego
Z πy −iz·y e
dz
2 F [φ](y) = φ(z) − φ z − 2
|y|
Rd
Z πy ≤
φ
(
z
)
−
φ
z
−
dz .
| y |2
Rd
Finalmente, usando el resultado del Ejercicio 13 del capítulo anterior se
obtiene que
(
πy
lı́m φ(·) − φ · − 2 |y| |y|→∞
)
= 0,
L1 (Rd )
y por consiguiente {F [φ](y)} → 0.
En el siguiente resultado justificamos el nombre de transformada inversa de Fourier que acompaña a F −1 en las definiciones 1 y 2. Comprobaremos que, en efecto, se trata del operador inverso de la transformada
de Fourier F .
Teorema 2 (Fórmula de inversión de Fourier en S(Rd )). Sea φ ∈ S(Rd ).
Entonces
Z
1
φ( x ) =
F [φ](y) eiy·x dy
(2π )d Rd
para todo x ∈ Rd .
2
Demostración. Consideramos la función gaussiana G( x) = e−π | x| y definimos la siguiente sucesión de funciones: Gn ( x ) = G
F [ Gn ](y) = nd F [ G ](ny)
x
n
. Entonces
(8)
en virtud del Teorema 1 (e). Además
Z
Rd
= nd
Z
Z
F [φ](y) Gn (y) dy =
φ(y)F [ Gn ](y) dy
Rd
Z
y
φ(y)F [ G ](ny) dy =
φ
F [ G ](y) dy ,
n
Rd
Rd
F [φ](y) G
Z
y
n
dy =
Rd
donde se ha usado (8), el teorema de cambio de variable y la propiedad
de simetría (f) del Teorema 1. Si tomamos ahora el límite n → ∞, una
11
aplicación del teorema de la convergencia dominada2 nos conduce a la
siguiente identidad:
G (0)
Z
Rd
F [φ](y) dy = φ(0)
Z
Rd
F [ G ](y) dy .
(9)
| y |2
Como G (0) = 1 y F [ G ](y) = e− 4π (véase el Ejemplo 2 (c) más abajo),
podemos reescribir (9) de la siguiente forma:
Z
Rd
F [φ](y) dy = (2π )d φ(0) .
(10)
Aplicando finalmente la fórmula (10) al operador de traslación τ− x obtenemos
Z
F [τ−x φ](y) dy = (2π )d φ( x ) .
(11)
Rd
eiy· x F [φ](y)
Pero F [τ− x φ](y) =
en virtud del Teorema 1 (c), de modo que
al reemplazar esta identidad en el primer miembro de la fórmula (11) se
obtiene la propiedad deseada.
El siguiente resultado pone de manifiesto, entre otras propiedades, que
la clase de Schwartz S(Rd ) y la clase de las distribuciones temperadas
S 0 (Rd ) son cerradas tanto para la transformada de Fourier como para la
correspondiente transformada inversa.
Teorema 3. La transformada de Fourier es un homeomorfismo lineal de
S(Rd ) en S(Rd ) y de S 0 (Rd ) en S 0 (Rd ).
Demostración. La llevamos a cabo en dos etapas:
Primera etapa: F : S(Rd ) → S(Rd ) es un homeomorfismo lineal. Sea φ ∈
S(Rd ).
(a) [F es cerrada en S(Rd )] Claramente F [φ] es continua en virtud del
Teorema 1 (h). Con respecto a su derivabilidad se dispone de la propiedad (a) del Teorema 1:
D α (F [φ])( x ) = F [(−i )|α| yα φ]( x ) .
Como la función (−i )|α| yα φ pertenece claramente a S(Rd ) (puesto
que φ ∈ S(Rd )) sabemos que su transformada de Fourier es continua, luego podemos afirmar que D α (F [φ]) es continua cualquiera
2 Ver
Ejercicio 6
José L. López
12
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
que sea el multiíndice α o, equivalentemente, que F [φ] pertenece a
C ∞ (Rd ). Falta por comprobar que F [φ] decrece rápidamente en infinito, lo cual equivale a demostrar que, dado p( x ) = ∑nβ=1 c β x β un
polinomio de grado arbitrario, el producto pD α (F [φ]) tiende a cero.
En efecto, usando la linealidad de la aplicación φ 7→ F [φ] (que es
inmediata) y la propiedad (b) del Teorema 1 se tiene que
n
β
p( x ) D α (F [φ])( x )
=
c
x
∑ β F [(−i)|α| yα φ](x) (12)
Teor. 1 ( a)
=
F
β =1
h n
∑
i
c β (−i )|α|+| β| D β (yα φ) ( x ) (,13)
β =1
que se anula en infinito en virtud del Teorema 1 (h).
(b) [Bicontinuidad] De (13) se desprende inmediatamente que
p( x ) D α (F [φ])( x ) ≤
n
∑ |c β |
β =1
Z
Rd
| D β (yα φ)| dy < ∞ .
Esta estimación permite concluir la continuidad de φ 7→ F [φ], dado
que para p( x ) = x β se tiene
β
kF [φ]k β,α ≤
∑ |Ck,α,β |kφkα−k,β−k
k =0
en virtud de la regla de Leibniz para la derivación de un producto,
donde Ck,α,β denota una constante positiva que depende de los valores de α, β y k. La continuidad de la aplicación inversa se sigue
inmediatamente de la relación F −1 = (2π )−2d F 3 (véase el Ejemplo
2 (a)).
(c) [Biyectividad] Dada ψ ∈ S(Rd ), basta con elegir φ = F −1 [ψ] para
tener F [φ] = ψ, de donde se desprende la sobreyectividad de F .
Finalmente, si F [φ] = F [ψ] entonces F [φ − ψ] = 0, y tomando la
transformada inversa se concluye que φ − ψ = 0 en S(Rd ), luego la
inyectividad de F .
Segunda etapa: F : S 0 (Rd ) → S 0 (Rd ) es un homeomorfismo lineal.
(a) [F es cerrada en S 0 (Rd )] Sean T ∈ S 0 (Rd ) y {φn } ⊂ S(Rd ) con
{φn } → φ en S(Rd ). Por continuidad de la transformada de Fourier
se tiene que {F [φn ]} → F [φ] en S(Rd ), luego
{F [ T ](φn )} = { T (F [φn ])} → T (F [φ]) = F [ T ](φ) .
13
Por otra parte, la linealidad de F [ T ] actuando sobre S(Rd ) es de
verificación inmediata, de donde se concluye que F [ T ] ∈ S 0 (Rd ).
(b) [Linealidad] Sean α, β ∈ R y T, S ∈ S 0 (Rd ). Entonces
F [αT + βS](φ) = (αT + βS)(F [φ]) = αT (F [φ]) + βS(F [φ])
= α(F [ T ])(φ) + β(F [S])(φ)
para toda Φ ∈ S(Rd ).
(c) [Bicontinuidad] Sea { Tn } ⊂ S 0 (Rd ) tal que { Tn } → T en S 0 (Rd ).
Entonces, para toda φ ∈ S(Rd ) se verifica
{F [ Tn ](φ)} = { Tn (F [φ])} → T (F [φ]) = F [ T ](φ) ,
luego F : S 0 (Rd ) → S 0 (Rd ) es continua. La transformada inversa de
Fourier F −1 : S 0 (Rd ) → S 0 (Rd ) también es continua, toda vez que
F −1 = (2π )−2d F 3 (remitimos nuevamente al Ejemplo 2 (a)).
(d) [Biyectividad] Si S ∈ S 0 (Rd ), podemos definir
T (φ) := S(F −1 [φ])
∀ φ ∈ S(Rd ) .
Claramente F [ T ] = S, luego F : S 0 (Rd ) → S 0 (Rd ) es sobreyectiva. Para verificar la inyectividad supongamos que F [ T ] = 0. Entonces T (F [φ]) = 0 para toda φ ∈ S(Rd ). Como F : S(Rd ) →
S(Rd ) es sobreyectiva, esta última condición se puede reformular
como T (ψ) = 0 para toda ψ ∈ S(Rd ) y, por consiguiente, T ≡ 0 y
F : S 0 (Rd ) → S 0 (Rd ) es inyectiva.
Ejemplo 2. Detallamos a continuación algunos ejemplos de cálculo de la
transformada de Fourier, ya sea en el ámbito de la clase de Schwarz como
en el de las distribuciones temperadas, haciendo especial hincapié en los
elementos de análisis complejo necesarios para llevarlo a cabo con rigor.
(a) Comprobemos que F [δx0 ]( x ) = e−ix0 · x en el sentido de las distribuciones temperadas. En efecto, las siguientes identidades son satisfechas:
F [δx0 ](φ) = δx0 (F [φ]) = F [φ]( x0 ) =
José L. López
Z
Rd
φ( x )e−ix· x0 dx = T f (φ) ,
14
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
con f ( x ) = e−ix0 · x . Si en la expresión anterior tomamos x0 = 0 se
obtiene la propiedad
F [δ0 ] = 1 ,
de donde se deduce que δ0 = F −1 [1] =
1
F [1] y, en consecuencia,
(2π )d
F [1] = (2π )d δ0 .
Al hilo de estas propiedades podemos verificar cómodamente la relación F −1 = (2π )−2d F 3 usada con anterioridad. En (7) ya se dedujo
que F 2 [φ] = (2π )d Rφ, luego
3
F [φ](ω ) = (2π )
d
= (2π )d
Z
d
ZR
Rd
( Rφ)(z) e−iz·ω dz
φ(z) eiz·ω dz = (2π )2d F −1 [φ](ω )
después de haber aplicado en repetidas ocasiones el teorema de Fubini.
(b) La siguiente identidad es una consecuencia inmediata del enunciado
(b) del Teorema 1 y del ejemplo anterior:
F [ x α ] = i|α| ∂α (F [1]) = (2π )d i|α| ∂α δ0 .
(c)
√
y2
π − 4α2
e
.
|α|
2 2
F [e−α x ](y)
=
integrando se obtiene
F [ e−α
2 x2
](y) =
1 − y22
=
e 4α
|α|
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
e
En efecto, completando cuadrados en el
e−α
2 x2 −ix · y
−(λ+ 2αi y)2
dx = e
−
y2
4α2
Z ∞
i
−∞
2
e−(αx+ 2α y) dx
1 − y22
− u2
dλ =
e
du .
e 4α
|α|
Im(u)= 2αy
Z
Basta entonces con verificar que la recta del plano complejo Im(u) =
y
2α puede transportarse al eje real Im( u ) = 0, ya que en ese caso podríamos escribir
Z
Im(u)= 2αy
e
− u2
du =
Z ∞
−∞
2
e−λ dλ =
√
π,
(14)
obteniendo con ello el resultado esperado. Para comprobar la propiedad (14) consideramos el contorno rectangular c R de la Figura 2.
15
2
Como la función e−u es holomorfa y c R una curva cerrada, para todo
R > 0 se tiene que
Z
2
cR
e−u du = 0 ,
u = λ + iτ ,
(15)
en virtud del teorema de Cauchy. En los segmentos
c2R
yo
,
= λ = − R, 0 ≤ τ ≤
2α
n
se verifica
c4R
yo
= λ = R, 0 ≤ τ ≤
2α
n
2 2
2
−u − R2 +τ2 −2iλτ e = e
= e− R +τ ,
cantidad que tiende a cero para valores R → ∞, de modo que
lı́m
nZ
R→∞
e
c2R
− u2
du +
Z
c4R
o
2
e−u du = 0 .
Usando entonces (15) obtenemos
lı́m
nZ
R→∞
cR
e
− u2
o
du = 0 = lı́m
nZ
R→∞
c2R
e
− u2
du +
Z
c4R
o
2
e−u du ,
luego
0 = lı́m
R→∞
nZ
2
c3R
e−u du +
Z
c1R
o Z
2
e−u du =
∞
−∞
2
e−λ dλ −
Z
2
y
τ = 2α
e−u du ,
de donde se desprende (14).
(d) Si d = 3,
1
2π 2
=
F
.
|y|
| x |2
En primer lugar observamos que la función f ( x ) =
1
| x |2
pertenece
a L1loc (R3 ) y decae en infinito, por lo que puede identificarse con la
distribución temperada T f : S(Rd ) → R definida como T f (φ) =
R φ( x )
R3 | x |2 dx (cf. Ejercicio 3). Teniendo en cuenta que
1
1
=− 2
2
|x|
|x|
Z ∞
d
0
dt
e−πt
2 | x |2
dt = 2π
José L. López
Z ∞
0
te−πt
2 | x |2
dt ,
16
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
c1R
r
c2R
c4R
-R
c3R
0
R
Figura 1: Contorno de integración en (14)
se tiene que
F [φ]( x )
F [ T f ](φ) = T f F [φ] =
dx
3
| x |2
R
Z Z ∞
2
2
= 2π
te−πt | x| dt F [φ]( x ) dx
3
0
ZR∞ Z
−πt2 | x |2
= 2π
t
e
F [φ]( x ) dx dt
R3
0
Z ∞ Z
2
1
− |x| 2
4πt
= 2π
e
φ( x ) dx dt ,
2
R3
0 t
Z
para lo que se ha empleado el teorema de Fubini y el hecho de que
Z
R3
e
−πt2 | x |2
1
F [φ]( x ) dx = 3
t
Z
R3
e
−
| x |2
4πt2
φ( x ) dx
en virtud de la identidad de Parseval (Teorema 1 (f)) y del ejemplo
expuesto en (c). Bastará, pues, con calcular
2π
Z ∞
1 − |x|22
4πt
0
t
e
2
dt =
2π
|x|
Z ∞
0
s2
e− 4π ds =
2π 2
.
|x|
(e) La transformada de Fourier de la función característica del intervalo
[− a, a] ⊂ R ( a > 0),
1 si x ∈ [− a, a]
χ[−a,a] ( x ) =
,
0 si x ∈
/ [− a, a]
17
es
2
F χ[−a,a] (y) = sen( ay) .
y
(f) El siguiente ejemplo es un ejercicio interesante de integración com
2
pleja. Calculemos F eiα| x| , donde x ∈ Rd y α > 0. Como
2
2
2
2
eiα| x| = eiαx1 eiαx2 . . . eiαxd ,
bastará con calcular la transformada de Fourier de la función f ( x ) =
2
eiαx con x ∈ R. Considerando la identificación de esta función con
la correspondiente distribución temperada T f y construyendo la sucesión de funciones
f ( x ) si − n < x < n
f n (x) =
,
0 si | x | ≥ n
es inmediato concluir que { T f n } → T f en S 0 (R) o, dicho de otro
modo,
{ T f n (φ)} =
nZ
n
−n
2
eiαx φ( x ) dx
o
→
Z ∞
−∞
2
eiαx φ( x ) dx = T f (φ)
para toda φ ∈ S(R). Entonces la continuidad de la transformada de
Fourier (cf. Teorema 3) asegura que {F [ T f n ]} → F [ T f ] en S 0 (R), por
lo que (abusando del lenguaje)
F [ f ](y) =
lı́m
n→∞
= e
y2
−i 4α
= 2e
F [ f n ](y) =
Z ∞
−∞
y2
−i 4α
e
Z ∞
0
iα(
Z ∞
−∞
y 2
x − 2α
eix(αx−y) dx
2
) dx = e−i y4α
2
eiαξ dξ
Z ∞
−∞
2
eiαξ dξ
(16)
sin más que completar cuadrados en el integrando. Para resolver la
R∞
2
integral 0 eiαξ dξ utilizamos el contorno Γ = OABO en el plano
complejo (véase la Figura 2).
2
Como la función z 7→ eiαz es holomorfa y la curva Γ es cerrada, el
teorema de Cauchy garantiza que
Z
2
Γ
eiαz dz = 0 .
José L. López
18
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
B
R
p
ÄÄÄÄ
4
>
0
A
Figura 2: Contorno de integración en (16)
Por tanto, se tiene
Z R
0
e
iαξ 2
dξ = −
Z
AB
e
iαz2
dz −
Z
2
BO
eiαz dz .
(17)
Comenzamos comprobando que la primera de las integrales del segundo miembro de (17) converge a cero cuando R → ∞. En efecto, a
lo largo de la trayectoria AB se tiene que z = Reiθ (la parte radial se
mantiene fija y cambia solo el ángulo), por lo que
Z
lı́m R→∞
AB
2
eiαz dz
n Z
= lı́m R
R→∞
1
R2
0
n Z
≤ lı́m R
R→∞
1
R2
0
e
iαR2 e2iθ iθ
e
e dθ +
−αR2
π
4
1
R2
sen(2θ ) dθ +
n 1
−αR2 sen
R 2 +e
R
R→∞
≤ lı́m
Z
2
R2
e
Z
o
e dθ iαR2 e2iθ iθ
π
4
1
R2
2
e−αR sen(2θ ) dθ
o
π
1 o
− 2
= 0.
4
R
π
√
Por otro lado, a lo largo de BO se tiene que z = ξei 4 = 22 (1 + i )ξ (la
parte angular se mantiene fija y cambia solo el radio), con ξ variando
19
entre R y 0. En este caso
√
Z
BO
e
iαz2
2
dz = −
(1 + i )
2
Z R
0
√
e
−αξ 2
dξ = −
2(1 + i )
√
2 α
Z √αR
0
2
e−ξ dξ ,
de modo que (17) puede reescribirse de la siguiente forma:
Z R
0
Como
√
e
R∞
0
iαξ 2
dξ = −
2
e−ξ
Z
AB
√
dξ =
π
2 ,
Z ∞
0
e
iαz2
dz +
2(1 + i )
√
2 α
Z √αR
0
2
e−ξ dξ .
(18)
al pasar al límite R → ∞ en (18) se deduce
√
e
iαξ 2
dξ =
2π (1 + i )
√
.
4 α
(19)
Por tanto, a raíz de la fórmula (16) se obtiene
√
2π (1 + i ) −i y2
√
F [ f ](y) =
e 4α .
2 α
(20)
Finalmente,
√
F e
iα| x |2
(y) =
2π (1 + i )
√
2 α
!d
e −i
| y |2
4α
.
(g) A continuación proponemos otra forma de resolver el problema abordado en (g) bajo la hipótesis (más general) α ∈ C. Consideramos el
caso n = 1 y, tratando α como variable, definimos
2
f (y, α) = F eiαx (y) .
(21)
Un cálculo sencillo que involucra a las propiedades expuestas en el
Teorema 1 (a) y (b) nos conduce a la identidad
iy f (y, α) = F
h d 2 i
2
∂f
eiαx
(y) = F [2iαxeiαx ](y) = −2α (y, α) ,
dx
∂y
de donde se obtiene la siguiente ecuación lineal en derivadas parciales:
∂f
y
(y, α) + i f (y, α) = 0 .
(22)
∂y
2α
José L. López
20
Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
Resolviendo (22) llegamos a la expresión
y2
f (y, α) = C (α)e−i 4α ,
(23)
donde C (α) es una constante a determinar que depende de α.
Derivando ahora en (21) con respecto a α y volviendo a hacer uso del
Teorema 1 (b) observamos que
h
i
2
∂f
∂2 f
(y, α) = F ix2 eiαx (y) = −i 2 (y, α) ,
∂α
∂y
de donde se deduce una nueva ecuación en derivadas parciales que
ha de ser satisfecha por f :
∂2 f
∂f
(y, α) + i 2 (y, α) = 0 .
∂α
∂y
(24)
Sustituyendo (23) en (24) obtenemos la siguiente ecuación diferencial
para C (α):
1
C 0 (α) + C (α) = 0 ,
2α
por lo que
θ
K
K
C ( α ) = √ = p e −i 2
(25)
α
|α|
después de considerar la representación polar α = |α|eiθ .
Solamente resta determinar el valor de la constante K. Para ello evaluamos f (y, i ) en (21) y (23) y aplicamos
√el cálculo llevado a cabo en
(c), de donde se desprende que C (i ) = π. Sustituyendo finalmente
en (25) se obtiene
√
2π
K=
(1 + i ) ,
2
luego
r
y2
θ
π
f (y, α) =
(1 + i ) e−i 2 e−i 4α .
2| α |
Es inmediato comprobar que esta expresión se reduce a (20) cuando
0 < α ∈ R.
21
La transformada de Fourier en L p (Rd )
Estudiamos en la última parte de este capítulo aquellas propiedades
de la transformada de Fourier que describen su comportamiento en el
ambiente de los espacios de Lebesgue. Según la construcción hecha previamente y en virtud del Teorema 3, la transformada de Fourier de una
función f ∈ L p (Rd ) puede identificarse con una distribución temperada.
Comenzamos observando que, además, F [ f ] es también una función si
1 ≤ p ≤ 2.
d
Teorema 4 (Plancherel). La aplicación (2π )− 2 F : L2 (Rd ) → L2 (Rd ) es un
isomorfismo isométrico, es decir: si f ∈ L2 (Rd ), entonces F [ f ] ∈ L2 (Rd ) y
d
kF [ f ]k L2 (Rd ) = (2π ) 2 k f k L2 (Rd ) .
Demostración. La conclusión es cierta cualquiera que sea φ ∈ S(Rd ), tal
se expuso ya en el Teorema 1 (f). Como además S(Rd ) es denso en L2 (Rd ),
el operador transformada de Fourier extiende la igualdad entre las normas
a toda función de L2 (Rd ).
Teorema 5 (Desigualdad de Hausdorff–Young). Si f ∈ L p (Rd ) para algún
0
1 ≤ p ≤ 2, entonces F [ f ] ∈ L p (Rd ) y se cumple
d
kF [ f ]k L p0 (Rd ) ≤ (2π ) p0 k f k L p (Rd ) .
Observación 1. La igualdad se alcanza en el teorema anterior si y solamente si f es una función gaussiana de la forma
f ( x ) = k e−h x,Axi+hb,xi ,
donde k ∈ R, A es una matriz real simétrica y definida positiva y b ∈ Rd .
Esta caracterización fue demostrada por E. Lieb en [Li].
Demostración. Claramente F : L1 (Rd ) → L∞ (Rd ) y, en virtud del teorema de Plancherel (Teorema 4), también F : L2 (Rd ) → L2 (Rd ). Además, se
tiene que
kF [ f ]k L∞ (Rd ) ≤ k f k L1 (Rd ) ,
d
kF [ f ]k L2 (Rd ) = (2π ) 2 k f k L2 (Rd ) .
José L. López
22
Aplicación I: cálculo de la solución fundamental
Esto nos sitúa en condiciones de poder aplicar el teorema de interpolación
de Riesz–Thorin (véase el siguiente documento) con p0 = 1, q0 = ∞, p1 =
d
q1 = 2, M0 ≤ 1 y M1 = (2π ) 2 , lo que permite concluir la prueba.
Los textos [Duo], [RS2], [DL] y [DMc] son muy recomendables a distintos niveles para contrastar y ampliar los contenidos aquí expuestos sobre
integrales de Fourier.
Aplicación I: cálculo de la solución fundamental
La transformada de Fourier es una herramienta particularmente potente para el estudio de ecuaciones en derivadas parciales lineales con
coeficientes constantes. Ilustremos con algunos ejemplos sencillos la forma habitual de proceder.
Ejemplo 3 (Ecuación de Laplace). Consideramos el problema
d
∂2 u
−∆u = − ∑ 2 = f
i =1 ∂xi
(26)
en Rd , donde f ∈ L2 (Rd ), con el propósito de encontrar una fórmula explícita para la solución u : Rd → R. Para ello aplicamos la transformación
de Fourier a la ecuación (26) y obtenemos el problema equivalente
|y|2 F [u](y) = F [ f ](y)
(27)
donde hemos utilizado la propiedad (b) del Teorema 1. A diferencia de
(26), la ecuación (27) es algebraica y se resuelve de forma inmediata:
F [u](y) =
F [ f ](y)
,
| y |2
por lo que
u( x ) = F
−1
F [ f ](y)
.
| y |2
Utilizando ahora la parte (g) del Teorema 1 encontramos
u( x ) =
f ∗F
−1
1
| y |2
(x) .
(28)
23
F −1
h
1
| y |2
i
Calculamos seguidamente
. Como
R
2
∞
α > 0, se tiene que |y1|2 = 0 e−|y| t dt. Entonces
1
α
=
R∞
0
e−αt dt para todo
Z ∞ Z
1
1
ix ·y−|y|2 t
=
e
dy dt .
(29)
F
| y |2
(2π )d 0
Rd
√
Si consideramos ahora z = bx − √a i para cualesquiera a, b ∈ R con
2 b
b > 0, es fácil comprobar que
−1
2
2
e−a /4b
e
dx = √
e−z dz ,
R
Γ
b
n
o
donde Γ = z ∈ C : Im(z) = − √a . Deformando Γ en el eje real se tiene
Z
Z
iax −bx2
2 b
Z
2
Γ
e−z dz =
Z ∞
−∞
2
e− x dx =
√
π.
Por tanto,
Z
R
e
iax −bx2
2
dx = e
− a4b
r
π
.
b
(30)
Finalmente
Z
Rd
e
ix ·y−|y|2 t
dy =
d Z
∏
j =1 R
e
ix j y j −y2j t
dy j =
π 2d
t
e−
| x |2
4t
(31)
como consecuencia de (30). Entonces, de (29) y (31) se concluye que
Z ∞
2
1
1
−1
− d2 − | x4t|
√
t
e
F
=
dt .
| y |2
(2 π ) d 0
Luego la solución de (26) se puede expresar explícitamente a través de la
siguiente fórmula integral:
u( x ) =
Z ∞Z
0
1
Rd
e−
d
| x − y |2
4t
(4πt) 2
f (y) dy dt .
(32)
Ejemplo 4 (Ecuación del calor). Consideramos el siguiente problema de
valores iniciales para la ecuación del calor:
∂u
d
∂t ( x, t ) − ∆u ( x, t ) = 0 en R × (0, ∞ ) .
(33)
u( x, 0) = u0 ( x ) en Rd
José L. López
24
Aplicación I: cálculo de la solución fundamental
Si aplicamos a este problema la transformada de Fourier con respecto a la
variable espacial obtenemos el siguiente problema lineal equivalente:
(
∂F [u]
2
d
∂t ( y, t ) + | y | F [ u ]( y, t ) = 0 en R × (0, ∞ ) .
F [u](y, 0) = F [u0 ](y) en Rd
Resolviendo para F [u] por el método de separación de variables encontramos
2
F [u](y, t) = e−|y| t F [u0 ](y) .
Por tanto,
2
2 u( x, t) = F −1 e−|y| t F [u0 ](y) = F −1 e−|y| t ∗ u0 ( x, t) .
(34)
Usando (31) podemos calcular
2
F −1 [e−|y| t ]( x, t) =
1
(2π )d
Z
2
Rd
eix·y−|y| t dy =
| x |2
d
1
√ d t− 2 e− 4t .
(2 π )
Luego la fórmula (34) puede reescribirse como
u( x, t) =
1
Z
(4πt)
d
2
Rd
e−
| x − y |2
4t
u0 (y) dy ,
x ∈ Rd , t > 0 .
(35)
Ejemplo 5 (Ecuación de Schrödinger). Consideramos a continuación el
siguiente problema de valores iniciales para la ecuación de Schrödinger:
d
i ∂u
∂t ( x, t ) + ∆u ( x, t ) = 0 en R × (0, ∞ ) ,
u( x, 0) = ϕ( x ) en Rd
(36)
donde ahora la función u toma valores complejos.
Si formalmente reemplazamos t por it en el segundo miembro de (35)
se obtiene la siguiente fórmula:
u( x, t) =
1
(4πit)
Z
d
2
Rd
e
i | x − y |2
4t
ϕ(y) dy
x ∈ Rd , t > 0
(37)
(véase√el argumento siguiente para justificar la elección que debe hacerse de i). Es obvio que esta expresión tiene pleno sentido para tiempos
positivos toda vez que ϕ ∈ L1 (Rd ). La razón de considerar el cambio de
25
variable t 7→ it radica en el hecho de que si |y|2 ϕ ∈ L1 (Rd ) entonces u
(dada por la fórmula (37)) resuelve la ecuación de Schrödinger
i
∂u
( x, t) + ∆u( x, t) = 0
∂t
en Rd × (0, ∞) ,
como se deduce fácilmente de un cálculo directo.
También puede seguirse un procedimiento análogo al llevado a cabo
para la ecuación del calor, salvo que en este caso se tiene
2
F [u](y, t) = e−i|y| t F [u0 ](y) .
Por tanto
2
u( x, t) = F −1 [e−i|y| t ] ∗ u0 ( x, t) .
Aplicando entonces lo expuesto en (h) del Ejemplo 2 (con α = −t y θ = π)
se calcula
i | x |2
2 1
d 4t
F −1 e−i|y| t ( x, t) =
,
(
1
−
i
)
e
d
(8πt) 2
expresión que puede reinterpretarse en términos de una raíz cuadrada de
la unidad, a saber:
√
1
i = √ (1 + i ) ,
(38)
2
d
pues en tal caso 2i 2 = (1 − i )d y puede escribirse
2 F −1 e−i|y| t ( x, t) =
1
d
(4πit) 2
e
i | x |2
4t
,
luego u viene dada por (37).
Ejemplo 6 (Ecuación de ondas). Consideramos a continuación el siguiente problema de valores iniciales para la ecuación de ondas:
( 2
∂ u
( x, t) − ∆u( x, t) = 0 en Rd × (0, ∞)
∂t2
.
(39)
d
u( x, 0) = u0 ( x ) , ∂u
∂t ( x, 0) = u1 ( x ) en R
Aplicando la transformada de Fourier con respecto a la variable espacial a
este problema (como en el caso anterior) se obtiene el siguiente problema
equivalente:
(
∂2
F [u](y, t) + |y|2 F [u](y, t) = 0 en Rd × (0, ∞)
∂t2
,
(40)
F [u](y, 0) = F [u0 ](y) , ∂F∂t[u] (y, 0) = F [u1 ](y) en Rd
José L. López
26
Aplicación II: teoría de la señal
que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en t (con coeficientes constantes) para cada y ∈ Rd fijo. De la ecuación característica
asociada λ2 + |y|2 = 0 obtenemos λ = ±i |y|, por lo que un sistema fundamental de soluciones es { cos(|y|t), sen(|y|t)}, es decir,
F [u](y, t) = A(y) cos(|y|t) + B(y) sen(|y|t)
con A, B : Rd → C. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales de (40) se
deduce fácilmente que
A = F [u0 ](y) ,
B=
F [u1 ](y)
,
|y|
de donde
F [u](y, t) =
i F [u ](y) F [u0 ](y) i|y|t
1
e
+ e −i | y | t −
ei | y | t − e −i | y | t .
2
2| y |
Por tanto,
i F [u ](y) F [u0 ](y) i|y|t
1
−i | y | t
i |y|t
−i | y | t
u( x, t) = F
e
+e
−
e
−e
2
2| y |
Z
i
1
F [u0 ](y) h i(x·y+|y|t)
i ( x ·y−|y|t)
e
+
e
dy
=
2
(2π )d
Rd
Z
i i
F [u1 ](y) h i(x·y+|y|t)
i ( x ·y−|y|t)
−
e
−e
dy
2 Rd
|y|
−1
para todo x ∈ Rd y t ≥ 0.
Aplicación II: teoría de la señal
La motivación para el empleo de la transformada de Fourier en la teoría
matemática del tratamiento de señales reside en la descomposición característica de una señal (representada por una función u( x )) como superposición infinita de señales más fácilmente tratables:
u( x ) =
∑
an einωx ,
n ∈N
iωx representa un
donde ω = 2π
T es una frecuencia asociada al periodo T y e
ω
armónico (es decir, la señal correspondiente a una frecuencia pura ν = 2π
).
27
Los problemas matemáticos abordados por la transformada de Fourier
en el contexto de la teoría de la señal responden típicamente al siguiente
esquema: un sistema recibe (como entrada) una señal f y emite (como salida) una señal g, donde f y g vienen descritas por funciones que dependen
del tiempo. Entonces se nos plantea en primer lugar el
(a) problema de identificación del sistema, supuesto que f y g son conocidas,
o bien el
(b) problema consistente en el cálculo de la señal de salida g, supuesto
que el input f y el sistema son conocidos.
De naturaleza distinta es el llamado
(c) problema de filtraje de la señal, en el que el sistema recibe el nombre
de filtro y actúa como tal sobre la señal.
Llamemos F al operador asociado al filtro, de modo que F ( f ) = g. Sobre
el filtro se consideran las siguientes tres hipótesis:
(i) F es lineal: F (λ1 f 1 + λ2 f 2 ) = λ1 F ( f 1 ) + λ2 F ( f 2 ).
(ii) El filtro es estacionario (es decir, invariante con respecto al tiempo).
(iii) F es invariante por traslaciones: F ( f (t − τ )) = g(t − τ ).
El único operador que satisface las hipótesis (i)–(iii) es el de convolución,
de modo que existirá una función h : R → R que verifica
F ( f (t)) = g(t) = ( f ∗ h)(t) =
Z ∞
−∞
f (t − τ )h(τ ) dτ .
La función h se interpreta como la respuesta del filtro ante un impulso.
En efecto, si f = δ (aquí la masa de Dirac representa el impulso) entonces
g = δ ∗ h = h. Por otra parte, si f (t) = eiωt entonces
g(t) = ( f ∗ h)(t) =
= e
iωt
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
h(τ )eiω (t−τ ) dτ
h(τ )e−iωτ dτ = F [h](ω ) f (t) .
José L. López
28
Aplicación II: teoría de la señal
En este caso es F [h] la que determina la respuesta al impulso f y recibe el
nombre de función de transferencia del filtro. Además, acabamos de observar
que
F (eiωt ) = F [h](ω ) eiωt ,
lo cual indica que eiwt es un vector propio del filtro con valor propio asociado F [h](ω ). En la práctica, la expresión gráfica de la transformada de
Fourier de una señal es la representación (compleja) en el espacio de frecuencias de la misma, llamada espectro.
Otro ejemplo interesante de filtro es el siguiente. Sea f una función de
t ∈ R. La base de la construcción del filtro consistirá en reemplazar f (t)
por su valor promedio f (t) sobre un intervalo de longitud τ, es decir:
1
f (t) =
τ
Z t+ τ
2
t− τ2
1
f (s) ds =
τ
Z ∞
−∞
χ[t− τ ,t+ τ ] f (s) ds =
2
2
Z ∞
−∞
h(t − s) f (s) ds ,
donde la función h : t 7→ τ1 χ[t− τ ,t+ τ ] recibe el nombre de ventana cuadrada y
2
2
la señal filtrada es f (t) = (h ∗ f )(t). En este caso la función de transferencia
viene dada por
sen(πωτ )
,
F [h](ω ) =
πωτ
luego
sen(πωτ )
F [ f ](ω ) = F [h](ω )F [ f ](ω ) =
F [ f ](ω ) ,
πωτ
y el factor
1
τ
puede adaptarse a la banda de frecuencias útil de la señal f .
Ejercicios
1. Sea p( x ) un polinomio con coeficientes reales en la variable x. Encuentra condiciones suficientes y necesarias para que la función x 7→
e p( x) pertenezca al espacio de Schwartz.
2. Demuestra que las distribuciones temperadas son auténticas distribuciones, es decir: dada T ∈ S 0 (Rd ), su restricción a D(Rd ) es un
elemento de D 0 (Rd ).
3. Se define el valor principal de la función 1x del siguiente modo:
Z
Φ( x )
1
dx , ∀Φ ∈ S(Rd ) .
V.P. (Φ) := lı́m
x
x
ε → 0+
| x |>ε
Comprueba que se trata de una distribución temperada.
4. Considérese la función f : R → R definida como
1 − | x | si | x | ≤ 1 ,
f (x) =
.
0 si | x | > 1
(a) Calcula F [ f ]. ¿Es continua? ¿Es integrable en R en el sentido de
Lebesgue?
(b) Usando el resultado de (a), comprueba que
Z ∞ sin(t) 4
2π
dt =
.
t
3
−∞
5. Sea f : R → R una función perteneciente a L1 (R) cuya transformada de Fourier es F [ f ](y) = 0 para todo y ∈ R. Demuestra que
necesariamente f = 0 c.p.d. en R.
6. Demuestra que la transformada de Fourier de una distribución esféricamente simétrica (es decir, invariante bajo transformaciones ortogonales) es otra distribución esféricamente simétrica. Si además la
29
30
Ejercicios
distribución es real, entonces su transformada de Fourier es también
real.
7. Sea
n
G = u a,b : R → R, u a,b ( x ) := e
− a ( x − b )2
: a > 0, b ∈ R
o
el conjunto formado por todas las funciones gaussianas. Usando la
transformada de Fourier y sus propiedades, prueba que G es denso en L2 (R).
Sugerencia: como la transformada de Fourier es un operador unitario,
basta con demostrar que F [ G ] es denso en L2 (R). Para ello es conveniente utilizar la caracterización de densidad en espacios de Hilbert:
un subconjunto M de un espacio de Hilbert H es denso en H si y
solamente si
hu, vi = 0 ∀v ∈ M ⇒ u = 0 .
La verificación de esta propiedad se basa en el Ejercicio 5.
8. Comprueba la aplicabilidad del teorema de la convergencia dominada en el paso al límite que conduce a la identidad (9).
9. Comprueba que la desigualdad de Hausdorff–Young (Teorema 5) no
es válida para p > 2. Considera para ello funciones gaussianas de la
forma
2
g( x ) = e−(a+ib)π | x| , a > 0 .
10. Usa la transformada de Fourier para calcular la solución fundamental de la siguiente ecuación en derivadas parciales (Vlasov–Fokker–
Planck) que rige la evolución de f = f ( x, v, t):
f t + v f x = f vv + (v f )v + f xv + f xx .
11. Sea T > 0. Llamamos peine de Dirac de periodo T a la distribución
∆( x ) =
∑
δ( x − nT ) .
n ∈Z
Demuestra que la transformada de Fourier de un peine de Dirac de
periodo T es un peine de Dirac de periodo 2π
T . Concretamente,
1
F ∑ δ( x − nT ) =
T
n ∈Z
h
i
2nπ ∑ δ x− T .
n ∈Z
31
Sugerencia: Evalúa en x = 0 el desarrollo en serie de Fourier (con
respecto a la base trigonométrica) de la función Φ : R → R definida
por
2nπ ,
Φ( x ) = ∑ ϕ x +
T
n ∈Z
donde ϕ ∈ S(R) es una función arbitraria.
12. Una mejora importante del teorema de Hausdorff–Young fue llevada
a cabo por W. Beckner en 1975, quien probó la siguiente desigualdad:

kF [ f ]k L p0 (Rd ) ≤  p
1
p
1
4π 2 p0
p0
d
2
 kfk p d ,
L (R )
1 ≤ p ≤ 2.
¿Es óptima? ¿Por qué?
13. En este ejercicio estudiamos los valores propios y las funciones prod
pias del operador transformada de Fourier T = (2π )− 2 F .
(a) Prueba que al aplicar cuatro veces el operador T se obtiene la
identidad.
(b) Usando el resultado de (a), comprueba que λ = ±1, ±i son los
únicos valores propios de T.
(c) Demuestra que las funciones de Hermite
Hn ( x ) =
(−1)n kxk2 dn −kxk2 e 2
e
,
n!
dx n
n ≥ 0,
son funciones propias de T asociadas a los valores propios descritos en (b).
(d) Encuentra un punto fijo de T.
14. Usa la transformada de Fourier para demostrar que la solución de la
ecuación integral
Z ∞
−∞
e−| x−y| u(y) dy − 2u( x ) = f ( x )
es u = 21 ( g − f ), donde g es el resultado de integrar f dos veces.
Encuentra u para el caso particular en que f ( x ) = e−| x| .
José L. López
32
Ejercicios
15. Discute razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a) La función f ( x ) = e x no es una distribución temperada, aunque
sí es una distribución.
(b) Si f ∈ L2 (Rd ), entonces F [ f ] es continua.
(c) Bajo hipótesisRadecuadas sobre f : R → R, su momento de
∞
primer orden ∞ x f ( x ) dx puede escribirse como i (F [ f ])0 (0).
(d) Si f ∈ L1 (R) es una función impar, entonces la transformada seno
de Fourier de f definida como
Z ∞
0
f ( x ) sen( xy) dx
coincide con 2i F [ f ](y).
16. Sean f : R3 → R tal que f ∈ L1 (R3 ) ∩ L2 (R3 ) y
V (x) =
1
∗f
|x|
el potencial coulombiano generado por f . Demuestra la siguiente desigualdad:
1
5
2
kF [V ]k L1 (R3 ) ≤ 3(2π ) 3 k f k L3 1 (R3 ) k f k L3 2 (R3 ) .
Sugerencia: Estudia separadamente el comportamiento de kF [V ]k L1 (R3 )
dentro y fuera de la bola euclídea de radio R y optimiza con respecto
a R.
17. Sea ψ ∈ L2 (R) tal que kψk L2 (R) = 1 y
Z
R
|F [ψ](y)|2
dy = C (ψ) < ∞ .
|y|
Se define la transformada wavelet continua de f ∈ L2 (R) como
1
w[ f ]( a, b) = p
| a|
Z
R
f ( x )ψ
Demuestra las siguientes propiedades:
x − b
a
dx .
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados
33
(a) Si f , g ∈ L2 (R), entonces
Z Z
R R
1
w[ f ]( a, b)w[ g]( a, b) da db = C (ψ)
| a |2
Z
R
f ( x ) g( x ) dx .
(b) f es Hölder continua de orden α si y solamente si existe C > 0
tal que
1
|w[ f ]( a, b)| ≤ | a|α+ 2 .
18. Sea f ∈ L2 (Rd ). La transformada inversa de Fourier de |F [ f ]|2 recibe el nombre de transformada de Patterson de f (y la denotamos por
P [ f ]), la cual se emplea con frecuencia en cristalografía para medir la
densidad electrónica de un cristal a partir de las intensidades del espectro difractado correspondiente a una determinada radiación (por
ejemplo, rayos x). Demuestra que
P [ f ]( x ) =
Z
Rd
f ( x + y) f (y) dy .
19. Sean f ∈ S(Rd ) y u( xd ) := f (0, . . . , 0, xd ). Comprueba que
F xd 7→ξ d [u](ξ d ) =
1
(2π )d−1
Z
Rd −1
F x7→ξ [ f ](ξ ) dξ 1 . . . dξ d−1 .
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios
planteados
2. La linealidad es obvia. Supongamos entonces que {Φn } → 0 en
d
D(Rd ). En tal caso existirá un
βK ⊂ R tal que sop(Φn ) ⊂ K
compacto
para todo n ∈ N y lı́mn→∞ supx∈K D Φn ( x ) = 0 para cualquier
multiíndice β. Por consiguiente
n
o
o
n
kΦn kα,β = sup x α D β Φn ( x ) ≤ Cα sup D β Φn ( x ) → 0 ,
x ∈K
x ∈K
donde Cα denota una constante positiva tal que | x α | ≤ Cα para todo x ∈ K. De ello se desprende que {Φn } → 0 en S(Rd ), luego
{ T (Φn )} → T (0) (por hipótesis) y T es continua en D(Rd ).
José L. López
34
3. La linealidad es obvia. Para verificar la continuidad observamos en
primer lugar que
Z ∞
Z ∞
1
Φ( x ) − Φ(− x )
Φ( x ) − Φ(− x )
dx =
dx .
V.P. (Φ) = lı́m
x
x
x
ε →0+
ε
0
Por otra parte, para todo x > 0 se tiene
Z x
Φ( x ) − Φ(− x ) ≤ 1
|Φ0 (z)| dz ≤ 2kΦ0 k∞ .
x
x −x
Considerando entonces {Φn } → 0 en S(Rd ), se tiene
Z 1 Z ∞ Φ
(
x
)
−
Φ
(−
x
)
Φ
(
x
)
−
Φ
(−
x
)
1
n
n
n
n
dx +
dx
x
V.P. (Φn ) ≤
x
x
x2
1
0
≤ 2kΦ0n k∞ + 2k xΦn k∞ = 2 kΦn k0,1 + kΦn k1,0 → 0 ,
de donde se desprende la continuidad de V.P. 1x en S(Rd ).
4. Consideramos la función f : R → R definida como
1 − | x | si | x | ≤ 1 ,
f (x) =
.
0 si | x | > 1
(a) Se tiene
F [ f ](y) =
=
Z ∞
−∞
Z 0
−1
Z 1
f (x) e
−ixy
dx =
Z 1
(1 + x ) e−ixy dx +
−ixy
Z 0
(1 − | x |) e−ixy dx
−1
Z 1
0
(1 − x ) e−ixy dx
Z 1
xe
dx −
x e−ixy dx
−1
−1
0
d 1
i −iy
iy
iy
−iy
e
−e −
2−e −e
=
y
dy y
2
d 1 − cos(y)
1 − cos(y)
=
sen(y) − 2
=2
.
y
dy
y
y2
=
e
dx +
−ixy
Es claro que F [ f ] es continua, ya que en el origen F [ f ](0) = 1.
Para observar que es integrable en en el sentido de Lebesgue,
comprobaremos que puede identificarse con el límite en L1 (R)
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados
35
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-10
-5
5
10
Figura 3: Representación gráfica de las funciones f y F [ f ] del Ejercicio 3.
de una sucesión de funciones integrables. En efecto, considerando la sucesión f n := F [ f ]χ(−n,n) obtenemos3
0 ≤
lı́m
n→∞
Z
∞
|F [ f ]( x ) − f n ( x )| dx
−∞
Z ∞
1 − cos( x )
= 2 lı́m
1 − χ(−n,n) dx
n→∞
x2
−∞
Z −n
Z ∞
1 − cos( x )
1 − cos( x )
= 2 lı́m
dx +
dx
n→∞
x2
x2
n
−∞
Z ∞
1 − cos( x )
1 ∞
= 4 lı́m
dx ≤ 8 lı́m −
= 0.
n→∞
n→∞
x n
x2
n
(b) Evaluando F [ f ] en 2x se obtiene fácilmente
1
F [ f ](2x ) =
2
1 − cos(2x )
x2
=
sen( x )
x
2
,
por lo que, en virtud del teorema de Plancherel (Teorema 62),
que cada una de las funciones f n es (Riemann) integrable en R por ser
continua y acotada en el intervalo (−n, n)
3 Obsérvese
José L. López
36
puede concluirse que
Z ∞
Z ∞ sin( x ) 4
dx = 2
2
|F [ f ](2x )|2 dx
x
−∞
−∞
=
Z ∞
2
|F [ f ](y)| dy = 2π
−∞
= 4π
Z 1
0
(1 − y)2 dy =
Z ∞
−∞
| f (y)|2 dy
4π
.
3
5. Cualquier f ∈ L1 (R) induce una distribución temperada definida
por
Z ∞
T f (Φ) =
f ( x )Φ( x ) dx ,
−∞
según lo establecido en (1). Por tanto, tiene sentido hacer actuar la
transformada de Fourier sobre T f y lo que obtenemos es otro elemento de S 0 (R) dado por
F [ T f ](Φ) = T f (F [Φ]) =
Z ∞
−∞
f ( x )F [Φ]( x ) dx ,
Φ ∈ S(R) .
Finalmente, basta con apelar al lema fundamental del cálculo de variaciones para asegurar que ha de cumplirse f = 0 c.p.d. si la expresión anterior se anula para toda Φ ∈ S(R).
2
9. Consideremos, por ejemplo, la función f ( x ) = e−πx con x ∈ R (correspondiente a las elecciones a = 1 y b = 0 en la familia del enunciado). Por una parte se tiene
1 1/p
,
k f k L p (R) = √
p
mientras que, por otra parte,
F [ f ](y) = e
y2
− 4π
y
kF [ f ]k L p0 (R) =
2π
p
p0
!1/p0
.
Si la desigualdad de Hausdorff–Young (Teorema 5) fuese cierta para
valores p > 2, tendría que cumplirse
!1/p0
1 1/p
2π
1/p0
p
≤ (2π )
,
√
p
p0
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados
37
0.04
0.02
2
3
4
5
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
Figura 4: Representación gráfica de la función x1/x−1/2 − ( x − 1)1/2x−1/2 que aparece en el Ejercicio 7.
o equivalentemente
p1/p−1/2 − ( p − 1)1/2p−1/2 ≤ 0 .
(41)
Claramente la igualdad se alcanza para p = 2; sin embargo, el primer
miembro de (41) se vuelve estrictamente positivo para valores de p
mayores que 2 (véase la Figura 4).
10. Aplicando la transformada de Fourier F = F x7→η,v7→ξ y sus propiedades a la ecuación de Vlasov–Fokker–Planck obtenemos
∂F [ f ]
∂F [ f ]
∂F [ f ]
− 2πη
= −ξ 2 F [ f ] − 2πξ
− ξη F [ f ] − η 2 F [ f ] ,
∂t
∂ξ
∂ξ
dado que
F [(v f ) x ] = iη F [v f ] = iη Fv7→ξ [v] ∗ξ F [ f ] = −2πη
∂F [ f ]
,
∂ξ
F [ f vv ] = −ξ 2 F [ f ] ,
F [(v f )v ] = iξ F [v f ] = iξ Fv7→ξ [v] ∗ξ F [ f ] = −2πξ
∂F [ f ]
,
∂ξ
F [ f xv ] = −ξη F [ f ] ,
F [ f xx ] = −η 2 F [ f ] .
Obsérvese que para el cálculo de F [(v f ) x ] y F [(v f )v ] se ha utilizado
además el resultado del Ejemplo 2 (b).
José L. López
38
Agrupando convenientemente se obtiene
∂F [ f ]
∂F [ f ]
− 2π (η − ξ )
= −(ξ 2 + η 2 + ξη )F [ f ] .
∂t
∂ξ
Las curvas características asociadas a esta ecuación de transporte son
Φ0 (t) = 0 con Φ(0) = η − ξ ,
Θ0 (t) = −2πΦ(t) con Θ(0) = ξ ,
es decir,
Φ(t) = η − ξ ,
Θ(t) = ξ − 2π (η − ξ )t .
Es claro que
d
F [ f ](t, Φ(t), Θ(t))
dt
= −(Θ(t)2 + Φ(t)2 + Θ(t)Φ(t))F [ f ](t, Φ(t), Θ(t)) ,
de donde resulta
F [ f ](t, η − ξ, ξ − 2π (η − ξ )t) = e
−
Rt
−
Rt
0
Θ(s)2 +Φ(s)2 +Θ(s)Φ(s) ds
η 2 +ξ 2 −ηξ −2π (η 2 −ξ 2 )s+4π 2 (η −ξ )2 s2 ds
=e 0
2
2
2
2 2 4 2
2 3
= e−(η +ξ −ηξ )t+π (η −ξ )t − 3 π (η −ξ ) t
previa consideración del dato inicial F [ f ](0, η, ξ ) = F [δ0 ( x, v)] = 1,
como corresponde al cálculo de la solución fundamental para una
ecuación de evolución. Deshaciendo ahora el cambio de variables
η − ξ 7→ η y ξ − 2π (η − ξ )t 7→ ξ llegamos a la siguiente expresión
para F [ f ]:
F [ f ](t, η, ξ ) = e−(η
2 + ξ 2 + ηξ ) t − πη ( η +2ξ ) t2 − 4 π 2 η 2 t3
3
.
A completar por el alumno.
11. Dada una función ϕ ∈ S(R) arbitraria, definimos Φ : R → R como
2nπ Φ( x ) := ∑ ϕ x +
.
T
n ∈Z
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados
Claramente Φ es periódica de periodo
rrollo en serie de Fourier de la forma
Φ( x ) =
39
2π
T . Por tanto, admite un desa-
∑ ck eikTx ,
k ∈Z
con
ck = T
=T
=T
1
T
Z
∑
0
Z
Φ( x ) e−ikTx dx = T
1
T
n ∈Z 0
Z
R
ϕ x+
n
T
e
−ikTx
1
T
Z
0
n −ikTx
ϕ
x
+
e
dx
∑
T
n ∈Z
dx = T
∑
n ∈Z
n +1
T
Z
n
T
ϕ(y) e−ikT (y−
2nπ
T )
dy
ϕ(y) e−ikTy dy = T F [ ϕ](kT ) .
Luego
Φ( x ) = T
∑
F [ ϕ](nT ) einTx .
n ∈Z
La teoría clásica de series de Fourier nos permite afirmar que la igualdad anterior es válida puntualmente, ya que Φ ∈ C1 (R). Por tanto,
evaluando en x = 0 se obtiene la identidad
2nπ D
2nπ E
T ∑ F [ ϕ](nT ) = ∑ ϕ
= ∑ δ x−
,ϕ .
T
T
n ∈Z
n ∈Z
n ∈Z
Por otro lado
D h
i E D
F ∑ δ( x − nT ) , ϕ =
n ∈Z
∑
E
δ( x − nT ), F [ ϕ] =
n ∈Z
∑
F [ ϕ](nT ) ,
n ∈Z
de donde se desprende que
F
h
i
1
δ
(
x
−
nT
)
=
∑
T
n ∈Z
2nπ δ
x
−
.
∑
T
n ∈Z
2
12. Sí. Porque la función gaussiana f ( x ) = e−π | x| proporciona la igualdad.
José L. López
40
13. (a) y (c) son fruto de un cálculo directo. En virtud de lo afirmado
en (a), los únicos valores propios posibles del operador T son las
raíces cuartas de la unidad, de lo que se deduce lo expuesto en (b).
Finalmente, para resolver (d) observamos que H0 es claramente un
punto fijo de T.
14. La ecuación integral puede reescribirse en términos del producto de
convolución como e−| x| ∗ u − 2u = f . Aplicando la transformada de
Fourier a esta ecuación y teniendo en cuenta las propiedades de la
misma con respecto a la convolución (Teorema 59 (g)) obtenemos
F [u] =
F[f]
,
F e−| x| − 2
donde
Z
F e−|x| (y) =
=
Z 0
−∞
∞
−∞
e−| x| e−ixy dx
e x e−ixy dx +
Z ∞
0
e− x e−ixy dx =
2
.
1 + y2
Por consiguiente
F [u](y) = −
(1 + y2 )F [ f ](y)
,
2y2
de donde se concluye que
1 −1 (1 + y2 )F [ f ]
1
−1 F [ f ]
=−
+f .
u=− F
F
2
2
y2
y2
Por otra parte, F [ f ] = F [ g00 ] = −y2 F [ g] (cf. Teorema 59 (b)), luego
o
1 n −1
1
u=−
F [−F [ g]] + f = ( g − f ) .
2
2
15. Argumentamos a continuación la veracidad o falsedad de los enunciados propuestos:
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados
41
(b) FALSO. Valga como muestra la relación establecida en el Ejemsen( x )
plo 22 (f). En efecto, la función f ( x ) = x pertenece a L2 (R)
R ∞ sen(x)2
(de hecho, −∞ x2 dx = π) y su transformada de Fourier
viene dada por
F [ f ](y) = 2π F −1 [ f ](y) = πχ[−1,1] .
(c) VERDADERO. Siempre que las siguientes integrales tengan sentido, se tiene
i (F [ f ])0 (0) = i F [−ix f ](0) = F [ x f ](0) =
Z ∞
−∞
x f ( x ) dx
en virtud del Teorema 59 (a).
(d) VERDADERO. Se tiene
i ∞
i
F [ f ](y) =
f ( x )e−ix·y dx
2
2 −∞
Z
Z
i ∞
1 ∞
=
f ( x ) cos( xy) dx +
f ( x ) sen( xy) dx
2 −∞
2 −∞
Z
=
Z ∞
f ( x ) sen( xy) dx ,
0
debido a la imparidad de f .
16. Es fácil comprobar (cf. Ejemplo 2 (e)) que
4π
1
= 2 F [ f ]
∗f kF [V ]k L1 (R3 ) = F
1 3 .
|x|
|x|
L 1 ( R3 )
L (R )
Sea BR la bola euclídea de radio R y BRc su conjunto complementario.
Entonces
1
≤ 4πRF [ f ] L∞ (R3 ) ≤ 4πRk f k L1 (R3 ) .
| x |2 F [ f ] 1
L ( BR )
Por otra parte
1
| x |2 F [ f ] r
≤
c)
L1 ( BR
5
2 2
4π 2
F [ f ] 2 3 = √π k f k 2 3 ,
L (R )
L (R )
R
R
José L. López
42
donde se ha empleado el teroema de Plancherel (Teorema 62). Por
consiguiente, se tiene
5
2 2 π2
√ k f k L2 (R3 ) .
≤
4πR
k
f
k
+
L 1 ( R3 )
L 1 ( R3 )
R
Finalmente, optimizando el segundo miembro de la desigualdad anterior con respecto a R obtenemos que el mínimo se alcanza cuando
!2
π k f k L 2 ( R3 ) 3
,
R= √
2 k f k L 1 ( R3 )
F [V ] de donde se concluye el resultado anunciado.
17. (a) Comprobamos la igualdad en dos etapas.
Etapa 1: utilizando las reglas de transformación establecidas en el
Teorema 59, se tiene que
x−b
= −| a|e−iβx F [ψ]( aβ) .
Fb→ β ψ
a
La identidad de Parseval da pie entonces a la siguiente igualdad:
Z ∞ x−b
y−b
db
ψ
ψ
a
a
−∞
Z ∞
1
x−b
y−b
=
F
Fb→ β ψ
dβ
ψ
2π −∞ b→ β
a
a
Z
| a|2 ∞ −iβ(x−y)
=
e
|F [ψ]( aβ)|2 dβ
2π −∞
A completar por el alumno.
18. Basta con recordar que F −1 [1] = δ0 (cf. Ejemplo 2 (a)). Entonces
1
P [ f ]( x ) =
|F [ f ](u)|2 eiu·x du
d
d
(2π ) R
Z
Z Z
1
−iz·u
iy·u
=
f (z) e
dz
f (y) e
dy eiu· x du
(2π )d Rd Rd
Rd
Z
1
=
f (z) f (y) eiu·( x+y−z) dz dy du
(2π )d R3d
Z
=
Z
R2d
f (z) f (y) δ0 ( x + y − z) dz dy =
Z
Rd
f ( x + y) f (y) dy .
Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados
43
19. Recordamos en primer lugar que
f ( x ) = F −1 [F [ f ]]( x ) =
1
(2π )d
Z
Rd
F [ f ](ξ ) eix·ξ dξ ,
de modo que
1
u( xd ) = f (0, . . . , 0, xd ) =
F [ f ](ξ ) eixd ξ d dξ
(2π )d Rd
Z
1
−1
=
F
F [ f ](ξ ) dξ 1 . . . dξ d−1 .
(2π )d−1 ξ d 7→ xd Rd−1
Z
Para concluir basta con tomar la transformada de Fourier en ambos
miembros de la igualdad.
José L. López
44
Bibliografía
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