Problema 2

Problema realizado por Elena Abad
Enunciado
r
Dadas las rectas: r determinada por el punto A(2,1) y el vector u = (a,4) y s
r
determinada por el punto B(-1, 4) y el vector v = (5,3) , determinar a para que r
y s sean paralelas. ¿Para qué valores de a las rectas r y s son secantes?
¿Pueden ser coincidentes?
Bases teóricas
•
En la ecuación general el vector director = (coeficiente de la y cambiado
de signo, coeficiente de la x)
•
Para que dos rectas sean paralelas las pendientes tienen que ser
iguales :
r
coordenada vertical del vector director
b
m=
= ⇒ u = (a, b) = (-B, A)
coordenada horizontal del vector director a
•
Rectas secantes son aquellas que se cortan en un punto, sus
pendientes no pueden ser iguales.
•
Rectas coincidentes son aquellas que tienen todos los puntos comunes.
Resolución gráfica
1- Se dibuja la recta s, y el punto A. Se observa que la recta s no pasa por
este punto así que la recta r y la s nunca serán coincidentes.
2- Se dibuja una paralela a la recta s que pase por el punto A, sabiendo
que si son paralelas tienen el mismo vector director.
Cálculo
Determinar a para que r y s sean paralelas:
1- Se igualan las pendientes de las rectas r y s y se despeja la a.
4
3
mr = ;
ms =
⇒ mr = m s
a
5
4 3
=
⇒
a 5
a=
20
3
¿Para qué valores de a las rectas r y s son secantes?
20
,
3
porque para cualquier otro valor las pendientes no son iguales y se cortan en
un punto.
Las rectas r y s son secantes para cualquier valor de a que no sea a =
¿Pueden ser coincidentes?
Para averiguar si las rectas son coincidentes, en primer lugar se calcula la recta
r
en forma general que tiene como vector director v = (5,3) y pasa por el B(-1, 4),
3x –5y +K = 0. Para hallar k obligamos que la recta pase por B, es decir:
3 (–1) –5 (4) + K = 0
K = 23
La ecuación de la recta s es: 3x –5y +23 = 0
Para comprobar que las rectas sean coincidentes, se sustituyen la “x” y la “y”
por las coordenadas del punto A (si las rectas fueran coincidentes la recta s
tendría que pasar por el punto A), así que se verificaría la ecuación.
3 (2) –5 (1) +23 = 0
24 ≠ 0
No son coincidentes ya que las coordenadas del punto A no verifica
la ecuación de la recta s.